湖北省名校2023屆高三3月聯(lián)合測(cè)評(píng)數(shù)學(xué)試卷（含答案）

湖北省名校2023屆高三3月聯(lián)合測(cè)評(píng)數(shù)學(xué)試卷

學(xué)校：姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、選擇題

1、設(shè)集合4={x∈R∣y=J尤2-2x-3卜β={x∈R∣y=lnx},則AB=()

A.0B.(O,+∞)C.(→o,-1]D.[3,+∞)

2、設(shè)復(fù)數(shù)Z滿足z+2+π=0,則∣z∣=()

Z

A.?/eB.VπC.eD.π

3、已知等比數(shù)列｛q｝滿足4=2,且％,%，旬成等差數(shù)列，則為=（）

A.-2B.-lC.lD.2

4、已知機(jī)＞0,則是“處絲＞2”的（）

a+ma

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

5、如圖是函數(shù)/(?)=sin(<yχ+φ)yω>Q,?φ?<^的部分圖象，則/)

C?/e+V2

D.1

'4

6、新高考數(shù)學(xué)中的不定項(xiàng)選擇題有4個(gè)不同選項(xiàng)，其錯(cuò)誤選項(xiàng)可能有0個(gè)、1個(gè)或2

個(gè)，這種題型很好地凸顯了“強(qiáng)調(diào)在深刻理解基礎(chǔ)之上的融會(huì)貫通、靈活運(yùn)用，促進(jìn)

學(xué)生掌握原理、內(nèi)化方法、舉一反三”的教考銜接要求.若某道數(shù)學(xué)不定項(xiàng)選擇題存在

錯(cuò)誤選項(xiàng)，且錯(cuò)誤選項(xiàng)不能相鄰，則符合要求的4個(gè)不同選項(xiàng)的排列方式共有（）

A.24種B.36種C.48種D.60種

7、過點(diǎn)作拋物線V=2R（P＞0）的兩條切線，切點(diǎn)分別是A,B,若4M4β

面積的最小值為4,則〃=（）

A.lB.2C.4D.16

/照“OOI—，001,C=L],則（）

8、設(shè)實(shí)數(shù)α,b,C滿足LoOIe"=eux'∣00

VIOOi

?.b<c<aB.b<a<cC.c<b<aD.a<c<b

二、多項(xiàng)選擇題

22

9、已知居是橢圓E:亍+3~=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓E上，則()

A.點(diǎn)"，尸2在X軸上

B.橢圓E的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4

C.橢圓E的離心率為1

2

D.使得aKPK為直角三角形的點(diǎn)P恰有6個(gè)

10、爆竹聲聲辭舊歲，銀花朵朵賀新春.除夕夜里小光用3D投影為家人進(jìn)行虛擬現(xiàn)實(shí)

表演，表演分為“燃爆竹、放煙花、辭舊歲、迎新春”4個(gè)環(huán)節(jié).小光按照以上4個(gè)環(huán)

節(jié)的先后順序進(jìn)行表演，每個(gè)環(huán)節(jié)表演一次.假設(shè)各環(huán)節(jié)是否表演成功互不影響，若每

個(gè)環(huán)節(jié)表演成功的概率均為:，則()

A.事件“成功表演燃爆竹環(huán)節(jié)”與事件“成功表演辭舊歲環(huán)節(jié)”互斥

B.“放煙花”、“迎新春”環(huán)節(jié)均表演成功的概率為2

16

C.表演成功的環(huán)節(jié)個(gè)數(shù)的期望為3

D.在表演成功的環(huán)節(jié)恰為3個(gè)的條件下“迎新春”環(huán)節(jié)表演成功的概率為士

4

11、已知圓G：/+y2=9,C√(X-1)2+(>-+1)2=16,則()

A.直線C]C2的方程為y=-X

B.過點(diǎn)(-3,-3)作圓G的切線有且只有1條

C.兩圓相交，且公共弦長(zhǎng)為叵

2

D.圓G上到直線V=X距離為2的點(diǎn)有4個(gè)

12、如圖，在正四面體ABeO中，棱AB的中點(diǎn)為M,棱C。的中點(diǎn)為N,過MN的平

面交棱BC于P，交棱A。于Q,記多面體CAMPNQ的體積為匕，多面體8。MPN。的

體積為匕，則()

A.直線MQ與PN平行

nAQBP

ADBC

C.點(diǎn)C與點(diǎn)。到平面MPNQ的距離相等

D.?=V,

三、填空題

13、已知向量利=(-2,4),n=(x,-l)?若機(jī)〃”，則X=.

14、在(x-2y)"的展開式中，所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為64,則展開式中第3項(xiàng)的系

數(shù)為(用數(shù)字作答).

15、葫蘆是一種爬藤植物，在我國(guó)傳統(tǒng)文化中，其枝密集繁茂，象征著兒孫滿堂、同

氣連枝；其音近于“福祿”，寓意著長(zhǎng)壽多福、事業(yè)發(fā)達(dá)；其果口小肚大，代表著心

胸開闊、和諧美滿.如圖，一個(gè)葫蘆的果實(shí)可以近似看做兩球相交所得的幾何體Ω,

其中Q的下半部分是半徑為36的球。的一部分，Q的上半部分是半徑為3的球

。2的一部分，且。。2=6,則過直線。。2的平面截。所得截面的面積為

16、已知α,。為實(shí)數(shù)，若對(duì)任意x∈R,都有(Ina+5)e'-∕eχ≥O恒成立，則巳的最

a

小值為.

四、解答題

17>已知數(shù)列｛α,,｝滿足α∣=2,(〃一I)q+”/*=θ("≥2,"∈N*).

(1)求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

⑵設(shè)S,為數(shù)歹U｛4｝的前〃項(xiàng)和,求S2023.

18、在4ABC中，。是邊BC上的點(diǎn)，ZCAZ)=-,絲=Yl也

4ACCD

⑴求ZBA￡)；

(2)若AB=AD=2,求AABC的面積.

19、某國(guó)在實(shí)彈演習(xí)中分析現(xiàn)有導(dǎo)彈技術(shù)發(fā)展方案的差異，有以下兩種方案：

方案1：發(fā)展一彈多頭主動(dòng)制導(dǎo)技術(shù)，即一枚一彈多頭導(dǎo)彈的彈體含有3個(gè)彈頭，每

個(gè)彈頭獨(dú)立命中的概率均為0.415,一枚彈體至少有一個(gè)彈頭命中即認(rèn)為該枚導(dǎo)彈命

中，演習(xí)中發(fā)射該導(dǎo)彈10枚；

方案2：發(fā)展一彈一頭導(dǎo)彈的機(jī)動(dòng)性和隱蔽性，即一枚一彈一頭導(dǎo)彈的彈體只含一個(gè)

彈頭，演習(xí)中發(fā)射該導(dǎo)彈30枚，其中22枚命中.

(1)求一枚一彈多頭導(dǎo)彈命中的概率(精確到0.001),并據(jù)此計(jì)算本次實(shí)戰(zhàn)演習(xí)中一彈多

頭導(dǎo)彈的命中次數(shù)(取0.5853≈0.200,0.4153≈0.071,結(jié)果四舍五入取整數(shù))；

(2)結(jié)合(1)的數(shù)據(jù)，根據(jù)小概率值α=0.050的獨(dú)立性檢驗(yàn)，判斷本次實(shí)戰(zhàn)演習(xí)中兩種方

案的導(dǎo)彈命中率是否存在明顯差異.

附：K?=--------皿l-bc)[------其中〃=α+8+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

2

p(κ≥k0)0.1000.0500.0100.0050.001

2.7063.8416.6357.87910.828

20、如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABeD-瓦GH中，點(diǎn)M是正方體的中心，將四棱錐

M-BCGV繞直線CG逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)q(0<α<兀)后，得到四棱錐M'-B'CGE'.

(1)若。=5，求證：平面MCG〃平面M5戶；

⑵是否存在a,使得直線M戶'，平面C?若存在，求出C的值；若不存在，請(qǐng)說

明理由.

22

21、已知離心率為6的雙曲線C:j—[=l(α>O2>0),直線Ly=4x-3α-l與C的

b~

右支交于A,B兩點(diǎn),直線/與。的兩條漸近線分別交于M,N兩點(diǎn)，且從上至下依次

為M,A,B,N,?MA?=^?AB?.

⑴求雙曲線C的方程；

⑵求/MOM的面積.

22、已知函數(shù)/(X)=為”一V+m,X∈[O,π].

ev

(1)求f(x)在(0,/(0))處的切線方程；

?ιγι

(2)若/(X)=相存在兩個(gè)非負(fù)零點(diǎn)x∣,X,求證：尼-xj≤兀-----.

2π+1

參考答案

1、答案：D

解析:集合4x∈(-∞,-l]"3,+oo),集合5:九∈(0,+8),AB=[3,+00),故選D.

2、答案：A

解析：方法1：方程變形為z2+πz+e=0,Δ=π2-4e<0,

于是∣zf=z?z=e,故IZl=&;

方法2：設(shè)Z=Q+bi,其中α,h∈R,且h≠0,代入z+*+兀=0,

z

得。+〃id7+π=0，從而。+歷+^^~~^p?+π=O,

α+為a~-vb~

cr-Vb1=e,

進(jìn)而IZI=Ja2+〃2=M.故選A.

3、答案：D

33

解析：設(shè)｛?！ǎ墓葹橄Γ瑒t%=44=2夕，a5=—=—,a9=ahq=2q,

由％,a5,%成等差數(shù)列，得%+。9=2%，即2q+2∕=3,

q

于是/+/一2=0,(√+2)(√-l)=0,故d=1,從而%=j?=2,故選D.

4、答案：A

A4七b+mba(b+m)-b(a+m)m(a-b)

胭^析：-------=---------------=-------.

a+maa(a+m)a{a-?-m)

若a>b>O,結(jié)合m>0,則Δ±Z!I-?=〃?("一")》0,故"α>b>O”是

a+maa(a+m)

“處場(chǎng)>2”的充分條件；若空3,則絲二-2=迺心>0,取α=3,

a+maaΛ-maa+maa(a+m)

m=2,h=-?,滿足「+〃，>」,但不滿足〃>/?>(),故"不是

a+ma

ab+myb,,的必要條件.

a+ma

于是“α>6>0”是“小場(chǎng)〉2”的充分不必要條件.故選A.

a-?-ma

5、答案：C

解析：由圖可知，函數(shù)圖象過點(diǎn)[,日)，(1,()),且(1,0)是“第三點(diǎn)”，

于是/(0)=#,三力+夕=兀+2&兀，Z∈Z.結(jié)合∣e∣<],解得0=1，ω=2+6k,

攵∈Z.

設(shè)函數(shù)/(X)的周期為T,則;T<g,∣Γ>∣,于是g<ey<3,故勿=2.所以

/(x)=Sin(2x+g),

UK/.(兀).(兀兀).πππ.πJ5+Jd、蟲C

從[ft]/—=sιn—+—=sm—cos—+cos—sin—=----------.故選C.

⑻(43J43434

6、答案：B

解析：當(dāng)錯(cuò)誤選項(xiàng)恰有1個(gè)時(shí)，4個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行排列有A：=24種；

當(dāng)錯(cuò)誤選項(xiàng)恰有2個(gè)時(shí)，先排2個(gè)正確選項(xiàng)，再將2個(gè)錯(cuò)誤選項(xiàng)插入到3個(gè)空位中,

有A；A；=12種.故共有24+12=36種.故選B.

7、答案：B

解析:設(shè)Aa,y),B(A2,%)，直線AB的方程為:y0y=p(xT),

聯(lián)立一)消去得產(chǎn)二

"=P(X1'X,2>°y-2p=0.Δ=4yθ+8〃>0.

y=2px,

點(diǎn)M到直線AB的距離:d=吐2P∣,

￥+“

于是AWLB的面積S=JdlA8=)+2"

2

2λRT√?

當(dāng)No=O時(shí)，ZWLS面積最小為2而=4,,p=2,故選B.

8、答案：B

解析：設(shè)X=Loo1,則九e"=eλ,a=x-?nχb=X-?∕~x+?/—,

9VX

因?yàn)閍-I)=?一?-Inx,而InX

,從而1116,即

?nx<y[x——^j=,所以α-b>O,故a〉/?；c-a=InX>0,故c〉a.于是6<a<c,故

√x

選B.

9、答案：BC

解析：橢圓E的焦點(diǎn)在y軸上，A錯(cuò)誤；橢圓E的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4,B正確；

橢圓E的離心率為g,C正確；橢圓的左頂點(diǎn)M(√i,0),焦點(diǎn)耳(0,-1),6(0,1),

所以M=MF,=(-√3,l),CoS(ME,=I∣=,〉O,

^\/∣MfJ∣?∣M^∣2

(加耳,加瑪卜(0,5),使得aKPE2為直角三角形的點(diǎn)P恰有4個(gè)，D錯(cuò)誤.故選BC.

10、答案：BCD

解析：事件“成功表演燃爆竹環(huán)節(jié)”與事件“成功表演辭舊歲環(huán)節(jié)”可以同時(shí)發(fā)生，

故不互斥，A錯(cuò)誤；“放煙花”、“迎新春”環(huán)節(jié)均表演成功的概率為±x±=2,B

4416

正確；

記表演成功的環(huán)節(jié)個(gè)數(shù)為X,則期望為4x1=3,C正確；

記事件M：“表演成功的環(huán)節(jié)恰為3個(gè)”，事件M“迎新春環(huán)節(jié)表演成功”，

27

64

由條件概率公式P(MM)JNM)=3,D正確.故選BCD.

P(M)4

11、答案：ACD

解析：直線C]G的方程為y=-χ,A正確；

過點(diǎn)(-3,-3)作圓C的切線有x=-3,丁=-3,有2條，B錯(cuò)誤；

ICIGl=3，｛+弓=3+4=7,卜一目=∣3-4∣=1,滿足卜-目<∣C∣C2∣<4+G,

兩圓相交，公共弦所在直線為L(zhǎng)2x-2y+5=0,G至U/的距離d=f，由垂徑定

272

理，公共弦長(zhǎng)為2，C正確;

圓心G到直線y=X距離為0，4-√2>2,故圓上到直線y=X距離為2的點(diǎn)有4

個(gè)，D正確.故選ACD.

12、答案：BCD

解析：直線MQ與PN可能平行，可能相交，A錯(cuò)誤；

點(diǎn)C與點(diǎn)。在平面MPNQ兩側(cè)，且N是C。的中點(diǎn)，故點(diǎn)C與點(diǎn)。到平面MPN。的

距離相等，C正確；

若Q是Ao中點(diǎn)，則MQHBD,8。u平面BCD,MQ仁平面BCD,故MQHPN.

又MQHBD,故PN〃8D.又N是CO的中點(diǎn)，故尸是CB的中點(diǎn)，從而絲=L="；

AD2BC

若。不是中點(diǎn)，則M。，3。不平行，結(jié)合MQ,Bo在同一平面內(nèi)，故M。，BD

相交，設(shè)交點(diǎn)為T,點(diǎn)T在直線B。上，故點(diǎn)T在平面BC。上，點(diǎn)T在直線MQ上，

故點(diǎn)T在平面MPNQ上，于是T是平面BCD與平面MPNQ的公共點(diǎn)，進(jìn)而T在平面

BCD與平面MPNQ的交線PN上，即直線MQ,PN,BD交于點(diǎn)T.

在平面ABo內(nèi)，過A作AG//MT交直線BT于點(diǎn)G,于是MT是aABG的中位線，故

TG=BT,進(jìn)而翳=怒，故第=熹

同理，在平面CB。內(nèi)可得變=—^—,故箜="，綜上，些="，B正確.

BCBT+DTADBCADBC

設(shè)四棱錐A—BCO的體積為匕K=VCrWWQ+LTM<2,K=V°_MPNjVNMP，由點(diǎn)C與

AM-AQ,

點(diǎn)。到平面MPNQ的距離相等得：VJMPNQ=VD-MPNQ?①匕MMQy

ABAD，

f7BMBPS,??AQBPAMBM,+/rVZG

VD—BMP=.父"V，一口口"TH二萬(wàn)K'~ΓR~^ΓR故L-AMQ=%-8Λ∕p，②

AD?nCALJnCADΛD

由①②相加得K=%,D正確.故選BCD.

⑶答案：i

解析：由m∕∕n得：4x=2,X=L

2

14、答案：60

解析：因?yàn)樗许?xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為64,所以2"=64,解得〃=6,展開式中第3

項(xiàng)為C江4Q2y)2=6(1y2,故展開式中第3項(xiàng)的系數(shù)為60.

15、答案：四+9省

2

解析：設(shè)N是兩球面的一個(gè)公共點(diǎn)，且位于截面上，由。解+。?^=。。；，得

OtNlO2N,故tanNO.N=黑?=G從而NOQ?N=三,NQaN=F.所以截面

2

面積為生x32+—×(3√3)+9√3=^+9Λ5?

362

16、答案：1

解析：對(duì)任意xeR，都有(Ina+h)e*-∕ex20恒成立，故Ina+bN——-.

ev

由e*≥x+l,得e*τ≥x,所以e*≥ex,

從而曰41,VXeR恒成立，故Ina+b≥∕,于是2.一2.

ejaa

r/、Inx,,.l-ln?x2-?+?nx

設(shè)VL/(x)=X-------,x>0n,/r'(X)=I1---------=-------5-----?

XXX

設(shè)g(x)=Y一ι+inx,χ>0'g，(X)=2x+'>0?

X

故g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，結(jié)合g⑴=0,

當(dāng)0<x<l時(shí)，g(x)<O,∕,(%)<0,/(x)在(0,1)上單調(diào)遞減；

當(dāng)x>l時(shí)，g(x)>O,f'(x)>0,/(x)在(l,+∞)上單調(diào)遞增.

h

故/(x)min=/⑴=1，所以2的最小值為1，此時(shí)α=O=I.

a

17、答案：(IM=(T嚴(yán)2〃

(2)2024

解析：(1)當(dāng)〃≥2時(shí)，由(〃T)a,=0,

得'=_/_,況=_忙1,......,&=二，

an-X〃Tan-2〃-241

累乘，得5=(-1)"-】？，結(jié)合4=2,得α,,=(-1)"T2〃.

q1

檢驗(yàn)，4=2滿足上式，所以為=(-1)12〃.

⑵由(1)知4=(-1嚴(yán)2〃，所以，對(duì)任意kwN*,

α2*+α2*+∣=(-l)2"'4左+(_1)2*2(2%+1)=2,

丁ZES2023=4+(。2+%)++(‰22+?G3)

=2+2++2=2024.

18、答案：(I)NBAD=]

(2)4ABC的面積為2+75

解析：(1)在AACD中，由正弦定理，得0=sm/CA'①,

ACsinNADC

在aABO中，由正弦定理，得些=SinNBAD②,

ABsinNADB

因?yàn)閆AZ)C+ZAT>B=τι,所以SinZAr)C=SinZAr)3,

,AB-JlBD.CC.π?∣2,曰./…八1

由二-----及tlsinZCAD=SIn—=——,得sinZBAD=—.

ACCD422

因?yàn)镹B4r>G(0,π),所以NBAo=3或NBAO=里.

66

5τr

當(dāng)NA4D=e時(shí)，不滿足Nβ4D+NC4D=NfiAC<兀，舍；

6

當(dāng)Ns4。=三時(shí)，滿足題意.綜上，ZBAD=-.

66

-JT，兀

(2)在AABO中，AB=AD,ZBAD=-,故NAOB=NA8。=一,

6J12

進(jìn)而NABC=NA4C=H,CA=CB,ZVLBC是等腰三角形.

過C作CE,AB于E,

ππ.?/?

U/?tan—Ftan-1-\-----

則CE=AE-tan-=tan∣—+—I=--------------=-----=2+百.

12U6)ITanMZ

463

所以S3Bc=gAB?CE=gx2x(2+√5)=2+G,故4ABC的面積為2+G.

19、答案：(1)一枚一彈多頭導(dǎo)彈的命中率為0.800,一彈多頭導(dǎo)彈的命中次數(shù)為8

(2)本次實(shí)戰(zhàn)演習(xí)中不同研發(fā)方案命中率不存在明顯差異

解析：(1)由題可知，一枚一彈多頭導(dǎo)彈的命中率為

P=I-(1-0.415)3=1-0.5853w0800,

所以，發(fā)射10枚一彈多頭導(dǎo)彈，命中次數(shù)為l()χ().800=8?

故一枚一彈多頭導(dǎo)彈的命中率為0.800,一彈多頭導(dǎo)彈的命中次數(shù)為8.

⑵不同研發(fā)方案的列聯(lián)表如下：

一彈多頭一彈一頭合計(jì)

命中82230

末命中2810

103040

零假設(shè)本次實(shí)戰(zhàn)演習(xí)中不同研發(fā)方案命中率存在明顯差異,

40x(64—44)2

故長(zhǎng)=—≈0.178<3.841

10×30×30×1090

根據(jù)小概率值α=0.050的獨(dú)立性檢驗(yàn)，零假設(shè)”。不成立，故本次實(shí)戰(zhàn)演習(xí)中不同研

發(fā)方案命中率不存在明顯差異.

20、答案：(1)證明見解析

⑵不存在?，使得直線MF'，平面MjBC

解析：(1)若a=',則平面OCG“、平面CB'F'G為同一個(gè)平面，且M是中點(diǎn),

2

“是B尸中點(diǎn)，

故W是AB”廣的中位線，所以MM'"GF',MM'=LHF=GF.

2

因?yàn)?∕GF',MM'=GF',所以平面四邊形戶'G是平行四邊形，

所以MG∕∕M'F.

又MGU平面M笈尸，M'Fu平面MBF,所以MG〃平面MEk,

同理Me〃平面5'M戶'，且MGU平面MCG,MCU平面MCG,MG'MC=M,

所以，平面MCG〃平面"5'尸.

⑵假設(shè)存在a,使得直線M尸，平面MBC

以C為原點(diǎn)，分別以CB,DC,CG為X,y,z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，

則C(0,0,0),3(2,0,0),M(1,-1,1),故CB=(2,0,()),CM=(1,-1,1).

、「,LJLdU_曰,mJ-CB,m?CB=0,

設(shè)加=(x,y,z)是cz平面MBC的法向量，π貝∣j<即αtl<

m±CM,[m?CM=0.

所以FX=Q取y=l,得〃7=(0,1,1)是平面MBC的一個(gè)法向量.

-y+z=0.

取CG中點(diǎn)P,B尸中點(diǎn)Q,連接PQ,PM',

則PMJ_CG,PQlCG,PM'±CG.

于是NMPAT是二面角M-CG-M'的平面角，NMPQ是二面角M-CG-Q的平面

_._TT

角，NQPA，是二面角Q—CG—M'的平面角，于是ZMPM'=a,NMPQ=—，

所以NMAQ=a—二，且CG_L平面Λ∕PΛ∕,MP=&

4

//?/\\

故Λ∕'OCoSa--,>∕2sina--,1，同理F(2cosa,2sina,2),

II4jV4jJ

所以MF=2cosa-V5cos[a-(J,2sina-V∑sin[a-(,1

因?yàn)?cosa-V∑cosa--=2cosa-42cosacos--V∑sin(2sin—=cosa-sina,

I4J44

2sina-J∑sina--=2Sina-拒SinaCoS巴+后CoSaSin二=COSa+sina,

I4J44

所以M尸=(cosa-sina,cosa+sina,1).

若直線M尸，平面MBC,加是平面M8C的一個(gè)法向量，則M戶7∕m?

COSa-Sina=0,

若存在∕l∈R,使得M尸,=Bm,貝∣J<cosα+sina=2,此方程組無(wú)解.

I=Z

所以，不存在α,使得直線M尸J_平面MBC

2

21、答案：⑴"一匕=1

?

(2)A40M的面積為?∣

解析：⑴設(shè)A(X,χ),Ba2,必)，M(F,%)，N(/,M),

設(shè)MN的中點(diǎn)為P(X°,%),記t=-3α-l,

因?yàn)殡p曲線的離心率為石，所以￡=6，故2=2,

aa

于是雙曲線的漸近線為y=±2x.

P""''解得＜

聯(lián)立，2

%=τ?

同理，解得<

?=4x÷r,

聯(lián)立］尤2y2消去X,得126/+8/^-4/(r-16/)=0.

a24a2「

即3丁+2小一(尸—166)=0,Δ>0.

由韋達(dá)定理，得X+%=-17?y%=-；(產(chǎn)-16a”

?

所以，%+%=-/=%+%說明MN與AB的中點(diǎn)均為P,

所以，M,N關(guān)于點(diǎn)P對(duì)稱，A,8關(guān)于點(diǎn)P對(duì)稱，所以IMAl=IBN|,

因?yàn)镮MAl=fA8∣,所以A,B是線段MN的兩個(gè)四等分點(diǎn)，

5t_2t_

12,^T

于是y%=-g(∕-16α)=0，BPt--Aa,結(jié)合r=-3α-l,解得α=l,t--A.

2

故所求雙曲線方程為χ2-2L=ι.

4

(2)由⑴可知，A(I'I)/(2,4),

于是QA=(W],OM=(2,4).

設(shè)ZAOM=α,敗…=MHO"何府兩百

=∣7∣OA∣2?∣0Λ√I2-IOAI2?∣0MI2COS2?

=∣7∣(9A∣2?∣OΛ∕∣2-IOAOMI2,

CCQA

代入OA=-,-，OM=(2,4)>

(33)

x(22+42

2

故aAQW的面積為4.

3

22、答案：(l)y=(l+π)x

(2)證明見解析

解析:⑴由題可知/(0)=0,∕,(x)=(cosX-sinx)e^x-2x+π,

因?yàn)?"(O)=1+*所以，產(chǎn)/3在(0,/(0))處的切線方程為k(1+71)%.

(2)/(X)=相存在兩個(gè)非負(fù)零點(diǎn)再，X2,設(shè)玉<*2，

由⑴可知y=/(x)在(O,/(O))處的切線方程為y=(1+兀)χ,

注意到/(π)=0,∕^'(π)=----π,

eπ

所以，y=/(X)在(兀,0)處的切線方程為y=(-^γ-π^(x-π).

下證：當(dāng)Xe[0,π]時(shí)，f(x)≤(l+π)Λ,且/*)≤[一-y-πj(x-π).

2