2021-2023年全國高考數(shù)學典例真題匯編（新高考模式訓練）20

試卷第1頁，共SECTIONPAGES1頁2021-2023年全國高考數(shù)學典例真題匯編（新高考模式訓練）20姓名：___________班級：___________一．單選題1．【2021-全國新高II卷】復數(shù)在復平面內(nèi)對應(yīng)的點所在的象限為（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2．【2022-全國II卷數(shù)學高考真題】已知集合，則（）A. B. C. D.3．【2023-新課標全國Ⅰ卷真題】已知，則（）A. B. C.0 D.14．【2021-全國新高II卷】拋物線的焦點到直線的距離為，則（）A.1 B.2 C. D.45．【2021-天津卷】從某網(wǎng)絡(luò)平臺推薦的影視作品中抽取部，統(tǒng)計其評分分數(shù)據(jù)，將所得個評分數(shù)據(jù)分為組：、、、，并整理得到如下的費率分布直方圖，則評分在區(qū)間內(nèi)的影視作品數(shù)量是（）A. B. C. D.6．【2022-全國II卷數(shù)學高考真題】正三棱臺高為1，上下底邊長分別為和，所有頂點在同一球面上，則球的表面積是（）A. B. C. D.7．【2021-全國甲卷（理）】將4個1和2個0隨機排成一行，則2個0不相鄰的概率為（）A. B. C. D.8．【2023-天津卷數(shù)學真題】在三棱錐中，線段上的點滿足，線段上的點滿足，則三棱錐和三棱錐的體積之比為（）A. B. C. D.二．多選題9．【2021-全國新高II卷】下列統(tǒng)計量中，能度量樣本的離散程度的是（）A.樣本的標準差 B.樣本的中位數(shù)C.樣本的極差 D.樣本的平均數(shù)10．【2021-全國新高II卷】如圖，在正方體中，O為底面的中心，P為所在棱的中點，M，N為正方體的頂點．則滿足的是（）A. B.C. D.11．【2021-新高考Ⅰ卷】已知點在圓上，點、，則（）A.點到直線的距離小于B.點到直線的距離大于C.當最小時，D.當最大時，三．填空題12．【2023-天津卷數(shù)學真題】在的展開式中，項的系數(shù)為_________．13．【2022-天津數(shù)學高考真題】在中，，D是AC中點，，試用表示為___________，若，則的最大值為____________14．【2022-天津數(shù)學高考真題】設(shè)，對任意實數(shù)x，記．若至少有3個零點，則實數(shù)取值范圍為______.四．解答題15．【2021-全國甲卷（理）】已知數(shù)列的各項均為正數(shù)，記為的前n項和，從下面①②③中選取兩個作為條件，證明另外一個成立．①數(shù)列是等差數(shù)列：②數(shù)列是等差數(shù)列；③．注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個解答計分．16．【2022-北京數(shù)學高考真題】在校運動會上，只有甲、乙、丙三名同學參加鉛球比賽，比賽成績達到以上（含）的同學將獲得優(yōu)秀獎．為預測獲得優(yōu)秀獎的人數(shù)及冠軍得主，收集了甲、乙、丙以往的比賽成績，并整理得到如下數(shù)據(jù)（單位：m）：甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，935，9.30，9.25；乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；丙：9.85，9.65，9.20，9.16．假設(shè)用頻率估計概率，且甲、乙、丙的比賽成績相互獨立．（1）估計甲在校運動會鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎的概率；（2）設(shè)X是甲、乙、丙在校運動會鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎的總?cè)藬?shù)，估計X的數(shù)學期望E（X）；（3）在校運動會鉛球比賽中，甲、乙、丙誰獲得冠軍的概率估計值最大？（結(jié)論不要求證明）17．【2023-全國數(shù)學乙卷（文）高考真題】如圖，在三棱錐中，，，，，的中點分別為，點在上，．（1）求證：//平面；（2）若，求三棱錐的體積．18．【2023-全國數(shù)學乙卷（文）高考真題】在直角坐標系中，以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為，曲線：（為參數(shù)，）.（1）寫出的直角坐標方程；（2）若直線既與沒有公共點，也與沒有公共點，求的取值范圍．19．【2021-全國甲卷（理）】在直角坐標系中，以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為．（1）將C的極坐標方程化為直角坐標方程；（2）設(shè)點A的直角坐標為，M為C上的動點，點P滿足，寫出Р的軌跡的參數(shù)方程，并判斷C與是否有公共點．答案第1頁，共SECTIONPAGES1頁2021-2023年全國高考數(shù)學典例真題匯編（新高考模式訓練）20【參考答案】1．答案:A解析：，所以該復數(shù)對應(yīng)的點為，該點在第一象限，故選：A2．答案:B解析：，故，故選：B.3．答案:A解析：因為，所以，即．故選：A．4．答案:B解析：拋物線的焦點坐標為，其到直線的距離：，解得：(舍去).故選：B.5．答案:D解析：由頻率分布直方圖可知，評分在區(qū)間內(nèi)的影視作品數(shù)量為.故選：D.6．答案:A解析：設(shè)正三棱臺上下底面所在圓面的半徑，所以，即，設(shè)球心到上下底面的距離分別為，球的半徑為，所以，，故或，即或，解得符合題意，所以球的表面積為．故選：A．7．答案:C解析：將4個1和2個0隨機排成一行，可利用插空法，4個1產(chǎn)生5個空，若2個0相鄰，則有種排法，若2個0不相鄰，則有種排法，所以2個0不相鄰的概率為.故選：C.8．答案:B解析：如圖，分別過作,垂足分別為.過作平面，垂足為，連接,過作,垂足為.因為平面，平面，所以平面平面.又因為平面平面，，平面，所以平面，且.在中，因為，所以，所以，在中，因為，所以，所以故選：B9．答案:AC解析：由標準差的定義可知，標準差考查的是數(shù)據(jù)的離散程度；由中位數(shù)的定義可知，中位數(shù)考查的是數(shù)據(jù)的集中趨勢；由極差的定義可知，極差考查的是數(shù)據(jù)的離散程度；由平均數(shù)的定義可知，平均數(shù)考查的是數(shù)據(jù)的集中趨勢；故選：AC.10．答案:BC解析：設(shè)正方體的棱長為，對于A，如圖（1）所示，連接，則，故（或其補角）為異面直線所成的角，直角三角形，，，故，故不成立，故A錯誤.對于B，如圖（2）所示，取的中點為，連接，，則，，由正方體可得平面，而平面，故，而，故平面，又平面，，而，所以平面，而平面，故，故B正確.對于C，如圖（3），連接，則，由B的判斷可得，故，故C正確.對于D，如圖（4），取的中點，的中點，連接，則，因為，故，故，所以或其補角為異面直線所成的角，因為正方體的棱長為2，故，，，，故不是直角，故不垂直，故D錯誤.故選：BC.11．答案:ACD解析：圓的圓心為，半徑為，直線的方程為，即，圓心到直線的距離為，所以，點到直線的距離的最小值為，最大值為，A選項正確，B選項錯誤；如下圖所示：當最大或最小時，與圓相切，連接、，可知，，，由勾股定理可得，CD選項正確.故選：ACD.【點睛】結(jié)論點睛：若直線與半徑為圓相離，圓心到直線的距離為，則圓上一點到直線的距離的取值范圍是.12．答案:解析：展開式的通項公式，令可得，，則項的系數(shù)為.故答案為：60.13．答案:①.②.解析：法二：以點為原點建立平面直角坐標系，設(shè)，由可得點的軌跡為以為圓心，以為半徑的圓，方程為，即可根據(jù)幾何性質(zhì)可知，當且僅當與相切時，最大，即求出．方法一：

，，，當且僅當時取等號，而，所以．故答案為：；．方法二：如圖所示，建立坐標系：，，，所以點的軌跡是以為圓心，以為半徑的圓，當且僅當與相切時，最大，此時．故答案為：；．

14．答案:解析：設(shè)，，由可得.要使得函數(shù)至少有個零點，則函數(shù)至少有一個零點，則，解得或.①當時，，作出函數(shù)、的圖象如下圖所示：此時函數(shù)只有兩個零點，不合乎題意；②當時，設(shè)函數(shù)的兩個零點分別為、，要使得函數(shù)至少有個零點，則，所以，，解得；③當時，，作出函數(shù)、的圖象如下圖所示：由圖可知，函數(shù)的零點個數(shù)為，合乎題意；④當時，設(shè)函數(shù)的兩個零點分別為、，要使得函數(shù)至少有個零點，則，可得，解得，此時.綜上所述，實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.【點睛】方法點睛：已知函數(shù)有零點（方程有根）求參數(shù)值（取值范圍）常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，進而構(gòu)造兩個函數(shù)，然后在同一平面直角坐標系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.

15．答案:答案見解析解析：選①③作條件證明②時，根據(jù)等差數(shù)列的求和公式表示出，結(jié)合等差數(shù)列定義可證；選②③作條件證明①時，設(shè)出，結(jié)合的關(guān)系求出，根據(jù)可求，然后可證是等差數(shù)列.選①②作條件證明③：設(shè)，則，當時，；當時，；因為也是等差數(shù)列，所以，解得；所以，所以.選①③作條件證明②：因為，是等差數(shù)列，所以公差，所以，即，因為，所以是等差數(shù)列.選②③作條件證明①：設(shè)，則，當時，；當時，；因為，所以，解得或；當時，，當時，滿足等差數(shù)列的定義，此時為等差數(shù)列；當時，，不合題意，舍去.綜上可知為等差數(shù)列.【點睛】這類題型在解答題中較為罕見，求解的關(guān)鍵是牢牢抓住已知條件，結(jié)合相關(guān)公式，逐步推演，等差數(shù)列的證明通常采用定義法或者等差中項法.16．答案:（1）0.4（2）（3）丙解析：(2)求解得X的分布列，即可計算出X的數(shù)學期望.(3)計算出各自獲得最高成績的概率，再根據(jù)其各自的最高成績可判斷丙奪冠的概率估計值最大.【小問1詳解】由頻率估計概率可得甲獲得優(yōu)秀的概率為0.4，乙獲得優(yōu)秀的概率為0.5，丙獲得優(yōu)秀的概率為0.5，故答案為0.4【小問2詳解】設(shè)甲獲得優(yōu)秀為事件A1,乙獲得優(yōu)秀為事件A2，丙獲得優(yōu)秀為事件A3，，，.∴X的分布列為X0123P∴【小問3詳解】丙奪冠概率估計值最大.因為鉛球比賽無論比賽幾次就取最高成績.比賽一次，丙獲得9.85的概率為，甲獲得9.80的概率為，乙獲得9.78的概率為.并且丙的最高成績是所有成績中最高的，比賽次數(shù)越多，對丙越有利.17．答案:（1）證明見解析（2）解析：（2）作出并證明為棱錐的高，利用三棱錐的體積公式直接可求體積.【小問1詳解】連接，設(shè)，則，，，則，解得，則為的中點，由分別為的中點，于是，即，則四邊形為平行四邊形，，又平面平面，所以平面.【小問2詳解】過作垂直的延長線交于點，因為是中點，所以，在中，，所以，因為，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以，又，平面，所以平面，即三棱錐的高為，因為，所以，所以，又，所以.18．答案:（1）（2）解析：（2）根據(jù)曲線的方程，結(jié)合圖形通過平移直線分析相應(yīng)的臨界位置，結(jié)合點到直線的距離公式運算求解即可.【小問1詳解】因為，即，可得，整理得，表示以為圓心，半徑為1的圓，又因為，且，則，則，故.【小問2詳解】因為（為參數(shù)，），整理得，表示圓心為，半徑為2，且位于第二象限的圓弧，如圖所示，若直線過，則，解得；若直線，即與相切，則，解得，若直線與均沒有公共點，則或，即實數(shù)的取值范圍.【選修4-5】（10分）19