2022-2023學(xué)年湖南師高一年級(jí)下冊(cè)冊(cè)第二次大練習(xí)數(shù)學(xué)模擬試題（含解析）

2022-2023學(xué)年湖南師局I一下冊(cè)第二次大練習(xí)數(shù)學(xué)模擬試題

（含解析）

一、選擇題：本大題共8個(gè)小題，每小題5分，滿分40分.在每小題給出的四

個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

L設(shè)復(fù)數(shù)Z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為（2,5）,則乞在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為（）

A.（2,5）B.（—2,5）C.（-2,-5）D.

2.下列說(shuō)法正確的是（）

A.正棱錐的各條棱長(zhǎng)都相等

B.所有的空間幾何體的表面都能展開(kāi)成平面圖形

C.棱臺(tái)各側(cè)棱的延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)

D.用一平面去截棱錐，得到兩個(gè)空間幾何體，一個(gè)是棱錐，另一個(gè)是棱臺(tái)

3.設(shè)χ∈R,則"2/3<1”是“坨（％+3）>0”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.水平放置的平面四邊形ABCD的斜二測(cè)直觀圖是一個(gè)長(zhǎng)為3,寬為夜的矩形，則四邊

形ABCD的實(shí)際面積為（）

A12B.6C.6√2D.3Λ∕Ξ

5.函數(shù)/(x)=cos(妨+夕）的部分圖像如圖所示，則y=∕（χ）的單調(diào)減區(qū)間為（）

∕3-

-f-X

4

一

13-一13-

?∈Z∈Z

4-4-4-4-

C.ku—,kτιτ—,女∈ZD.2&?！?，2kjtH—,?∈Z

L44」_44_

6.已知2"'=3"=6，則加,〃不可熊滿足的關(guān)系是()

A.m÷n>4B.mn>4

C.m2+n2<8D.(吁1)2+(〃-Ip>2

7.已知函數(shù)y=∕(χ)的圖象與函數(shù)y=e'的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱，則函數(shù)

y=∕?(χ2-4χ+3)的單調(diào)遞增區(qū)間為()

A.(-∞,1)B.(-∞,2)C.(2,+∞)D.

(3,+∞)

8.已知函數(shù)/(x)=∣l0g2∣X-川，若函數(shù)g(x)=∕2(χ)+妙(X)+2)有6個(gè)不同的零點(diǎn)，

且最小的零點(diǎn)為X=-1,則2α+匕=()

A.6B.-2C.2D.-6

二、選擇題：本大題共4個(gè)小題，每小題5分，滿分20分.在每小題給出的選

項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)

的得O分.

9.下列說(shuō)法不正確的是()

A.若直線“，〃不共面，則α,。為異面直線

B.若直線ɑ//平面α,則α與α內(nèi)無(wú)數(shù)條直線平行

C.若直線ɑ//平面α,平面ɑ//平面/，則〃///

D.如果空間中兩個(gè)角的兩條邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等

10.下列命題正確的是()

A.若非零向量a`b>C滿足α//b>b//c>則?！–

B,向量“，共線的充要條件是存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)幾，使得力=；Ia成立

C.在-ABC中，h=↑6,c=20,8=60，則該三角形不存在

3

D.若AB=(3』)，AC=(m-l,〃z),為銳角，則實(shí)數(shù)沈的取值范圍是機(jī)〉^

11.已知棱長(zhǎng)為1的正方體ABeD-A'6'C'。'，平面α與對(duì)角線AC'垂直，則().

A.正方體的每條棱所在直線與平面α所成角均相等

B.平面。截正方體所得截面面積的最大值為辿

4

C.直線8C與平面α內(nèi)任一直線所成角的正弦值的最小值為包

3

D.當(dāng)平面α與正方體各面都有公共點(diǎn)時(shí)，其截面多邊形的周長(zhǎng)為定值

12.已知函數(shù)/a),g(x)定義域均為R,且/(x)+g(2-X)=5,g(x)-√(X-4)=7.若

y=g(x)的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱，g(2)=4,則下列結(jié)論正確的是()

A.g(3)=6

B./(-D=-I

C./(1)=1

D./(1)+/(2)+/(3)++/(2022)+/(2023)=-2020

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.

13.2023年是全面貫徹黨的二十大精神的開(kāi)局之年，某中學(xué)為了解教師學(xué)習(xí)“黨的二十大精

神”的情況，采用比例分配分層隨機(jī)抽樣的方法從高一、高二、高三的教師中抽取一個(gè)容量

為30的樣本，已知高一年級(jí)有教師80人，高二年級(jí)有教師72人，高三年級(jí)有教師88人,

則高一年級(jí)應(yīng)抽取人.

14.現(xiàn)有一個(gè)底面半徑為2cm、高為9cm的圓柱形鐵料,若將其熔鑄成一個(gè)球形實(shí)心工件,

則該工件的表面積為cm?(損耗忽略不計(jì)).

15.求“方程(I)+0=1的解”有如下解題思路：構(gòu)造函數(shù)y=∕(x),其表達(dá)式為

"x)=(∣]+《]，易知函數(shù)>=∕(X)在R上是嚴(yán)格減函數(shù)，且"2)=1,故原方程

有唯一解x=2.類比上述解題思路，不等式》6一2%一3>(2》+3)3-％2的解集為.

16.無(wú)字證明(proofwithoutwords)是指僅用圖象而無(wú)需文字解釋就能不證自明數(shù)學(xué)命

題，如圖是某三角恒等式的無(wú)字證明，那么該圖證明的三角恒等式為.

四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演

算步驟.

17.如圖四邊形ABCD是矩形，ABJ,平面BCE,BELEC,點(diǎn)尸為線段BE的中點(diǎn).

(1)求證：CEJ_平面ABE；

(2)求證：/平面ACF

18.高鐵是我國(guó)國(guó)家名片之一，高鐵的修建凝聚著中國(guó)人的智慧與汗水.如圖所示，氏E.

F為山腳兩側(cè)共線的三點(diǎn)，在山頂A處測(cè)得這三點(diǎn)的俯角分別為30°、60°、45°，計(jì)劃沿

直線3F開(kāi)通穿山隧道，現(xiàn)已測(cè)得BC、DE、EF三段線段的長(zhǎng)度分別為3、1、2.

BCDEF

(1)求出線段AE的長(zhǎng)度；

(2)求出隧道CO的長(zhǎng)度.

19.已知向量α=(cosx,sinx),b=sin^x--j,cos^x--Jj,函數(shù)/(x)="?0.

(1)求函數(shù)/(x)的零點(diǎn)；

(2)若鈍角JWC三內(nèi)角A8,C的對(duì)邊分別是“，b,c,且f(A)=l,求生上的

a

取值范圍.

20.如圖，已知等腰梯形ABCD中，AD//BC,AB=AD=-BC=2,E是BC的中

2

點(diǎn)、,AEBD=M,將qB4E沿著AE翻折，使得直線AB與Co不在同一個(gè)平面.

(1)求直線AE與四。所成的角的大??；

(2)在線段BC上是否存在點(diǎn)P,使得MP//平面B∣AO,若存在，求出4P:BC的值;

若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

21.已知函數(shù)/(x)=αln(l+ejc)-(α+l)x(其中α>θ)在R上單調(diào)遞減，點(diǎn)

A(Λ?,∕(X1)),B(Λ2,∕(X2)),C(X5,∕(x,))(xι</<芻)是函數(shù)V=/(X)圖象上三點(diǎn)，

滿足2x2=xl+xi.

(1)求證：A,B,C三點(diǎn)不共線；

(2)求證：ABC是鈍角三角形.

22.已知函數(shù)7(X)=2*-2-*,g(x)=log2x.

(1)若對(duì)任意的Xe(0,1),/(g(x))<雙恒成立，求實(shí)數(shù)A的取值范圍；

TTY

(2)設(shè)函數(shù)∕z(x)=g(x)+sin—,〃(x)在區(qū)間(0,+8)上連續(xù)不斷，證明:函數(shù)〃(X)有

4

且只有一個(gè)零點(diǎn)與，且《sin-^]<”

答案解析

一、選擇題：本大題共8個(gè)小題，每小題5分，滿分40分.在每小題給出的四

個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.

【正確答案】D

2.

【正確答案】C

3.

【正確答案】A

4.

【正確答案】A

5.

【正確答案】B

6.

【正確答案】C

7.

【正確答案】D

8.

【正確答案】B

二、選擇題：本大題共4個(gè)小題，每小題5分，滿分20分.在每小題給出的選

項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)

的得0分.

9.

【正確答案】CD

10.

【正確答案】ACD

11.

【正確答案】ABD

12.

【正確答案】AB

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.

13.【正確答案】10

14.【正確答案】36π

15.【正確答案】(-8,—1)D(3,4W).

16.

【正確答案】CoS(JC—y)=cosX?cosγ+sinx?siny

四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演

算步驟.

17.

【分析】(1)利用線面垂直的判定定理可得答案；

(2)連接5。交AC于。點(diǎn)，連接FO,由中位線定理可得尸再由線面平行的

判定定理可得答案.

【小問(wèn)I詳解】

因?yàn)锳B上平面BCE,ECU平面8CE,所以ABLEC,

因?yàn)?E_LEC,ABBE=B,AB,BEU平面ABE,

所以CEL平面ABE；

【小問(wèn)2詳解】

連接交AC于。點(diǎn)，連接尸0,所以。點(diǎn)為3。中點(diǎn)，

因?yàn)辄c(diǎn)F為線段BE的中點(diǎn)，所以Fo//DE,因?yàn)镕oU平面AC尸，DEU平面AC尸,

所以DE〃平面AC

18.

【分析】(1)由已知在AAEF中，由正弦定理即可解得AE值；(2)由已知可得NBAE

=90°,在RtAABE中，可求BE的值，進(jìn)而可求CO=BE-BC-OE的值.

【詳解】(1)由已知可得EF=2,∕F=45°,ZEAF=60o-45o=15o,

在AAEF中，由正弦定理得：-^—=———,

sinZFSinZEAF

AE2

即πrl—,

sin45osinl5o

解得AE=2(石+1)；

(2)由己知可得已BAE=I80°-30°-60。=90。，

在RtAABE中，BE=2AE=4(G+1),

所以隧道長(zhǎng)度CO=BE-BC-DE=4√5.

本題主要考查了正弦定理在解三角形中的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題.

19.

【正確答案】(1)X=-----1----，Λ∈Z；(2)1<-------<?/?.

212a

【分析】⑴化簡(jiǎn)得出/(x)=α∕=sin[2x-[J,由Sin卜一"=O可求解；

(2)由/(A)=I可得A=?,由正弦定理化簡(jiǎn)得出勺￡=2Sin(B+/根據(jù)8的范

圍即可求出.

【詳解】(1)由條件可得：ab=cos%?sinX-+sinx?cos?j=sin^2x-,

.,./(Λ)=a?b=Sin—,

所以函數(shù)/(x)零點(diǎn)滿足Sin(2x-?J=0,

則2x-三=Qr,得尤=竺+工，kwZ；

6212

F,/+CsinB+sinC

(2)由正弦定理得——二-----------，

asinA

由(I)/(x)=sin^2x-^j,而/(A)=2,得sin(2AJ=1,

.,.2A——=2kτr+—,Z∈Z,又A∈(θ,")，得A=Q,

21

??.c=2-8代入上式化簡(jiǎn)得：

3

..(2πη3?/?

sinβn÷sin-----BSin8+YcosBGSin[B+￡

h+c_13

222sinfB+今

asinAsinAsinA

又在鈍角_A5C中，不妨設(shè)5為鈍角，有三<B<空，則有L<sin(B+-π1<√3

2326^2^

,b+cr-

：.1<------<√3.

a

20.

【正確答案】(1)90°

(2)存在，B∣P:BIC=I:2

【分析】(1)根據(jù)折疊前后的圖形兒何性質(zhì)結(jié)合線面垂直判定定理證得AE，平面B1MD,

從而得異面AE與四。垂直，從而得夾角大??；

(2)平面公理與線面平行性質(zhì)定理可得P為BC中點(diǎn)，從而可得結(jié)論.

【小問(wèn)1詳解】

因?yàn)锳D〃BC，E是BC的中點(diǎn)，所以AB=Ar)=BE='BC=2,

2

故四邊形ABED是菱形，從而AELBD,所以.84E沿著AE翻折成AE后，

AEIB1M,AE±DM,

又因?yàn)橛肕CDM=M,BlM,。MU平面BlMO,所以AEJ_平面&MD,又BlDU

平面BlMD,

所以AE_L與。，所以直線AE與耳。所成的角的大小為90°.

【小問(wèn)2詳解】

存在，理由如下:

假設(shè)線段BIC上是存在點(diǎn)P,使得MPH平面BlAD,

過(guò)點(diǎn)P作PQ〃C。交耳。于Q,連接A∕P,AQ,如下圖,

所以A例〃C所以A,M,P,。四點(diǎn)共面，

又因?yàn)镸P//平面與AO,平面AMPQc平面4A。=A。，MPU平面AAlPQ,所以

MP//AQ,

過(guò)A,M,P,。四點(diǎn)的平面被唯一確定，

所以四邊形AMPQ為平行四邊形，故AM=PQ=；C。，

所以P為BC中點(diǎn)，故在線段BC上存在點(diǎn)P,使得MP//平面耳A。，且

B∣P:BlC=I:2.

21.

【分析】(1)反證法先假設(shè)A,B,C三點(diǎn)共線，由2超=司+芻，則B為AC中點(diǎn)，得

到2∕(Λ2)=∕(XJ+∕(Λ3)導(dǎo)出矛盾，假設(shè)不成立；

(2)由向量點(diǎn)乘，找到B4?8C<0,且三點(diǎn)不共線，得證JWC是鈍角三角形.

【小問(wèn)1詳解】

假設(shè)A,B,C三點(diǎn)共線，由2々=玉+工，則8為AC中點(diǎn)，即

2/(W)=〃5)+/(不)

2(ar3一

02αIn(1+e%)-+I)A2=αln[(1+e')(1+e?')](α+1)(ΛI(xiàn)+Λ3)

vt3

<≠>2αln(l+e迎)-2(α+l)x2=αln[(1+e')(1+e)]-2(α+l)x2

O21n(1+e*)=In[(1+e*')(1+e*)]=(1+e?2J=(1+er')(1+e*)

=e2λ'2+2e*+1=e*+4?+ev'+ev'+1oC?V'+Λ?+2e*=eX|+?+eA'+

=2e8=e'+e*①，

而ev'+e*≥2√etl+x3=2e*②，

因?yàn)棣?lt;X2<X3,所以ew<e7故②式等號(hào)不成立，這與①式矛盾.

所以假設(shè)不成立，故A,B,C三點(diǎn)不共線.

【小問(wèn)2詳解】

因?yàn)楹瘮?shù)/(x)=αln(l+e')-(α+l)x(其中α>0)在R上單調(diào)遞減.

A(X，/(石))，B(Λ2,∕(X2)),C(W,/(X3))且西</<芻，

所以/(毛)>/(9)>/(芻)，所以玉一工2<0，工3一%2>0，/(xι)-∕(?)>0,

/(?)-∕(?)<0'

又胡=(%—々,/(2)-/(々)),βC=(Λ3-x2,∕(x3)-∕(x2)),

則BA?BC=(x∣—9)(七一W)+Iy(XI)一/(工2)][/(七)一/(工2)]<。，

所以8A?BC<0,又因?yàn)锳,B,C三點(diǎn)不共線，所以6€與萬(wàn))，

故，ABC是鈍角三角形.

22.

【分析】(1)求得了(g(X))=2統(tǒng)2'-2-陛2，=%—J.,從而問(wèn)題轉(zhuǎn)化為當(dāng)Xe((U)時(shí),

X

(左—I)/+1>0恒成立，分左>1、％=1、k<1進(jìn)行解答即可；

(2)對(duì)X進(jìn)行分類討論，分為：Xe(0,2]和x∈(2,w),利用零點(diǎn)存在定理結(jié)合函數(shù)的性

質(zhì)，即可求解.

【小問(wèn)1詳解】

jc

f(g(x))=2∣°g2—2-唾2,=x-l,

X

因?yàn)閂Xe(0,1),X-L<依恒成立，所以當(dāng)Xe(0,