2022-2023學(xué)年浙江省臺(tái)州市高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷

2022-2023學(xué)年浙江省臺(tái)州市高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷

一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）

1.復(fù)數(shù)l-2i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

2.已知向量方=（1,6），b=（2,-1），且有〃石，則巾=（）

A.B.|C.2D.-2

3.我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家秦九韶，發(fā)現(xiàn)了三角形面積公式，即s="c2a2一（芝二^）2,其中a,

b,c是三角形的三邊，S是三角形的面積.若某三角形三邊a,b,c,滿足b=l,ca=l,則

該三角形面積S的最大值為（）

A.CB.0C.CD.6

4422

4.已知表面積為27兀的圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓，則圓錐的底面半徑為（）

A.3B.3C.6D.4>/~3

5.一個(gè)袋子中裝有大小和質(zhì)地相同的5個(gè)球，其中有2個(gè)黃色球，3個(gè)紅色球，從袋中不放回

的依次隨機(jī)摸出2個(gè)球，則事件“兩次都摸到紅色球”的概率為（）

A]B.AC.lD.1

6.拋擲一枚骰子5次，記錄每次骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，已知這些點(diǎn)數(shù)的平均數(shù)為2且出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)6,

則這些點(diǎn)數(shù)的方差為（）

A.3.5B.4C.4.5D,5

7.正三棱臺(tái)ABC-ABiG中，1平面BiBCG，AB=則異面直線與BC】所成

角的余弦值為（）

23C4

---

A.555D.

8.如圖，在AABC中，D是BC的中點(diǎn)，E是4C上的點(diǎn)，AC=2AB,CD=1,AE=3EC,

Z-ADB=乙EDC=a,則cosa=()

AZ

E

BDC

A.6B.二C.|D.I

2334

二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項(xiàng)符合題目要求）

9.已知一個(gè)古典概型的樣本空間0和事件4、B,滿足71（0）=32,?1（力）=16,n（B）=8,

n（4uB）=20,則下列結(jié)論正確的是（）

A.P（4）=；B.P（AB）=|C.A與B互斥D.4與B相互獨(dú)立

10.已知m,n,，是空間中三條不同直線，a,0,y是空間中三個(gè)不同的平面，則下列命題

中正確的是（）

A.若muQ,7nliB，nu0,n//a,則Q///?

B.若an/?=m,aAy=n,/?ny=/,m//n,則7n//Z

C.若a_L￡,a1y,0ny=7n,則m_La

D.若anS=m,al/?,n1m,則n_L0

11.如圖，在平行四邊形48co中，AB=60°,8c=2A8=2,點(diǎn)E是邊40上的動(dòng)點(diǎn)（包含

A.當(dāng)點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)時(shí)，BD=BE+^BC

B.存在點(diǎn)E,使得（而一g前）1屈

C.而?正的最小值為一J

D.若方=%而+＞而，%,y&R,則％+2、的取值范圍是[2,3]

12.四面體4BCD中，AB=BC=CD=DA=BD=2,AC=m,則有（）

A.存在m,使得直線CD與平面ABC所成角為號(hào)

B.存在m,使得二面角4-BC-D的平面角大小為科

C.若m=2,則四面體4BCD的內(nèi)切球的體積是粵

D.若m=3,則四面體4BCD的外接球的表面積是等

三、填空題(本大題共4小題，共20.0分)

13.己知復(fù)數(shù)z=1-3i為虛數(shù)單位，則|司=.

14.已知正方體4BCD-48傳1。1棱長(zhǎng)為3,在正方體的頂點(diǎn)中，到平面4DB的距離為「的

頂點(diǎn)可能是.(寫出一個(gè)頂點(diǎn)即可)

15.在44BC中，a,b,c分別為角A,B,C的對(duì)邊，已知B=9,b=c=2,若44BC有

兩解，則。的取值范圍是.

16.已知平面向量a而7均為非零向量,行不=五々=3蒼2,且用+^+2區(qū)|=k\aikeR,

則k的最小值為.

四、解答題(本大題共6小題，共70.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

17.(本小題10.0分)

已知復(fù)數(shù)z=2—3i為虛數(shù)單位.

⑴求Z2;

(2)若z是關(guān)于x的方程2%2+px+q=0(p,qeR)—■個(gè)根，求p,q的值.

18.(本小題12.0分)

己知五，B是非零向量，(T)|a|=3|bI；②(4,b>=*③|五—另|=|另|.

(I)從①②③中選取其中兩個(gè)作為條件，證明另外一個(gè)成立；(注：若選擇不同的組合分別

解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分.)

(11)在(1)(^的條件下，(五+石)1(五一/13),求實(shí)數(shù)人

19.(本小題12.0分)

如圖，在直三棱柱力BC-AiBiG中，4ABe=90。，AAr=AC=2,。為4c的中點(diǎn).

(I)求證：AB1〃平面GDB；

(n)求三棱錐當(dāng)一DBG體積的最大值.

B

20.(本小題12.0分)

第19屆亞運(yùn)會(huì)將于2023年9月23日至10月8日在杭州舉行，為了弘揚(yáng)奧林匹克和亞運(yùn)精神，

某學(xué)校對(duì)全體高中學(xué)生組織了一次關(guān)于亞運(yùn)會(huì)相關(guān)知識(shí)的測(cè)試.從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取了100

名學(xué)生的成績(jī)作為樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，測(cè)試滿分為100分，并將這100名同學(xué)的測(cè)試成績(jī)分成5組，

繪制成了如圖所示的頻率分布直方圖.

，頻率

(1)求頻率分布直方圖中t的值，并估計(jì)這100名學(xué)生的平均成績(jī)；

(2)用樣本頻率估計(jì)總體，如果將頻率視為概率，從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取3名學(xué)生，求3名學(xué)生

中至少有2人成績(jī)不低于80分的概率.

21.(本小題12.0分)

在銳角A4BC中，a,b,c分別為角4,B,C的對(duì)邊，％=：乂如史出經(jīng)士

(1)求證：2b=a+c；

(2)求sbiB的取值范圍.

22.(本小題12.0分)

如圖，平面40EF平面ABCD,四邊形4DEF為矩形，且M為線段EF上的動(dòng)點(diǎn)，AB//CD,

/.ABC=90°,AD=2DE,AB=2CD=2BC=2.

(1)當(dāng)M為線段EF的中點(diǎn)時(shí)，

(i)求證：AM_L平面BDM；

(ii)求直線4M與平面M8C所成角的正弦值；

(2)記直線AM與平面MBC所成角為a,平面M4D與平面MBC的夾角為氏是否存在點(diǎn)M使得

a=0?若存在，求出尸M；若不存在，說明理由.

答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：復(fù)數(shù)l-2i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)(1,-2)位于第四象限.

故選：D.

利用復(fù)數(shù)的幾何意義即可得出.

本題考查了復(fù)數(shù)的幾何意義，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】A

【解析】解:向量為b=(2,-1)，且五〃石，

2m—lx(―1)=0,

解得m=—.

故選:A.

根據(jù)平面向量的共線定理，列出方程解方程即可.

本題考查了平面向量共線定理的坐標(biāo)表示問題，是基礎(chǔ)題.

3.【答案】B

【解析】解：根據(jù)題意，某三角形三邊a,b,c,滿足b=Lca=l,

則其面積S=1Jc2a2_(立亭=1J一(立「二斤,

又由a2+c2z2ac=2,則及手！之機(jī)當(dāng)且僅當(dāng)a=c時(shí)等號(hào)成立，

則有Sw：I1-1=^,當(dāng)且僅當(dāng)a=c=l時(shí)等號(hào)成立，

即該三角形面積S的最大值華.

4

故選：B.

根據(jù)題意，該三角形的面積5=工I1一(竺士印,結(jié)合基本不等式分析可得學(xué)二23進(jìn)而

分析可得答案.

本題考查基本不等式的性質(zhì)以及應(yīng)用，涉及三角形的面積計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.

4.【答案】A

【解析】解：設(shè)圓錐的底面半徑為r,母線長(zhǎng)為，,

nr2+itrl-27TT

由題意可得2nr=：x2irl

L

解得憶：.

故選：A.

根據(jù)題意結(jié)合圓錐側(cè)面展開圖的性質(zhì)列式求解.

本題主要考查了圓錐的結(jié)構(gòu)特征，屬于基礎(chǔ)題.

5.【答案】B

【解析】解：根據(jù)題意，一個(gè)袋子中裝有大小和質(zhì)地相同的5個(gè)球，其中有2個(gè)黃色球，3個(gè)紅色

球，

假設(shè)兩個(gè)黃球?yàn)?、B,三個(gè)紅球?yàn)閍、b、c,

從袋中不放回的依次隨機(jī)摸出2個(gè)球，

取法有:Q4B)、Q4C)、(4a)、(Ab).(Ac).

(Ba)>(Be)、(ab)、(ac)、(be),共10種取法；

其中兩次都取到紅球的取法有(ab)、(ac)、(be),共3種，

則事件“兩次都摸到紅色球”的概率P=。.

故選：B.

根據(jù)題意，由組合數(shù)分析“從袋中不放回的依次隨機(jī)摸出2個(gè)球”和“兩次都摸到紅色球”的情況

數(shù)目，由古典概型公式計(jì)算可得答案.

本題考查古典概型的計(jì)算，涉及排列組合的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

6.【答案】B

【解析】解:不妨設(shè)這5個(gè)出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為型e{1,234,5,6},ie{1,2,3,4,5},且與<x2<<x5,

由題意可知：%5=6,

因?yàn)檫@些點(diǎn)數(shù)的平均數(shù)為2,則2；=i%=2x5=10,可得富=1%=4,

所以々=1,iG(1,2,3,4).即這5個(gè)數(shù)依次為1,1,1,1,6,

可得這些點(diǎn)數(shù)的方差為s22)2+(1-2>+(1-27+(1-2尸+(6-2產(chǎn)］=4.

故選：B.

根據(jù)題意結(jié)合平均數(shù)、方差的計(jì)算公式求解.

本題考查平均數(shù)、方差的計(jì)算公式，屬于基礎(chǔ)題.

7.【答案】A

【解析】解：將正三棱臺(tái)ABC—補(bǔ)全為正三棱錐

S-ABC,

因?yàn)锳&_L平面即S4_L平面SBC,

根據(jù)正三棱錐的性質(zhì)可得,SB，平面SAC,SC1平面SB4

SB,SCu平面SBC,所以SA1SB,SA_LSC,又SCu平

面SAC,SB1SC,

又AB=2&當(dāng)，所以名為SB的中點(diǎn)，

同理可得為為S4的中點(diǎn)，G為SC的中點(diǎn)，

取SG的中點(diǎn)。，連接Bi。，AD,則B必/BQ,

所以即為異面直線AB】與BG所成的角（或補(bǔ)角），

不妨令SB=2,

則AB】=VI2+22=y/~5,AD=J22+（1）2==J1?+（；）2=i_±,

在44當(dāng)0中由余弦定理=AB2+DB2_2ABl?DBiCOS乙4B]D,

即（子）2=（?）2+（門產(chǎn)一2x?x，Tcos乙4B1D，

解得cos乙4B1D=|,

所以異面直線AB】與BQ所成角的余弦值為|.

故選：A.

將正三棱臺(tái)力BC—Z/iG補(bǔ)全為正三棱錐S-2BC,取SC|的中點(diǎn)D,連接B】D,AD,則B】D〃BG，

則即為異面直線AB】與BCi所成的角（或補(bǔ)角），再由余弦定理計(jì)算可得.

本題考查了異面直線所成的角的計(jì)算問題，屬于中檔題.

8.【答案】D

【解析】解：由。是BC的中點(diǎn)，AC=2AB,CD=1,AE=3EC,

設(shè)CE=x,則BD=1,AE=3x,AB=2x,

在△ABC中,可得2x=4”即sinB=2sinC,

sinesinB

在△AB。中,可得二=g,

sinasinB

DE

在ACE。中,可得嘉=

sinC'

上面兩式相除可得2=黑.%.喘,

DEsinB2DE

即AD=WE.

在44B0中，4x2=1+AD2—2ADcosa=1+16DE2—8DEcosa,

在4COE中，x2=1+DE2-2DEcosa,

即有4+4DE2=1+160^2,解得CE=2，AD=2,

115

則％2=1+-—2x-cosa=--cosa.

424

在44DE中，9x2=AD2+DE2-2AD?DE?COS(TT-2a)

[1]79

=4+：+2x2x-cos2a=-4-2cos2a=4cos2a4-7,

4244

可得￡—9cosa=4cos2a+7,

44

化為4cos2Q+9cosa-9=0,

解得cosa='(—3舍去).

故選：D.

由三角形的正弦定理、余弦定理，以及誘導(dǎo)公式和二倍角的余弦公式，解方程可得所求值.

本題考查三角形的正弦定理、余弦定理和三角函數(shù)的恒等變換，考查方程思想和運(yùn)算能力，屬于

中檔題.

9.【答案】ABD

【解析】解：???九(0)=32,7i(A)=16,n(B)=8,n(4U8)=20,

???nQ4nB)=4,A,B不互斥，故C錯(cuò)誤；

??.P(A)=!|=",故A正確；

P(AB)=A=故A正確;

O

PQ4B)=P(A)P(B),AB相互獨(dú)立，D正確.

故選：ABD.

根據(jù)集合間的關(guān)系，求出n(408)=4,從而判斷C,分別計(jì)算P(4),P(AB),P(B)判斷4,B,D選

項(xiàng).

本題考查了相互獨(dú)立事件，互斥事件，考查概率求值，是基礎(chǔ)題.

10.【答案】BC

【解析】解：m,n,［是空間中三條不同直線，a,ey是空間中三個(gè)不同的平面，

對(duì)于力，若mua,m//p,nc/?,n//a,則a與夕相交或平行，故4錯(cuò)誤；

對(duì)于B,若aC0=m,ar\y=n,0Cy=I,m//n,則由線面平行的性質(zhì)得m〃1,故B正確；

對(duì)于C,若a1/?，a1y>6ny=m,則由面面垂直的性質(zhì)和線面垂直的判定得m1a,故C正

確；

對(duì)于。，若aCB=m,al/?,n1m,則?i與口相交，平行或nu0,故。錯(cuò)誤.

故選：BC.

對(duì)于4,a與。相交或平行；對(duì)于B,由線面平行的性質(zhì)得m〃八對(duì)于C,由面面垂直的性質(zhì)和線面

垂直的判定得7nla；對(duì)于。，n與夕相交，平行或nu'.

本題考查線面平行、線面垂直、面面平行、面面垂直的判定與性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間思維能

力，是中檔題.

11.【答案】ACD

【解析】解：對(duì)于4,當(dāng)點(diǎn)E是4。的中點(diǎn)時(shí)，

JD=BE+^D=BE+^BC,故A正確；

對(duì)于B,以點(diǎn)B為原點(diǎn)，BC為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系,

4B=60。，BC=2AB=2.易得：C(2,0),A(^,D(|,>

點(diǎn)E是邊40上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)E(t,3),?<t<|),

CE=(t-2,三)，BA=?，?)，元=(2,0)，

(BA-|BC)-CE=BA-CE-^BC-CE=1(t-2)+1-(t-2)=

VI<t<I，所以畫―g園)?在羊0,即不存在點(diǎn)E,使得闋T殖_L荏，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C，麗=(_0_—),就=(2—t,-?)，所以前.正=-t(2—t)+*=t2-2t+[=(t-

1)21

1)-不

故當(dāng)t=l時(shí)，麗.記取到最小值一牛，故C正確；

對(duì)于。，若魂=x怎+y而,

則根據(jù)圖形可知y=1,x6[0,1],

???x+2yE[2,3],故。正確.

故選:ACD.

對(duì)于4利用向量的線性運(yùn)算即可；對(duì)于8,若存在，則向量數(shù)量積為0,然后利用向量數(shù)量積的

坐標(biāo)公式列方程，判斷方程是否有解即可；對(duì)于C,利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式將麗?正轉(zhuǎn)化為

一個(gè)二次函數(shù)即可；對(duì)于D,利用向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示，將x+2y轉(zhuǎn)化為一個(gè)關(guān)于t的方程，

根據(jù)t的范圍求解即可.

本題考查向量的線性運(yùn)算，向量垂直的性質(zhì)，向量數(shù)量積的最值的求解，屬中檔題.

12.【答案】BCD

【解析】解：對(duì)于選項(xiàng)A,取AC中點(diǎn)E,連接ED,EB,過。作DF1BE,交EB于點(diǎn)F,

因?yàn)?BC=CD=ZM,所以EDIAC,EBLAC,

又EDCEB=E,ECu平面BEC,EBu平面BED,

所以AC，平面BED,

又DFu平面BEO,所以4C_LDF,

又因?yàn)镺F_LBE,ACnBE=E,ACu平面ABC,BEu平面4BC,

所以DF1平面SBC,所以NFCD為直線CD與平面力BC所成角，

若NFCD=*因?yàn)镃D=2,則DF=43,CF=I,

又因?yàn)镈B=DC=ZM,所以F為△ABC的外心,

故F8=CF=1,所以FB+CF=2=BC,所以FeBC,

又因?yàn)镕為△ABC的外心，且AB=BC,

所以FC8C,出現(xiàn)矛盾，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)B,取BC中點(diǎn)G,連接G尸，GD,

因?yàn)镈B=DC,所以BCLGD,

又因?yàn)镺FJ_平面ABC,BCu平面ABC,所以CF1BC,

又DGCDF=D,DGu平面DGF,OFu平面DGF,

所以BC_L平面DGF,又GFu平面OGF,

所以BCJ.GF,所以ZDGF是二面角A-BC-D的平面角,

若NDGF=g因?yàn)镈G=C，所以DF葭，

JZ

在RtABOF中，BF=』22一(|)2=?,所以△ABC的外接圓半徑為?，

在△ABC中，由正弦定理得，-^―=2x—，所以sin乙48。=冷，

sin乙力BC2V7

由余弦定理得，COSNABC=竽密=號(hào)，

2x2x2o

24v21

由siMNABC+COSZ71BC=1得m=7>故選項(xiàng)B正確；

對(duì)于選項(xiàng)C,當(dāng)m=2時(shí)，四面體ABCD為棱長(zhǎng)為2的正四面體，

底面BCD上的高DG=G,DH=容，正四面體ABCC的高九=J2?一(畢^(qū)=亨,

正四面體4BCD的體積V=：x(?x22)x亨=日工，

正四面體ABCD的表面積S=4x(?x22)=4c.

設(shè)四面體4BCD的內(nèi)切球的半徑為r,

,,1c3V_2y/~2_V_6

vV=-S-r,了=英=丁

所以四面體力BCD的內(nèi)切球的體積為匕=《兀/=等，故選項(xiàng)C正確;

對(duì)于選項(xiàng)。，四面體ABCD中4c=3,設(shè)四面體ABC。外接球球心為0,

取BD中點(diǎn)M,連接ZM、CM、0M,

則AM=CM=「且AM1BD,CMLBD,

所以ZAMC為二面角4-BD-C的平面角，

cos^AMC==一；，所以N4MC=等，

2XV3XV323

設(shè)。i、。2分別是平面48。和平面BCD的外接圓圓心，

則02M=：CM=號(hào)

在RtAOMOz中，^0M02=1,002=1,

在RtA。。2c中，OC=I1+（當(dāng)2=且即外接球的半徑H=年，

二四面體A8CD的外接球的表面積S=4兀/?2=竽，故選項(xiàng)D正確.

故選：BCD.

選項(xiàng)4根據(jù)條件作出平面4BC過點(diǎn)。的垂線，進(jìn)而找出直線CD與平面ABC所成角為看推出矛盾，

故排除；選項(xiàng)B根據(jù)條件作出二面角4-BC-0的平面角，根據(jù)二面角4一BC-。的平面角大小

為方求出山即可：選項(xiàng)C利用等體積法求正四面體的內(nèi)切球半徑；選項(xiàng)。利用公式R2=「2+d2求

三棱錐外接球半徑.

本題考查了立體幾何的綜合應(yīng)用，屬于中檔題.

13.【答案】＜2

【解析1解：?.?復(fù)數(shù)z=l—i,

???z—1+i.

則|2|=712+12=

故答案為：C.

利用共物復(fù)數(shù)的定義、模的計(jì)算公式即可得出.

本題考查了共軌復(fù)數(shù)的定義、模的計(jì)算公式，屬于基礎(chǔ)題.

14.【答案】4（4C,Bi，Di任填一個(gè)即可）

【解析】解：顯然D,B在平面4nB內(nèi)，不合題意，

設(shè)點(diǎn)4到平面的距離為d,可知=ArD=BD=3>/~2,

因?yàn)?=^Ai-ADB'貝若dX|X3>/~2X3>/~2X=|X3X|X

3x3,解得d=，耳，

設(shè)ACCIBD=0,即ACC平面AiDB=0,且0為AC的中點(diǎn)，

所以點(diǎn)C到平面&DB的距離為d=y/~3,

可證平面&OB〃平面CD】Bi，

則平面4D1BI上任一點(diǎn)到平面&DB的距離為d=，百，

所以C,B、,劣符合題意，

由圖易知點(diǎn)G到面&DB的距離大于d=V-31

綜上所述：平面為。8的距離為門的頂點(diǎn)有且僅有2,C,當(dāng)，D].

故答案為：AH，。,當(dāng),/任填一個(gè)即可）.

根據(jù)題意結(jié)合等體積法求點(diǎn)到面的距離以及面面平行的性質(zhì)分析判斷.

本題考查點(diǎn)面距的求解，化歸轉(zhuǎn)化思想，屬中檔題.

15.【答案】（0,今

【解析】解：因?yàn)锳/IBC有兩解，

所以csinB<b,且B為銳角，

所以2sinB<V_2>且Be（0,,

解得Be（0,力，即0的取值范圍是（0,良.

故答案為：（0,力.

結(jié)合正弦定理與三角形”小邊對(duì)小角”的性質(zhì)，即可得解.

本題考查三角形解的個(gè)數(shù)的判斷，熟練掌握正弦定理是解題的關(guān)鍵，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能

力，屬于基礎(chǔ)題.

16.【答案】\

【解析】解：依題意，k\a\2=\a+c+2b\\a\>\a-a+c-a+2b-a\=l\a\2,

即kN3

所以k的最小值為《

故答案為：

根據(jù)向量數(shù)量積的性質(zhì)結(jié)合條件即得.

本題考查平面向量的線性運(yùn)算，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

17.【答案】解:(l)z2=(2-i)2=4-4i+i2=3-4i；

(2)2(2—i)2+p(2—i)+q=0,即6+2p+q—(p+8)i=0>

{p+8=V=°-解得P=-8,q=10.

【解析】(1)利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算法則求解；

(2)利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算法則，以及復(fù)數(shù)相等的條件求解.

本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

18.【答案】證明：⑴選①②=③：???⑺=，司石(a5)=1，

a-Z?=|a|Z?|cos^=6|2x?=11h|2,

.-.|a-K|=Ja2-2a-b+f=I3|K|2-2x||K|2+|b|2=J\b\2=|bp

選①③n②：???|即=C|E|,\a-b\=|b|.

—*2_?-?T2—+2

Aa—2a-b+b=b，

2

A3|fe|—2|a||K|cos<a,b>=0,

???cos<a,b>=

v<a,b>6[0,7i]，

a,b>=g；

6

選②③=①：(a,b)=^,\a-b\=\b\>

??a2-2a-b+b2=b2>

|a|2—2|a||K|cos^=0,

EP|a|2-<3|a||K|=0.

v|a|0,A|a|=y/~3\b\.

解：(2)v\a\=<3|K|>{d,b)=^,

?'a-b=\a\b|cosg=b\2xW=11K|2)

6ZZ

v(a+h)1(a—2b)>

(a+b)-(a-AK)=0，

即為2一%日不+五不一％片=o>

???3|b|2-1A|K|2+||K|2-A|K|2=0,

、

A.=9

【解析】(1)選取其中2個(gè)條件，由平面向量的數(shù)量積與夾角知識(shí)計(jì)算即可；

(2)由0+B)10-4區(qū))得(五+至).0-23)=0，再由平面向量數(shù)量積的運(yùn)算計(jì)算即可.

本題考查平面向量的數(shù)量積與及夾角，屬于中檔題.

19.【答案】(I)證明：連接SC交BCi于E,連接DE,

?；D、E分別為AC、B】C的中點(diǎn)，:DE//4B1，

DEu平面GOB,AB1《平面GDB,

???4當(dāng)〃平面GDB；

(H)解：過。作CFLBC,

"AB1BC,則DF〃AB,得尸為BC的中點(diǎn),

???GC1平面ABC,DFu平面ABC,二GC1DF,得當(dāng)B1DF,

又B[BCBC=B,：.DF_L平面BBiGC,

設(shè)BC=a,則DF=^AB=|V4-a2,

22

TZj,1rnn1/-i7/1a+(4—a)1

VB「DBCI=%一BiBQ=5s2$(：1'DF=-ay!4—a<--=

當(dāng)且僅當(dāng)Q=74—Q2,即Q=時(shí)等號(hào)成立，

???三棱錐坊-DBG體積的最大值為去

【解析】(I)連接aC交BQ于E,連接。E,可得再由直線與平面平行的判斷可得4名〃

平面QCB；

(H)過。作。F1BC,得DF//48,且F為BC的中點(diǎn)，證明OF_L平面881clC,設(shè)BC=a,貝加F=

\AB=.由等體積法寫出三棱錐當(dāng)-OBG的體積，再由基本不等式求最值.

本題考查直線與平面平行的判定，考查空間想象能力與思維能力，訓(xùn)練了利用等體積法求多面體

的體積，考查利用基本不等式求最值，是中檔題.

20.【答案】解：(1)由頻率分布直方圖可得每組的頻率依次為0.15,10t,0.2,0.35,0.05,

則0.15+10C+0.2+0.35+0.05=1,解得t=靖=0.025,

設(shè)平均成績(jī)的估計(jì)值為高

則5=55x0.15+65X0.25+75x0.2+85X0.35+95x0.05=74，

所以這100名學(xué)生的平均成績(jī)估計(jì)值為74分.

(2)每個(gè)學(xué)生成績(jī)不低于80分的概率為0.4.

3名學(xué)生中恰有2人成績(jī)不低于80分的概率A=3x0.42x(1-0.4)=0.288;

3名學(xué)生中恰有3人成績(jī)不低于80分的概率P3=0.43=0.064;

3名學(xué)生中至少有2人成績(jī)不低于80分的概率P=P1+P2=0.352.

【解析】(1)根據(jù)頻率和為1求t的值，再根據(jù)平均數(shù)公式運(yùn)算求解；

(2)根據(jù)獨(dú)立事件概率乘法公式運(yùn)算求解.

本題考查頻率分布直方圖的相關(guān)知識(shí)，概率的性質(zhì)，屬中檔題.

21.【答案】證明：(1)因?yàn)閎=.X'C°SCC2COSA

5a-c

702+廬—c272_a2

由余弦定理得6=2xa~

5a—c

_磯Q2+b2c2)c(b2+c2-a2)_(加一四+廬包一弓+碇伍一弓

5b(a-c)5b(a-c)

a2+ac+c24-b2+ac

=-----------------------------,

5b

整理得5b2=(a+c)2+b2,即4b2=(a+c)2.

所以2Z?=a+c.

(2)解：由(1)可知：2b=a+c,

由余弦定理可得COSB=>+c2T2=a2+c2-(竽)2=。'

2ac2ac8aJ4

設(shè)5=￡,貝iJcosB=1(t+；)—(，

因?yàn)?b=a+c,且aHc,不妨設(shè)a>c,即a>b>c,可知￡>1,

2

且△力BC是銳角三角形，則cosA>0,得b2+c2>a2,即(a+0+?2”,

4

則a+c>4(a-c),解得所以1<><,

由對(duì)勾函數(shù)可知f(t)=t+按(1,|)上單調(diào)遞增，且/⑴=2,/《)=答

則/(t)=t+；e(2,急，所以cosBe(品)，

且BG(0,,則sinB=V1—cos2BG《，?),

所以sinB的取值范圍為4,?).

【解析】(1)根據(jù)題意利用余弦定理進(jìn)行角化邊，運(yùn)算求解即可；

(2)根據(jù)銳角三角形結(jié)合對(duì)勾函數(shù)可得t+(2,黃)，再利用余弦定理可得cosBe?,|),進(jìn)而可

得結(jié)果.

本題主要考查解三角形，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題.

22.【答案】解：(l)(i)由題意，四邊形4BC。為直角梯形，且448c=90。，AB//CD,

所以/BCD=90°,所以8。=VBC2+CD2=V1+1=

取43的中點(diǎn)N,連接DN,則CD〃BN且CD=BN,且/BCD=90。，

故四邊形BCDN為矩形，

則DN〃BC,且DN=BC,所以V。="DN?+AN2=71+1=C，

又由AB=2,所以BO?+%。2=432,所以BD14。，

又平面ADM1平面ABCD,平面ADMCl平面ABCD=AD,BDu平面ABCD,

所以BD1平面ADM,

又AMu平面4DM,所以AMJ.BD,

因?yàn)镸O=AL4=1,AD=0,則4M2+?！?=力。2,所以4M10M,

又DMCBD=D,DM、BDu平面