高等數(shù)學(xué)2綜合自測題-答案

高等數(shù)學(xué)綜合自測題(I)

一、選擇題(3,x5=15,)

1、若2=沖+/,則包+包=(B).

dxdy

A.x+y+2x2B.x+y+3x2

C.2x+y+3x2D.x+y

2、設(shè)積分區(qū)域D是圓環(huán)：l?/+y2<4,則二重積分

J'+)dxdy=(C).

A.^dO^r2drB.「d禧公

JoJoJoJr

C.fd0\r~drD.fd0\rdr

JoJiJOJI

3、曲面積分，dxdy表示的是(C)

A.曲面Z的面積

B.曲面E在xOy面上投影D的面積

C.不是:E的面積，也不是投影D的面積

D.可能不是X的面積

00

4、若級數(shù)￡%收斂，則級數(shù)(D)

n=l

00oo

A.SKI收斂B.f(-1)"明收斂

n=ln=l

00

+%+1

C.1＞必向收斂收斂

n=ln=l2

5、設(shè)有直線上口=士=自與直線/,:尸一'=6，則直線乙與/，的夾

1-21[2y+z=3一

角為(C)

二、填空題(5x3=15，)

1、函數(shù)z=拈(]4”2.2)的定義域為{(X，y)|y2<4x且。<%2+/<1)；

2、直線T=—=F與xOv面的交點的坐標(biāo)為(2,20):

3、曲面》2yz+3y2=2甚-8z上點(1,2,-1)處的切平面方程為

-6(x-l)+ll(y-2)+14(z+l)=0.

4、級數(shù)￡2；(x+l)"的收斂半徑為￡

ttn2ln(n+l)_2_

5、設(shè)D是中心在原點，半徑為a的圓周所圍成的閉區(qū)域，則

JJ"'一廠dxdy—1(1—e~a)

D

三、解答下列各題(8x6'=48')

1、求過點(1,0,-1)且與直線/：1—y+2z=°垂直的平面n的方程

\3x+2y-z+5=0

解：S[={1-1,2}S2={3,2-1)

ijk

1=1-12=-3z+lj+5k

32-1

平面方程為：-3(x-l)+7y+5(z+l)=0

2、設(shè)z=(l+孫產(chǎn),求名.

dy

W：z=(l+xyr+y

Inz=(x+y)ln(1+xy)

11

—?z=ln(xy+l)+(%+y)------x

zyl+xy

[「+ln(l+孫)]

Zy=Z，

I1+孫)

(x(x+y)..、)

即包=(1+孫)x+y—_^+1ln(l+孫)

I1+孫)

3、設(shè)2=/(必一/2y),其中/具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求存

oxoy

解：M=2*+MV2

OX

裊=2乂一2璉1+配工"2)+人卜'+孫川+婢(-2%+配"2)

dxdy

*(1+盯)人+2e?(/-/)九—例%

4、求函數(shù)/(x,y)=4(兀-丁)-％2-丁2的極值.

解：力(D)=4-2x=0得駐點為：(2<2)

fy(x,y)=-4—2y=0

A=f；=_2C=/；=-2B=/；=0

AC-B2=4>0<A<0

(2,-2)為極大值點,

極大值為/(2-2)=8

5、求解方程x半+y-e*=0,Ml)=e;

ax

解：將方程變形為：?=」y+§

axxx

由一微分方程的求解公式解得：J=-(^+C)

X

將y⑴=6代入通解可得：c=0

所以原方程的解為：y=-e^

X

6、計算卜/+2町)辦+(/+力力，其中L為由點O(0,0)到B(1,

1)的曲線弧『嗯.

解:尸(x,y)=x2+2xyQ(x,y)=x2+y4

?=2x=絲=2x

dydx

二積分與路徑無關(guān)，選擇：OA+AB

原式=J.(/+2xy)dx+(x2+y4)dy+L(x2+2xy)dx+(x2+y4)dy

OAAB

3151

小2公+￡(1+小=《+(y+t)=1+1+|=f|

J00JJ、

7、將函數(shù)/(x)=」—展開成x+4的幕級數(shù).

x+3x+2

]11_]]

解：/(%)=

(元+1)(%+2)x+1x+2—3+(x+4)—2+(x+4)

-1_J___11」丑x+4丫1在x+4)

21x+43ix+42/2J3/3J

23

0011

=E2〃+i3〃+i(x+4)”

n-0

甘H_,,x+4，口，x+4,

其中-1<----<1且-1<-----<1

23

收斂區(qū)間為(-6,-2)

8、計算曲面積分JJ^zdxdy,其中X是球面必+/+z?=1外側(cè)在

20的部分.

解：E]：Z=J]_=2_y2:z==_J]_12_y22=2[+22

原式=JJxyyjl-x2-y2dxdy-Jjxyyjl-x2-y2dxdy

=xyyfl-x2-y2dxdy-xyy/l-x2y2dxdy

22

D.一+/?Dx+y<l

xyx>o,j>o個岸o

=2jjxy^/1-x2-y2dxdy=pcos。sinOdO^r3yll-r2dr

D°°

孫x>0,y>0

1

-15

四、在曲面z=j2+/+4y2上求一點,使它到平面％_2y+3z=l的距離

最近.（8，）

解：設(shè)所求點為：（/，打0）

,=I%-2%+3zo-11

.?.<min-V14

、zo=J2+X；+4y；

即為求使/=\(x-2y+3z-1)?取最小值且滿足爐+42_z2+2=0,z>0

的點

令E(x,y,z,㈤=—(%-2y+3z-1)2+2(x2+4y2-z2+2)

1231

F=(22+—)x——y+—z—=0

7777

F=(82+—)y-—x-—z+—=0

,7777

F=(-22+—)z+—x-—y--=0

7777

F^x2+4y2-z2+2=0

x=-2y

解得：<z=-3xn

z=6y

五、設(shè)圓錐底半徑為a,高為h,質(zhì)量分布均勻，其質(zhì)量為M,在圓

錐體頂點處有一單位質(zhì)量的質(zhì)點，求圓錐對此質(zhì)點的引力.（8，）

解：設(shè)圓錐的密度為P。，由錐體的對稱性及質(zhì)量分布的均勻性知：

工=4=0

所求引力沿z軸的分量如圖建立坐標(biāo)，錐面方程為：z=257K

a

解:設(shè)圓錐的密度為A，由錐體的對稱性及及質(zhì)量分布的均勻性知:

F,=Fy=0

錐面方程為：2=2次17

a

所求引力沿Z軸的分量為:

FZGZ

=\\\P^—,_dv=Gp0fd0\dp\h,----———-dz

C(K+y2+z2)3°J。JoJ/(p2+z2)l

22

=17iGp0-+D-yla+h+h]

h

][1I-12

六、證明：jdx[/(x)F(y)dy=][/y(x)dx,其中/(x)在[0,1]上連續(xù).(8，)

證明：交換積分秩序

左邊=fdy[f(x)f(y)dx

=￡dx￡7(x)/(y)dy

則二時；一(f(x)f(y)dy=0

￡/(x)dx[ff(y)dy-[f(y)dy=0

①J；/(x@c=0上式顯然成立

②ff(y)dy-￡f(y)dy=0n：[f(y)dy=ff(y)dy

1r1~|2

所以左邊=5￡f(x)dx

高等數(shù)學(xué)綜合測試題(II)

一、填空題(5X3，=15，)

1、繞y軸旋轉(zhuǎn)而成的橢球面3/+2y2+3z2=l的曲線是

x=±J.gy2)或z=±7f(1-y2)-

2、二元函數(shù)z=3(x+y)-x3—,3的極值點是

3、設(shè)。：/+/+z?<1,貝(Jjjje閆dv=2乃.

Q

22244

4、設(shè)L是星形線2+廣=Q(R>0),則曲線積分￡(盧+戶)辦=理芻.

00

5、幕級數(shù)Z"/的收斂半徑R=j_.

n-0

二、選擇題(5x3=15，)

1、已知|a|=2,|b|=3,|a-b|=V7,則a,b的夾角為(C)

A.-B.--C.-D.--

2233

2、￡dx^Q'/(x,y)dy=(D)

A.￡(fy￡/(x,y)dxB"于(x,y)dx

c.fdy￡/(x,y)dxDJ"于(x,y)dx

3、設(shè)「是螺旋線了=近05/,丁=々5抽入2=初上參數(shù)1從0到萬的一段，則

1

A.—a29(l+b)7iB.a2(l+b)

C.7ia2bD.-tz2(l+Z?)

4、下列級數(shù)絕對收斂的是(：C).

81co1

A.口-1尸-B.y(-i)-1—

〃=1"占Inn

001

c.Z(T尸

n-1(2n-l)!n-l

5、設(shè)曲面Z上半球面：x2+y2+Z2=7?2(Z>0),曲面Zi是X在第一卦限

中的部分，則有(C)

A.jjxds=4jjxdsB.jjyds=4jjxds

工Xi

C.jjIds=4jjxdsD.jjxyzds=4jjxyzds

XXX1

二、解答下列各題(8x6'=48')

1、設(shè)一平面經(jīng)過原點及點(6,-3,2),且與平面4x-y+2z=8垂直,

求平面方程.

平面過原點，設(shè)方程為Ax+5y+Cz=0,則有:

4A-B+2C=0(A=B

6A-3B+2C=0^[C=-%B

所以平面方程為：x+y-%z=O

2、z=/(x2y/),f具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求整.

xdx

解：

導(dǎo)印孫+年曰=2加-勺2

=^yfi+2xjfn2xy+fl2一與]+W/2-3/212XJ+/22

=^yf\+4x2j2/nfn+~^f2fi\+J/22

XXXX

-^yf\+~^f2+4x2j2/nfn+^7/22

XXX

3、在橢球面2/+2/+2Z2=1上求一點，使函數(shù)/(X,y,z)=x2+y2+z2沿

A(bb1)到B(2,0,1)的方向?qū)?shù)有最大值.

解：方向?qū)?shù)取得最大值的方向即為梯度方向。

/(X,y,z)的梯度為：gradf(x,y,z)={2x,2y,2z}

已知方向為：7=G={1,-1,0},所以應(yīng)有：AB//gradf

則有在=M=必n|z=0代入球面方程得：y=±l

1-10[y=-x2

故求得兩點滿足題目要求：d,-Lo)

2222

4、求方程y+gy=g(l-2x):/的通解；

解：在(Xo，x),z())處與球面相切的平面方程為：

%o(%-%o)+yo(y-yo)+zo(z-zo)=O

BP

n={x0,y0,zQ]

過直線L,.?.有：

ik

n=023=3j-2k={0,3-2}

100

14

Z=±

即有:血=當(dāng)=強=.x0=0,

03-213

存在兩個切點：(。,3,5,-2小1行4)

.??方程為：①3(y-3哈-2(z+24)=0

5、計算“emaxHHdxdy,其中D={(x,y)|0VxV1,0Vy<1}.

D

解：DM+4曾』？

。2={(%，刈(%，丁)￡。且V24%)

原式=||eydxdy+jjexdxdy=￡dy^ey2/dy

%

=jyjx

辦+/Xedx

=xex2dx=ex=e-l

Joo

6、計算jj(x3+az2)dydz+(y3-^ax2)dzdx+(z3+ay2dxdy.,其中Z是

Z='RK的上側(cè).

解：補充曲面：％2+,24氏2的下側(cè)

P=x3+az2Q=y3+cix2R=z3+ay2

名=3/絲=3/變=3d

dxdydz

，原式=BI3(/+y2+z2)dv-jjay2dxdy

Q?+y2?R2的下側(cè)

￡2R

pd(p^dej3r4sincpdr+jjay2dxdy

。(>(>x2+y2<R2

3

=2JR5+「d01ar3sinOdr=-7?5+〃派

5JoJo54

]

7.將，(x)=展開成x-1的幕級數(shù).

x2-3x+2

解:原式二1-11

(x-l)(x-2)(x-1)1-(x-1)

100

沙-1)』￡(%_1尸|%-1|<1

x-1n-0n-0

8”

8、求幕級數(shù)的和函數(shù)?

con1002w+l

解:=RX(_Dn

%n=Q2n+l

_oo2n+l1

的?(一Fs；(%)=Z(-Dnx2nW<i

2

n=01+x

/.Sr(%)=￡]12dx=arctgx

arctgx

.s(%)=

n+\x<1?w0

Ji

S(x)=1x=Q

四、在過點P(1,3,y)的所有平面中，求一平面，使之與三個坐

標(biāo)面所圍四面體的體積最小.(80

解：設(shè)平面方程為：-+^+-=1,且P(l,3,y)滿足方程，

abc

士c3caby

「?有y=c------nc=---------

abab-b-3a

a2b2y

326ab-b-3a

五、求曲面必+y2+z2=。2在圓柱好+,2=ax(q>0)內(nèi)的那部分的面積.

(89

解：由對稱性知，所求曲面面積A是第一象限上面積A的四倍，A的

22

投影域DXY:x+y<ax(x,y>0)

a

曲面方程z=yja2-x2-y2,故Jl+z：+zj

Ja2_%2_y2

dxdy

71八兀

=4a\(*—2d3\pacos”-4a2j^(sin6>-l)J6>

JoJo

=2加2—4Q2

六、證明函數(shù)滿足方程e*+W+h?=。，其中r=J/+y2+z2.

rdx1dy2dz1y

du1112xx

小r「26十寸一r

d~u_1112x13x2

而r3r42卜+/+z2r3+r5

同理可得：*=-[+年

ay2r3r5

d2u13z2

=1----

dz2---r3r5

d2ud2ud2u33r2

-----1-----1----=-----1----=i

a2辦2&2r3r5

高等數(shù)學(xué)綜合測試題(m)

一、填空題(5X3，=15，)

1、若2=(1,2,3),b=(3,0,-1),貝Uaxb=(-2,10,6).

2、z=Intan土,貝！]—=----------

yx2%

,dxytan—sec—

yy

3、平面x+y+z=l與三個坐標(biāo)面所圍成的立體體積為-

6

4、二次積分『在產(chǎn)’(，+/)力的極坐標(biāo)形式為

，2acos6°

Pdr.

M0

5、設(shè)L是A(0,V2)到B(l,l)的直線段，則曲線積分

%ln(%2+y2-X)dx+yln(%2+—])=.

JfL

二、選擇題(5x3=15，)

_2

1、二重極限lim產(chǎn)4=(D)

+y

A.OB.IC.-D.不存在

2

222

2、設(shè)D為+,2<>0為常數(shù))，||^a-X-ydxdy=71,則a=(D)

D

D

A1B-fc?舊<

3、設(shè)有直線L/x+3y+2z+l=0及平面n：4%_2y+z-2=0,則直線L

⑵-y-10z+3=0

(A)

A.平行于nB.在n上

c.垂直于nD.與ri斜交

00

4、設(shè)2＞，，（％一1尸在x=-l處收斂，則它在乂=2處（B）

n=l

A.發(fā)散B.絕對收斂

C.條件收斂D.斂散性與%有關(guān)

5、設(shè)一是錐面2=+I/被平面Z=1所截的有限部分的外側(cè),

則2

jjxdydz+ydzdx+(z-2z)dxdy_C)

s

3萬3

A.--71；B.0；C.-；

22

二、解答下列各題（8x6=48，）

1、求過點M(2,1,3)且與直線U=F=A垂直相交的直線

32—1

方程.

解：設(shè)交點為(網(wǎng)),>0,Z。)，則/={/—2，Vo-l,Zo-3}

二^—=口=/nx0=3t-l,y0=2r+l,z0=-t

-3

.?./={3"32,T—3}與{3,2,T}垂直，所以有：t=-

了12624

?I-{r---,---

777

??.直線方程為三=『=3

d?xdx

2、求解微分方程-rr-2--3x=3r+l.

atat

解：特征方程：方―2X-3=。解得：2；=3,22=-1

3t（

齊次方程的通解為：％=cYe+c2e~

/（r）=3r+l,2=0不是特征根，」.設(shè)特解：x=A+Bt

代入原方程比較系數(shù)得到：A=|,B=-I

3t-t1

???原方程的通解為：x=Ge+c2e-t+-

3、設(shè)z=/（%，;;）,其中/具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求言.

ydxdy

dz??1

解：二=/i+72—

OXy

2

dz,/%、?1I,,%、1z?,1,、

以方=fl2（^）―力=+—力2（T）=+力+一力2）

4、計算JJ包，。，其中D是由直線'=工尤=1和y=。所圍成的

DX

區(qū)域.

I.1

解:sin%辦=-cosX=1-cosl

0

5、計算f3y心—xzdy+yzdz,r是圓周一+/=?z及z=2,

若從z軸正方向看去，圓周為逆時針方向.

f+y2=2z

解:

z=2

設(shè)E是平面z=2上被圓周「所圍部分的上側(cè)，Z的法向量

n-{costz,cos^,cos/}={0,0,1）

由stokes公式:

000

556

原式=口ds=JJ(—z-3)ds=-11(2+3)dxdy=一2。?

8xdydzZDXy

3y-xz田

00n

X

(的和函數(shù).

En=\n\n+1)

8/00n+1

解：S(%)=Z/,nxS(x)=--

,I=in(n+1)M?(?+1)

00n001

(九S(x))'=X—(xS(%))=￡xn~x=---,|x|<1

ZfnM1—%

x1

(xS(x)),=[-----=-ln(l-x)

)1JC

xS(x)=-ln(l-x)dx=-%ln(l-%)+%+ln(l-%)

JO

S(x)=1-ln(l-x)+—ln(l-x)Ixl<1,x0

x

7、計算曲面積分H（x+y）2ds，其中z為立體jY+y2wzW1的邊

z

界曲面.

=JJ{x+y)2ds