7.4 平面直角坐標系中的圖形變化及其應用 人教版數學七年級下冊基礎知識講與練

專題7.4平直直角坐標系中的圖形變化及其應用（知識講解）【學習目標】能建立適當的平面直角坐標系描述物體的位置.2.在同一直角坐標系中，掌握點和圖形的平移規(guī)律，并用于解決問題；3.在同一直角坐標系中，感受圖形上點的坐標變化與圖形的軸對稱變換之間的關系；4.經歷圖形坐標變化與圖形軸對稱之間關系的探索過程，發(fā)展形象思維能力和數形結合意識；5.通過“坐標與軸對稱”的探究，讓學生掌握空間與圖形的基礎知識和基本技能，培養(yǎng)學生的探索能力.【要點梳理】【知識點一】用坐標表示地理位置根據已知條件，建立適當的平面直角坐標系，是確定點的位置的必經過程，只有建立了適當的直角坐標系，點的位置才能得以確定，才能使數與形有機地結合在一起．利用平面直角坐標系繪制區(qū)域內一些地點分布情況的過程：（1）建立坐標系，選擇一個適當的參照點為原點，確定x軸，y軸的正方向；（2）根據具體問題確定適當的比例尺，在坐標軸上標出單位長度；（3）在坐標平面內畫出這些點，寫出各點的坐標和各個地點的名稱．特別說明：(1)建立坐標系的關鍵是確定原點和坐標軸的位置，我們一般選擇那些使點的位置比較容易確定的方法，例如借助于圖形的某邊所在直線為坐標軸等，而建立平面直角坐標系的方法是不唯一的．所建立的平面直角坐標系也不同，得到的點的坐標不同．(2)應注意比例尺和坐標軸上的單位長度的確定．【知識點二】平面直角坐標系中點和圖形的平移（1）點在平面直角坐標系中的平移在平面直角坐標系中,將點(x,y)向右或向左平移a個單位長度,可以得到對應點(x+a,y)或(x-a,y);將點(x,y)向上或向下平移b單位長度,可以得到對應點((x,y+b)或((x,y-b).特別說明：(1)、在坐標系內,左右平移的點的坐標規(guī)律:右加左減；(2)、在坐標系內,上下平移的點的坐標規(guī)律:上加下減；(3)、在坐標系內,平移點的坐標規(guī)律:沿x軸方向平移縱坐標不變,沿y軸方向平移橫坐標不變。（2）圖形在平面直角坐標系中的平移在平面直角坐標系內,如果把一個圖形各個點的橫坐標都加上(或減去)一個正數a,相應的新圖形就是把原圖形向右(或向左)平移a個單位長度:如果把它各個點的縱坐標都加上(或減去)一個正數a,相應的新圖形就是把原圖形向上(或向下)平移a個單位長度。特別說明：平移是圖形的整體位置的移動,圖形上各點都發(fā)生相同性質的變化,因此圖形的平移問題可以轉化為點的平移問題來解決；平移只改變圖形的位置,圖形的大小和形狀不發(fā)生變化?！局R點三】軸對稱定理定理1:關于某條直線對稱的兩個圖形是全等形。(全等形不一定關于某條直線對稱)定理2:如果兩個圖形關于某條直線對稱,那么對稱軸是對應點連線的垂直平分線。定理3:兩個圖形關于某條直線對稱,如果對稱軸和某兩條對稱線段的延長線相交,那么交點在對稱軸上。定理3的逆定理:如果兩個圖形的對應點連線被同一條直線垂直平分,那么這兩個圖形關于這條直線對稱。【知識點四】平面直角坐標系中對稱點坐標P(a，b)關于x軸對稱的點的坐標為(a,-b)；P(a，b)關于y軸對稱的點的坐標為(-a,b)；P(a，b)關于原點對稱的點的坐標為(-a,-b);P(a，b)關于一三象限角平分線對稱的點的坐標為(b,a);P(a，b)關于一三象限角平分線對稱的點的坐標為(-b,-a)．【典型例題】類型一、用坐標表示平移??平移方式（點的坐標）??點的坐標 （平移方式）1．在平面直角坐標系中，將點向右平移2個單位長度，再向下平移2個單位長度所得到的點坐標為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據“橫坐標右移加，左移減；縱坐標上移加，下移減”的規(guī)律求解即可．解：將點P（3，2）向右平移2個單位長度得到（5，2），再向下平移2個單位長度，所得到的點坐標為（5，0）．故選：D．【點撥】本題考查了坐標與圖形變化——平移：向右平移a個單位，坐標P（x，y）（x+a，y）；向左平移a個單位，坐標P（x，y）（x-a，y）；向上平移b個單位，坐標P（x，y）（x，y+b）；向下平移b個單位，坐標P（x，y）（x，y-b），熟記點的坐標的平移規(guī)則是解題的關鍵．舉一反三：【變式1】在平面直角坐標系中，將點A（m﹣1，n+2）先向右平移3個單位，再向上平移2個單位，得到點．若點位于第四象限，則m、n的取值范圍分別是（）A．m＞0，n＜0 B．m＞1，n＜2 C．m＞1，n＜0 D．m＞﹣2，n＜﹣4【答案】D【分析】先根據平移得到點的坐標，再根據點在第四象限構建不等式解決問題．解：由題意，點的坐標為（，），即：（，），∵點位于第四象限，∴，∴，故選：D．【點撥】本題考查坐標與圖形變化-平移，解題的關鍵是構建不等式解決問題，屬于中考?？碱}型．【變式2】如圖第一象限內有兩點，將線段平移，使點P、Q分別落在兩條坐標軸上，則點P平移后的對應點的坐標是（

）．A． B．C．或 D．或【答案】C【分析】設平移后點、的對應點分別是、．分兩種情況進行討論：①在軸上，在軸上；②在軸上，在軸上．解：設平移后點、的對應點分別是、．分兩種情況：①在軸上，在軸上，則橫坐標為0，縱坐標為0，，，點平移后的對應點的坐標是；②在軸上，在軸上，則縱坐標為0，橫坐標為0，，，點平移后的對應點的坐標是；綜上可知，點平移后的對應點的坐標是或．故選：C．【點撥】此題主要考查圖形的平移及平移特征．在平面直角坐標系中，圖形的平移與圖形上某點的平移規(guī)律相同．平移中點的變化規(guī)律是：橫坐標右移加，左移減；縱坐標上移加，下移減．2．如圖，在平面直角坐標系中，將四邊形先向上平移，再向左平移得到四邊形，已知，則點B坐標為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意得到點A的坐標變化規(guī)律，然后根據點A的變化規(guī)律反推可以由B1得到B的坐標．解：∵-3-3=-6，5-3=2，∴點A變到A1的過程中，橫坐標加-6，縱坐標加2，∴由B1反推到B的過程，必須是橫坐標加6，縱坐標加-2，∴-4+6=2，3-2=1，∴B點坐標為（2，1），故選B．【點撥】本題考查平移的坐標變化，得到圖形的平移規(guī)律是解題關鍵．舉一反三：【變式1】在平面直角坐標系中，線段A'B'是由線段AB經過平移得到的，已知點A(2，1)的對應點為A'(3，1)，點B的對應點為B'(4，0)，則點B的坐標為()A．(9，2) B．(1，2) C．(1，3) D．(?1，2)【答案】D【分析】直接利用平移中點的變化規(guī)律求解即可．解：橫坐標從-2到3，說明是向右移動了3-（-2）=5，縱坐標從1到-1，說明是向下移動了1-（-1）=2，求原來點的坐標，則為讓新坐標的橫坐標都減5，縱坐標都加2．則點B的坐標為（-1，2）．故答案為：D．【點撥】本題考查了圖形的平移變換，注意左右移動改變點的橫坐標，左減，右加；上下移動改變點的縱坐標，下減，上加．求原來點的坐標正好相反．【變式2】若將點A先向左平移1個單位，再向上平移4個單位，得到的B（-3，2），則點A的坐標為（）A．（-1，6） B．（-4，6） C．（-2，-2） D．（-4，-2）【答案】C解：設A（x，y），將點A先向左平移1個單位，再向上平移4個單位可得（x-1，y+4），∵得到的B（-3，2），∴x-1=-3，y+4=2，解得：x=-2，y=-2，∴A（-2，-2），故選C．【點撥】此題主要考查了平移變換與坐標變化，關鍵是掌握橫坐標，右移加，左移減；縱坐標，上移加，下移減．類型二、平面直角坐標系??有序對??表示位置??表示路線 3．某體育館的平面示意圖如圖所示，已知游泳館的坐標是，足球場的坐標是．根據上述條件建立平面直角坐標系；若籃球場的坐標為，請在圖中標出籃球場的位置．【分析】（1）根據數對表示的位置，即可建立出平面直角坐標系．（2）根據數對表示的位置，第一個數字表示列，第二個數字表示行，即可標出籃球場的位置．解：（1）建立平面直角坐標系如圖所示．（2）籃球場的位置如圖所示．【點撥】本題考查了坐標方法的簡單應用以及數對表示位置的方法，正確建立平面直角坐標系是解題的關鍵．舉一反三：【變式1】如圖是某學校平面圖的一部分，若宿舍樓的坐標為，致遠樓的坐標為，請解答下列問題：根據題目信息，建立平面直角坐標系；根據你建立的平面直角坐標系，寫出教務處的坐標；若圖書館的坐標為，請在圖中標出圖書館的位置．【答案】(1)見分析 (2) (3)見分析【分析】（1）根據宿舍樓和致遠樓的坐標，確定出原點以及坐標軸，即可求解；（2）根據直角坐標系以及教務處的位置，即可求解；（3）根據圖書館的坐標，在坐標系中標記即可．解：（1）建立平面直角坐標系如圖所示．（2）教務處的坐標為．（3）圖書館的位置如圖所示．

【點撥】此題考查了直角坐標系的應用，坐標確定位置，根據題意正確得到原點的位置以及坐標軸是解題的關鍵．【變式2】如圖為某次軍事演習敵我雙方艦艇模擬對峙圖．對于我方潛艇來說，北偏東方向上有哪些目標？要想確定敵艦B的位置，還需要什么數據？這個數據能從圖中取得嗎？相對我方潛艇，我方戰(zhàn)艦1號在什么位置？你能用其他方式確定敵、我雙方戰(zhàn)艦的位置嗎？【答案】(1)敵方戰(zhàn)艦，小島，潛艇到敵方戰(zhàn)艦的距離，能從圖中取得，理由見分析； (2)相對我方潛艇，我方戰(zhàn)艦1是在東偏南的位置； (3)建立坐標系，利用有序數對來表示．【分析】（1）根據方向角的定義即可得到結論；（2）根據方向角來表示，即可得到結論；（3）根據方向角的定義即可得到結論．（1）解：北偏東方向上的目標是敵方戰(zhàn)艦，小島．要確定敵方戰(zhàn)艦的位置，還需要潛艇到敵方戰(zhàn)艦的距離，這個數據能從圖中取得，測量潛艇到敵方戰(zhàn)艦的圖上距離，再按的比例求解；（2）解：相對我方潛艇，我方戰(zhàn)艦1是在東偏南的位置；（3）解：可以建立坐標系，利用有序數對來表示，即坐標來表示敵、我雙方戰(zhàn)艦的位置．【點撥】本題考查了方向角，平面直角坐標系，解題的關鍵是熟練掌握方向角的定義．4．上面是雷達站和幾個小島的位置分布圖，以雷達站為觀測點．A島的位置在（

）偏（

）（

）方向上，距離雷達站（

）km；B島的位置在（

）偏（

）（

）方向上，距離雷達站（

）km；C島的位置在南偏西35°方向上，距離雷達站60km處．請在圖中畫出C島的準確位置．【答案】(1)北偏東、55°、48 (2)北偏西、25°、60 (3)見分析【分析】（1）根據地圖上的方向，上北下南，左西右東，以雷達站的位置為觀測點，即可確定A島位置的方向，距離圖中已標出．（2）同理，以雷達站的位置為觀測點，即可確定B島位置的方向，距離圖中已標出．（3）C島到雷達站的實際距離與B島到雷達站的實際距離相等，因此，圖上距離也相等，以雷達站為觀測點，即可確定C島的方向，由此即可畫出C島的準確位置．解：（1）A島的位置在北偏東55°方向上，距離雷達站48km；（2）B島的位置在北偏西25°方向上，距離雷達站60km；（3）C島的位置在南偏西35°方向上，距離雷達站60km處．在圖中畫出C島的準確位置（下圖）：【點撥】本題考查根據方向和距離確定物體的位置，會根據位置描述方向以及會根據方向的描述確定物體的位置是解本題的關鍵．舉一反三：【變式1】如圖是游樂園的一角．如果用(3，2)表示跳跳床的位置，那么蹺蹺板用數對________表示，碰碰車用數對________表示，摩天輪用數對________表示．請你在圖中標出秋千的位置，秋千在大門以東400m，再往北300m處．【答案】（1）(2，4)；(5，1)；(5，4)；（2）見分析．【分析】（1）根據有序數對的定義分別寫出即可；（2）根據網格結構找出秋千的位置標注即可．解：(1)(2，4)；(5，1)；(5，4)；(2)如圖．【點撥】本題考查坐標確定位置．【變式2】在一次夏令營活動中，主辦方告訴營員們A、B兩點的位置及坐標分別為（-3，1）、（-2，-3），同時只告訴營員們活動中心C的坐標為（3，2）（單位：km）請在圖中建立直角坐標系并確定點C的位置；以點B為參照點，請用方位角和實際距離表示點C的位置．【答案】(1)見分析； (2)點C在點B東北方向，距離點B的km處【分析】（1）根據題意建立直角坐標系，再由坐標系寫出點C的坐標即可；（2）以點B為坐標中心，由方向角的定義可知點C在點B北偏東45°方向上，再由勾股定理求出BC的長．（1）解：根據A（-3，1），B（-2，-3）畫出直角坐標系，描出點C（3，2），如圖所示：（2）由勾股定理可知，BC=5，∴點C在點B北偏東45°方向上，距離點B的5km處．【點撥】本題考查直角坐標系，用坐標系中的點表示位置、方向角、勾股定理等知識，是基礎考點，掌握相關知識是解題關鍵．類型三、平面直角坐標系??軸對稱??點的坐標??面積??最值5．如圖，已知的頂點分別為，，和直線m（直線m上各點的橫坐標都為1）．作出關于x軸對稱的圖形，并寫出點的坐標；若點是內部一點，則點P關于直線m對稱的點的坐標是______．在x軸上找一點P，使得最小，找到點P的位置．【答案】(1)，圖見分析 (2) (3)圖見分析【分析】（1）根據軸對稱關系確定點、、的坐標，順次連線即可；（2）根據軸對稱的性質解答即可；（3）連接，與x軸交點即為點P．（1）解：如下圖所示．點的坐標為；（2）解：直線m上各點的橫坐標都為1，，由軸對稱的性質可知，點關于直線m對稱的點的橫坐標為，縱坐標為b，即點關于直線m對稱的點的坐標為，故答案為：；（3）解：如圖，連接，與x軸交點即為點P．理由如下：點C和點關于x軸對稱，，，即此時最?。军c撥】本題考查軸對稱的性質，利用軸對稱關系作圖，確定直角坐標系中點的坐標，最短路徑問題作圖，正確理解軸對稱的性質是解題的關鍵．舉一反三：【變式1】如圖，已知的三個頂點坐標分別為，，．畫出關于軸對稱的圖形；直接寫出、的坐標為____________；求的面積．【答案】(1)見分析 (2)的坐標為、的坐標為 (3)2【分析】（1）根據軸對稱的定義找到的三個頂點關于軸對稱的點，再順次連接即可；（2）根據所作圖形可得；（3）利用割補法求解即可．（1）解：如圖所示，即為所求；（2）由圖象知的坐標為、的坐標為；（3）的面積：．【點撥】本題考查了軸對稱變換，正確得出對應點位置是解題的關鍵．【變式2】如圖，三個頂點的坐標分別是，，．若點A、B、C關于x軸的對稱點分別為、、，則（____，____），（____，____，）（____，____），并在圖中畫出．(2)求的面積；(3)在x軸上求一點P，使周長最小，請畫出，并通過畫圖求出P點的坐標．【答案】(1)，，，畫圖見分析； (2) (3)畫圖見分析，【分析】（1）根據關于x軸對稱的點的坐標特點可得、、的坐標，再順次連接、、作三角形即可；（2）由長方形的面積減去周圍三個三角形的面積即可；（3）如圖，連接交x軸于點P，則的周長最小，再根據圖形可得P的坐標．（1）解：∵，，．∴點A、B、C關于x軸的對稱點、、的坐標為：，，，如圖，即為所畫的三角形，（2）．（3）如圖，連接交x軸于點P，則，∴，此時的周長最?。勺鲌D可得：．【點撥】本題考查的是畫關于x軸對稱的三角形，坐標與圖形，求網格中三角形的面積，利用軸對稱的性質確定三角形周長最小時點的位置與坐標，熟練的運用軸對稱的性質進行解題是關鍵．類型四、平面直角坐標系??軸對稱??平移??綜合題（幾何圖形變換）6．小亮在網上搜索到下面的文字材料：在x軸上有兩個點它們的坐標分別為和．則這兩個點所成的線段的長為；同樣，若在軸上的兩點坐標分別為和，則這兩個點所成的線段的長為．如圖1，在直角坐標系中的任意兩點，其坐標分別為和，分別過這兩個點作兩坐標軸的平行線，構成一個直角三角形，其中直角邊，利用勾股定理可得：線段的長為．根據上面材料，回答下面的問題：在平面直角坐標系中，已知則線段的長為______；若點在y軸上，點的坐標是，且，則點的坐標是______；如圖2，在直角坐標系中，點的坐標分別為）和，點是軸上的一個動點，且三點不在同一條直線上，求周長的最小值．【答案】(1) (2)或 (3)周長最小值為【分析】（1）根據勾股定理直接進行計算即可求解；（2）設，由點的坐標是，且，根據勾股定理建立方程，解方程即可求解．（3）作點關于軸的對稱點，根據對稱性可得即為周長最小值，勾股定理求得即可求解．（1）解：∵∴，故答案為：；（2）設，∵點的坐標是，且，∴，解得，∴點的坐標是：或，故答案為：或；（3）如圖2，作點關于軸的對稱點，則點，∴，當三點共線時，最小，即周長最小，∵，，，，，∴△ABC周長最小值為：．【點撥】本題考查了勾股定理求兩點距離，軸對稱的性質求線段和的最值問題，掌握勾股定理，軸對稱的性質是解題的關鍵．舉一反三：【變式1】在邊長為的小正方形組成的正方形網格中建立如圖所示的平面直角坐標系，已知格點三角形（三角形的三個頂點都在小正方形上）畫出關于直線：的對稱三角形；并寫出，，的坐標；在直線上找一點，使最小，滿足條件的點為______．提示：直線是過點且垂直于軸的直線．【答案】(1)圖見分析，，， (2)圖見分析，點的坐標為【分析】（1）分別作出點，，關于直線：的對稱的點，然后順次連接，并寫出，，的坐標；（2）作出點關于對稱的點，連接，與的交點即為點，此時最小，寫出點的坐標即可．（1）解：如圖，分別作出點，，關于直線：的對稱的點，，，連接，，，則即為所作，∴，，．（2）如圖，作點關于直線對稱的點，連接，與直線的交點即為點，∴直線為線段的垂直平分線，∴，∴，∴此時最小，點坐標為．故答案為：．【點撥】本題考查根據軸對稱變換作圖，最短路線問題．解答本題的關鍵是根據網格結構作出對應點的位置并順次連接．【變式2】如圖，在平面直角坐標系中，點的坐標分別為和，是軸上的一個動點，且三點不在同一條直線上．求的長；求的周長的最小值．【答案】(1) (2)【分析】（1）過點作于，則∠，，，，得出，由勾股定理求出即可；（2）由題意得出最小，作關于y軸的對稱點，連接交軸于點，點即為使最小的點，由勾股定理求出，即可求解；（1）解：過點作于，如圖,則，∵點的坐標分別為和，∴，，，∴，∴；（2）要使的周長最小，長度一定，則最小，作關于軸的對稱點，連接交軸于點，過點作于點，如圖，∵，∴當三點共線時，即與重合時，三角形的周長最小，最小值為的長，由對稱的性質得：，∴∴,在中，，∴，∴的周長的最小值為．【點撥】本題考查了勾股定理求兩點距離，軸對稱求線段和的最值問題，掌握軸對稱的性質以及勾股定理是解題的關鍵．7．如圖，平面直角坐標系中，，，，，．求的面積；如圖，點以每秒個單位的速度向下運動至，與此同時，點從原點出發(fā)，以每秒個單位的速度沿軸向右運動至，秒后，、、在同一直線上，求的值；如圖，點在線段上，將點向右平移個單位長度至點，若的面積等于，求點坐標．【答案】(1) (2) (3)【分析】（1）由非負數的性質求出，求出，由三點的坐標可求出答案；（2）根據三角形的面積關系可得出答案；（3）連接，設，由三角形面積關系得出，由平移的性質得出，根據三角形的面積關系可求出答案．解：（1），，，，，，，，，，，，，；（2）由題意知：，，，，．（3）連接，，設，，，，點向右平移個單位長度得到點，，，，，，【點撥】本題是三角形綜合題，考查了非負數的性質，坐標與圖形的性質，平移的性質，三角形的面積等知識，解題的關鍵是學會利用參數構建方程解決問題．舉一反三：【變式1】在平面直角坐標系中，點，的坐標分別為，，現將線段先向上平移3個單位，再向右平移1個單位，得到線段，連接，．如圖1，求點，的坐標及四邊形的面積；如圖1，在軸上是否存在點，連接，，使？若存在這樣的點，求出點的坐標；若不存在，試說明理由；如圖2，點為與軸交點，在直線上是否存在點，連接，使？若存在這樣的點，直接寫出點的坐標；若不存在，試說明理由；【答案】(1)12； (2)或； (3)或．【分析】（1）根據平移的性質求出點，的坐標，根據平行四邊形的面積