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文檔簡(jiǎn)介
2022-2023學(xué)年湖南師局I一下冊(cè)第二次大練習(xí)數(shù)學(xué)模擬試題
(含解析)
一、選擇題:本大題共8個(gè)小題,每小題5分,滿分40分.在每小題給出的四
個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
L設(shè)復(fù)數(shù)Z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(2,5),則乞在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為()
A.(2,5)B.(—2,5)C.(-2,-5)D.
2.下列說(shuō)法正確的是()
A.正棱錐的各條棱長(zhǎng)都相等
B.所有的空間幾何體的表面都能展開(kāi)成平面圖形
C.棱臺(tái)各側(cè)棱的延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)
D.用一平面去截棱錐,得到兩個(gè)空間幾何體,一個(gè)是棱錐,另一個(gè)是棱臺(tái)
3.設(shè)χ∈R,則"2/3<1”是“坨(%+3)>0”的()
A.充分不必要條件B.必要不充分條件
C.充要條件D.既不充分也不必要條件
4.水平放置的平面四邊形ABCD的斜二測(cè)直觀圖是一個(gè)長(zhǎng)為3,寬為夜的矩形,則四邊
形ABCD的實(shí)際面積為()
A12B.6C.6√2D.3Λ∕Ξ
5.函數(shù)/(x)=cos(妨+夕)的部分圖像如圖所示,則y=∕(χ)的單調(diào)減區(qū)間為()
∕3-
-f-X
4
一
13-一13-
?∈Z∈Z
4-4-4-4-
C.ku—,kτιτ—,女∈ZD.2&?!?,2kjtH—,?∈Z
L44」_44_
6.已知2"'=3"=6,則加,〃不可熊滿足的關(guān)系是()
A.m÷n>4B.mn>4
C.m2+n2<8D.(吁1)2+(〃-Ip>2
7.已知函數(shù)y=∕(χ)的圖象與函數(shù)y=e'的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱,則函數(shù)
y=∕?(χ2-4χ+3)的單調(diào)遞增區(qū)間為()
A.(-∞,1)B.(-∞,2)C.(2,+∞)D.
(3,+∞)
8.已知函數(shù)/(x)=∣l0g2∣X-川,若函數(shù)g(x)=∕2(χ)+妙(X)+2)有6個(gè)不同的零點(diǎn),
且最小的零點(diǎn)為X=-1,則2α+匕=()
A.6B.-2C.2D.-6
二、選擇題:本大題共4個(gè)小題,每小題5分,滿分20分.在每小題給出的選
項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分,部分選對(duì)的得2分,有選錯(cuò)
的得O分.
9.下列說(shuō)法不正確的是()
A.若直線“,〃不共面,則α,。為異面直線
B.若直線ɑ//平面α,則α與α內(nèi)無(wú)數(shù)條直線平行
C.若直線ɑ//平面α,平面ɑ//平面/,則〃///
D.如果空間中兩個(gè)角的兩條邊分別對(duì)應(yīng)平行,那么這兩個(gè)角相等
10.下列命題正確的是()
A.若非零向量a`b>C滿足α//b>b//c>則?!–
B,向量“,共線的充要條件是存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)幾,使得力=;Ia成立
C.在-ABC中,h=↑6,c=20,8=60,則該三角形不存在
3
D.若AB=(3』),AC=(m-l,〃z),為銳角,則實(shí)數(shù)沈的取值范圍是機(jī)〉^
11.已知棱長(zhǎng)為1的正方體ABeD-A'6'C'。',平面α與對(duì)角線AC'垂直,則().
A.正方體的每條棱所在直線與平面α所成角均相等
B.平面。截正方體所得截面面積的最大值為辿
4
C.直線8C與平面α內(nèi)任一直線所成角的正弦值的最小值為包
3
D.當(dāng)平面α與正方體各面都有公共點(diǎn)時(shí),其截面多邊形的周長(zhǎng)為定值
12.已知函數(shù)/a),g(x)定義域均為R,且/(x)+g(2-X)=5,g(x)-√(X-4)=7.若
y=g(x)的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱,g(2)=4,則下列結(jié)論正確的是()
A.g(3)=6
B./(-D=-I
C./(1)=1
D./(1)+/(2)+/(3)++/(2022)+/(2023)=-2020
三、填空題:本大題共4小題,每小題5分,共20分.
13.2023年是全面貫徹黨的二十大精神的開(kāi)局之年,某中學(xué)為了解教師學(xué)習(xí)“黨的二十大精
神”的情況,采用比例分配分層隨機(jī)抽樣的方法從高一、高二、高三的教師中抽取一個(gè)容量
為30的樣本,已知高一年級(jí)有教師80人,高二年級(jí)有教師72人,高三年級(jí)有教師88人,
則高一年級(jí)應(yīng)抽取人.
14.現(xiàn)有一個(gè)底面半徑為2cm、高為9cm的圓柱形鐵料,若將其熔鑄成一個(gè)球形實(shí)心工件,
則該工件的表面積為cm?(損耗忽略不計(jì)).
15.求“方程(I)+0=1的解”有如下解題思路:構(gòu)造函數(shù)y=∕(x),其表達(dá)式為
"x)=(∣]+《],易知函數(shù)>=∕(X)在R上是嚴(yán)格減函數(shù),且"2)=1,故原方程
有唯一解x=2.類比上述解題思路,不等式》6一2%一3>(2》+3)3-%2的解集為.
16.無(wú)字證明(proofwithoutwords)是指僅用圖象而無(wú)需文字解釋就能不證自明數(shù)學(xué)命
題,如圖是某三角恒等式的無(wú)字證明,那么該圖證明的三角恒等式為.
四、解答題:本大題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演
算步驟.
17.如圖四邊形ABCD是矩形,ABJ,平面BCE,BELEC,點(diǎn)尸為線段BE的中點(diǎn).
(1)求證:CEJ_平面ABE;
(2)求證:/平面ACF
18.高鐵是我國(guó)國(guó)家名片之一,高鐵的修建凝聚著中國(guó)人的智慧與汗水.如圖所示,氏E.
F為山腳兩側(cè)共線的三點(diǎn),在山頂A處測(cè)得這三點(diǎn)的俯角分別為30°、60°、45°,計(jì)劃沿
直線3F開(kāi)通穿山隧道,現(xiàn)已測(cè)得BC、DE、EF三段線段的長(zhǎng)度分別為3、1、2.
BCDEF
(1)求出線段AE的長(zhǎng)度;
(2)求出隧道CO的長(zhǎng)度.
19.已知向量α=(cosx,sinx),b=sin^x--j,cos^x--Jj,函數(shù)/(x)="?0.
(1)求函數(shù)/(x)的零點(diǎn);
(2)若鈍角JWC三內(nèi)角A8,C的對(duì)邊分別是“,b,c,且f(A)=l,求生上的
a
取值范圍.
20.如圖,已知等腰梯形ABCD中,AD//BC,AB=AD=-BC=2,E是BC的中
2
點(diǎn)、,AEBD=M,將qB4E沿著AE翻折,使得直線AB與Co不在同一個(gè)平面.
(1)求直線AE與四。所成的角的大??;
(2)在線段BC上是否存在點(diǎn)P,使得MP//平面B∣AO,若存在,求出4P:BC的值;
若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
21.已知函數(shù)/(x)=αln(l+ejc)-(α+l)x(其中α>θ)在R上單調(diào)遞減,點(diǎn)
A(Λ?,∕(X1)),B(Λ2,∕(X2)),C(X5,∕(x,))(xι</<芻)是函數(shù)V=/(X)圖象上三點(diǎn),
滿足2x2=xl+xi.
(1)求證:A,B,C三點(diǎn)不共線;
(2)求證:ABC是鈍角三角形.
22.已知函數(shù)7(X)=2*-2-*,g(x)=log2x.
(1)若對(duì)任意的Xe(0,1),/(g(x))<雙恒成立,求實(shí)數(shù)A的取值范圍;
TTY
(2)設(shè)函數(shù)∕z(x)=g(x)+sin—,〃(x)在區(qū)間(0,+8)上連續(xù)不斷,證明:函數(shù)〃(X)有
4
且只有一個(gè)零點(diǎn)與,且《sin-^]<”
答案解析
一、選擇題:本大題共8個(gè)小題,每小題5分,滿分40分.在每小題給出的四
個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1.
【正確答案】D
2.
【正確答案】C
3.
【正確答案】A
4.
【正確答案】A
5.
【正確答案】B
6.
【正確答案】C
7.
【正確答案】D
8.
【正確答案】B
二、選擇題:本大題共4個(gè)小題,每小題5分,滿分20分.在每小題給出的選
項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分,部分選對(duì)的得2分,有選錯(cuò)
的得0分.
9.
【正確答案】CD
10.
【正確答案】ACD
11.
【正確答案】ABD
12.
【正確答案】AB
三、填空題:本大題共4小題,每小題5分,共20分.
13.【正確答案】10
14.【正確答案】36π
15.【正確答案】(-8,—1)D(3,4W).
16.
【正確答案】CoS(JC—y)=cosX?cosγ+sinx?siny
四、解答題:本大題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演
算步驟.
17.
【分析】(1)利用線面垂直的判定定理可得答案;
(2)連接5。交AC于。點(diǎn),連接FO,由中位線定理可得尸再由線面平行的
判定定理可得答案.
【小問(wèn)I詳解】
因?yàn)锳B上平面BCE,ECU平面8CE,所以ABLEC,
因?yàn)?E_LEC,ABBE=B,AB,BEU平面ABE,
所以CEL平面ABE;
【小問(wèn)2詳解】
連接交AC于。點(diǎn),連接尸0,所以。點(diǎn)為3。中點(diǎn),
因?yàn)辄c(diǎn)F為線段BE的中點(diǎn),所以Fo//DE,因?yàn)镕oU平面AC尸,DEU平面AC尸,
所以DE〃平面AC
18.
【分析】(1)由已知在AAEF中,由正弦定理即可解得AE值;(2)由已知可得NBAE
=90°,在RtAABE中,可求BE的值,進(jìn)而可求CO=BE-BC-OE的值.
【詳解】(1)由已知可得EF=2,∕F=45°,ZEAF=60o-45o=15o,
在AAEF中,由正弦定理得:-^—=———,
sinZFSinZEAF
AE2
即πrl—,
sin45osinl5o
解得AE=2(石+1);
(2)由己知可得已BAE=I80°-30°-60。=90。,
在RtAABE中,BE=2AE=4(G+1),
所以隧道長(zhǎng)度CO=BE-BC-DE=4√5.
本題主要考查了正弦定理在解三角形中的應(yīng)用,考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想,屬于基礎(chǔ)題.
19.
【正確答案】(1)X=-----1----,Λ∈Z;(2)1<-------<?/?.
212a
【分析】⑴化簡(jiǎn)得出/(x)=α∕=sin[2x-[J,由Sin卜一"=O可求解;
(2)由/(A)=I可得A=?,由正弦定理化簡(jiǎn)得出勺£=2Sin(B+/根據(jù)8的范
圍即可求出.
【詳解】(1)由條件可得:ab=cos%?sinX-+sinx?cos?j=sin^2x-,
.,./(Λ)=a?b=Sin—,
所以函數(shù)/(x)零點(diǎn)滿足Sin(2x-?J=0,
則2x-三=Qr,得尤=竺+工,kwZ;
6212
F,/+CsinB+sinC
(2)由正弦定理得——二-----------,
asinA
由(I)/(x)=sin^2x-^j,而/(A)=2,得sin(2AJ=1,
.,.2A——=2kτr+—,Z∈Z,又A∈(θ,"),得A=Q,
21
??.c=2-8代入上式化簡(jiǎn)得:
3
..(2πη3?/?
sinβn÷sin-----BSin8+YcosBGSin[B+£
h+c_13
222sinfB+今
asinAsinAsinA
又在鈍角_A5C中,不妨設(shè)5為鈍角,有三<B<空,則有L<sin(B+-π1<√3
2326^2^
,b+cr-
:.1<------<√3.
a
20.
【正確答案】(1)90°
(2)存在,B∣P:BIC=I:2
【分析】(1)根據(jù)折疊前后的圖形兒何性質(zhì)結(jié)合線面垂直判定定理證得AE,平面B1MD,
從而得異面AE與四。垂直,從而得夾角大??;
(2)平面公理與線面平行性質(zhì)定理可得P為BC中點(diǎn),從而可得結(jié)論.
【小問(wèn)1詳解】
因?yàn)锳D〃BC,E是BC的中點(diǎn),所以AB=Ar)=BE='BC=2,
2
故四邊形ABED是菱形,從而AELBD,所以.84E沿著AE翻折成AE后,
AEIB1M,AE±DM,
又因?yàn)橛肕CDM=M,BlM,。MU平面BlMO,所以AEJ_平面&MD,又BlDU
平面BlMD,
所以AE_L與。,所以直線AE與耳。所成的角的大小為90°.
【小問(wèn)2詳解】
存在,理由如下:
假設(shè)線段BIC上是存在點(diǎn)P,使得MPH平面BlAD,
過(guò)點(diǎn)P作PQ〃C。交耳。于Q,連接A∕P,AQ,如下圖,
所以A例〃C所以A,M,P,。四點(diǎn)共面,
又因?yàn)镸P//平面與AO,平面AMPQc平面4A。=A。,MPU平面AAlPQ,所以
MP//AQ,
過(guò)A,M,P,。四點(diǎn)的平面被唯一確定,
所以四邊形AMPQ為平行四邊形,故AM=PQ=;C。,
所以P為BC中點(diǎn),故在線段BC上存在點(diǎn)P,使得MP//平面耳A。,且
B∣P:BlC=I:2.
21.
【分析】(1)反證法先假設(shè)A,B,C三點(diǎn)共線,由2超=司+芻,則B為AC中點(diǎn),得
到2∕(Λ2)=∕(XJ+∕(Λ3)導(dǎo)出矛盾,假設(shè)不成立;
(2)由向量點(diǎn)乘,找到B4?8C<0,且三點(diǎn)不共線,得證JWC是鈍角三角形.
【小問(wèn)1詳解】
假設(shè)A,B,C三點(diǎn)共線,由2々=玉+工,則8為AC中點(diǎn),即
2/(W)=〃5)+/(不)
2(ar3一
02αIn(1+e%)-+I)A2=αln[(1+e')(1+e?')](α+1)(ΛI(xiàn)+Λ3)
vt3
<≠>2αln(l+e迎)-2(α+l)x2=αln[(1+e')(1+e)]-2(α+l)x2
O21n(1+e*)=In[(1+e*')(1+e*)]=(1+e?2J=(1+er')(1+e*)
=e2λ'2+2e*+1=e*+4?+ev'+ev'+1oC?V'+Λ?+2e*=eX|+?+eA'+
=2e8=e'+e*①,
而ev'+e*≥2√etl+x3=2e*②,
因?yàn)棣?lt;X2<X3,所以ew<e7故②式等號(hào)不成立,這與①式矛盾.
所以假設(shè)不成立,故A,B,C三點(diǎn)不共線.
【小問(wèn)2詳解】
因?yàn)楹瘮?shù)/(x)=αln(l+e')-(α+l)x(其中α>0)在R上單調(diào)遞減.
A(X,/(石)),B(Λ2,∕(X2)),C(W,/(X3))且西</<芻,
所以/(毛)>/(9)>/(芻),所以玉一工2<0,工3一%2>0,/(xι)-∕(?)>0,
/(?)-∕(?)<0'
又胡=(%—々,/(2)-/(々)),βC=(Λ3-x2,∕(x3)-∕(x2)),
則BA?BC=(x∣—9)(七一W)+Iy(XI)一/(工2)][/(七)一/(工2)]<。,
所以8A?BC<0,又因?yàn)锳,B,C三點(diǎn)不共線,所以6€與萬(wàn)),
故,ABC是鈍角三角形.
22.
【分析】(1)求得了(g(X))=2統(tǒng)2'-2-陛2,=%—J.,從而問(wèn)題轉(zhuǎn)化為當(dāng)Xe((U)時(shí),
X
(左—I)/+1>0恒成立,分左>1、%=1、k<1進(jìn)行解答即可;
(2)對(duì)X進(jìn)行分類討論,分為:Xe(0,2]和x∈(2,w),利用零點(diǎn)存在定理結(jié)合函數(shù)的性
質(zhì),即可求解.
【小問(wèn)1詳解】
jc
f(g(x))=2∣°g2—2-唾2,=x-l,
X
因?yàn)閂Xe(0,1),X-L<依恒成立,所以當(dāng)Xe(0,
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