2023-2024學年福建福州高二年級上冊冊期末考試數(shù)學試題（含解析）

2023-2024學年福建福州高二上冊期末考試數(shù)學試題

一、單選題

i.數(shù)列&、娓、M、JR的下一項應該是（）

A.VnB.2V3c.3V2D.M

【正確答案】c

【分析】觀察數(shù)列的項之間的變化規(guī)律，即可求得答案.

【詳解】觀察數(shù)列&、娓、而、拒的項之間的規(guī)律，

可得根號下的數(shù)依次增加4,故數(shù)列④、巫、回、J%的下一項應該是Jii=3近，

故選：c

2.已知方程上+上=1表示的曲線是橢圓，則實數(shù)〃?的取值范圍是

2-m加+1

A.（-1,2）B.（-L；）D（；,2）C.（-1,—）D.（；,2）

【正確答案】B

2—陽〉0

r22

【詳解】因為方程二一+v-=1表示的曲線是橢圓，所以機+1＞0,解得-1＜也＜2且

2—m/w+1-1

2—陽Wm+1

機即實數(shù)機的取值范圍是（-11）口仁,2）故選B.

3.若向量2=（1,2,0）,6=（-2,0,1）,則（）

A.cos＜a】＞=-gB.albC.allbD.|?|=|6|

【正確答案】D

【分析】由向量數(shù)量積的坐標運算求得數(shù)量積，模，結合向量的共線定義判斷.

【詳解】由已知同=正+22+。2=君,p|=7（-2）2+02+l2=y[5,

〃?加=1x（-2）+2x0+0x1=—2，5與q不垂直.

若行=忘，則0=24，k=0,但是，IwOxO,因此書與[不共線.

故選：D.

4.若直線4:〃?x+3y+4=0與直線4:2x+(/n+l)y+4=0平行，則用的值為()

A.2B.-3C.2或-3D.-2或-3

【正確答案】B

【分析】根據(jù)直線的平行可列出方程，求得加的值，驗證直線是否重合，即得答案.

【詳解】由題意知直線4：機x+3y+4=0與直線/2：2x+(m+l)y+4=0平行，

而直線4：^x+3y+4=o的斜率為占=-g,

2

則直線/2：2x+(〃?+l)y+4=0必有斜率，即加w—l,貝ij&=-----

故-：m=2,解得加=2或-3,

37W+1

當〃7=2時，直線4：2x+3y+4=0與直線/2：2x+3y+4=0重合，不合題意；

4

當加=-3時，直線4：x-y-§=0與直線/2：x-y+2=0平行，符合題意，

故加=-3,

故選：B

5.設P為直線3x-4y+4=0上的動點，尸4尸8為圓C：(x—2>+/=1的兩條切線，A,B為

切點，則四邊形/P8C面積的最小值為()

A.百B.C.y[5D.2A/5

【正確答案】A

由切線的性質(zhì)可得四邊形ZPBC面積為2s"=|P/||C4|=J|PC『-1,求出IPCImin，又

IPCL,為圓心C到直線3x-4y+4=0的距離，即可求解.

【詳解】圓C:(x-2>+V=i的圓心C(2,0),半徑為1,

?.?尸4PB為兩條切線，A,B為切點、，；.PA工AC,PB^LBC,

2

二?四邊形APBC面積為2S,,AB=|PA\\CA\=VlPC|-1，

故當I尸。最小時，四邊形ZPBC面積最小，

又|PC|最小值為圓心C到直線3x-4y+4=0的距離d,

故四邊形APBC面積最小值為V3.

故選：A.

本題考查直線與圓的位置關系、切線的性質(zhì)，等價轉化為點到直線距離是解題的關鍵，屬于

中檔題.

9

6.設正項等比數(shù)列｛叫的前〃項和為S,,,若S?-$5=3（4+牝），則眄+一的最小值為（）

an

A.2B.4C.8D.16

【正確答案】B

91

【分析】根據(jù)等比數(shù)列滿足的條件求得公比，將4%+一化為12《+丁，利用基本不等式即

a73al

可求得答案.

【詳解】由題意知正項等比數(shù)列加“｝滿足邑-Ss=3（即+%）,

設｛%｝的首項和公比分別為《（4>0）,貝夕>0）,

則％⑷+q6）=3q（/+/）,即/（1+/=3（1+q）,

則q=y/i,

故4%+2=12%+白>2卜2%1=4,

當且僅當12%=J,即時取等號，

3q6

故選：B

7.已知拋物線C:/=4x的焦點為凡準線為/,點尸在C上，直線尸尸交y軸于點。，若

方=3而，則點P到準線/的距離為（）

A.3B.4C.5D.6

【正確答案】C

【分析】求出焦點尸的坐標，過點P作N軸的垂線，垂足為N,由。尸〃PN可得

陶=緇=3,求出?尸N|,結合拋物線的定義，即可得解?

【詳解】解：由拋物線C:/=4x,可知F（1,0）,準線/的方程為尸-1,

過點P作歹軸的垂線，垂足為N,

因為°尸〃PN，所以陶=第=：,

所以|取14|尸0=4,

所以點P到準線/的距離為4+1=5.

故選：C.

8.如圖所示，平行六面體/3CD-44GA中，以頂點/為端點的三條棱長都為1,且兩兩

夾角為60。，求西?就的值是（）

A.-1B.1C.y/2,D.5/3

【正確答案】B

【分析】選定基底，根據(jù)空間向量的加減運算表示出國，工，再根據(jù)空間向量的數(shù)量積的

運算，即可求得答案.

【詳解】由題意得西=0+7萬+西=1萬-德+N彳，AC=AB+AD，

則西?％=（而-布+河?（萬+而）=而2一行+在布+折而

=l-l+lxlxcos60°+lxlxcos60=1,

故選：B

二、多選題

9.已知）為直線/的方向向量，鼠跑分別為平面環(huán)尸的法向量（%夕不重合），那么下列說

法中正確的有（）.

A.勺〃叼=a〃夕B.±?2<=>a±/?

C.v〃〃]<=>/〃aD.v±n（<=>/±a

【正確答案】AB

【分析】根據(jù)法線面垂直平行的性質(zhì)及法向量、方向向量的概念即可選出選項.

【詳解】解:若百〃&，因為a*不重合，所以a〃夕,

若?！ㄏ?，則%凡共線，即E0，故選項A正確；

若點_L二則平面a與平面夕所成角為直角，故a_L/7,

若"，夕,則有點，0,故選項B正確；

若工〃，，則/_La,故選項C錯誤;

若vJ_/，則/〃a或/ua，故選項D錯誤.

故選:AB

10.已知曲線C:——+或=l（meR）,則下列結論正確的是（）

m~+2m

A.若曲線C是橢圓，則其長軸長為2折B.若〃?<0,則曲線C表示雙曲線

C.曲線C可能表示一個圓D.若"7=1,則曲線C中過焦點的最短弦長為

2百

"I-

【正確答案】BD

【分析】因為〃/+2-相>0恒成立，所以蘇+2中加，曲線C不可能為圓，可判斷選項C錯

誤，當m>0時為橢圓，且焦點在x軸上，可判斷選項A錯誤，機<0時為雙曲線，所以選

項B正切，m=l時，曲線方程確定，需要用弦長公式求解弦長的最小值

【詳解】解：由題意，若曲線C是橢圓，貝）?>0,因為療+2-〃?>0恒成立，所以橢圓

。:一口+廣=1的焦點在x軸上，所以其長軸長為zJTH，故Z錯誤；

m+2m

若加<0,根據(jù)雙曲線的定義可知曲線C表示雙曲線，故8正確；

因為小一a+2>0對任意的加恒成立，所以曲線C不可能表示一個圓，故C錯誤：

若m=l,則曲線C為橢圓，方程為1+/=1,焦點坐標為(士e,0),

若過焦點的直線斜率為0時，此時該直線截橢圓C的弦長為2道;

若過焦點的直線斜率不為0時，不妨設該直線過橢圓C的右焦點，方程為*=利+0,與

橢圓C的兩個交點分別為Z(X［，M),8(X2，%)，

2

X21

---Fy=1.—

由43,可得(/+3)/+2&〃歹一1=0,

x=ny+>/2

=8n2+4(?2+3)=12(n2+l)>0

2屆

則有%+為=F-T

n+3

1

必必二一一不

n+2

|/用=Jl+〃2\y[-y2\=+?5(%+%)2-4%為

J1+N2-J(一

二k塔尹2代言"后子

當〃=0時，上式不等式可取等號，即

綜上，可知橢圓C：義+/=1中過焦點的最短弦長為2叵，故。正確;

33

故選：BD

11.已知直線/：奴->-左+1=0,圓。的方程為(x—2)2+(y+2)2=16,則下列選項正確的是

()

A.直線/與圓一定相交

B.當60時，直線/與圓C交于兩點M,N,點E是圓C上的動點，則MNE面積的最大

值為3萬

C.當/與圓有兩個交點M,N時，也W|的最小值為2#

D.若圓C與坐標軸分別交于4B,C,。四個點，則四邊形的面積為48

【正確答案】AC

【分析】由直線過定點在圓內(nèi)判斷A,由圓上點到直線的距離的最大值，求得三角形面積最

大值判斷B,當定點與圓心連線垂直于直線/時，弦長最短，由勾股定理計算可得弦長，判

斷C,求出圓與坐標軸的交點坐標，由面積公式計算面積判斷D.

【詳解】直線/：履7-4+1=0過定點P(U),(1-2)2+(1+2)2<16,P在圓內(nèi)，因此直線/一

定與圓相交，A正確；

人=0時，直線為N=l,代入圓方"程得(x—2)2+9=16,x=2+>/7,因此=2幣,

圓心為C(2,-2),圓半徑為『=4,圓心到直線/的距離為"=3,因此E到直線/的距離的最

大值為〃=4+3=7,A/NE的面積最大值為5=葭7、2近=7近，B錯；

當/與圓有兩個交點M,N時，明網(wǎng)的最小時，PCJJ,|PC|=J(1_2)2+(1+2>=而，

因此：=2M=2拓，C正確；

在圓方程(x-2>+(y+2)2=16中分別令x=0和y=0可求得圓與坐標軸的交點坐標為

A(2-2行,0),8((2+2拒,0),C(0,-2+2W),0(0,-2-2百)，

|/a=4百，|CZ)|=4有，四邊形/8CZ)面積為S=；x40x40=24,D錯.

故選：AC.

12.如圖的形狀出現(xiàn)在南宋數(shù)學家揚輝所著的《詳解九章算法?商功》中后人稱為“三角垛”,

"三角垛''最上層有1個球，第二層有3個球，第三層有6個球，…，設第〃層有個球，從

上往下〃層球的總數(shù)為S“，則()

贏

A.牝=35B.S$=35

C.a^-an=n+\D.不存在正整數(shù)〃?>2,使得a,,為質(zhì)數(shù)

【正確答案】BCD

【分析】根據(jù)每層的球的個數(shù)可得=〃，利用累加法求得?！?彗D,即可求得《As

的值，判斷A,B；根據(jù)%可判斷C：根據(jù)。“=彗結合數(shù)的奇偶性，可判

斷D.

【詳解】依題意因為q=2,%-出=3…，4一限1=",

以上〃個式子累加可得：見=1+2+3+…+〃=歿3,(〃22),

又q=1滿足上式，所以乙=彗D,故%=言=15,故A錯誤；

因q=l9a2=3,6=6必=1。,％=15,

所以$5=%+&+。3+4+。5=1+3+6+10+15=35,故B正確；

因為所以%+|-%="+1，故C正確；

E、，〃(〃+1)..”-L、1十4皿rim(m+1)

因為4,=:'故當m>2且為整數(shù)時，?m=----2

此時〃?(機+1)必為偶數(shù)，則嗎為整數(shù)，且為合數(shù)，

則不存在正整數(shù)〃?>2,使得%，為質(zhì)數(shù)，D正確，

故選：BCD

三、填空題

13.過點力(1,1)且與直線2x+3廠1=0平行的直線/的方程為.

【正確答案】2x+3y-5=0

【分析】根據(jù)兩條直線平行的關系，可知所求直線的斜率，可得結果.

【詳解】由直線/與直線2x+3廠1=0平行

所以直線/的斜率為：

又直線/過點力(1，1),所以根據(jù)點斜式

可得直線/方程為：1=||6-1)

即2x+3y-5=0

故2x+3y-5=0

本題考查直線方程，對于平面中兩條直線的位置關系，可想到斜率之間的聯(lián)系，屬基礎題.

14.已知0為坐標原點，向量a，點4(-3,-1,4),8(-2,-2,2)若點E在直線AB上,

且浣_L；，則點E的坐標為.

■十環(huán)田山.(61421

【正確答案】II

UIU

【分析】利用點E在直線上，可得0￡=(-3+，,-1-,4-2/),然后利用

uum1uuu1

0K_LQO0Ea=0,即可求解￡的坐標.

【詳解】由題意可得：42=(1,-1,-2),

:點E在直線Z8上,

uumumuiuUULU-I?U-.

***OE=OA+AE=OA++z（h-l,-2）=（-3+八一1一f,4一2。,

?JimJuiur

又,?,OELa，WlJO￡-a=-2（-3+r）+lx（-l-z）+lx（4-2z）=0,

5

故點E的坐標為--T?），

a+1,〃為奇數(shù)

20

15.已知數(shù)列｛a〃｝滿足ai=\,a?+l—1/+j〃為偶數(shù)，則｛"〃｝的前項和等于.

【正確答案】300

【分析】由數(shù)列｛4｝的通項公式可求得。2,4,推出數(shù)列｛《,｝的通項公式可得數(shù)列｛/｝的奇

數(shù)項和偶數(shù)項分別為等差數(shù)列，求解即可.

%+1,"為奇數(shù)

【詳解】因為4=1，。用

%+2,〃為偶數(shù)

所以。2=Q[+1=2,〃3=〃2+2=4,。4=%+1=5,

a

由題意可得々”+1=in-\+3,a2n+2=a2n+3,

其中q=1,%=%+1=2,

可得出“wN*,

a=

則2n-\。2〃-2+2=3(〃-1)-1+2=3〃-2,〃22,

當拉=1時，6=1也適合上式,

所以。2〃一1=3〃-2/EN*,

所以數(shù)列｛《,｝的奇數(shù)項和偶數(shù)項分別為等差數(shù)列,

則｛。,｝的前20項和為

41+〃2+，，，+〃20=("1++L+。［9)+(。＞+。4+L+。)0)

10x910x9

=10+x3+10x2+x3=300

22

故300.

6設A、8分別為雙曲線=…）的左、右頂點，入。是雙曲線C上關于

x軸對稱的不同兩點，設直線4P、80的斜率分別為加、〃，若機〃=-1,則雙曲線C的離

心率e是.

【正確答案】V2

【分析】設尸（X。,%）,0（%,—%）,有〃?=」5，〃=一5一，結合已知得〃=/,進而求離

%+4x0-a

心率e即可.

【詳解】設尸（X。,%）,0（%,-%）,而4（一凡0）,830）,則加=一一.

/+Q/一

222.2

Vmn=~又年一冬=1,則加〃=-、，而加"=-1,

x0-aa-ba

故答案為.0

關鍵點點睛：利用點在雙曲線上且關于x軸對稱，結合已知條件得到應用離心率公

式求e即可.

四、解答題

17.已知等差數(shù)列｛4,｝中，S,為其前〃項和，g=2,$7=28.

(1)求數(shù)列｛?！埃耐椆?

_1111

(2)求---+----+----+…+-----.

片。2〃2。3〃3。4%。用

【正確答案】(1)4=〃.

(2)-77.

774-1

【分析】(1)根據(jù)題意列出方程組，求得首項和公差，即可求得數(shù)列｛/｝的通項公式.

(2)由(1)可得‘一='-一二，利用裂項求和即可求得答案.

a?a,l+inn+1

【詳解】(1)由題意等差數(shù)列｛〃“｝中，々=2,3=28,設公差為力

可得1[7a%+,2=1公228'解得[fdl=l1'

故=1+〃-1二〃.

]_1__1_

(2)由(1)可得-----

〃(〃+1)nn+1

n+1n+1

18.已知以點C(-LI)為圓心的圓與直線相：3x+4y+4=0相切.

(1)求圓C的方程；

(2)過點P(-2,3)的作圓C的切線，求切線方程.

【正確答案】⑴(x+l)2+(y-l)2=l:

⑵3x+4y-6=0和x=-2.

【分析】(1)由點到直線距離公式得圓半徑后可得圓方程；

(2)分類討論，檢驗斜率不存在的直線是否為切線，斜率存在時設出切線方程，由圓心到

切線的距離等于半徑得結論.

【詳解】(1)由題意，圓半徑不"一；：4+4，L],

V32+42

所以圓方程為(X+1)2+(V-1)2=1；

(2)易知過P點斜率不存在的直線x=-2是圓的切線，

再設斜率存在的切線方程為y-3=%(x+2),即Ax-y+2%+3=0,

+2a+3]336

JI-l=l,解得上=_±,直線方程為一±x-y-?+3=0,即3x+4y-6=0.

y/k2+l44-4

所以切線方程是3x+4y-6=0和x=-2.

19.已知過點(1,2)的拋物線方程為j?=2px(0>0),過此拋物線的焦點的直線與拋物線交

于A,B兩點，且|/8|=5.

(1)求拋物線的方程、焦點坐標、準線方程；

(2)求48所在的直線方程.

【正確答案】⑴拋物線的方程為V=4x,焦點尸(1,0),準線方程為x=-l；⑵2x-y-2=0

或2x+y-2=0.

【分析】(1)根據(jù)給定條件求出p值即可求解：

(2)設出直線48的方程，與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達定理并借助弦長公式求解即得.

【詳解】⑴因點(1,2)在拋物線方程/=2px上，貝Up=2,

所以拋物線的方程為V=4x,焦點尸(1,0),準線方程為：x=-l；

(2)顯然，直線48不垂直y軸，設直線48方程為：x=my+[,

[x=my+\,

由〈2；消去x得：-4股-4=0,設必),8(々,為)，則有必+%=45,乂%=-4,

[y=?

于是得|/8|=，1+加21必|=J1+機2.+%)2_4凹％=4(1+*)=5,解得"7=土;，即

直線48：x=±gy+l,

所以所在的直線方程：2x-y-2=0或2x+y-2=0.

20.如圖，四棱錐尸一/BC。中，尸/_!_平面NBC。，

AB1AD,AD//BC,AD=2BC=2,AB=>j3,E為CO中點.

B

（1）求證：8,平面R4E；

（2）若尸/=百，求二面角N-PB-E的余弦值.

【正確答案】（1）證明見解析

（2）乎

【分析】（1）證明CD_L/I￡,PALCD,可得CD_L平面HE.

（2）分別求平面48和平面P8E的法向量，利用法向量求二面角的余弦值.

【詳解】（1）連接NC,如圖所示：

左△/8C中，=^571=2,

AC=AD,/CD為等腰三角形，E為中點，...

平面N8C。，OCu平面/BCD,PA1CD

PAC\AE=A,P4,4Eu平面P4E,

所以CD_L平面P/E.

（2）以力為原點，AB，AD>"的方向分別為x軸、y軸、z軸正方向建立如圖所示的空

間直角坐標系，

與/。，旃=卜百，。，石），麗=（亭，|，-石

有/(0,0,0),用6,0,0),尸(0,0，/),E

平面尸的一個法向量三=（0』,0）,

設平面尸8E的一個法向量為〃=（x,y,z）,

萬?麗=f/L:+V5z=0

令y=1,得x=z=石,.\n=(73,l,^3),

n-PE=^-x+—y-6z=Q

22

\m-n\1y/1

二面角4-P8-E的平面角為。,a

2而F=7

所以二面角的余弦值為五.

7

21.已知數(shù)列也,｝的前〃項和為S“，滿足S,,=2%-2.

（1）求數(shù)列的通項公式;

（2）設6“=（2"-1）〃”,求數(shù)列也｝的前〃項和7；.

【正確答案】（1）-2）7；=（2n-3）x2"+1+6

（1）利用a“=S,,-S,T（〃N2）,q=S，可得｛q｝為等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的通項公式即

可求得通項公式?！埃?/p>

（2）利用錯位相減法求和即可求

【詳解】（1）當"=1時，q=Si=2%-2,解得%=2,

當〃>1時，由S.=2a〃-2可得

S“_|=2q,T-2,n>\

兩式相減可得%=2%-2ai，即3=2,

an-\

所以｛0“｝是以2為首項，以2為公比的等比數(shù)列,

所以a“=2-2"T=2"

(2)由(1)bn=(2n-\YT,

7；=1X2+3X22+5X23+???+(2M-1)-2",

則27；=1x22+3x23+5x2"+L+(2〃-3)x2"+(2〃-l)x2,

兩式相減得-1=2+2x22+2x23+…+2x2"-(2〃-1)x2”“

18(1-2-)

2-(2?-l)x2'+l=T2-6-(2w-l)x2,+l=?2n-3-2，+'

1-2

所以7；=(2"-3)x2川+6.

方法點睛:

S,—S”?22

由數(shù)列前〃項和求通項公式時，一般根據(jù)求解，考查學生的計算能九

22

rv=1(〃>6>0)過點卜，3

22.設a,b是實數(shù),若橢圓氏且離心率為，

ab

(1)求橢圓E的標準方程;

(2)過橢圓E的上頂點尸分別作斜率為占，k2的兩條直線與橢圓交于C,。兩點，且￡+無2=g，

試探究過C,。兩點的直線是否過定點？若過定點，求出定點坐標；否則，說明理由.

【正確答案】⑴三+仁=1；

43