高二上學(xué)期期末復(fù)習(xí)【第四章 數(shù)列】十一大題型歸納（基礎(chǔ)篇）（解析版）

2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末復(fù)習(xí)第四章十一大題型歸納（基礎(chǔ)篇）【人教A版（2019）】題型1題型1根據(jù)數(shù)列的前幾項寫出數(shù)列的一個通項公式1．（2023下·高二課時練習(xí)）數(shù)列0,-13,A．a(chǎn)B．a(chǎn)C．a(chǎn)D．a(chǎn)【解題思路】根據(jù)規(guī)律求得數(shù)列的一個通項公式，從而確定正確答案.【解答過程】數(shù)列0,-1即1-11+1所以數(shù)列的通項公式可以為an故選：C.2．（2023上·吉林長春·高二?？计谀┰跀?shù)列1，2，7，10，13，?中，70是這個數(shù)列的（

）A．第16項 B．第24項 C．第26項 D．第28項【解題思路】根據(jù)題意求出數(shù)列的通項公式，結(jié)合通項公式分析求解.【解答過程】數(shù)列可化為1,3×1+1所以an令3n-2=70，解得所以70是這個數(shù)列的第24項，故選：B．3．（2023下·高二課時練習(xí)）寫出下面各數(shù)列的一個通項公式，使它的前4項分別是下列各數(shù)．(1)-3,0,3,6,?；(2)4,-4,4,-4,?；(3)1，0，1，0，…；(4)22-12，32-13【解題思路】利用觀察歸納得到數(shù)列的通項公式.【解答過程】（1）數(shù)列可記為3×(-1),3×0,3×1,3×2,?，所以數(shù)列的通項公式為an=3(n-2)（2）數(shù)列的各項符號間隔排列，可用(-1)n+1所以數(shù)列的通項公式為an=（3）數(shù)列的奇數(shù)項為1，偶數(shù)項為0，因此數(shù)列的通項公式為an（4）這個數(shù)列的前4項分別為22其分母都是序號n加上1，分子都是分母的平方減去1，所以它的一個通項公式為an4．（2023下·高二課時練習(xí)）寫出下列數(shù)列的一個通項公式．(1)0,3,8,15,24,?;(2)1,-3,5,-7,9,?;(3)0，22-25，32-3(4)1，11，111，1111，….【解題思路】（1）將給定的5項都加1即為項數(shù)的平方特點,即可寫出一個通項；（2）所給5項正負相間，其絕對值為前5個正奇數(shù)，由此即可寫出一個通項；（3）分母為項數(shù)的平方加1，觀察即可寫出一個通項；（4）把所給4項變形，并用10的整數(shù)次冪減去1的形式表示出來，觀察即可寫出一個通項.【解答過程】（1）觀察數(shù)列中的數(shù)，可以看到0=1-1,3=4-1,8=9-1,15=16-1,24=25-1,?,所以它的一個通項公式是an（2）數(shù)列各項的絕對值為1,3,5,7,9,?,是連續(xù)的正奇數(shù)，并且數(shù)列的奇數(shù)項為正，偶數(shù)項為負，所以它的一個通項公式為an（3）因為5=22+1,10=（4）原數(shù)列的各項可變?yōu)?9×9,19×99,19×999,19×9999,…，易知數(shù)列9，99，999題型2數(shù)列的單調(diào)性的判斷1．（2023下·廣西桂林·高二統(tǒng)考期末）數(shù)列an的通項公式為an=n2+kn，那么“k≥-1”是“A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【解題思路】當(dāng)k≥-1時，可得an+1-an>0，知充分性成立；由數(shù)列單調(diào)性可知an+1【解答過程】當(dāng)k≥-1時，an+1∴數(shù)列an當(dāng)數(shù)列an為遞增數(shù)列時，a∴k>-2n+1恒成立，又-∴k>-3，必要性不成立；∴“k≥-1”是“an為遞增數(shù)列”的充分不必要條件故選：A.2．（2023下·北京懷柔·高二統(tǒng)考期末）數(shù)列an的通項公式為an=n-λ?2nA．1,+∞ B．C．-∞,1+log【解題思路】由題意可得an<an+1對于【解答過程】因為數(shù)列an的通項公式為an=所以an<a所以n-λ?2n即n-λ<2n+1-λ對于?n∈所以λ<n+2對于?n∈N所以λ<1+2=3，即λ的取值范圍是-∞,故選：D.3．（2023上·湖北襄陽·高二?？计谀┮阎獢?shù)列an的通項公式為a(1)判斷數(shù)列an(2)若數(shù)列an中存在an=n【解題思路】（1）首先判斷an（2）依題意可得1+6n【解答過程】（1）因為an=1+6證明：數(shù)列an中，a則an+1所以an+1故數(shù)列an（2）若an=n，即1+6解得：n=3或n=-2（舍去），故n=3．4．（2023下·上海虹口·高一上外附中校考期末）已知數(shù)列an的前n項和S(1)求數(shù)列an(2)若bn=a(3)若cn=2nan【解題思路】（1）利用an與S（2）求出數(shù)列bn（3）分離出k，利用數(shù)列的單調(diào)性求出k的取值范圍即可.【解答過程】（1）當(dāng)n≥2時，an當(dāng)n=1時，a1=故數(shù)列an的通項公式為a（2）由已知得b1當(dāng)n≥2時，bn=abn+1-bn=2027-所以當(dāng)2≤n≤11時，bnb11所以數(shù)列bn的最大項是該數(shù)列的第11（3）由已知得c1=2(2-k)-2=2-2k，則c2>c當(dāng)n≥2時，cn+1-=(4n+5)2要使cn+1-c設(shè)dn則dn+1所以數(shù)列dn為單調(diào)遞增數(shù)列，即k<綜上，實數(shù)k的取值范圍為-∞題型3題型3等差數(shù)列的基本量的求解1．（2023上·云南·高二統(tǒng)考期末）已知數(shù)列an是等差數(shù)列，且a2+a14A．3 B．4 C．7 D．8【解題思路】設(shè)等差數(shù)列an的首項為a1，公差為d，可得2【解答過程】設(shè)等差數(shù)列an的首項為a1，公差為∵a2+a14解得:d=3a1=4，故選：B．2．（2023下·江西·高二統(tǒng)考期末）在x和y兩個實數(shù)之間插入n個實數(shù)a1，a2，a3，?,anA．y-xn B．y-xn+1 C．x-yn+1【解題思路】根據(jù)等差數(shù)列通項公式計算可得.【解答過程】依題意等差數(shù)列x,a1,設(shè)公差為d，則y=x+n+2所以d=y-x故選：B.3．（2023上·新疆喀什·高二?？茧A段練習(xí)）在等差數(shù)列an(1)已知a1=-1，公差d=4，求(2)已知公差d=-13，a7【解題思路】（1）根據(jù)等差數(shù)列的基本量求解a8（2）根據(jù)等差數(shù)列的項與首項之間的關(guān)系求解即可得a1【解答過程】（1）在等差數(shù)列an中，a1=-1則a8（2）在等差數(shù)列an中，公差d=-13則a7=a4．（2023上·高二課時練習(xí)）在等差數(shù)列an(1)已知a1=-1，d=3，求(2)已知a4=4，a8(3)已知a1=1，d=3，an【解題思路】（1）根據(jù)等差數(shù)列通項公式代入計算即可；（2）根據(jù)等差數(shù)列通項公式代入計算即可；（3）根據(jù)等差數(shù)列通項公式代入計算即可；【解答過程】（1）由an=a（2）因為a4=4，a8=-4，所以解得d=-2；（3）由an=a1+(n-1)d題型4題型4等差數(shù)列的通項公式1．（2023上·河南三門峽·高二統(tǒng)考期末）若數(shù)列an滿足a1=2，an+1-anA．n2+1 B．-n+3 C．n(n+3)2【解題思路】根據(jù)等差數(shù)列的定義及通項公式求解.【解答過程】因為an+1所以an是以2為首項，1所以an故選：D.2．（2023上·山東濟寧·高二統(tǒng)考期末）已知數(shù)列an為等差數(shù)列且a1>0，數(shù)列1anan+1的前nA．n+1 B．n+2 C．2n-1 D．2n+1【解題思路】由題意可得1a1a2【解答過程】由數(shù)列1anan+1的前得1a1a設(shè)公差為d，則a1a1+d=3∴a故選:C.3．（2023上·山東青島·高二?？计谀┮阎獢?shù)列an中，a1=1(1)求證：數(shù)列1a(2)求數(shù)列an【解題思路】（1）根據(jù)題意，將原式兩邊同時取倒數(shù)，即可得到證明；（2）由（1）可得數(shù)列1an的通項公式，從而求得數(shù)列【解答過程】（1）因為a1=1，an+1=a所以1a1=1，即數(shù)列1an是首項為（2）由（1）可知，數(shù)列1an是首項為1，公差為所以1an=1+4．（2023上·廣東東莞·高二?？计谀┮阎獢?shù)列an中，a1=2(1)證明數(shù)列1an-1(2)若對任意n∈N*，都有a1【解題思路】（1）根據(jù)已知可推出1an+1-1-1（2）經(jīng)化簡可得，k≥n+122n.令bn=n+122【解答過程】（1）證明：由已知可得an≠1，1a又a1=2，所以1a1-1=1，所以數(shù)列1所以1an-1=1+n-1（2）由（1）知，an所以a1a2則由a12?a22令bn=n+122n，假設(shè)數(shù)列當(dāng)r≥2時則，有br≥br-1b解得2≤r≤2+1因為r∈N*，所以r=2，又b1=2，所以數(shù)列bn中第2項最大，即bn所以由k≥n+122n對任意題型5題型5由等差數(shù)列的前n項和求通項公式1．（2023下·寧夏吳忠·高一?？计谥校┮阎獢?shù)列{an}的所有項均為正數(shù)，其前n項和為Sn，且Sn=A．a(chǎn)n=2n-1 BC．a(chǎn)n=4n-1 D【解題思路】令n=1，由a1=S1=14a12【解答過程】當(dāng)n=1時，a1=S解得：a1=3或因為an>0，所以當(dāng)n≥2時，an整理可得：an2-因為an+a所以{an}是以a所以an故選：B.2．（2022下·河南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知均為等差數(shù)列的an與bn的前n項和分別為Sn，Tn，且SnA．74 B．2110 C．136【解題思路】設(shè)Sn=kn2n+3，Tn=kn【解答過程】因為a1+a所以可設(shè)Sn=kn2n+3則a5=所以a5b6故選：A.3．（2023下·四川雅安·高一統(tǒng)考期末）已知Sn是等差數(shù)列an的前n項和，且（1）求數(shù)列an（2）n為何值時，Sn【解題思路】（1）利用公式an（2）對Sn=-2n2+15n進行配方，然后結(jié)合由n∈N【解答過程】（1）由題意可知：Sn=-2n2+15n當(dāng)n≥2時，an當(dāng)n=1時，顯然成立，∴數(shù)列an的通項公式a（2）Sn由n∈N*，則n=4時，Sn∴當(dāng)n為4時，Sn取得最大值，最大值284．（2023上·湖南衡陽·高二?？计谀┮阎獢?shù)列an的前n項和Sn=(1)證明：數(shù)列an(2)已知bn=1ana【解題思路】（1）根據(jù)Sn=n2-4n求出數(shù)列（2）利用裂項相消的方法求數(shù)列bn的前n項和即可【解答過程】（1）∵Sn=n∴當(dāng)n=1時，a1當(dāng)n≥2時，Sn-1由①-②得當(dāng)n=1時，a1∴數(shù)列an的通項公式為an=2n-5∴a∴數(shù)列an是等差數(shù)列（2）由(1)知bn∴數(shù)列bn的前n項和為===-16-題型6題型6等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)1．（2023下·江西吉安·高二統(tǒng)考期末）記Sn為等差數(shù)列an的前n項和，S2=4，S6A．8 B．9 C．10 D．11【解題思路】結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)求解即可；【解答過程】（法一）∵數(shù)列an∴有S2，S4-∴2S解得S4故選：C.（法二）由題意知，S2=2a解得a1=7∴S故選：C.2．（2022·貴州畢節(jié)·統(tǒng)考模擬預(yù)測）等差數(shù)列an的前n項和為Sn，若S20212021=SA．a(chǎn)n=2n+1 BC．Sn=2n【解題思路】等差數(shù)列前n項和Sn構(gòu)成的數(shù)列{Sn【解答過程】設(shè)an的公差為d∵S∴Sn即{Snn}為等差數(shù)列，公差為由S20212021-故an故選：A﹒3．（2023·高二課時練習(xí)）設(shè)兩個等差數(shù)列an，bn的前n項和分別為Sn、Tn，已知S【解題思路】根據(jù)等差數(shù)列前n項和性質(zhì)有S9T【解答過程】由題意得S所以a5b54．（2022·高二課時練習(xí)）設(shè)等差數(shù)列an的前n項和為S(1)已知a6=10，S5(2)已知S4=2，S9(3)已知a2+a4+(4)已知S3=6，S6【解題思路】（1）利用等差數(shù)列通項公式和前n項和公式列出方程組，求出首項和公差，由此能求出S8（2）由等差數(shù)列的前n項和公式列出方程組，求出首項和公差，繼而求出S12（3）利用等差數(shù)列通項公式列出方程組，求出首項和公差，由此能求出S20（4）由等差數(shù)列{an}中S3，S6【解答過程】（1）∵等差數(shù)列{an}中，a∴a6解得a1=-5，∴S（2）∵等差數(shù)列{an}中，S∴4a1+6d=2解得S12（3）∵等差數(shù)列{an}中，a∴a1解得a1=-10，∴S（4）∵等差數(shù)列{an}中，SS3，S6-∴2(S即2(-8-6)=6+S解得S9題型7題型7等比數(shù)列的基本量的求解1．（2023上·黑龍江牡丹江·高二?？计谀┰诘缺葦?shù)列an中，a3=2，aA．2 B．1 C．12 D．【解題思路】根據(jù)等比數(shù)列基本量關(guān)系求解即可.【解答過程】a4a3=2，∴q=2，故選：C.2．（2023下·云南保山·高二統(tǒng)考期末）已知首項為1的等比數(shù)列an滿足a2,a3A．12 B．-12 C．2【解題思路】利用等差中項公式與等比數(shù)列的通項公式求解即可.【解答過程】設(shè)等比數(shù)列an的公比為q(q≠0)因為a2,a3,因為a1=1，整理得(q-2)?(q故選：C.3．（2023上·高二課時練習(xí)）已知數(shù)列an(1)若a1=3，q=-2，求(2)若a3=20，a6=160，求(3)若a5-a1=15【解題思路】（1）利用等比數(shù)列的通項公式直接求解即可，（2）根據(jù)已知條件列方程組求解即可，（3）根據(jù)已知條件列方程組求出a1和q，從而可求出a【解答過程】（1）因為數(shù)列an為等比數(shù)列，且a1=3所以a6（2）因為a3=20，所以a1q2（3）因為a5-a所以a1由題意可知q≠±1，所以q4-1q(q2-1)=當(dāng)q=2時，a1=1，所以當(dāng)q=12時，a1綜上a3=4或4．（2023上·山東濟寧·高三校考階段練習(xí)）（1）已知等差數(shù)列an的通項公式為an=2n-1，求首項a（2）已知等比數(shù)列an的通項公式為an=3×2n-3【解題思路】（1）根據(jù)等差數(shù)列的通項公式即可求解；（2）根據(jù)等比數(shù)列的通項公式即可求解.【解答過程】（1）因為an=2n-1，則a1所以d=a（2）由題意an=3×2其公比為q=a題型8題型8等比數(shù)列的通項公式1．（2023上·湖南岳陽·高二校考競賽）在數(shù)列an中，a1=1，an+1=2A．3×2n-1 B．3×2n-1-2 C【解題思路】由題意可以得到數(shù)列an+2為等比數(shù)列，從而求解出數(shù)列a【解答過程】因為an+1所以an+1又因為a1+2=3≠0，所以故an+2為首項為3，公比為所以an+2=3?2故選：B.2．（2023上·吉林長春·高二?？计谀┮阎獢?shù)列an滿足a1=1，an+1A．29-3 B．29+3 C．【解題思路】根據(jù)題意分析可知數(shù)列an+3是以首項為4，公比為2【解答過程】因為an+1=2an可知數(shù)列an+3是以首項為4，公比為所以an+3=4×2所以a9故選：C.3．（2023上·吉林長春·高二?？计谀┮阎獢?shù)列an是首項a1=2，a(1)求數(shù)列bn(2)記cn=1bnbn+1【解題思路】（1）根據(jù)等比數(shù)列定義可求得公比q=2，可得an=2n，再由bn（2）易知cn=1【解答過程】（1）設(shè)數(shù)列an的公比為q由等比數(shù)列定義可得a4=a所以an又bn=所以數(shù)列bn的通項公式為b（2）由（1）可知cn則Sn即數(shù)列cn的前n項和S4．（2023上·河北邢臺·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知an是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，a(1)求an(2)設(shè)bn=log3an【解題思路】（1）根據(jù)等比數(shù)列通項公式列出含有公比的方程，解出即可；（2）由（1）先求出bn=n，然后根據(jù)等差數(shù)列前n【解答過程】（1）設(shè)an的公比為q，因為a所以9q2=15q+36解得q=3或q=-4故an的通項公式為a（2）由（1）知bn=log3an=n則Sn題型9題型9由等比數(shù)列前n項和求通項公式1．（2023下·安徽宣城·高二統(tǒng)考期末）等比數(shù)列an的各項均為實數(shù)，其前n項和為Sn，已知S3=7,SA．4 B．16 C．32 D．64【解題思路】通過討論q的取值情況，確定q≠1，利用等比數(shù)列的求和公式Sn=a1(1-qn【解答過程】當(dāng)公比q=1時S3=3a1可得a1=7由等比數(shù)列的前n項和公式Sn=a1兩式相除，得q6-9q3+8=0當(dāng)q=2時，代入原式可求得a1=1，則由等比數(shù)列的通項公式故選：D.2．（2023下·河南南陽·高二校聯(lián)考期末）已知等比數(shù)列an的前n項和為Sn，a2=4，A．16 B．8 C．6 D．2【解題思路】先利用等比數(shù)列前n項和公式及性質(zhì)求出公比q，然后利用等比數(shù)列通項公式求出首項即可.【解答過程】設(shè)等比數(shù)列an的公比為q由S8即a8可得q3=8，即又a2=4，所以故選：D.3．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知等比數(shù)列an的前n項和為Sn,S3=3a3=3(1)分別求數(shù)列an和b(2)求數(shù)列an+bn【解題思路】（1）運用等比數(shù)列通項公式即可求得數(shù)列{an}的通項公式，由數(shù)列通項與其前n（2）運用分組求和即可求得結(jié)果.【解答過程】（1）設(shè)數(shù)列an的公比為q則a1(1+q+q所以當(dāng)a1=1q=1當(dāng)a1=4q=-所以數(shù)列{an}的通項公式為a因為4T所以當(dāng)n=1時，4T1=4+當(dāng)n≥2時，4Tn-1由①②可得4bn=4+所以bn-2=b當(dāng)bn-2=bn-1時，即所以數(shù)列bn是以b1=2為首項，2當(dāng)bn-2=-bn-1時，即當(dāng)n=2時，b2又b1=2，所以b2=0綜述：數(shù)列bn的通項公式為b（2）設(shè)數(shù)列an+bn的前當(dāng)an=1時，則Hn當(dāng)an=4×(-Hn綜述：數(shù)列an+bn的前n項和為4．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知正項數(shù)列an的前n項和為Sn，且滿足(1)證明：數(shù)列an(2)若a1-a2=14,b【解題思路】（1）根據(jù)數(shù)列遞推式可得當(dāng)n≥2時，有Sn-1=2n-1-1（2）結(jié)合（1）可求出an,Sn的表達式，可得b【解答過程】（1）由Snan=2n-1兩式相減得Sn整理得2n-2a因此數(shù)列an是以1（2）由（1）及a1-a因此an于是bn所以T+?+1由于n∈N*，所以故23題型10題型10等比數(shù)列前n項和的性質(zhì)1．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）記Sn為等比數(shù)列an的前n項和，若S4=-5，S6A．120 B．85 C．-85 D．-120【解題思路】方法一：根據(jù)等比數(shù)列的前n項和公式求出公比，再根據(jù)S4方法二：根據(jù)等比數(shù)列的前n項和的性質(zhì)求解．【解答過程】方法一：設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，首項為a若q=-1，則S4=0≠-5，與題意不符，所以若q=1，則S6=6a由S4=-5，S6=21S2由①可得，1+q2+所以S8=故選：C．方法二：設(shè)等比數(shù)列an的公比為q因為S4=-5，S6=21S從而，S2所以有，-5-S22=S當(dāng)S2=-1時，S2易知，S8+21=-64，即當(dāng)S2=5與S4故選：C．2．（2023上·陜西寶雞·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知等比數(shù)列an中，a1=1，a1+a3A．2 B．3 C．4 D．5【解題思路】本題首先可設(shè)公比為q，然后根據(jù)a1+a3+?+a2k+1=85得出q【解答過程】設(shè)等比數(shù)列an的公比為q則a1即qa因為a2+a則a1即128=22k+1，解得故選：B.3．（2022·高二課時練習(xí)）在等比數(shù)列an中，q=12，S100【解題思路】利用等比數(shù)列的奇數(shù)項和與偶數(shù)項和的關(guān)系,即可求解.【解答過程】解：設(shè)T1=a所以T2所以S100所以T24．（2023上·安徽·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）記Sn為等比數(shù)列an的前n項和，(1)若S12=12，求(2)若S6>0，求證：【解題思路】（1）根據(jù)等比數(shù)列前n項和的性質(zhì)列方程求得q6=2，然后可得（2）利用等比數(shù)列前n項和的性質(zhì)求出S6n+6，然后整理變形即可得證【解答過程】（1）設(shè)等比數(shù)列an的公比為q因為S18=7SS12=S故S6，S12-S6所以S18整理得S6因為S6≠0，故解得q6所以S24（2）因為S6>0，所以q≠-1，由（1）知，因為數(shù)列S6,S12-所以S=又S6n+6則S所以S6n+