高二數(shù)學(xué)期末押題卷01（測(cè)試范圍：選修一+選修二第四章）（解析版）

高二數(shù)學(xué)期末押題卷01考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分測(cè)試范圍：選修一+選修二第四章一．選擇題（共8小題，滿分40分，每小題5分）1．（5分）過(guò)點(diǎn)A（﹣，）與點(diǎn)B（﹣，）的直線的傾斜角為（）A．45° B．135° C．45°或135° D．60°【分析】先求出過(guò)兩點(diǎn)的直線的斜率，由此能求出過(guò)點(diǎn)A（﹣，）與點(diǎn)B（﹣，）的直線的傾斜角．【解答】解：過(guò)點(diǎn)A（﹣，）與點(diǎn)B（﹣，），kAB＝＝1，∴過(guò)點(diǎn)A（﹣，）與點(diǎn)B（﹣，）的直線的傾斜角為45°，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線的傾斜角的求法，考查直線的斜率、傾斜角等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．2．（5分）已知a＞0，b＞0，那么“b+4a≤ab”是“a+b≥9”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【分析】a＞0，b＞0，由b+4a≤ab，則+≤1，根據(jù)基本不等式和充分條件必要條件的定義即可判斷．【解答】解：a＞0，b＞0，由b+4a≤ab，則+≤1，∴a+b≥（a+b）（+）＝5++≥5+2＝9，當(dāng)且僅當(dāng)b＝2a時(shí)取等號(hào)，若a+b≥9+≤（a+b）（+）＝（5++），∵5++≥5+2＝9，∴不能由“a+b≥9”得到“b+4a≤ab”，故“b+4a≤ab”是“a+b≥9”充分不必要條件，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查基本不等式的運(yùn)用，充分條件，必要條件，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．3．（5分）已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a7+a10＝a11+3，則S11＝（）A．33 B．66 C．22 D．44【分析】根據(jù)題意，由等差數(shù)列的性質(zhì)可得a7+a10﹣a11＝a6＝3，又由S11＝＝11a6，計(jì)算可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，等差數(shù)列{an}中，若a7+a10＝a11+3，則a7+a10﹣a11＝a6＝3，則S11＝＝11a6＝33；故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查等差數(shù)列的求和，涉及等差數(shù)列的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．4．（5分）平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1的所有棱長(zhǎng)都是1，O為A1C1中點(diǎn)，∠BAD＝∠BAA1＝∠DAA1＝60°，，則（）A．x＝1，y＝1 B．x＝1， C．， D．，y＝1【分析】根據(jù)空間向量線性運(yùn)算法則計(jì)算可得．【解答】解：依題意＝＝，又，所以，．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：向量的線性運(yùn)算，主要考查學(xué)生的理解能力和計(jì)算能力，屬于中檔題．5．（5分）若直線l的方向向量為，平面α的法向量為，則下列四組向量中能使l⊥α的是（）A．＝（﹣1，0，1），＝（1，0，1） B．＝（0，2，1），＝（0，1，﹣2） C．＝（1，﹣2，1），＝（﹣2，1，﹣2） D．＝（2，﹣1，1），＝（﹣4，2，﹣2）【分析】根據(jù)題意，直線l的方向向量為，平面α的法向量為，則，以此判斷即可．【解答】解：根據(jù)題意，直線l的方向向量為，平面α的法向量為，則，對(duì)于A、B、C，均不滿足，故不平行，對(duì)于D，，故，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面的法向量與直線方向向量相關(guān)問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題．6．（5分）已知兩條異面直線的方向向量分別是＝（﹣2，1，2），＝（3，﹣2，1），則這兩條異面直線所成的角θ滿足（）A． B． C． D．【分析】先計(jì)算兩直線方向向量間夾角的余弦值，然后轉(zhuǎn)化為異面直線間的夾角的余弦．【解答】解：因?yàn)閏os＜＞＝＝，所以＝．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查異面直線所成角的計(jì)算方法，屬于基礎(chǔ)題．7．（5分）已知點(diǎn)F是拋物線C：y2＝2px（p＞0）的焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F的直線與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在x軸上方），與y軸的正半軸相交于點(diǎn)N，點(diǎn)Q是拋物線不同于A，B的點(diǎn)，若，則|BF|：|BA|：|BN|＝（）A．1：2：4 B．2：3：4 C．2：4：5 D．2：3：6【分析】由，可得A為中點(diǎn)，進(jìn)而可得A，N的坐標(biāo)，再由三角形的對(duì)應(yīng)比成比例可得B的坐標(biāo)，進(jìn)而求出|BF|：|BA|：|BN|的值．【解答】解：由題意如圖所示，若，可得2＝（）+（）＝2+，可得＝，可得A為NF的中點(diǎn)；因?yàn)榻裹c(diǎn)F（，0），所以xA＝，代入拋物線的方程可得yA＝，即A（，p），所以N（0，p），設(shè)B（，y0），y0＜0，由＝，即＝可得：y0＝﹣p，x0＝p，即B（p，﹣），所以：|BF|＝x0+＝，|BA|＝+p+p＝，|BN|＝＝3p，所以|BF|：|BA|：|BN|＝：：3p＝2：3：4，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】考查拋物線的性質(zhì)，屬于中檔題．8．（5分）已知F是橢圓＝1（a＞b＞0）的一個(gè)焦點(diǎn)，若直線y＝kx與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，且∠AFB＝120°，則橢圓離心率的取值范圍是（）A． B． C． D．【分析】連接A，B與左右焦點(diǎn)F，F(xiàn)'的連線，由∠AFB＝120°，在三角形AFF'中利用余弦定理，結(jié)合基本不等式，轉(zhuǎn)化求解離心率的范圍即可．【解答】解：連接A，B與左右焦點(diǎn)F，F(xiàn)'的連線，由∠AFB＝120°，由橢圓及直線的對(duì)稱性可得四邊形AFBF'為平行四邊形，∠FAF'＝60°，在三角形AFF'中，|FF'|2＝|AF|2+|AF′|2﹣2|AF|?|AF'|cos∠FAF＝（|AF|+|AF'|）2﹣3|AF|?|AF'|，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)|AF|＝|AF′|時(shí)取等號(hào)，即，可得，所以橢圓的離心率，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力，是中檔題．二．多選題（共4小題，滿分20分，每小題5分）（多選）9．（5分）下列四個(gè)命題中，正確的有（）A．?dāng)?shù)列的第k項(xiàng)為 B．已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為，則﹣8是該數(shù)列的第7項(xiàng) C．?dāng)?shù)列3，5，9，17，33…的一個(gè)通項(xiàng)公式為 D．?dāng)?shù)列{an}的通項(xiàng)公式為，則數(shù)列{an}是遞增數(shù)列【分析】A，由數(shù)列通項(xiàng)求解判斷；的第k出項(xiàng)為，B，令n2﹣n﹣50＝﹣8求解判斷；C，將3，5，9，17，33，…的各項(xiàng)減去1，得2，4，8，16，32，…，求解判斷；D判斷an+1﹣an的符號(hào)即可．【解答】解：對(duì)于A，數(shù)列的第k出項(xiàng)為，故A正確；對(duì)于B，令n2﹣n﹣50＝﹣8，得n＝7或n＝﹣6（舍去），故B正確；對(duì)于C，將3，5，9，17，33，…的各項(xiàng)減去1，得2，4，8，16，32，…，設(shè)該數(shù)列為{bn}，則其通項(xiàng)公式為，因此數(shù)列3，5，9，17，33，…的一個(gè)通項(xiàng)公式為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，則，因此數(shù)列{an}是遞增數(shù)列，故D正確．故選：ABD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)列的表示方法，涉及數(shù)列的通項(xiàng)公式，屬于中檔題．（多選）10．（5分）黃金分割是一種數(shù)學(xué)上的比例，是自然的數(shù)美．黃金分割具有嚴(yán)格的比例性、藝術(shù)性、和諧性，蘊(yùn)藏著豐富的美學(xué)價(jià)值．應(yīng)用時(shí)一般取0.618．將離心率為黃金比的倒數(shù)，即e0＝的雙曲線稱為黃金雙曲線，若a，b，c分別是實(shí)半軸、虛半軸、半焦距的長(zhǎng)，則對(duì)黃金雙曲線，下列說(shuō)法正確的有（）A．當(dāng)焦點(diǎn)在x軸時(shí)，其標(biāo)準(zhǔn)方程為 B．若雙曲線的弦EF的中點(diǎn)為M，則kEF?kOM＝﹣e0 C．a(chǎn)，b，c成等比數(shù)列 D．雙曲線的右頂點(diǎn)A（a，0），上頂點(diǎn)B（0，b）和左焦點(diǎn)F（﹣c，0）構(gòu)成的△ABF是直角三角形【分析】由雙曲線離心率及a2+b2＝c2可判斷A；利用點(diǎn)差法可判斷B；由及ac＝a2e0可判斷C；由斜率之積為﹣1可判斷AB⊥BF，進(jìn)而判斷D．【解答】解：對(duì)于A，若雙曲線為黃金雙曲線，則離心率為，又，所以，所以黃金雙曲線的方程為，故A正確；對(duì)于B，由A可知，黃金雙曲線的方程為，設(shè)E（x1，y1），F(xiàn)（x2，y2），線段EF的中點(diǎn)M（x0，y0），則，兩式相減得，所以，即，即，所以，則kEF?kOM＝e0，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)?，所以b2＝ac，所以a，b，c成等比數(shù)列，故C正確；對(duì)于D，，所以kAB?kBF＝﹣×＝﹣＝﹣1，即AB⊥BF，故D正確；故選：ACD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了雙曲線的性質(zhì)，屬于中檔題．（多選）11．（5分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，△OAB為等腰三角形，頂角∠OAB＝θ，點(diǎn)D（3，0）為AB的中點(diǎn)，記△OAB的面積S＝f（θ），則（）A． B．S的最大值為6 C．|AB|的最大值為6 D．點(diǎn)B的軌跡方程是x2+y2﹣4x＝0（y≠0）【分析】令A(yù)（x，y）且y≠0，根據(jù)題設(shè)及兩點(diǎn)距離公式求A軌跡為（x﹣4）2+y2＝4且y≠0，應(yīng)用余弦定理、三角形面積公式求S＝f（θ）表達(dá)式，利用S△OAB＝S△OAD+S△OBD，結(jié)合圓的性質(zhì)求面積、|AB|最大值，令B（m，n），則x＝6﹣my＝﹣n≠0．代入A軌跡求B的軌跡方程，即可判斷各項(xiàng)的正誤．【解答】解：由∠OAB＝θ，|OA|＝|AB|，D（3，0）為AB的中點(diǎn)，若A（x，y）且y≠0，則B（6﹣x，﹣y），故x2+y2＝（6﹣2x）2+（﹣2y）2＝4（x﹣3）2+4y2，整理得：（x﹣4）2+y2＝4，則A軌跡是圓心為（4，0），半徑為2的圓（去掉與x軸交點(diǎn)），如下圖，由圓的對(duì)稱性，不妨令A(yù)在軌跡圓的上半部分，即0＜yA≤2，令|OA|＝|AB|＝2|AD|＝2a，則|OD|2＝|OA|2+|AD|2﹣2|OA||AD|cosθ，所以5a2﹣4a2cosθ＝9，則，所以，A正確；由，則S的最大值為6，B正確；由下圖知：|OA|＝|AB|∈（2，6），所以|AB|無(wú)最大值，C錯(cuò)誤；令B（m，n），則xA＝6﹣myA＝﹣n≠0．代入A軌跡得（m﹣2）2+n2＝4，即m2﹣4m+n2＝0，所以B軌跡為x2﹣4x+y2＝0且y≠0，D正確；故選：ABD．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了動(dòng)點(diǎn)軌跡方程，考查了圓的幾何性質(zhì)，屬于中檔題．（多選）12．（5分）在棱長(zhǎng)為2的正四面體ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別為棱BC，CD，DA的中點(diǎn)，則（）A．AC∥平面EFG B．過(guò)點(diǎn)E，F(xiàn)，G的截面的面積為 C．異面直線EG與AC所成角的大小為 D．CD與平面GBC所成角的大小為【分析】由線面平行的判定定理即可判斷選項(xiàng)A，分析證明四邊形EFGH是邊長(zhǎng)為1的正方形，且為截面，求解即可判斷選項(xiàng)B，利用異面直線所成角的定義得到∠EGF為所求的角，即可判斷選項(xiàng)C，利用線面垂直的判定定理證明DA⊥平面GBC，從而得到∠DCG為直線CD與平面GBC所成的角，利用邊角關(guān)系求解即可判斷選項(xiàng)D．【解答】解：對(duì)于A，因?yàn)镕，G為棱CD，DA的中點(diǎn)，所以FG∥AC，又FG?平面EFG，AC?平面EFG，所以AC∥平面EFG，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于B，取AB的中點(diǎn)H，則四邊形EFGH為截面，由選項(xiàng)A可得，F(xiàn)G∥AC，F(xiàn)G＝，同理可得，HE∥AC，HE＝，所以HE∥HG，且HE＝HG，故四邊形EFGH為平行四邊形，取BD的中點(diǎn)M，則BD⊥AM，BD⊥CM，又AM∩CM＝M，AM，CM?平面ACM，所以BD⊥平面AMC，又AC?平面AMC，故BD⊥AC，則EF⊥FG，所以四邊形EFGH為正方形，且邊長(zhǎng)為1，故截面的面積為1，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)锳C∥FG，故異面直線EG與AC所成的角即為∠EGF，由選項(xiàng)B可得，∠EGF＝，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于D，如圖所示，因?yàn)镈A⊥GB，DA⊥GC，且GB∩GC＝G，GB，GC?平面GBC，所以DA⊥平面GBC，則∠DCG為直線CD與平面GBC所成的角，在△DCG中，∠DCG＝，故選項(xiàng)D正確．故選：ACD．【點(diǎn)評(píng)】本題以命題的真假判斷為載體考查了立體幾何知識(shí)的理解與應(yīng)用，主要考查了空間直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系，空間角的計(jì)算等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想等，屬于中檔題．三．填空題（共4小題，滿分20分，每小題5分）13．（5分）空間向量的加法、減法、乘法坐標(biāo)運(yùn)算的結(jié)果依然是一個(gè)向量．錯(cuò)誤（判斷對(duì)錯(cuò)）【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合空間向量數(shù)量積的定義，即可求解．【解答】解：空間向量乘法坐標(biāo)運(yùn)算結(jié)果為一個(gè)數(shù)字，故原命題錯(cuò)誤．故答案為：錯(cuò)誤．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查空間向量乘法坐標(biāo)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．14．（5分）已知直線l1經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（3，0），直線l2經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（0，4），且l1∥l2，則l1與l2的距離d的取值范圍為（0，5]．【分析】由題意可得AB＝5，d表示l1到l2的距離，再根據(jù)0＜d≤AB，可得d的范圍．【解答】解：由題意可得|AB|＝＝5，d表示l1到l2的距離，再根據(jù)0＜d≤AB，可得0＜d≤5，故答案為：（0，5]．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查兩條平行線間的距離的定義和范圍，基本知識(shí)的考查．15．（5分）已知數(shù)列{an}中，a1＝，an＝1﹣（n≥2），則a2020的值是【分析】利用數(shù)列的遞推關(guān)系式求出數(shù)列的前幾項(xiàng)，得到數(shù)列的周期，然后求解即可．【解答】解：數(shù)列{an}中，a1＝，an＝1﹣（n≥2），可得a2＝﹣3；a3＝；a4＝；所以數(shù)列的周期為3，a2020＝a673×3+1＝a1＝．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)列的遞推關(guān)系式的應(yīng)用，求解數(shù)列的周期是解題的關(guān)鍵，是基本知識(shí)的考查．16．（5分）函數(shù)的最小值為m，則直線5x+3y﹣15＝0與曲線的交點(diǎn)為2個(gè)．【分析】函數(shù)＝x+1++2≥2+2＝6，從而得m＝6，然后對(duì)曲線取絕對(duì)值討論，畫(huà)其與直線5x+3y﹣15＝0圖像得交點(diǎn)個(gè)數(shù)．【解答】解：因?yàn)閤＞﹣1，所以x+1＞0，所以數(shù)＝x+1++2≥2+2＝6，當(dāng)且僅當(dāng)x+1＝，即x＝1時(shí)等號(hào)成立，又因?yàn)楹瘮?shù)的最小值為m，所以m＝6，所以曲線即為+＝1，當(dāng)x＞0，y＞0時(shí)曲線方程為+＝1，當(dāng)當(dāng)x＞0，y＜0時(shí)曲線方程為﹣＝1，當(dāng)x＜0，y＞0時(shí)曲線方程為﹣＝1，當(dāng)x＜0，y＜0時(shí)曲線方程為﹣﹣＝1，不成立．以此可畫(huà)出其圖像，然后畫(huà)出直線5x+3y﹣15＝0，如圖所示可得交點(diǎn)為2個(gè)．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線和圓錐曲線的位置關(guān)系，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算能力及直觀想象能力，所以中檔題．四．解答題（共6小題，滿分70分）17．（10分）（1）求焦點(diǎn)在x軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6，焦距為4的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求一個(gè)焦點(diǎn)為（5，0），漸近線方程為y＝±x的雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程．【分析】（1）利用已知條件求出橢圓方程中的a，b，得到橢圓方程即可．（2）利用焦點(diǎn)坐標(biāo)，漸近線方程求解a，b，得到雙曲線方程即可．【解答】解：（1）設(shè)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為，∵焦距為4，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6，∴a＝3，c＝2，∴b2＝5，∴橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）由已知可設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則其漸近線方程為，因?yàn)闈u近線方程為，所以，又因?yàn)殡p曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為（5，0），所以a2+b2＝52，故所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)以及方程的求法，是基礎(chǔ)題．18．（12分）已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，滿足a2＝5，a4＝9，數(shù)列{bn+an}是公比為3的等比數(shù)列，且b1＝3．（1）求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn．【分析】（1）分別運(yùn)用等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，解方程可得所求通項(xiàng)公式；（2）運(yùn)用數(shù)列的分組求和，結(jié)合等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式及錯(cuò)位相減法，計(jì)算可得所求和．【解答】解：（1）數(shù)列{an}是公差為d的等差數(shù)列，滿足a2＝5，a4＝9，可得a1+d＝5，a1+3d＝9，解得a1＝3，d＝2，即有an＝3+2（n﹣1）＝2n+1；數(shù)列{bn+an}是公比為3的等比數(shù)列，且b1＝3，可得bn+an＝6?3n﹣1＝2?3n，則bn＝2?3n﹣（2n+1）；（2）前n項(xiàng)和Sn＝（6+18+…+2?3n）﹣（3+5+…+2n+1）＝﹣n（3+2n+1）＝3n+1﹣3﹣n（n+2）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式的運(yùn)用，數(shù)列的分組求和，錯(cuò)位相減法求和，考查方程思想和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．19．（12分）已知點(diǎn)F為拋物線E：y2＝2px（p＞0）的焦點(diǎn)，點(diǎn)，且點(diǎn)P到拋物線準(zhǔn)線的距離不大于10，過(guò)點(diǎn)P作斜率存在的直線與拋物線E交于A，B兩點(diǎn)（A在第一象限），過(guò)點(diǎn)A作斜率為的直線與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)C．（1）求拋物線E的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求證：直線BC過(guò)定點(diǎn)．【分析】（1）由拋物線的方程可知焦點(diǎn)F的坐標(biāo)，由|PF|的大小，可得p的值，即求出拋物線的方程；（2）設(shè)直線AB的方程，與拋物線的方程聯(lián)立，可得兩根之和及兩根之積，分別討論直線BC的斜率存在和不存在兩種情況，可證得直線BC恒過(guò)定點(diǎn)，【解答】解：（1）由拋物線的方程可知：焦點(diǎn)F（，0），|PF|＝＝3，∵p＞0，又點(diǎn)P到拋物線E準(zhǔn)線的距離不大于10，解得p＝2，拋物線E的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝4x；（2）證明：依題意直線AB斜率存在，設(shè)AB的方程為y﹣3＝k（x﹣7），設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），聯(lián)立，化簡(jiǎn)得：ky2﹣4y+12﹣28k＝0，k≠0，Δ＝16（7k2﹣3k+1）＞0，則，消去k得：y1y2+28＝3（y1+y2），①又kAC＝＝＝，則y1+y3＝6，②由①②得（6﹣y3）y2+28＝3（6﹣y3+y2），∴3（y2+y3）＝y(tǒng)2y3﹣10，③（?。┤糁本€BC沒(méi)有斜率，則y2+y3＝0，又3（y2+y3）＝y(tǒng)2y3﹣10，∴＝﹣10（舍去）；（ⅱ）若直線BC有斜率，因?yàn)椋?，直線BC的方程為，即4x﹣（y2+y3）y+y2y3＝0，將③代入得4x﹣（y2+y3）y+3（y2+y3）+10＝0，∴，故直線BC有斜率時(shí)過(guò)點(diǎn)．【點(diǎn)評(píng)】本題考查拋物線的性質(zhì)的應(yīng)用，直線與拋物線的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．20．（12分）設(shè)數(shù)列{an}，{bn}的各項(xiàng)都是正數(shù)，Sn為數(shù)列的前n項(xiàng)和，且對(duì)任意n∈N*，均有，b1＝e，，cn＝an?lnbn（其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．（1）求數(shù)列{an}，{bn}的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn．【分析】（1）由，n≥2時(shí)，＝2Sn﹣1﹣an﹣1，相減可得：an﹣an﹣1＝1，n＝1時(shí)，＝2a1﹣a1＞0，解得a1．根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出an．b1＝e，，取對(duì)數(shù)可得：lnbn+1＝2lnbn，lnb1＝1．利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出bn．（2）cn＝an?lnbn＝n?2n﹣1．利用錯(cuò)位相減法即可得出．【解答】解：（1）∵，n≥2時(shí)，＝2Sn﹣1﹣an﹣1，相減可得：﹣＝2an﹣an+an﹣1，又an＞0，可得：an﹣an﹣1＝1，n＝1時(shí)，＝2a1﹣a1＞0，解得a1＝1．∴數(shù)列{an}是等差數(shù)列，∴an＝1+n﹣1＝n．b1＝e，，可得：lnbn+1＝2lnbn，lnb1＝1．∴數(shù)列{lnbn}是等比數(shù)列，首項(xiàng)為1，公比為2．∴l(xiāng)nbn＝1×2n﹣1，解得：bn＝．（2）cn＝an?lnbn＝n?2n﹣1．∴數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn＝1+2×2+3×22+4×23+……+n?2n﹣1．∴2Tn＝2+2×22+3×23+……+（n﹣1）?2n﹣1+n?2n．∴﹣Tn＝1+2+22+……+2n﹣1﹣n?2n＝﹣n?2n．化為：Tn＝（n﹣1）?2n+1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等比數(shù)列與等差數(shù)列通項(xiàng)公式與求和公式、錯(cuò)位相減法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．21．（12分）如圖所示，在四棱錐P﹣ABCD中，四邊形ABCD為等腰梯形，AB∥CD，AD＝CD＝2，AB＝4，AC⊥PC．（1）證明：AC⊥平面PBC：（2）若，求點(diǎn)D到平面PBC的距離．【分析】（1）過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB于E，根據(jù)條件得出BE＝1，進(jìn)而得出∠ABC＝60°，然后根據(jù)余弦定理求出AC2＝12，從而根據(jù)勾股定理得出AC⊥BC，再根據(jù)AC⊥PC，即可得出AC⊥平面PBC；（2）可得出PB⊥平面BCD，連接BD，可求出CE的值，根據(jù)三角形面積公式可求出△BCD的面積，進(jìn)而求出三棱錐P﹣BCD的體積，可求出△PBC的面積，設(shè)D到平面PBC的距離為d，從而用d表示出三棱錐D﹣PBC的體積，然后根據(jù)體積相等即可求出d的值．【解答】解：（1）證明：在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，BC＝AD＝2，AB＝4，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB于E，則BE＝1，可知∠ABC＝60°，由余弦定理知AC2＝22+42﹣2×2×4×＝12，則AC2+BC2＝AB2，所以AC⊥BC，又AC⊥PC，BC∩PC＝C