北師大版七年級數(shù)學下冊舉一反三 專題2.2 探索直線平行的條件-重難點題型（舉一反三）（原卷版+解析）

專題2.2探索直線平行的條件-重難點題型【北師大版】【知識點1三線八角】1.同位角：兩條直線被第三條直線所截，兩個角都在兩條被截線同側(cè)，并在截線的同旁，這樣的一對角叫做同位角.2.內(nèi)錯角：兩條直線被第三條直線所截，兩個角都在兩條被截線之間并且在截線的兩旁，這樣的一對角叫做內(nèi)錯角.3.同旁內(nèi)角：兩條直線被第三條直線所截兩個角都在兩條被截線之間并且在截線的同旁，這樣的一對角叫做同旁內(nèi)角【題型1三線八角】【例1】(2023春?郯城縣期末）如圖，直線AD，BE被直線BF和AC所截，則∠1的同位角和∠5的內(nèi)錯角分別是（）A．∠2和∠4 B．∠6和∠4 C．∠2和∠6 D．∠6和∠3【變式1-1】(2023春?長白縣期中）如圖，有下列判斷：①∠A與∠1是同位角；②∠A與∠B是同旁內(nèi)角；③∠4與∠1是內(nèi)錯角；④∠1與∠3是同位角．其中正確的是（填序號）．【變式1-2】(2023春?連山區(qū)月考）如圖，直線EF交AB于G，交CD于M．（1）圖中有多少對對頂角；（2）圖中有多少對鄰補角；（3）圖中有多少對同位角；（4）圖中有多少對同旁內(nèi)角；（5）寫出圖中的內(nèi)錯角．【變式1-3】(2023秋?崇川區(qū)校級期末）復雜的數(shù)學問題我們常會把它分解為基本問題來研究，化繁為簡，化整為零這是一種常見的數(shù)學解題思想．（1）如圖1，直線l1，l2被直線l3所截，在這個基本圖形中，形成了對同旁內(nèi)角．（2）如圖2，平面內(nèi)三條直線l1，l2，l3兩兩相交，交點分別為A、B、C，圖中一共有對同旁內(nèi)角．（3）平面內(nèi)四條直線兩兩相交，最多可以形成對同旁內(nèi)角．（4）平面內(nèi)n條直線兩兩相交，最多可以形成對同旁內(nèi)角．【知識點2平行線的判定】1.平行公理及其推論①經(jīng)過直線外一點，有且只有一條直線與已知直線平行.②如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行.2.平行線的判定方法①兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行.（同位角相等，兩直線平行）.②兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯角相等，那么這兩條直線平行.（內(nèi)錯角相等，兩直線平行.③兩直線被第三條直線所截，如果同旁內(nèi)角互補，則這兩條直線平行.（同旁內(nèi)角互補，兩直線平行.）【題型2同位角相等，兩直線平行】【例2】(2023春?浦東新區(qū)月考）如圖，已知∠A＝∠EGC，∠A＝∠D，說明AC∥DF．解：∵∠A＝∠EGC又∵∠A＝∠D∴＝（）∴DF∥AC．【變式2-1】(2023春?鄒平縣校級月考）已知如圖所示，∠1＝∠2，∠C＝∠D，你能推斷BD∥CE嗎？試說明你的理由．【變式2-2】(2023春?江陰市校級月考）如圖，∠1＝75°，∠2＝105°，AB與ED平行嗎？為什么？【變式2-3】(2023春?盂縣期中）小明到工廠參加社會實踐活動時，發(fā)現(xiàn)工人師傅測量一塊木板兩邊AB與CD是否平行時，將直角尺（∠MFN＝90°）如圖放置：MF交AB于點E，NF交CD于點G，測得∠1＝140°，∠2＝50°．小明馬上用所學數(shù)學知識幫師傅進行了證明．請你寫出規(guī)范的證明過程．【題型3內(nèi)錯角相等，兩直線平行】【例3】(2023春?青浦區(qū)期中）推理填空：已知：如圖AB⊥BC于B，CD⊥BC于C，∠1＝∠2，求證：BE∥CF．證明：∵AB⊥BC于B，CO⊥BC于C（已知）∴∠1+∠3＝90°，∠2+∠4＝90°∴∠1與∠3互余，∠2與∠4互余又∵∠1＝∠2（），∴＝（）∴BE∥CF（）．【變式3-1】(2023秋?城東區(qū)校級期中）如圖，∠B＝45°，∠A+15°＝∠1，∠ACD＝60°．求證：AB∥CD．【變式3-2】(2023春?陽谷縣期中）將一副直角三角尺拼成如圖所示的圖形，過點C作CF平分∠DCE交DE于點F，試判斷CF與AB是否平行，并說明理由．【變式3-3】(2023春?沂源縣期末）已知，如圖∠1和∠D互余，CF⊥DF，問AB與CD平行嗎？為什么？【題型4同旁內(nèi)角互補，兩直線平行】【例4】(2023春?新津縣校級月考）如圖，直線AB與直線EF相交于點M，直線CD與直線EF相交于點N；∠1是它的補角的2倍，∠2的余角是∠2的12，那么AB∥CD【變式4-1】(2023春?牡丹區(qū)期末）如圖，已知AC，BC分別平分∠QAB，∠ABN，且∠1與∠2互余，求證：PQ∥MN．【變式4-2】(2023春?長汀縣期中）已知：如圖，點E、C、D三點共線，∠DCM＝35°，∠B＝70°，CN平分∠BCE，CM⊥CN，問：AB與CD有什么位置關(guān)系？請寫出推理過程．【變式4-3】(2023秋?膠州市期末）已知：如圖，BE，DF分別平分∠ABD和∠BDC，且BE⊥DF．求證：AB∥CD．【題型5角平分線與平行線的判定】【例5】(2023秋?溫州月考）已知：如圖，∠ACD＝2∠B，CE平分∠ACD．求證：CE∥AB．【變式5-1】(2023春?丹陽市期末）已知：如圖，AD是△ABC的角平分線，點E在BC上，點F在CA的延長線上，EF交AB于點G，且∠AGF＝∠F．求證：EF∥AD．【變式5-2】(2023春?岳池縣月考）如圖，OC是∠AOB的平分線，且∠1＝∠2，試說明EF∥OB嗎？【變式5-3】(2023春?廉江市期末）完成下面的證明如圖，BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，且∠α+∠β＝90°，求證：AB∥CD．完成推理過程BE平分∠ABD（已知），∴∠ABD＝2∠α（）．∵DE平分∠BDC（已知），∴∠BDC＝2∠β（）∴∠ABD+∠BDC＝2∠α+2∠β＝2（∠α+∠β）（）∵∠α+∠β＝90°（已知），∴∠ABD+∠BDC＝180°（）．∴AB∥CD（）．【題型6平行線的判定的綜合應用】【例6】(2023春?江蘇校級期中）數(shù)學活動課上，同學們正在討論一道習題：為了說明地圖中的四望亭路與文昌中路是互相平行的，王老師已經(jīng)在地圖上量得∠1＝90°，你能通過度量圖中已標出的其他的角來驗證這個結(jié)論嗎？說出你的理由．同學甲：度量∠2的度數(shù)，若∠2＝90°，滿足∠1+∠2＝180°，根據(jù)同旁內(nèi)角互補，兩直線平行，就可以驗證這個結(jié)論；同學乙：度量∠3的度數(shù)，若滿足∠3＝∠1＝90°，根據(jù)同位角相等，兩直線平行，就可以驗證這個結(jié)論；同學丙：度量∠5的度數(shù)，若滿足∠5＝∠1＝90°，根據(jù)內(nèi)錯角相等，兩直線平行，就可以驗證這個結(jié)論；同學?。憾攘俊?的度數(shù)，若∠4＝90°，也能驗證這個結(jié)論．請你說明同學丁的理由．【變式6-1】(2023春?欽南區(qū)校級月考）王老師在廣場上練習駕駛汽車，他第一次向左拐65°后，第二次要怎樣拐才能使行駛路線與原來平行？．【變式6-2】(2023秋?余姚市期中）木條a、b、c如圖用螺絲固定在木板α上且∠ABM＝50°，∠DEM＝70°，將木條a、木條b、木條c看作是在同一平面α內(nèi)的三條直線AC、DF、MN，若使直線AC、直線DF達到平行的位置關(guān)系，則下列描述錯誤的是（）A．木條b、c固定不動，木條a繞點B順時針旋轉(zhuǎn)20° B．木條b、c固定不動，木條a繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)160° C．木條a、c固定不動，木條b繞點E逆時針旋轉(zhuǎn)20° D．木條a、c固定不動，木條b繞點E順時針旋轉(zhuǎn)110°【變式6-3】(2023春?南京期中）如圖，在△AOB和△COD中，∠AOB＝∠COD＝90°，∠B＝50°，∠C＝60°，點D在邊OA上，將圖中的△COD繞點O按每秒20°的速度沿順時針方向旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)的過程中，在第t秒時，邊CD恰好與邊AB平行，則t的值為．專題2.2探索直線平行的條件-重難點題型【北師大版】【知識點1三線八角】1.同位角：兩條直線被第三條直線所截，兩個角都在兩條被截線同側(cè)，并在截線的同旁，這樣的一對角叫做同位角.2.內(nèi)錯角：兩條直線被第三條直線所截，兩個角都在兩條被截線之間并且在截線的兩旁，這樣的一對角叫做內(nèi)錯角.3.同旁內(nèi)角：兩條直線被第三條直線所截兩個角都在兩條被截線之間并且在截線的同旁，這樣的一對角叫做同旁內(nèi)角【題型1三線八角】【例1】(2023春?郯城縣期末）如圖，直線AD，BE被直線BF和AC所截，則∠1的同位角和∠5的內(nèi)錯角分別是（）A．∠2和∠4 B．∠6和∠4 C．∠2和∠6 D．∠6和∠3分析：根據(jù)同位角：兩條直線被第三條直線所截形成的角中，若兩個角都在兩直線的同側(cè)，并且在第三條直線（截線）的同旁，則這樣一對角叫做同位角進行分析即可．根據(jù)內(nèi)錯角：兩條直線被第三條直線所截形成的角中，若兩個角都在兩直線的之間，并且在第三條直線（截線）的兩旁，則這樣一對角叫做內(nèi)錯角進行分析即可．【解答】解：∠1的同位角是∠2，∠5的內(nèi)錯角是∠6，故選：C．【變式1-1】(2023春?長白縣期中）如圖，有下列判斷：①∠A與∠1是同位角；②∠A與∠B是同旁內(nèi)角；③∠4與∠1是內(nèi)錯角；④∠1與∠3是同位角．其中正確的是（填序號）．分析：準確識別同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角的關(guān)鍵，是弄清哪兩條直線被哪一條線所截．也就是說，在辨別這些角之前，要弄清哪一條直線是截線，哪兩條直線是被截線．【解答】解：①∠A與∠1是同位角，此結(jié)論正確；②∠A與∠B是同旁內(nèi)角，此結(jié)論正確；③∠4與∠1是內(nèi)錯角，此結(jié)論正確；④∠1與∠3不是同位角，原來的結(jié)論錯誤；故答案為：①②③．【變式1-2】(2023春?連山區(qū)月考）如圖，直線EF交AB于G，交CD于M．（1）圖中有多少對對頂角；（2）圖中有多少對鄰補角；（3）圖中有多少對同位角；（4）圖中有多少對同旁內(nèi)角；（5）寫出圖中的內(nèi)錯角．分析：（1）根據(jù)對頂角的概念即可得到答案；（2）根據(jù)鄰補角的概念即可得到答案；（3）根據(jù)同位角的概念即可得到答案；（4）根據(jù)同旁內(nèi)角的概念即可得到答案；（5）根據(jù)內(nèi)錯角的概念可得答案．【解答】解：（1）圖中4對對頂角；（2）圖中12對鄰補角；（3）圖中有8對同位角；（4）圖中有4對同旁內(nèi)角；（5）圖中內(nèi)錯角有：∠AGF和∠GMD，∠CMG和∠MGB，∠CMG和∠MGH，∠NMG和∠MGB，∠NMG和∠MGH．【變式1-3】(2023秋?崇川區(qū)校級期末）復雜的數(shù)學問題我們常會把它分解為基本問題來研究，化繁為簡，化整為零這是一種常見的數(shù)學解題思想．（1）如圖1，直線l1，l2被直線l3所截，在這個基本圖形中，形成了對同旁內(nèi)角．（2）如圖2，平面內(nèi)三條直線l1，l2，l3兩兩相交，交點分別為A、B、C，圖中一共有對同旁內(nèi)角．（3）平面內(nèi)四條直線兩兩相交，最多可以形成對同旁內(nèi)角．（4）平面內(nèi)n條直線兩兩相交，最多可以形成對同旁內(nèi)角．分析：根據(jù)同旁內(nèi)角的定義，結(jié)合圖形確定同旁內(nèi)角的對數(shù)．【解答】解：因為兩個交點可以形成2對同旁內(nèi)角，而三個交點形成的同旁內(nèi)角的對數(shù)為6對，（1）直線l1，l2被直線l3所截，在這個基本圖形中，形成了2對同旁內(nèi)角．（2）平面內(nèi)三條直線l1，l2，l3兩兩相交，交點分別為A、B、C，圖中一共有3×2＝6對同旁內(nèi)角．（3）平面內(nèi)四條直線兩兩相交，交點最多為6個，最多可以形成4×（4﹣1）×（4﹣2）＝24對同旁內(nèi)角．（4）平面內(nèi)n條直線兩兩相交，最多可以形成n（n﹣1）（n﹣2）對同旁內(nèi)角故答案為：（1）2；（2）6；（3）24；（4）n（n﹣1）（n﹣2）【知識點2平行線的判定】1.平行公理及其推論①經(jīng)過直線外一點，有且只有一條直線與已知直線平行.②如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行.2.平行線的判定方法①兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行.（同位角相等，兩直線平行）.②兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯角相等，那么這兩條直線平行.（內(nèi)錯角相等，兩直線平行.③兩直線被第三條直線所截，如果同旁內(nèi)角互補，則這兩條直線平行.（同旁內(nèi)角互補，兩直線平行.）【題型2同位角相等，兩直線平行】【例2】(2023春?浦東新區(qū)月考）如圖，已知∠A＝∠EGC，∠A＝∠D，說明AC∥DF．解：∵∠A＝∠EGC已知又∵∠A＝∠D已知∴∠D＝∠EGC（等量代換）∴DF∥AC同位角相等兩直線平行．【解題思路】根據(jù)平行線的判定和性質(zhì)解答可得．【解答過程】解：∵∠A＝∠EGC（已知）又∵∠A＝∠D（已知）∴∠D＝∠EGC（等量代換）∴DF∥AC（同位角相等兩直線平行），故答案為：已知，已知，∠D，∠EGC，等量代換，同位角相等兩直線平行．【變式2-1】(2023春?鄒平縣校級月考）已知如圖所示，∠1＝∠2，∠C＝∠D，你能推斷BD∥CE嗎？試說明你的理由．【解題思路】根據(jù)提供的思路，利用平行線的性質(zhì)及判定填空．【解答過程】解：∵∠1＝∠2，∵∠1＝∠DOF，∴∠2＝∠DOF，∴DB∥EC．【變式2-2】(2023春?江陰市校級月考）如圖，∠1＝75°，∠2＝105°，AB與ED平行嗎？為什么？【解題思路】根據(jù)鄰補角互補可得∠1+∠COA＝180°，然后再計算出∠COA的度數(shù)，進而可得根據(jù)同位角相等，兩直線平行可得AB與ED平行．【解答過程】解：AB與ED平行，∵∠1+∠COA＝180°，∠1＝75°，∴∠COA＝180°﹣75°＝105°，∵∠2＝105°，∴∠AOC＝∠2，∴AB∥ED．【變式2-3】(2023春?盂縣期中）小明到工廠參加社會實踐活動時，發(fā)現(xiàn)工人師傅測量一塊木板兩邊AB與CD是否平行時，將直角尺（∠MFN＝90°）如圖放置：MF交AB于點E，NF交CD于點G，測得∠1＝140°，∠2＝50°．小明馬上用所學數(shù)學知識幫師傅進行了證明．請你寫出規(guī)范的證明過程．【解題思路】延長MF交CD于點H，利用三角形外角的性質(zhì)可得∠CHF＝140°﹣90°＝50°，再由∠2＝50°可得∠CHF＝∠2，然后根據(jù)同位角相等，兩直線平行可得判定AB∥CD．【解答過程】證明：延長MF交CD于點H，∵∠1＝90°+∠CFH，∠1＝140°，∴∠CHF＝140°﹣90°＝50°，∵∠2＝50°，∴∠CHF＝∠2，∴AB∥CD．【題型3內(nèi)錯角相等，兩直線平行】【例3】(2023春?青浦區(qū)期中）推理填空：已知：如圖AB⊥BC于B，CD⊥BC于C，∠1＝∠2，求證：BE∥CF．證明：∵AB⊥BC于B，CO⊥BC于C（已知）∴∠1+∠3＝90°，∠2+∠4＝90°∴∠1與∠3互余，∠2與∠4互余又∵∠1＝∠2（已知），∴∠3＝∠4（等角的余角相等）∴BE∥CF（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）．【解題思路】先根據(jù)垂直的定義得出∠1+∠3＝90°，∠2+∠4＝90°，再由∠1＝∠2可得出∠3＝∠4，由此可得出結(jié)論．【解答過程】證明：∵AB⊥BC于B，CO⊥BC于C（已知）∴∠1+∠3＝90°，∠2+∠4＝90°∴∠1與∠3互余，∠2與∠4互余又∵∠1＝∠2（已知），∴∠3＝∠4（等角的余角相等），∴BE∥CF（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）．故答案為：已知；∠3＝∠4，等角的余角相等；內(nèi)錯角相等，兩直線平行．【變式3-1】(2023秋?城東區(qū)校級期中）如圖，∠B＝45°，∠A+15°＝∠1，∠ACD＝60°．求證：AB∥CD．【解題思路】由三角形內(nèi)角和定理和已知條件求出∠A＝60°，得出∠ACD＝∠A，即可得出AB∥CD．【解答過程】證明：∵∠A+∠B+∠1＝180°，∠A+15°＝∠1，∴∠A+45°+∠A+15°＝180°，解得：∠A＝60°，∵∠ACD＝60°，∴∠ACD＝∠A，∴AB∥CD．【變式3-2】(2023春?陽谷縣期中）將一副直角三角尺拼成如圖所示的圖形，過點C作CF平分∠DCE交DE于點F，試判斷CF與AB是否平行，并說明理由．【解題思路】先根據(jù)直角三角板的性質(zhì)得出∠BAC＝45°，再由角平分線的性質(zhì)得出∠1＝45°，進而可得出結(jié)論．【解答過程】解：CF∥AB．∵圖中是一副直角三角板，∴∠BAC＝45°．∵CF平分∠DCE，∴∠1＝45°，∴CF∥AB．【變式3-3】(2023春?沂源縣期末）已知，如圖∠1和∠D互余，CF⊥DF，問AB與CD平行嗎？為什么？【解題思路】要證AB與CD平行，只需證∠2＝∠D，利用同角的余角相等不難證出．【解答過程】解：AB∥CD．理由如下：∵CF⊥DF，∴∠CFD＝90°．∵∠1+∠CFD+∠2＝180°，∴∠1+∠2＝90°．∵∠1與∠D互余，∴∠1+∠D＝90°，∴∠2＝∠D，∴AB∥CD（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）．【題型4同旁內(nèi)角互補，兩直線平行】【例4】(2023春?新津縣校級月考）如圖，直線AB與直線EF相交于點M，直線CD與直線EF相交于點N；∠1是它的補角的2倍，∠2的余角是∠2的12，那么AB∥CD【解題思路】根據(jù)補角定義可得2∠1＝180°﹣∠1，再根據(jù)余角定義可得12∠2＝90°﹣∠2，分別計算出∠1和∠2的度數(shù)，再根據(jù)同旁內(nèi)角互補，兩直線平行可得AB∥CD【解答過程】解：∵∠1是它的補角的2倍，∴2∠1＝180°﹣∠1，∠1＝120°，∵∠2的余角是∠2的12∴12解得：∠2＝60°，∴∠1+∠2＝180°，∴AB∥CD．【變式4-1】(2023春?牡丹區(qū)期末）如圖，已知AC，BC分別平分∠QAB，∠ABN，且∠1與∠2互余，求證：PQ∥MN．【解題思路】由∠1與∠2互余知∠1+∠2＝90°，根據(jù)AC，BC分別平分∠QAB、∠ABN得∠BAQ＝2∠1、∠ABN＝2∠2，進而知∠BAQ、∠ABN互補，依據(jù)同旁內(nèi)角互補，兩直線平行得證．【解答過程】證明：∵∠1與∠2互余，∴∠1+∠2＝90°，又∵AC，BC分別平分∠QAB，∠ABN，∴∠BAQ＝2∠1，∠ABN＝2∠2，∴∠BAQ+∠ABN＝2∠1+2∠2＝2（∠1+∠2）＝180°，∴PQ∥MN（同旁內(nèi)角互補，兩直線平行）．【變式4-2】(2023春?長汀縣期中）已知：如圖，點E、C、D三點共線，∠DCM＝35°，∠B＝70°，CN平分∠BCE，CM⊥CN，問：AB與CD有什么位置關(guān)系？請寫出推理過程．【解題思路】先根據(jù)∠MCN＝90°，∠DCM＝35°，求得∠ECN＝55°，進而根據(jù)CN平分∠BCE，得出∠BCE＝110°，再根據(jù)∠B＝70°，可得∠BCE+∠B＝180°，進而判定AB∥CD．【解答過程】解：AB∥CD．理由：∵CM⊥CN，∴∠MCN＝90°，∵∠DCM＝35°，∴∠ECN＝180°﹣90°﹣35°＝55°，∵CN平分∠BCE，∴∠BCE＝2∠ECN＝110°，∵∠B＝70°，∴∠BCE+∠B＝110°+70°＝180°，∴AB∥CD．【變式4-3】(2023秋?膠州市期末）已知：如圖，BE，DF分別平分∠ABD和∠BDC，且BE⊥DF．求證：AB∥CD．【解題思路】根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出∠ABE＝∠DBE=12∠ABD，∠BDF＝∠EDF=12∠BDE，根據(jù)BE⊥DF得出∠DBE+∠BDF＝90°，從而得出∠ABD+∠BDE＝180°，由平行線的判定方法即可得出【解答過程】證明：∵BE⊥DF，∠BFD＝90°，∴∠DBE+∠BDF＝90°，∵BE，DF分別平分∠ABD和∠BDC，∴∠ABE＝∠DBE=12∠ABD，∠BDF＝∠EDF=1∴∠ABD+∠BDE＝2∠DBE+2∠BDF＝180°，∴AB∥CD．【題型5角平分線與平行線的判定】【例5】(2023秋?溫州月考）已知：如圖，∠ACD＝2∠B，CE平分∠ACD．求證：CE∥AB．【解題思路】由CE為角平分線，利用角平分線的定義得到一對角相等，再由已知一對角相等，利用等量代換得到一對同位角相等，利用同位角相等兩直線平行即可得證．【解答過程】證明：∵CE平分∠ACD，∴∠ACD＝2∠DCE，∵∠ACD＝2∠B，∴∠DCE＝∠B，∴AB∥CE．【變式5-1】(2023春?丹陽市期末）已知：如圖，AD是△ABC的角平分線，點E在BC上，點F在CA的延長線上，EF交AB于點G，且∠AGF＝∠F．求證：EF∥AD．【解題思路】依據(jù)AD是△ABC的角平分線，可得∠BAD＝∠CAD，再根據(jù)∠BAD+∠CAD＝∠AGF+∠F，且∠AGF＝∠F，即可得到∠CAD＝∠F，進而得出EF∥AD．【解答過程】證明：∵AD是△ABC的角平分線，∴∠BAD＝∠CAD，又∵∠BAD+∠CAD＝∠AGF+∠F，且∠AGF＝∠F，∴∠CAD＝∠F，∴EF∥AD．【變式5-2】(2023春?岳池縣月考）如圖，OC是∠AOB的平分線，且∠1＝∠2，試說明EF∥OB嗎？【解題思路】先根據(jù)角平分線的定義得出∠1＝∠BOC，再由等量代換得出∠2＝∠BOC，進而可得出結(jié)論．【解答過程】解：∵OC平分∠AOB（已知），∴∠1＝∠BOC（角平分線定義）．∵∠1＝∠2（已知），∴∠2＝∠BOC（等量代換），∴EF∥OB（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）．【變式5-3】(2023春?廉江市期末）完成下面的證明如圖，BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，且∠α+∠β＝90°，求證：AB∥CD．完成推理過程BE平分∠ABD（已知），∴∠ABD＝2∠α（角平分線的定義）．∵DE平分∠BDC（已知），∴∠BDC＝2∠β（角平分線的定義）∴∠ABD+∠BDC＝2∠α+2∠β＝2（∠α+∠β）（等量代換）∵∠α+∠β＝90°（已知），∴∠ABD+∠BDC＝180°（等量代換）．∴AB∥CD（同旁內(nèi)角互補兩直線平行）．【解題思路】首先根據(jù)角平分線的定義可得∠ABD＝2∠α，∠BDC＝2∠β，根據(jù)等量代換可得∠ABD+∠BDC＝2∠α+2∠β＝2（∠α+∠β），進而得到∠ABD+∠BDC＝180°，然后再根據(jù)同旁內(nèi)角互補兩直線平行可得答案．【解答過程】證明：BE平分∠ABD（已知），∴∠ABD＝2∠α（角平分線的定義）．∵DE平分∠BDC（已知），∴∠BDC＝2∠β（角平分線的定義）∴∠ABD+∠BDC＝2∠α+2∠β＝2（∠α+∠β）（等量代換）∵∠α+∠β＝90°（已知），∴∠ABD+∠BDC＝180°（等量代換）．∴AB∥CD（同旁內(nèi)角互補兩直線平行）．故答案為：角平分線的定義，角平分線的定義，等量代換，等量代換，同旁內(nèi)角互補兩直線平行．【題型6平行線的判定的綜合應用】【例6】(2023春?江蘇校級期中）數(shù)學活動課上，同學們正在討論一道習題：為了說明地圖中的四望亭路與文昌中路是互相平行的，王老師已經(jīng)在地圖上量得∠1＝90°，你能通過度量圖中已標出的其他的角來驗證這個結(jié)論嗎？說出你的理由．同學甲：度量∠2的度數(shù)，若∠2＝90°，滿足∠1+∠2＝180°，根據(jù)同旁內(nèi)角互補，兩直線平行，就可以驗證這個結(jié)論；同學乙：度量∠3的度數(shù)，若滿足∠3＝∠1＝90°，根據(jù)同位角相等，兩直線平行，就可以驗證這個結(jié)論；同學丙：度量∠5的度數(shù)，若滿足∠5＝∠1＝90°，根據(jù)內(nèi)錯角相等，兩直線平行，就可以驗證這個結(jié)論；同學?。憾攘俊?的度數(shù)，若∠4＝90°，也能驗證這個結(jié)論．請你說明同學丁的理由．【解題思路】同學甲根據(jù)同旁內(nèi)角互補，兩直線平行可以驗證；同學乙根據(jù)同位角相等，兩直線平行可以驗證；同學丙根據(jù)內(nèi)錯角相等，兩直線平行可以驗證；同學丁根據(jù)對頂角相等，以及同旁內(nèi)角互補，兩直線平行可以驗證．【解答過程】解：滿足∠1+∠2＝180°，根據(jù)同旁內(nèi)角互補，兩直線平行，就可以驗證這個結(jié)論；同學乙：度量∠3的度數(shù)，若滿足∠3＝∠1＝90°，根據(jù)同位角相等，兩直線平行，就可以驗證這個結(jié)論；同學丙：度量∠5的度數(shù)，若滿足∠5＝∠1＝90°，根據(jù)內(nèi)錯角相等，兩直線平行，就可以驗證這個結(jié)論；同學?。骸摺?＝∠2＝90°，∠1＝90°，∴∠1+∠2＝180°，∴平行．故答案為：同旁內(nèi)角互補，兩直線平行；同位角相等，兩直線平行；內(nèi)錯角相等，兩直線平行．【變式6-1】(2023春?欽南區(qū)校級月考）王老師在廣場上練習駕駛汽車，他第一次向左拐65°后，第二次要怎樣拐才能使行駛路線與原來平行？【解題思路】根據(jù)題意畫出示意圖，利用平行線的性質(zhì)可得答案．【解答過程】解：如圖所示，他第一次向左拐65°后，第二次若要使行駛路線與原來平行，可向右拐65°或向左拐115°．【變式6-2】(2023秋?余姚市期中）木條a、b、c如圖用螺絲固定在木板α上且∠ABM＝50°，∠DEM＝70°，將木條a、木條b、木條c看作是在同一平面α內(nèi)的三條直線AC、DF、MN，若使直線AC、直線DF達到平行的位置關(guān)系，則下列描述錯誤的是（）A．木條b、c固定不動，木條a繞點B順時針旋轉(zhuǎn)20° B．木條b、c固定不動，木條a繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)160° C．木條a