第二章 一元二次函數(shù)、方程和不等式單元綜合測試（解析版）

第二章一元二次函數(shù)、方程和不等式單元綜合測試第Ⅰ卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知，，且，則的最大值為（

）A．1 B． C． D．【答案】C【解析】，解得，當且僅當時等號成立，即，時，等號成立，所以的最大值為.故選：C2．已知且，則下列結(jié)論錯誤的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由且，可得，，A正確；由，可得，B正確；取，，則不成立，C錯誤；，D正確.故選：C3．已知命題：命題：R，，若命題，都是真命題，實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C．或 D．【答案】C【解析】∵命題P：為真命題，∴，又∵，∴，當且僅當，即時，等號成立，∴，∵命題：R，，為真命題，∴，∴或，∵命題p，q都是真命題，∴或，故選：C．4．若關(guān)于x的不等式在時有解，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】不等式在時有解，等價于當時，.由二次函數(shù)的圖象知，當時，，所以.故選：A.5．不等式的解集為，則函數(shù)的圖象大致為（

）A．

B．

C．

D．

【答案】A【解析】因為的解集為，所以方程的兩根分別為和1，且，則變形可得故函數(shù)的圖象開口向下，且與x軸的交點坐標為和，故A選項的圖象符合.故選：A6．已知，，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由，且，故，當且僅當，即時取得等號.故選：B7．已知一元二次不等式的解集為，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為一元二次不等式的解集為，所以，，則，所以，，當且僅當時，即當時，等號成立.因此，的最大值為.故選：A.8．已知正實數(shù)，，滿足，則下列不等式中錯誤的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】對于A：∵，當且僅當時取等號，∴A正確；對于B：∵，當且僅當時取等號，∴B正確；對于C，，當且僅當，即，時取等號，∴C正確；對于D，∵，當且僅當時取等號，∴D錯誤；故選：D.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。9．已知，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．【答案】ABD【解析】由，得，，則，A正確；由，得，則，即，B正確；當時，，則C錯誤；由，得，D正確.故選：ABD10．不等式的解集是，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．【答案】ABC【解析】因為不等式的解集是，可得，且，所以，所以，所以A、C正確，D錯誤．因為二次函數(shù)的兩個零點為，且圖像開口向下，所以當時，，所以B正確．故選：ABC．11．如圖，二次函數(shù)的圖象與x軸交于A?B兩點，與y軸交于點C，且，則下列結(jié)論正確的為（

）

A． B． C． D．【答案】CD【解析】對于A，根據(jù)圖象，可知，又對稱軸，則，則，故A錯誤；對于B，當時，，不能說明y的值是否大于0，故B錯誤；對于C，設(shè)，，將點B代入函數(shù)，得，故，故C正確；對于D，當時，，方程的兩個根，所以，則D正確.故選：CD.12．已知正實數(shù)，滿足，則（

）A．的最大值為 B．的最小值為C．的最小值為 D．的最小值為【答案】BD【解析】對A，因為，則，解得，則，當且僅當時等號成立；故A錯誤；對B，因為，則，當且僅當時取得最小值，故B正確；對C，，即，當時顯然不合題意，故，則，則或（舍去），則，當且僅當，即，此時時等號成立，故C錯誤；對D，，令，由A知，則，則當，，此時，故D正確.故選：BD.第Ⅱ卷三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若，則關(guān)于的不等式的解集為．【答案】【解析】，，則，，或．故答案為：．14．已知：，則大小關(guān)系是．【答案】【解析】由，得，因此，顯然，則，所以大小關(guān)系是.故答案為：15．若，則關(guān)于的不等式組，整數(shù)解的個數(shù)是【答案】【解析】因為，由不等式組可得，，而，則整數(shù)解有，所以不等式組的整數(shù)解有個.故答案為:16．已知，，則的最小值為．【答案】【解析】，因為，所以當，，上述等號在時成立．故答案為：四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步棸。17．（10分）（1）解關(guān)于x的不等式；（2）解關(guān)于x的不等式.【解析】（1）變形得到，解得或，故解集為或；（2）變形為，故，解得，故不等式的解集為.18．（12分）已知bg糖水中有ag糖，往糖水中加入mg糖，（假設(shè)全部溶解）糖水更甜了.(1)請將這個事實表示為一個不等式(2)證明這個不等式【解析】（1）由題可得；（2）因為，，所以，從而，即.19．（12分）已知.(1)如果對一切，恒成立，求實數(shù)的取值范圍；(2)是否存在實數(shù)，使得對任意，恒成立？若存在，求出的取值范圍；若不存在，說明理由.【解析】（1）由題意知：只有當二次函數(shù)與直角坐標系中的軸無交點時，才能滿足題意；其相應(yīng)方程此時應(yīng)滿足，解得：，實數(shù)的取值范圍為.（2）若對任意，恒成立，則滿足題意的函數(shù)的圖象如圖所示，由圖象可知，此時應(yīng)該滿足，則，不等式組無解，不存在實數(shù)滿足：對任意，恒成立.20．（12分）（1）已知且，求的最小值.（2）已知，且，證明【解析】（1）因為且，則當且僅當時，即時，即時，等號成立，所以的最小值為.（2）因為且，則，當且僅當，且時，即時,等號成立，所以.21．（12分）已知關(guān)于的不等式，其中；(1)當，求不等式的解集；(2)當變化時，試求不等式的解集；(3)對于不等式的解集，滿足.試探究集合能否為有限集，若能，求出使得集合中元素最少的的所有取值，并用例舉法表示此時的集合，若不能，說明理由.【解析】（1）當時，原不等式即為，即，解得，故.（2）（1）當時，原不等式即為，解得，即；（2）當時，解方程，得或，且.①當時，，則，解原不等式可得，即；②當或時，，即，解原不等式可得或，即；③當時，，原不等式即為，解得，即.綜上所述，當時，；當時，；當或時，；當時，.（3）由（2）可知，當時，為無限集，當時，為有限集，此時，，當且僅當時，即當時