23 微專題20　函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用 【正文】教師

微專題20函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用[備選理由]例1考查函數(shù)解析式與圖象的對應(yīng)關(guān)系,解題時需要先求出函數(shù)的解析式,考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng);例2考查函數(shù)的周期性與對稱性,考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力;例3考查抽象函數(shù)賦值法,函數(shù)的奇偶性和周期性,考查學(xué)生的邏輯思維能力;例4考查函數(shù)的奇偶性、對稱性及周期性,考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力.1[配例1使用]如圖,圓O的半徑為1,A是圓上的定點(diǎn),P是圓上的動點(diǎn),角x的始邊為射線OA,終邊為射線OP,過點(diǎn)P作直線OA的垂線,垂足為M.將點(diǎn)M到直線OP的距離表示成x的函數(shù)f(x),則f(x)在[0,π]上的圖象為 (B) A B C D[解析]如圖,過M作MD⊥OP于D,則由題意可得PM=|sinx|,OM=|cosx|.在Rt△OMP中,S△OMP=12MD·OP=12OM·PM,所以MD=OM·PMOP=|cosx|·|sinx|1=|cosxsinx|=12|sin2x|,所以f(x)=12|sin2x|2[配例3使用](多選題)[2023·恩施模擬]已知函數(shù)f(x),g(x)的定義域均為R,其導(dǎo)函數(shù)分別為f'(x),g'(x).若f(3-x)+2=g(x),f'(x)=g'(x+1),且g(2-x)+g(x)=0,則 (ACD)A.函數(shù)y=g(x+2)為偶函數(shù)B.函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(2,2)對稱C.∑i=12024g(nD.∑i=12024f(n[解析]因?yàn)閒'(x)=g'(x+1),所以f(x)+a=g(x+1)+b(a,b∈R).因?yàn)閒(3-x)+2=g(x),所以f(x)+2=g(3-x),于是可得g(3-x)-2+a=g(x+1)+b,令x=1,則g(3-1)-2+a=g(1+1)+b,所以a-2=b,所以g(3-x)=g(x+1),所以函數(shù)g(x)的圖象關(guān)于直線x=2對稱,即g(-x)=g(x+4).因?yàn)間(2-x)+g(x)=0,所以函數(shù)g(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對稱,即g(2+x)+g(-x)=0,所以g(x+2)=-g(x+4),即g(x)=-g(x+2),于是g(x)=g(x+4),所以函數(shù)g(x)是周期為4的周期函數(shù).因?yàn)楹瘮?shù)g(x)的圖象關(guān)于直線x=2對稱,所以y=g(x+2)的圖象關(guān)于y軸對稱,所以y=g(x+2)為偶函數(shù),故A正確.將g(x)的圖象作關(guān)于y軸對稱的圖象可得到y(tǒng)=g(-x)的圖象,再將所得圖象向右平移3個單位長度,可得到y(tǒng)=g[-(x-3)]=g(3-x)的圖象,再將所得圖象向下平移2個單位長度,可得到g(3-x)-2=f(x)的圖象,因此函數(shù)f(x)也是周期為4的周期函數(shù),又g(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對稱,所以f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(2,-2)對稱,故B錯誤.因?yàn)間(2-x)+g(x)=0,所以令x=1,得g(1)+g(1)=0,即g(1)=0,所以g(1)=g(3)=0;令x=0,得g(2)+g(0)=0,所以g(2)+g(4)=0,所以g(1)+g(2)+g(3)+g(4)=0,所以∑i=12024g(n)=0,故C正確.因?yàn)閒(x)=g(3-x)-2,所以f(0)=g(3)-2=-2,f(2)=g(1)-2=-2,f(1)=g(2)-2,f(3)=g(0)-2,f(4)=f(0)=-2,則有f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=g(2)-2+(-2)+g(0)-2+(-2)=-8,所以∑i=12024f(n)=-4048,故3[配例3使用](多選題)[2023·福建莆田二模]已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,且f(x+y)f(x-y)=[f(x)]2-[f(y)]2,f(1)=3,y=f2x+32為偶函數(shù),則 (A.f(0)=0 B.f(x)為偶函數(shù)C.f(3+x)=-f(3-x) D.∑k=12023f(k[解析]對于A,因?yàn)閒(x+y)f(x-y)=[f(x)]2-[f(y)]2,所以令x=y=0,則f(0)f(0)=[f(0)]2-[f(0)]2,可得f(0)=0,故A正確.對于B,f(x)的定義域?yàn)镽,關(guān)于原點(diǎn)對稱,令x=0,則f(y)f(-y)=[f(0)]2-[f(y)]2,又f(y)不恒為0,所以f(-y)=-f(y),所以f(x)為奇函數(shù),故B錯誤.對于C,因?yàn)閥=f2x+32為偶函數(shù),所以f-2x+32=f2x+32.令-t=-2x+32,則2x=t+32,故f(-t)=f(t+3);令t=-2x+32,則2x=-t+32,故f(t)=f(-t+3).因?yàn)閒(x)為奇函數(shù),所以f(-t)=-f(t),所以f(t+3)=-f(-t+3),即f(3+x)=-f(3-x),故C正確.對于D,由選項(xiàng)C可知f(t+3)=f(-t)=-f(t),所以f(t+6)=-f(t+3)=f(t),故f(x)的一個周期為6,因?yàn)閒(1)=3,所以f(-1)=-f(1)=-3,對于f(t)=f(-t+3),令t=2,得f(2)=f(1)=3,則f(-2)=-3,令t=3,得f(3)=f(0)=0,則f(-3)=0,令t=4,得f(4)=f(-1)=-3,令t=5,得f(5)=f(-2)=-3,令t=6,得f(6)=f(-3)=0,所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)=3+3+0-3-3+0=0,又2023=337×6+1,所以由f(x)的周期性可得∑k=12023f(k)=f(1)+f(2)4[配例3使用](多選題)[2023·東莞模擬]隨著時代與科技的發(fā)展,信號處理以各種方式被廣泛應(yīng)用于醫(yī)學(xué)、聲學(xué)、密碼學(xué)、計(jì)算機(jī)科學(xué)、量子力學(xué)等各個領(lǐng)域.信號處理背后的“功臣”就是正弦型函數(shù),f(x)=∑i=13sin[(2i-1A.函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=π2B.函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(0,0)對稱C.函數(shù)f(x)為周期函數(shù),且最小正周期為πD.函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f'(x)的最大值為3[解析]函數(shù)f(x)=∑i=13sin[(2i-1)x]2i-1=sinx+sin3x3+sin5x5,其定義域?yàn)镽.對于A,f(π+x)=sin(π+x)+sin(3π+3x)3+sin(5π+5x)5=-sinx-sin3x3-sin5x5=sin(-x)+sin(-3x)3+sin