舊教材適用2023高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 第八章立體幾何第7講立體幾何中的向量方法

第7講立體幾何中的向量方法

考礎(chǔ)知以整恒I

□知識(shí)梳理

1.直線的方向向量和平面的法向量

(1)直線的方向向量

直線/上的向量e或與e回共線的向量叫做直線1的方向向量,顯然一條直線的方向向

量有畫(huà)無(wú)數(shù)個(gè).

(2)平面的法向量

如果表示向量〃的有向線段所在直線四垂直于平面a,則稱這個(gè)向量垂直于平面。，

記作A_L。，此時(shí)向量〃叫做平面a的法向量.

顯然一個(gè)平面的法向量也有畫(huà)無(wú)數(shù)個(gè),且它們是畫(huà)共線向量.

(3)設(shè)直線加的方向向量分別為a,b,平面a,￡的法向量分別為〃，%則

1//%=畫(huà)a〃抉n畫(huà)a=>?,4￡R；

1±冰=圓a-L加?8=0；

1//O=四aL小o[∏la?U=0；

7±。。圜&〃曄＞回4=4〃，4WR；

a//￡=回〃〃pu>回U=4片4GR；

q￡=ELF≠?回u?。=0.

2.空間向量與空間角的關(guān)系

(1)兩條異面直線所成角的求法

設(shè)兩條異面直線a"的方向向量分別為a,A其夾角為則cosO=ICOS0I=圜:L

(其中0為異面直線a,6所成的角，范圍是(θ,?].

(2)直線與平面所成角的求法

如圖所示，設(shè)直線，的方向向量為e,平面a的法向量為〃，直線？與平面a所成的

角為。，兩向量e與Z?的夾角為夕，則有sinΦ=?cos0\=園Φ的取值范圍是

-登Ie∣：

π

0,

2

(3)求二面角的大小

如圖①，/反切是二面角。一/一萬(wàn)的兩個(gè)半平面內(nèi)與棱/垂直的直線，則二面角的大

小J=El〈福6.

如圖②③，nl,m分別是二面角。一/—￡的兩個(gè)半平面%￡的法向量，則二面角的

大小0滿足COS0=COS<Z71,Zh>或一COS<Λ∣,Λ>),取值范圍是[0,?l].

3.求空間的距離

(1)點(diǎn)到平面的距離

如圖，設(shè)46為平面a的一條斜線段，A為平面a的法向量，則點(diǎn)6到平面a的距離

_I麗.4|

"=≡?L?

(2)線面距、面面距均可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距進(jìn)行求解.

知識(shí)拓展

直線的方向向量的確定：,是空間一直線，A,8是/上任意兩點(diǎn)，則4?及與48平行的非

零向量均為直線1的方向向量.

□雙基自測(cè)

1.平面a的一個(gè)法向量為(1,2,0),平面β的一個(gè)法向量為(2,—1,0),則平面a與

平面β的位置關(guān)系是()

A.平行B.相交但不垂直

C.垂直D.重合

答案C

解析由(1,2,0)?(2,-l,0)=l×2+2×(-1)+0X0=0,知兩平面的法向量互相垂

直，所以兩平面互相垂直.

2.已知4(1,0,0),8(0,1,0),C(0,0,1),則平面4比1的一個(gè)單位法向量是()

答案D

—?—?

解析AB=(-1,1,0),AC=(-1,0,1),設(shè)平面4?。的法向量〃=(x,y,z),/.

f-x+y=0,n

).令x=l,則y=1,z=l,：.n=(1,1,1).單位法向量為±「=

(-x+z=o.

+心也因

3,3,3/

3.如圖所示，在正方體力及力一〃中，棱長(zhǎng)為aMN分別為4〃和力。上的點(diǎn)，AJf

=44華，則版與平面〃C的位置關(guān)系是()

O

A.相交

B.平行

C.垂直

D.J邠在平面版Gc1內(nèi)

答案B

―?―?—A-?I―?―??―??—?―?―??―?—?2-??

解析也V=,皿+44+4V=W陰+4∕+φ4C=w(54—56)+βiβ+~(Aβ+AD)=WRB+R

—?—?—?-?

BC,：.MN,BB共面.又網(wǎng)4平面做GC,二版V〃平面做GC

4.(2022?長(zhǎng)春模擬)如圖所示，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A^CxDx中，。是底面ABCD

的中心，E,￡分別是CG,的中點(diǎn),.那么異面直線施與9所成角的余弦值為()

?----7P>

4ZA

,[盧O獷FCI

4LIi

?-f√15

答案B

解析建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則0(1,1,0),￡(0,2,1),元1,0,0),2(0,0,2),

FMOE1+0+2隼.故選

Λ∕?=(-l,0,2),0E={~?,1,1).Λcos〈FD\,OE)

□

B.

5.(2021?鄭州模擬)如圖，已知矩形/靦所在平面外一點(diǎn)P,Λ4±5FffiABCD,E,b分

別是妝/個(gè)的中點(diǎn).若/物=45°,則跖與平面/以力所成的角的大小是()

Λ.90oB.60°

C.45oD.30°

答案C

解析設(shè)4Qa,AB=b,因?yàn)?物=45°,必_1_平面四微所以必_L/〃，PA=Aga.

以點(diǎn)力為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB,AD,所在直線為X,y,Z軸,

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則4(0,0,0),AO,0,a),∕∣,0,0],baa

2,2,2

所以a'=(θ,會(huì)習(xí).易知4—(0,0,a)是平面4?5的一個(gè)法向量.設(shè)"與平面4?力所成的

f—?AP?FF??fi

角為θ,則Sin9=ICe)S{AP,EP)I=:一二一=為二所以。=45°.

?AP??EF?

6.(2021?臨汾一中模擬)在空間直角坐標(biāo)系圓彩中，平面面6的一個(gè)法向量為〃=(2,

-2,1),已知點(diǎn)P(-l,3,2),則點(diǎn)尸到平面的8的距離d等于()

A.4B.2

C.3D.1

答案B

解析由己知得平面043的一條斜線的方向向量陣(一1,3,2),所以點(diǎn)尸到平面《48

0P?n?|一2一6+2|

的距離OM明?∣cos{0P,n)2.故選B.

∣Λ∣-√27+―-2-+1

核心考向突破I

考向一利用空間向量證明平行、垂直

例1(2021?安徽蚌埠模擬)如圖，在多面體四C—48G中，四邊形能是正方形,

AB=AC,BC=-^2AB,BlG^βC,44J_平面4?C求證:

(1)48」平面AAiCi

(2)45〃平面A1GC.

證明平面4始,

：.AAxLAB,AAiLAC.

又AB=AC,Be=/AB,

二/06=90°,g∣JACLAB,

：.AB,AC,/4兩兩互相垂直.

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系∕xyz,設(shè)力6=2,則/1(0,0,0),5(0,2,2),4(0,0,2),

C(2,0,0),G(1,1,2).

—?—?—>

(1)4氏=(0,2,0),AiA=(0,0,-2),AC=(2,0,0),設(shè)平面加。的法向量〃=(x,%

z),

則n?AiA=O9—2z=0,x=0,

J.即即

2x=0,z=0.

Lz??AC=O,

取y=l,則n=(0,1,0).

??.45=2〃，即43〃〃.

???4區(qū)_1_平面AAC.

(2)49ι=(0,2,2),4G=(1,1,0),40=(2,0,—2),設(shè)平面4GC的法向量團(tuán)=(Xι,%,

Zl),

m?AiCi=Off^l+∕l=0,

則一即

[2小一2zι=0,

1卬?4。=0,

令xι=l,則a=-1,Zi=I,即平面4G。的一個(gè)法向量為皿=(1,—1,1).

:?AB??zzz=0×l+2×(-l)+2×l=0,

—?

：.ABxLm.又留。平面AiGC,

仍〃平面A1GC.

觸類旁通

1.利用向量法證平行問(wèn)題的類型及常用方法

線線平行證明兩直線的方向向量共線

①證明該直線的方向向量與平面的某一法向量垂直；

線面

②證明該直線的方向向量與平面內(nèi)某直線的方向向量平行；

平行

③證明該直線的方向向量可以用平面內(nèi)的兩個(gè)不共線的向量表示

①證明兩平面的法向量平行(即為共線向量)；

面面平行

②轉(zhuǎn)化為線面平行、線線平行問(wèn)題

2.利用向量法證垂直問(wèn)題的類型及常用方法

線線垂直證明兩直線所在的方向向量互相垂直，即證它們的數(shù)量積為零

證明直線的方向向量與平面的法向量共線，或利用線面垂直的判定定理轉(zhuǎn)化為

線面垂直

證明線線垂直

面面垂直證明兩個(gè)平面的法向量垂宜，或利用面面垂宜的判定定理轉(zhuǎn)化為證明線面垂直

即時(shí)訓(xùn)練1.如圖所示，在直三棱柱/I8C—45G中，側(cè)面A44C和側(cè)面4486都是正

方形且互相垂直，材為14的中點(diǎn)，"為8G的中點(diǎn).求證：

⑴助V〃平面484；

⑵平面MBC↑_L平面即GC

證明由題意知/4,AB,ZIC兩兩垂直，以/為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)

不妨設(shè)正方形加CC的邊長(zhǎng)為2,則4(0,0,0),4(2,0,0),8(0,2,0),A⑵2,0),<7(0,

0,2),G(2,0,2),Ml,0,0),Λ,(l,1,1).

(1)因?yàn)閹缀误w是直三棱柱，所以側(cè)棱/4,底面4BC.

-A-A

因?yàn)镸i=(2,0,0),助V=(0,1,1),

―?—?―?—?

所以朗V?Λ4∣=0,即就V_LAAi.

因?yàn)橹鶺平面ABC,

所以,即〃平面

(2)設(shè)平面MBCI與平面?δSGC的法向量分別為n>=(?i,%,Zl),Zt=(如y2,z2).

—?—?

因?yàn)榉?(一1,2,0),力￡=(1,0,2),

Λ∣?MB=Q,[―xι+2yι=0,

f[xι+2zι=0,

n↑MCi=O

{?9

令小=2,則平面,腸％的一個(gè)法向量為〃1=(2,1,-1).

同理可得平面防CC的一個(gè)法向量為m=(0,1,1).

因?yàn)閚?∏2=2×0+lX1+(―1)Xl=O,

所以所以平面必6U平面被GC

精準(zhǔn)設(shè)計(jì)考向，多角度探究突破

考向二利用空間向量求空間角

角度1求異面直線所成的角

例2（2021?安徽合肥第一次質(zhì)檢）如圖，在邊長(zhǎng)為1的菱形/靦中，ZDAS=GOo,

沿被將△力勿翻折，得到三棱錐力一6勿，則當(dāng)三棱錐/1一靦的體積最大時(shí)，異面直線/1〃

與園所成角的余弦值為（）

答案D

解析當(dāng)三棱錐/一版的體積最大時(shí)，平面血后，平面劭G：在邊長(zhǎng)為1的菱形18G9

中，ZW=60o,：.Bg\,取如的中點(diǎn)0,

連接40,0C,則40J_平面皮心。灶平面4?,以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB,0C,的所在直線

分別為小y,Z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則（一；，0,0）,/（θ,0,初，七，0,0

1

C（θ,乎,θ）,^4Z>=f-?,O,√,3O

-2設(shè)異面直線/〃與比■所成的角為

2,

一一1

9,則CoS0=」名?=S=],即異面直線/〃與比所成角的余弦值制，故選D.

觸類旁通.

1.求異面直線所成角的思路

（1）選好基底或建立空間直角坐標(biāo)系.

(2)求出兩直線的方向向量v↑,v2.

(3)代入公式ICoS〈M，GI=--；%求解.

KiIIP21

2.兩異面直線所成角的關(guān)注點(diǎn)

兩異面直線所成角的范圍是Je(θ,?,兩向量的夾角a的范圍是［0,貝］,當(dāng)異面

直線的方向向量的夾角為銳角或直角時(shí)，該角就是異面直線的夾角；當(dāng)異面直線的方向向量

的夾角為鈍角時(shí)，其補(bǔ)角才是異面直線的夾角.

即時(shí)訓(xùn)練2.在直三棱柱/式」464中，JC=3,BC=3<,J5=3√2,TU=4,則異面

直線4C與8G所成角的余弦值為.

冰心lθ

合案25

解析因?yàn)?C=3,BC=3,∕8=3√i所以/4曲為直角，又％」平面/比；則。，CB,

CG兩兩垂直，以C點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，

以。，CB,CG所在直線分別為X軸、y軸、Z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則

C(0,0,0),a(0,0,4),4(3,0,4),6(0,3,0),所以4C=(-3,0,-4),BCi=(0,-3,4),

4C?附〔∣-4×4∣16

設(shè)異面直線4C與8G所成的角為，，則COs，=

√9+16×√9+1625'

IAd∣5G∣

角度2求直線與平面所成的角

例3(2022?山西朔州高三摸底考試)如圖，組合體由半個(gè)圓錐S-O和一個(gè)三棱錐S-

/切構(gòu)成，其中。是圓錐S一。底面圓心，8是圓弧一點(diǎn)，滿足/8%是銳角，AC=CD=

DA=2.

(1)在平面相8內(nèi)過(guò)點(diǎn)6作鰭〃平面SCP交必于點(diǎn)P,并寫(xiě)出作圖步驟，但不要求證明;

(2)在(1)中，若一是弘的中點(diǎn)，且sg√5,求直線外與平面S4〃所成角的正弦值.

解⑴①延長(zhǎng)/8交加的延長(zhǎng)線于點(diǎn)。；②連接SQ③過(guò)點(diǎn)6作"〃QS交融于點(diǎn)汽

(2)若夕是夕!的中點(diǎn)，則8是力0的中點(diǎn)，

連接龍，則/_1陽(yáng)，所以α=Ca

又AC=CD=DA,所以是等邊三角形，所以N4浙60°,從而NHIC=30°.

連接如，依題意可得OC,0D,OS兩兩垂直，以0C,0D,OS所在直線分別為%y,z軸

建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，

則｛(一1,0,0),〃(0,√3,0),S(0,0,√3),

從而4g(l,√3,0),/S=(1,0,√3),

HT，承明

設(shè)平面必〃的法向量為〃=(x,y,z),

x+yβz=09

即彳

^x+y∣3y=0f

取x=√5,得平面必〃的一個(gè)法向量為刀=(√5,-1,-1).

設(shè)直線"與平面夕1〃所成的角為8,

貝!∣sinJ=ICOS〈〃，BP)=----二-

?n??BP?

∣-2√3∣

√3+ι+ι×?/i+1+!

2√32√6

=偈＜5，

所以直線在與平面必〃所成角的正弦值為羋.

?

觸類旁通J利用向量法求線面角的方法

(1)分別求出斜線和它在平面內(nèi)的射影直線的方向向量，轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)方向向量的夾角

(或其補(bǔ)角).

(2)通過(guò)平面的法向量來(lái)求，即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角，取其余

角就是斜線與平面所成的角.

提醒：在求平面的法向量時(shí)，若能找出平面的垂線，則在垂線上取兩個(gè)點(diǎn)可構(gòu)成一個(gè)法

向量.

即時(shí)訓(xùn)練3.如圖，已知三棱柱47C-48G,平面4/CGj_平面仍7,N4BC=90°,

N的0=30°,AA=A1C=AC,E,尸分別是4C,/山的中點(diǎn).

(1)證明：EFLBC-,

(2)求直線項(xiàng)與平面4%所成角的余弦值.

解解法一：(1)證明：連接

因?yàn)?∕=4C,￡是4C的中點(diǎn)，

所以4反L/C

又因?yàn)槠矫鍭λACCχ_1_平面ABC,4Zfc平面4/CG,平面AλACQ∩平面ABC=AC,

所以4&L平面48C

如圖1,以點(diǎn)￡為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線比；分別為y,Z軸的正半軸，建立如圖所示的空

間直角坐標(biāo)系Exyz.

不妨設(shè)然=4,則?(O,0,0),A1(0,0,2√3),79(√3,l,0),β(√3,3,2√3),佶，1

(7(0,2,0).

因此，菰償，2m),

BC=(一木,1,0).

由防?比'=0,得EFLBC

-?-?_

(2)由(1)可得比三(一√5,1,0),4G=(0,2,-2√3).

設(shè)平面48。的法向量為n=(x,y,Z).

z^―?

BC?n=09-Λ∕3^+y=0,

由V得

l—?.y-yβz=O.

JC?A=0,

?∕7=(1,√3,1),

設(shè)直線用與平面4%所成的角為0,

—?

fEF?n4

故SinJ=ICOS(EF,〃〉|=-------=F

-5

?EF?∣∕7∣

3

所以cose=m

5

因此，直線￡尸與平面4%所成角的余弦值是m

解法二：(1)證明：如圖2,連接

因?yàn)楱MM=4G6是HC的中點(diǎn)，所以4日LAC

又因?yàn)槠矫?1d1■平面4%,4比平面447G,

平面AxACCx∩平面ABC=AC1

所以4日L平面則4日！比：

又因?yàn)?尸〃4RN力比，90°,故比

又因?yàn)?￡G4尸=4,AE4足平面4朋

所以比」平面A?EF.

因?yàn)楸匾哑矫?￡五，所以跖18C

?2

⑵如圖2,取比的中點(diǎn)G,連接班,GF,則四邊形砌亂是平行四邊形.

由于4￡1平面46C,故4￡1房，

所以平行四邊形仇;∕?為矩形.

由（1）,得比LL平面?β（M4∣,所以平面48CJ_平面發(fā)力%,

所以旗在平面4笈上的射影在直線4G上.

連接4G交EF于點(diǎn)、0,則/EOG是直線旗與平面4a'所成的角（或其補(bǔ)角）.

不妨設(shè)AC=4,

則在Rt跖中，4￡=2小，EG=木.

由于。為4G的中點(diǎn)，故切=OC=竽=羋，

E6+0^-E43

所以COS/EOG=2E0?OG=M.

3

因此直線￡戶與平面4%所成角的余弦值是m

角度3求二面角

例4（2020?全國(guó)In卷）如圖，在長(zhǎng)方體4故145G〃中，點(diǎn)￡,尸分別在棱加，BBy

上，J≡LIDE=EDx,BF=2FR.

（1）證明：點(diǎn)G在平面4破內(nèi)；

（2）若4?=2,AD=I,/4=3,求二面角4一如一4的正弦值.

解（1）證明：在棱CG上取點(diǎn)G,

使得GG=%G,連接〃G,FG,ClE,CF,

?.?GG=(CG,BF=2FB?,

22

???CG=-CCx=qBB?=BF旦CG//BF,

??

...四邊形比沖為平行四邊形，

：.BC〃GFABC=GF,

又在長(zhǎng)方體力比?一4臺(tái)G”中，AD〃BC艮AD=Ba

：.AD〃GF旦AD=GF.

二四邊形4?∕為平行四邊形.

：.AFHDG宣AF=DG.

同理可證四邊形應(yīng)’GG為平行四邊形，

二CxE//DG^LC?E=DG,

.?.G"4Λ'且G￡=/￡則四邊形力￡6尸為平行四邊形，因此點(diǎn)G在平面力項(xiàng)內(nèi).

(2)以點(diǎn)G為坐標(biāo)原點(diǎn)，CD,CB,GC所在直線分別為X軸、y軸、Z軸建立如圖所示

的空間直角坐標(biāo)系Gxyz,

則4(2,1,3),4(2,1,0),￡(2,0,2),F(0,1,1),AE=(0,-1,-1),AF=(-2,0,

一2),AxE=(0,-1,2),ΛΛ=(-2,0,1),

設(shè)平面力用'的法向量為H=(為，y∣,Zi),

m?AE=O9-??-zι=O,

得’

由1—?[—2汨—2Zl=0,

?AF=Q,

取Zl=-1,得xι=%=L則m=(1,1,-1).

設(shè)平面4用的法向量為A=(X2,%,Zi),

n?A?E=Q,-%+2Z2=0,

3.得

-2A2÷∑2=0,

Iz??AxF=Q,

取Z2=2,得照=1,j2=4,則〃=(1,4,2).

1.2P*n3S

COS\227?∩)=i=-F-1=?.

Sn√3×√217

設(shè)二面角力一*4的平面角為θ,

、斤I---------：—Λ∕?2

則ICoSeI=?-,Λsinθ=γ∣l~cos^

Λ∕∑2

因此，二面角O-4的正弦值為號(hào).

觸類旁通］利用向量法確定二面角大小的常用方法

(D找法向量法：分別求出二面角的兩個(gè)半平面所在平面的法向量，然后通過(guò)兩個(gè)平面的

法向量的夾角得到二面角的大小，但要注意結(jié)合實(shí)際圖形判斷所求角的大小.

(2)找與棱垂直的方向向量法:分別在二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)找到與棱垂直且以垂足為起

點(diǎn)的兩個(gè)向量，則這兩個(gè)向量夾角的大小就是二面角的大小.

即時(shí)訓(xùn)練4.(2021?北京高考)已知正方體4%A43G。，點(diǎn)K為4〃的中點(diǎn)，直

線5G交平面儀應(yīng)于點(diǎn)F.

(1)證明：點(diǎn)尸為5G的中點(diǎn);

(2)若點(diǎn)"為棱4笈上一點(diǎn)，且二面角.hCF一￡的余弦值為厚，求鏢的值.

O/IiDi

解(1)證明：如圖所示，取旦G的中點(diǎn)戶'，連接應(yīng)，EF,FC,

由于4AG〃為正方體，E,Fl分別為44,5G的中點(diǎn)，故環(huán)”//CD,

從而反U,C,〃四點(diǎn)共面，平面碗■即平面mW,

據(jù)此可得，直線氏G交平面頌'于點(diǎn)U,

當(dāng)直線與平面相交時(shí)只有唯一的交點(diǎn)，故點(diǎn)尸與點(diǎn)U重合，即點(diǎn)尸為84的中點(diǎn).

(2)以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA,DC,如的方向分別為X軸、y軸、Z軸正方向，建立空間直

角坐標(biāo)系Dxyz,

不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2,設(shè)六=∕(0≤4≤l),

則”(2,24,2),C(0,2,0),Al,2,2),Ml,0,2),

—?—?—?

從而加三(一2,2—24，-2),6F=(l,0,2),FE=0-2,0),

設(shè)平面她獷的法向量為ΛZ=(小，yi,z∣),

m?JΛ7=-2x∣÷2—2Λyl-2z↑=0,

-

{m?CF=Xl+2Zl=0,

當(dāng)4=1時(shí),E=Zi=O,令M=1,則卬=(0,1,0)；

當(dāng)4Wl時(shí)，令Zl=-I可得〃=(2,J4,—1)，

設(shè)平面C所的法向量為A=(X2,%,z2),

n?∕?=-2^=0,

一

{n?CF=x2+2z2=O,

令z2=-l可得n=(2,0,—1),

當(dāng)卬=(0,1,0)時(shí)\m?/7=0,則Cc)S<2Z7,ri)=0,與題意不符;

當(dāng)卬=(2,J.,11)時(shí)，m?z?=5,m=?5+(Jj，∣Λ∣=y∣5,

則cos5,n)

整理可得，（/一I）?=],故4=]/=|舍去）.

即黑的值為

A?D?Z

考向三利用空間向量求空間距離（選學(xué)）

例5如圖，三棱柱48C-48C中，CGj_平面/8GAC=BC=^AAy,〃是棱/4的中點(diǎn),

DCdBD.

（1）證明：DQLBC-,

⑵設(shè)加尸2,4臺(tái)的中點(diǎn)為只求點(diǎn)尸到平面如G的距離.

解（1）證明：由題設(shè)知，三棱柱的側(cè)面為矩形.

由于〃為皿的中點(diǎn)，WDC=DG.

又由AC—^AA]可得〃￠+ZYi=Cd,

所以DCxVDC.

又因?yàn)镈CaBD,DCCBgD,DC,B上平面BCD,

所以〃GL平面6以

因?yàn)榇似矫娣?,所以〃G_L8C

（2）由⑴知5CJ_〃G,且8。LS,DCiDCG=G,則6UL平面4CG4,所以G4,CB,CCx

兩兩垂直.

以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，。的方向?yàn)閄軸正方向，G5的方向?yàn)閥軸正方向，CG的方向?yàn)閆軸正

方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Cxyz.

由題意知庾0,1,0),2(1,0,1),G(0,0,2),5,(0,1,2),/ɑ,?,2),

fffr11)

則吐(1,-1,1),〃G=(—1,0,1),陽(yáng)=(一亍一]，o∣.

設(shè)0=(x,y,Z)是平面劭G的法向量，

—?

m?BD=O9[χ-y+z=Of

貝IK即lC可取卬=(1,2,D.

?〃G=0,

設(shè)點(diǎn)2到平面用居的距離為&

PC??m??/θ

則d=-

m4,

I觸類旁通.求平面a外一點(diǎn)一到平面a的距離的步驟

(D求平面a的法向量〃;

(2)在平面。內(nèi)取一點(diǎn)4確定向量身的坐標(biāo);

(3)代入公式d求解.

=".n"L

即時(shí)訓(xùn)練5.(2021?金昌模擬)如圖，在多面體四的中，底面/靦是邊長(zhǎng)為2的

菱形，NBAg6Q°,四邊形6幽'是矩形，平面眥尸J"平面/版，比‘=2,M為線段外的中

點(diǎn).

E

(1)求,"到平面龐’。的距離及三棱錐,Q。於的體積；

(2)求證：〃歸_平面

解⑴設(shè)“n加=0,以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，仍為X軸，比'為y軸，過(guò)。作平面/版的垂

線為Z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則C(0,√3,0),M-1,0,0),M-l,0,2),Mh0,1),

—>—>—>—?—>

DE=(0,0,2),DC=(1,√3,0),DM=(2,0,1),,：DE?DC=O,：.DELDC,

?*?Snc況=~^)E?DC=1義2X2=2,

設(shè)平面〃%的法向量A=(筋y,z),

?n?DE=2z=0f

叫→

Iz??DC=χ-?-yβy=0,

取X=#,得n=(r?β,—1,0),

—?

Inr-

???,"到平面瓦。的距離A---=π^==yβ9

㈤√3+lV

???三棱錐一建的體積

V='~^4CDt^力=§義2Xy∣3=-

-A-A

(2)證明：4(0,-√3,0),4C=(0,2√5,0),4￡=(一1,√3,2),

-A-A-A-A

AC?RIf=OfeZW=-2+2=0,

：.ACLDM,AELD弘

,：ACQAE=A,AC,45t平面力龍,

."匕平面ACE.

自主培優(yōu)(十四)用向量法探究點(diǎn)的位置易出錯(cuò)

如圖所示，在四棱錐夕一屈力中，平面∕?9"L平面加6?,PAVPD,PA=PD,ABVAl),AB

=1,47=2,AC=CD=yβ.

⑴求證：平面為反

(2)求直線陽(yáng)與平面附9所成角的正弦值；

(3)在棱刃上是否存在點(diǎn)“，使得身"平面∕≡若存在，求出巧的值；若不存在，說(shuō)

nr

明理由.

解(1)證明：因?yàn)槠矫妯M?9J■平面4%為，平面∕?9∩平面ABVAD,43t平面

ABCD,所以4?J_平面PAD,

又Ht平面以4所以四_L"

又因?yàn)橛胈L/?,PACAB=A,PA,4fc平面序8,所以如，平面月投

⑵取4〃的中點(diǎn)0,連接尸O,C0.

因?yàn)樘?",所以總被

又因?yàn)锳ct:平面為〃，

平面陽(yáng)。_L平面ABCD,平面PADQ平面ABCD=AD,

所以尸OJ_平面位加9.

因?yàn)镃aU平面ABCD,

所以P0LC0.

因?yàn)椤?=微所以C0上月〃

如圖建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz.

由題意得,由0,1,0),由1,1,0),C(2,0,0),P(0,-1,0),A0,0,1),PB=Ql,一

1),PC=G,0,-1),PD=(3-1,-1).

設(shè)平面板的法向量為/7=(x,y,z),

n?PD=O,—y—z=0,

即

2x—Z=0.

LΛ?∕7cι=o,

令z=2,則x=l,y=~2f所以〃=(1,—2,2).

又PB=(1,1,-1),

設(shè)直線處與平面”所成的角為明

—?

所以Sine=ICoS〈〃，PB)\=~~~^?=乎，

∣Λ∣?PB?'

?/?

所以直線如與平面加9所成角的正弦值為華.

⑶設(shè)"是棱PA上一點(diǎn)，則存在^∈[0,1]使得4仁AAP.

因此點(diǎn),“(0,1—4,4)，Blf=(―T,—λ,λ).

因?yàn)闉槭┢矫媸?，所以?dāng)且僅當(dāng)砌?〃=()時(shí)?，BM〃平面PCD,BP(-1,-Λfλ)?(1,

—2,2)=0,解得4=；.

所以在棱用上存在點(diǎn)M使得陰〃平面AS此時(shí)條/

/答題啟示

對(duì)于點(diǎn)的探究型問(wèn)題，要善于根據(jù)點(diǎn)的位置結(jié)合向量的有關(guān)定理靈活設(shè)出未知量，盡量

使未知量個(gè)數(shù)最少.

,對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練

(2021?蘇州模擬)如圖1,在邊長(zhǎng)為4的菱形/86?中，ZBAD=QOQ,DELAB于點(diǎn)E,

將44?'沿Z?'折起到的位置，使如圖2.

(1)求證：4EL平面8(%公

(2)求二面角￡一46一C的余弦值；

EP

(3)判斷在線段曲上是否存在一點(diǎn)只使得平面4%2平面4比？若存在，求出扁的值;

若不存在，說(shuō)明理由.

解(1)證明：'：DELBE,BE//DC,

：.DEVDC.

又A?DLDC,ADCDE=D,AlD,龍化平面4%平面4%

：4尺平面AiDE,：.DCYAyE.

又A?ELDE,DCCDE=D,DC,DEU平面BCDE,

二4反L平面BCDE.

(2)虹平面比圾DELBE,：.以EB,ED,創(chuàng)所在直線分別為“軸、y軸、Z軸，建

立空間直角坐標(biāo)系.

易知應(yīng)=24，則4(0,0,2),8(2,0,0),C(4,2√3,0),ZX0,2√3,0),

―?-?

物產(chǎn)(一2,0,2),BC=(2,24,0),

平面4跖的一個(gè)法向量為n=(0,1,0).

設(shè)平面48C的法向量為m=(x,y,z),

—2x+2Z=0,

由物】?R=0,BC?227=0,得，

2χ-?-2y∣3y=0.

令y=l,得平面4%的一個(gè)法向量為"=(—4,1,—?/?),

?/?m?n1幣

??COS?2Z7,12/——r——.

mn√7×17π

由圖，得二面角￡一48一C為鈍二面角，

.?.二面角《一48—C的余弦值為一半.

(3)假設(shè)在線段用上存在一點(diǎn)只使得平面L平面AxBC.設(shè)At,0,0)(0≤t≤2),則

AlP=(t,0,-2),Λ∕)=(0,2√3,-2),

設(shè)平面4ZF的法向量為0=(為，yl,z∣),

A?D?p=0,2yf3y↑—2zι—0,

山《得＜

S矛L2zι=0.

、AiP?P=O9

令x∣=2,得p=(2,痘

：平面L平面AyBC,

."./D?p=0,即2yβ-東+yβt=O,解得t=-3.

V0≤f≤2,，在線段破上不存在點(diǎn)R使得平面4〃RJL平面4%

課時(shí)作業(yè)I

1.直線/的方向向量a=(l,-3,5),平面α的一個(gè)法向量A=(—1,3,—5),則有()

A.1//Q

B.71a

c./與。相交但不垂直

D.IUa或U/a

答案B

解析因?yàn)閍=(l,—3,5),〃=(—1,3,—5),所以a=一〃，a〃乙所以/_L平面a.

故選B.

2.已知兩平面的法向量分別為E=(0,1,0),A=(0,1,1),則兩平面所成的二面角為

()

A.45oB.135°

C.45°或135°D.90°

答案C

解析Tcos(m,ri)――~=乎,：.〈血n)=45°....二面角為45°或135°.

RAq22

故選C.

3.(2021?云南玉溪模擬)如圖所示，已知正方體/83/1由G4中，E,尸分別是上底面

454〃和側(cè)面力加4的中心，則)與必所成的角是()

A.60oB.45°

C.30oD.135°

答案B

解析以〃為原點(diǎn)，射線的，DC,如分別為X軸、y軸、Z軸的非負(fù)半軸建立如圖所示

的空間直角坐標(biāo)系Dxyz,設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1,

11

0,ZT=(OJO),

2,2/

/'/"?DC72

Λcos{EF,DOl=------------=-4-,.,.{EF,DO=135o,二￡77與必所成的角是45°.

——2

?EF??DC?

故選B.

4.（2022?大慶模擬）如圖，在正四棱柱/1故—45G〃中，AB=2,BB?=4,則直線仍

與平面4曲所成角的正弦值為（）

答案A

解析如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz.IjIlJ4(2,0,0),C(0,2,0),4(0,0,4),

-A-A-A

6(2,2,0),5i(2,2,4),AC=(-2,2,0),ADt=(-2,0,4),BBi=(0,0,4).設(shè)平面4口的法向

量為A=(x,y,z),

n?AC=Q,—2x+2y=0,

則〈即ICl八取X=2,則尸2,Z=L故/7=⑵2,1)是

f1―2x+4z=0,

?4fl=0,

平面/1勿的一個(gè)法向量，設(shè)直線能與平面力切所成的角是0,則sinO=Icos",BBG\

n?BB?__4__1

一—-3x4—3."又選A?

∣Λ∣?BBx?

5.△/回的頂點(diǎn)分別為4(1,-1,2),8(5,-6,2),∏1,3,一1),則力。邊上的高切

為()

A.5B.√41

C.4D.2√5

答案A

解析VJ(1,-1,2),8(5,-6,2),C(1,3,-1),：.AB=(4,一5,0),AC=(0,4,-

3).；點(diǎn)〃在直線4C上，設(shè)49=∕MC=(0,44,一34)，由此可得加=49-46=(0,44,

-3λ)-(4,-5,0)=(-4,4A+5,-3/1).又BDLAC,.".BD?-4X0+(4+5)×4

4一,912、

+(—3/)X(—3)=。，解得」瑟.因此M=(T，41+5,TQ=卜4,?可得

蒜='-4葉(D+腎=5.

6.(2021?安徽六安一中質(zhì)檢)如圖，在直三棱柱/比‘-45G中，ZACβ=90o,2AC=

∕4=8C=2.若二面角區(qū)一如一G的大小為60°,則相的長(zhǎng)為()

A.√2

C.2

答案A

解析以。，CB,CG所在的直線分別為X,y,Z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則C(0,0,0),

A(l,0,0),區(qū)(0,2,2),G(0,0,2),設(shè)4Z=a,則點(diǎn)，坐標(biāo)為(1,0,a),S=(1,0,a),CB?

n?6B1=O,[2y+2z=0,

=(0,2,2),設(shè)平面5圈的法向量為A=(X,必z),則〈得(八

f[x+az=0,

?CD=O,

令Z=-1,得A=(d,l,-1),又平