湖北省名校2023屆高三3月聯(lián)合測評數學試卷（含答案）

湖北省名校2023屆高三3月聯(lián)合測評數學試卷

學校：姓名：班級：考號：

一、選擇題

1、設集合4={x∈R∣y=J尤2-2x-3卜β={x∈R∣y=lnx},則AB=()

A.0B.(O,+∞)C.(→o,-1]D.[3,+∞)

2、設復數Z滿足z+2+π=0,則∣z∣=()

Z

A.?/eB.VπC.eD.π

3、已知等比數列｛q｝滿足4=2,且％,%，旬成等差數列，則為=（）

A.-2B.-lC.lD.2

4、已知機＞0,則是“處絲＞2”的（）

a+ma

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

5、如圖是函數/(?)=sin(<yχ+φ)yω>Q,?φ?<^的部分圖象，則/)

C?/e+V2

D.1

'4

6、新高考數學中的不定項選擇題有4個不同選項，其錯誤選項可能有0個、1個或2

個，這種題型很好地凸顯了“強調在深刻理解基礎之上的融會貫通、靈活運用，促進

學生掌握原理、內化方法、舉一反三”的教考銜接要求.若某道數學不定項選擇題存在

錯誤選項，且錯誤選項不能相鄰，則符合要求的4個不同選項的排列方式共有（）

A.24種B.36種C.48種D.60種

7、過點作拋物線V=2R（P＞0）的兩條切線，切點分別是A,B,若4M4β

面積的最小值為4,則〃=（）

A.lB.2C.4D.16

/照“OOI—，001,C=L],則（）

8、設實數α,b,C滿足LoOIe"=eux'∣00

VIOOi

?.b<c<aB.b<a<cC.c<b<aD.a<c<b

二、多項選擇題

22

9、已知居是橢圓E:亍+3~=1的兩個焦點，點P在橢圓E上，則()

A.點"，尸2在X軸上

B.橢圓E的長軸長為4

C.橢圓E的離心率為1

2

D.使得aKPK為直角三角形的點P恰有6個

10、爆竹聲聲辭舊歲，銀花朵朵賀新春.除夕夜里小光用3D投影為家人進行虛擬現實

表演，表演分為“燃爆竹、放煙花、辭舊歲、迎新春”4個環(huán)節(jié).小光按照以上4個環(huán)

節(jié)的先后順序進行表演，每個環(huán)節(jié)表演一次.假設各環(huán)節(jié)是否表演成功互不影響，若每

個環(huán)節(jié)表演成功的概率均為:，則()

A.事件“成功表演燃爆竹環(huán)節(jié)”與事件“成功表演辭舊歲環(huán)節(jié)”互斥

B.“放煙花”、“迎新春”環(huán)節(jié)均表演成功的概率為2

16

C.表演成功的環(huán)節(jié)個數的期望為3

D.在表演成功的環(huán)節(jié)恰為3個的條件下“迎新春”環(huán)節(jié)表演成功的概率為士

4

11、已知圓G：/+y2=9,C√(X-1)2+(>-+1)2=16,則()

A.直線C]C2的方程為y=-X

B.過點(-3,-3)作圓G的切線有且只有1條

C.兩圓相交，且公共弦長為叵

2

D.圓G上到直線V=X距離為2的點有4個

12、如圖，在正四面體ABeO中，棱AB的中點為M,棱C。的中點為N,過MN的平

面交棱BC于P，交棱A。于Q,記多面體CAMPNQ的體積為匕，多面體8。MPN。的

體積為匕，則()

A.直線MQ與PN平行

nAQBP

ADBC

C.點C與點。到平面MPNQ的距離相等

D.?=V,

三、填空題

13、已知向量利=(-2,4),n=(x,-l)?若機〃”，則X=.

14、在(x-2y)"的展開式中，所有項的二項式系數之和為64,則展開式中第3項的系

數為(用數字作答).

15、葫蘆是一種爬藤植物，在我國傳統(tǒng)文化中，其枝密集繁茂，象征著兒孫滿堂、同

氣連枝；其音近于“福祿”，寓意著長壽多福、事業(yè)發(fā)達；其果口小肚大，代表著心

胸開闊、和諧美滿.如圖，一個葫蘆的果實可以近似看做兩球相交所得的幾何體Ω,

其中Q的下半部分是半徑為36的球。的一部分，Q的上半部分是半徑為3的球

。2的一部分，且。。2=6,則過直線。。2的平面截。所得截面的面積為

16、已知α,。為實數，若對任意x∈R,都有(Ina+5)e'-∕eχ≥O恒成立，則巳的最

a

小值為.

四、解答題

17>已知數列｛α,,｝滿足α∣=2,(〃一I)q+”/*=θ("≥2,"∈N*).

(1)求數列｛4｝的通項公式；

⑵設S,為數歹U｛4｝的前〃項和,求S2023.

18、在4ABC中，。是邊BC上的點，ZCAZ)=-,絲=Yl也

4ACCD

⑴求ZBA￡)；

(2)若AB=AD=2,求AABC的面積.

19、某國在實彈演習中分析現有導彈技術發(fā)展方案的差異，有以下兩種方案：

方案1：發(fā)展一彈多頭主動制導技術，即一枚一彈多頭導彈的彈體含有3個彈頭，每

個彈頭獨立命中的概率均為0.415,一枚彈體至少有一個彈頭命中即認為該枚導彈命

中，演習中發(fā)射該導彈10枚；

方案2：發(fā)展一彈一頭導彈的機動性和隱蔽性，即一枚一彈一頭導彈的彈體只含一個

彈頭，演習中發(fā)射該導彈30枚，其中22枚命中.

(1)求一枚一彈多頭導彈命中的概率(精確到0.001),并據此計算本次實戰(zhàn)演習中一彈多

頭導彈的命中次數(取0.5853≈0.200,0.4153≈0.071,結果四舍五入取整數)；

(2)結合(1)的數據，根據小概率值α=0.050的獨立性檢驗，判斷本次實戰(zhàn)演習中兩種方

案的導彈命中率是否存在明顯差異.

附：K?=--------皿l-bc)[------其中〃=α+8+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

2

p(κ≥k0)0.1000.0500.0100.0050.001

2.7063.8416.6357.87910.828

20、如圖，在棱長為2的正方體ABeD-瓦GH中，點M是正方體的中心，將四棱錐

M-BCGV繞直線CG逆時針旋轉q(0<α<兀)后，得到四棱錐M'-B'CGE'.

(1)若。=5，求證：平面MCG〃平面M5戶；

⑵是否存在a,使得直線M戶'，平面C?若存在，求出C的值；若不存在，請說

明理由.

22

21、已知離心率為6的雙曲線C:j—[=l(α>O2>0),直線Ly=4x-3α-l與C的

b~

右支交于A,B兩點,直線/與。的兩條漸近線分別交于M,N兩點，且從上至下依次

為M,A,B,N,?MA?=^?AB?.

⑴求雙曲線C的方程；

⑵求/MOM的面積.

22、已知函數/(X)=為”一V+m,X∈[O,π].

ev

(1)求f(x)在(0,/(0))處的切線方程；

?ιγι

(2)若/(X)=相存在兩個非負零點x∣,X,求證：尼-xj≤兀-----.

2π+1

參考答案

1、答案：D

解析:集合4x∈(-∞,-l]"3,+oo),集合5:九∈(0,+8),AB=[3,+00),故選D.

2、答案：A

解析：方法1：方程變形為z2+πz+e=0,Δ=π2-4e<0,

于是∣zf=z?z=e,故IZl=&;

方法2：設Z=Q+bi,其中α,h∈R,且h≠0,代入z+*+兀=0,

z

得。+〃id7+π=0，從而。+歷+^^~~^p?+π=O,

α+為a~-vb~

cr-Vb1=e,

進而IZI=Ja2+〃2=M.故選A.

3、答案：D

33

解析：設｛?！ǎ墓葹橄Γ瑒t%=44=2夕，a5=—=—,a9=ahq=2q,

由％,a5,%成等差數列，得%+。9=2%，即2q+2∕=3,

q

于是/+/一2=0,(√+2)(√-l)=0,故d=1,從而%=j?=2,故選D.

4、答案：A

A4七b+mba(b+m)-b(a+m)m(a-b)

胭^析：-------=---------------=-------.

a+maa(a+m)a{a-?-m)

若a>b>O,結合m>0,則Δ±Z!I-?=〃?("一")》0,故"α>b>O”是

a+maa(a+m)

“處場>2”的充分條件；若空3,則絲二-2=迺心>0,取α=3,

a+maaΛ-maa+maa(a+m)

m=2,h=-?,滿足「+〃，>」,但不滿足〃>/?>(),故"不是

a+ma

ab+myb,,的必要條件.

a+ma

于是“α>6>0”是“小場〉2”的充分不必要條件.故選A.

a-?-ma

5、答案：C

解析：由圖可知，函數圖象過點[,日)，(1,()),且(1,0)是“第三點”，

于是/(0)=#,三力+夕=兀+2&兀，Z∈Z.結合∣e∣<],解得0=1，ω=2+6k,

攵∈Z.

設函數/(X)的周期為T,則;T<g,∣Γ>∣,于是g<ey<3,故勿=2.所以

/(x)=Sin(2x+g),

UK/.(兀).(兀兀).πππ.πJ5+Jd、蟲C

從[ft]/—=sιn—+—=sm—cos—+cos—sin—=----------.故選C.

⑻(43J43434

6、答案：B

解析：當錯誤選項恰有1個時，4個選項進行排列有A：=24種；

當錯誤選項恰有2個時，先排2個正確選項，再將2個錯誤選項插入到3個空位中,

有A；A；=12種.故共有24+12=36種.故選B.

7、答案：B

解析:設Aa,y),B(A2,%)，直線AB的方程為:y0y=p(xT),

聯(lián)立一)消去得產二

"=P(X1'X,2>°y-2p=0.Δ=4yθ+8〃>0.

y=2px,

點M到直線AB的距離:d=吐2P∣,

￥+“

于是AWLB的面積S=JdlA8=)+2"

2

2λRT√?

當No=O時，ZWLS面積最小為2而=4,,p=2,故選B.

8、答案：B

解析：設X=Loo1,則九e"=eλ,a=x-?nχb=X-?∕~x+?/—,

9VX

因為a-I)=?一?-Inx,而InX

,從而1116,即

?nx<y[x——^j=,所以α-b>O,故a〉/?；c-a=InX>0,故c〉a.于是6<a<c,故

√x

選B.

9、答案：BC

解析：橢圓E的焦點在y軸上，A錯誤；橢圓E的長軸長為4,B正確；

橢圓E的離心率為g,C正確；橢圓的左頂點M(√i,0),焦點耳(0,-1),6(0,1),

所以M=MF,=(-√3,l),CoS(ME,=I∣=,〉O,

^\/∣MfJ∣?∣M^∣2

(加耳,加瑪卜(0,5),使得aKPE2為直角三角形的點P恰有4個，D錯誤.故選BC.

10、答案：BCD

解析：事件“成功表演燃爆竹環(huán)節(jié)”與事件“成功表演辭舊歲環(huán)節(jié)”可以同時發(fā)生，

故不互斥，A錯誤；“放煙花”、“迎新春”環(huán)節(jié)均表演成功的概率為±x±=2,B

4416

正確；

記表演成功的環(huán)節(jié)個數為X,則期望為4x1=3,C正確；

記事件M：“表演成功的環(huán)節(jié)恰為3個”，事件M“迎新春環(huán)節(jié)表演成功”，

27

64

由條件概率公式P(MM)JNM)=3,D正確.故選BCD.

P(M)4

11、答案：ACD

解析：直線C]G的方程為y=-χ,A正確；

過點(-3,-3)作圓C的切線有x=-3,丁=-3,有2條，B錯誤；

ICIGl=3，｛+弓=3+4=7,卜一目=∣3-4∣=1,滿足卜-目<∣C∣C2∣<4+G,

兩圓相交，公共弦所在直線為L2x-2y+5=0,G至U/的距離d=f，由垂徑定

272

理，公共弦長為2，C正確;

圓心G到直線y=X距離為0，4-√2>2,故圓上到直線y=X距離為2的點有4

個，D正確.故選ACD.

12、答案：BCD

解析：直線MQ與PN可能平行，可能相交，A錯誤；

點C與點。在平面MPNQ兩側，且N是C。的中點，故點C與點。到平面MPN。的

距離相等，C正確；

若Q是Ao中點，則MQHBD,8。u平面BCD,MQ仁平面BCD,故MQHPN.

又MQHBD,故PN〃8D.又N是CO的中點，故尸是CB的中點，從而絲=L="；

AD2BC

若。不是中點，則M。，3。不平行，結合MQ,Bo在同一平面內，故M。，BD

相交，設交點為T,點T在直線B。上，故點T在平面BC。上，點T在直線MQ上，

故點T在平面MPNQ上，于是T是平面BCD與平面MPNQ的公共點，進而T在平面

BCD與平面MPNQ的交線PN上，即直線MQ,PN,BD交于點T.

在平面ABo內，過A作AG//MT交直線BT于點G,于是MT是aABG的中位線，故

TG=BT,進而翳=怒，故第=熹

同理，在平面CB。內可得變=—^—,故箜="，綜上，些="，B正確.

BCBT+DTADBCADBC

設四棱錐A—BCO的體積為匕K=VCrWWQ+LTM<2,K=V°_MPNjVNMP，由點C與

AM-AQ,

點。到平面MPNQ的距離相等得：VJMPNQ=VD-MPNQ?①匕MMQy

ABAD，

f7BMBPS,??AQBPAMBM,+/rVZG

VD—BMP=.父"V，一口口"TH二萬K'~ΓR~^ΓR故L-AMQ=%-8Λ∕p，②

AD?nCALJnCADΛD

由①②相加得K=%,D正確.故選BCD.

⑶答案：i

解析：由m∕∕n得：4x=2,X=L

2

14、答案：60

解析：因為所有項的二項式系數之和為64,所以2"=64,解得〃=6,展開式中第3

項為C江4Q2y)2=6(1y2,故展開式中第3項的系數為60.

15、答案：四+9省

2

解析：設N是兩球面的一個公共點，且位于截面上，由。解+。?^=。。；，得

OtNlO2N,故tanNO.N=黑?=G從而NOQ?N=三,NQaN=F.所以截面

2

面積為生x32+—×(3√3)+9√3=^+9Λ5?

362

16、答案：1

解析：對任意xeR，都有(Ina+h)e*-∕ex20恒成立，故Ina+bN——-.

ev

由e*≥x+l,得e*τ≥x,所以e*≥ex,

從而曰41,VXeR恒成立，故Ina+b≥∕,于是2.一2.

ejaa

r/、Inx,,.l-ln?x2-?+?nx

設VL/(x)=X-------,x>0n,/r'(X)=I1---------=-------5-----?

XXX

設g(x)=Y一ι+inx,χ>0'g，(X)=2x+'>0?

X

故g(x)在(0,+∞)上單調遞增，結合g⑴=0,

當0<x<l時，g(x)<O,∕,(%)<0,/(x)在(0,1)上單調遞減；

當x>l時，g(x)>O,f'(x)>0,/(x)在(l,+∞)上單調遞增.

h

故/(x)min=/⑴=1，所以2的最小值為1，此時α=O=I.

a

17、答案：(IM=(T嚴2〃

(2)2024

解析：(1)當〃≥2時，由(〃T)a,=0,

得'=_/_,況=_忙1,......,&=二，

an-X〃Tan-2〃-241

累乘，得5=(-1)"-】？，結合4=2,得α,,=(-1)"T2〃.

q1

檢驗，4=2滿足上式，所以為=(-1)12〃.

⑵由(1)知4=(-1嚴2〃，所以，對任意kwN*,

α2*+α2*+∣=(-l)2"'4左+(_1)2*2(2%+1)=2,

丁ZES2023=4+(。2+%)++(‰22+?G3)

=2+2++2=2024.

18、答案：(I)NBAD=]

(2)4ABC的面積為2+75

解析：(1)在AACD中，由正弦定理，得0=sm/CA'①,

ACsinNADC

在aABO中，由正弦定理，得些=SinNBAD②,

ABsinNADB

因為ZAZ)C+ZAT>B=τι,所以SinZAr)C=SinZAr)3,

,AB-JlBD.CC.π?∣2,曰./…八1

由二-----及tlsinZCAD=SIn—=——,得sinZBAD=—.

ACCD422

因為NB4r>G(0,π),所以NBAo=3或NBAO=里.

66

5τr

當NA4D=e時，不滿足Nβ4D+NC4D=NfiAC<兀，舍；

6

當Ns4。=三時，滿足題意.綜上，ZBAD=-.

66

-JT，兀

(2)在AABO中，AB=AD,ZBAD=-,故NAOB=NA8。=一,

6J12

進而NABC=NA4C=H,CA=CB,ZVLBC是等腰三角形.

過C作CE,AB于E,

ππ.?/?

U/?tan—Ftan-1-\-----

則CE=AE-tan-=tan∣—+—I=--------------=-----=2+百.

12U6)ITanMZ

463

所以S3Bc=gAB?CE=gx2x(2+√5)=2+G,故4ABC的面積為2+G.

19、答案：(1)一枚一彈多頭導彈的命中率為0.800,一彈多頭導彈的命中次數為8

(2)本次實戰(zhàn)演習中不同研發(fā)方案命中率不存在明顯差異

解析：(1)由題可知，一枚一彈多頭導彈的命中率為

P=I-(1-0.415)3=1-0.5853w0800,

所以，發(fā)射10枚一彈多頭導彈，命中次數為l()χ().800=8?

故一枚一彈多頭導彈的命中率為0.800,一彈多頭導彈的命中次數為8.

⑵不同研發(fā)方案的列聯(lián)表如下：

一彈多頭一彈一頭合計

命中82230

末命中2810

103040

零假設本次實戰(zhàn)演習中不同研發(fā)方案命中率存在明顯差異,

40x(64—44)2

故長=—≈0.178<3.841

10×30×30×1090

根據小概率值α=0.050的獨立性檢驗，零假設”。不成立，故本次實戰(zhàn)演習中不同研

發(fā)方案命中率不存在明顯差異.

20、答案：(1)證明見解析

⑵不存在?，使得直線MF'，平面MjBC

解析：(1)若a=',則平面OCG“、平面CB'F'G為同一個平面，且M是中點,

2

“是B尸中點，

故W是AB”廣的中位線，所以MM'"GF',MM'=LHF=GF.

2

因為7∕GF',MM'=GF',所以平面四邊形戶'G是平行四邊形，

所以MG∕∕M'F.

又MGU平面M笈尸，M'Fu平面MBF,所以MG〃平面MEk,

同理Me〃平面5'M戶'，且MGU平面MCG,MCU平面MCG,MG'MC=M,

所以，平面MCG〃平面"5'尸.

⑵假設存在a,使得直線M尸，平面MBC

以C為原點，分別以CB,DC,CG為X,y,z軸正方向建立空間直角坐標系，

則C(0,0,0),3(2,0,0),M(1,-1,1),故CB=(2,0,()),CM=(1,-1,1).

、「,LJLdU_曰,mJ-CB,m?CB=0,

設加=(x,y,z)是cz平面MBC的法向量，π貝∣j<即αtl<

m±CM,[m?CM=0.

所以FX=Q取y=l,得〃7=(0,1,1)是平面MBC的一個法向量.

-y+z=0.

取CG中點P,B尸中點Q,連接PQ,PM',

則PMJ_CG,PQlCG,PM'±CG.

于是NMPAT是二面角M-CG-M'的平面角，NMPQ是二面角M-CG-Q的平面

_._TT

角，NQPA，是二面角Q—CG—M'的平面角，于是ZMPM'=a,NMPQ=—，

所以NMAQ=a—二，且CG_L平面Λ∕PΛ∕,MP=&

4

//?/\\

故Λ∕'OCoSa--,>∕2sina--,1，同理F(2cosa,2sina,2),

II4jV4jJ

所以MF=2cosa-V5cos[a-(J,2sina-V∑sin[a-(,1

因為2cosa-V∑cosa--=2cosa-42cosacos--V∑sin(2sin—=cosa-sina,

I4J44

2sina-J∑sina--=2Sina-拒SinaCoS巴+后CoSaSin二=COSa+sina,

I4J44

所以M尸=(cosa-sina,cosa+sina,1).

若直線M尸，平面MBC,加是平面M8C的一個法向量，則M戶7∕m?

COSa-Sina=0,

若存在∕l∈R,使得M尸,=Bm,貝∣J<cosα+sina=2,此方程組無解.

I=Z

所以，不存在α,使得直線M尸J_平面MBC

2

21、答案：⑴"一匕=1

?

(2)A40M的面積為?∣

解析：⑴設A(X,χ),Ba2,必)，M(F,%)，N(/,M),

設MN的中點為P(X°,%),記t=-3α-l,

因為雙曲線的離心率為石，所以￡=6，故2=2,

aa

于是雙曲線的漸近線為y=±2x.

P""''解得＜

聯(lián)立，2

%=τ?

同理，解得<

?=4x÷r,

聯(lián)立］尤2y2消去X,得126/+8/^-4/(r-16/)=0.

a24a2「

即3丁+2小一(尸—166)=0,Δ>0.

由韋達定理，得X+%=-17?y%=-；(產-16a”

?

所以，%+%=-/=%+%說明MN與AB的中點均為P,

所以，M,N關于點P對稱，A,8關于點P對稱，所以IMAl=IBN|,

因為IMAl=fA8∣,所以A,B是線段MN的兩個四等分點，

5t_2t_

12,^T

于是y%=-g(∕-16α)=0，BPt--Aa,結合r=-3α-l,解得α=l,t--A.

2

故所求雙曲線方程為χ2-2L=ι.

4

(2)由⑴可知，A(I'I)/(2,4),

于是QA=(W],OM=(2,4).

設ZAOM=α,敗…=MHO"何府兩百

=∣7∣OA∣2?∣0Λ√I2-IOAI2?∣0MI2COS2?

=∣7∣(9A∣2?∣OΛ∕∣2-IOAOMI2,

CCQA

代入OA=-,-，OM=(2,4)>

(33)

x(22+42

2

故aAQW的面積為4.

3

22、答案：(l)y=(l+π)x

(2)證明見解析

解析:⑴由題可知/(0)=0,∕,(x)=(cosX-sinx)e^x-2x+π,

因為/"(O)=1+*所以，產/3在(0,/(0))處的切線方程為k(1+71)%.

(2)/(X)=相存在兩個非負零點再，X2,設玉<*2，

由⑴可知y=/(x)在(O,/(O))處的切線方程為y=(1+兀)χ,

注意到/(π)=0,∕^'(π)=----π,

eπ

所以，y=/(X)在(兀,0)處的切線方程為y=(-^γ-π^(x-π).

下證：當Xe[0,π]時，f(x)≤(l+π)Λ,且/*)≤[一-y-πj(x-π).

2