2023年九年級中考數學一輪專題復習考點突破練習－特殊三角形

特殊三角形1．如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，則∠ACD的度數為()A．70° B．100° C．110° D．140°2．△ABC的三邊長a，b，c滿足(a－b)2＋eq\r(2a－b－3)＋|c－3eq\r(2)|＝0，則△ABC是()A．等腰三角形 B．直角三角形 C．銳角三角形 D．等腰直角三角形3．如圖，△OAB的頂點O(0，0)，頂點A，B分別在第一、四象限，且AB⊥x軸．若AB＝6，OA＝OB＝5，則點A的坐標是()A．(5，4) B．(3，4) C．(5，3) D．(4，3)4．如圖，在△ABC中，AB＝AC＝5，D是BC上的點，DE∥AB交AC于點E，DF∥AC交AB于點F，那么四邊形AEDF的周長是()A．5 B．10 C．15 D．205．在△ABC和△A′B′C′中，∠B＝∠B′＝30°，AB＝A′B′＝6，AC＝A′C′＝4，已知∠C＝n°，則∠C′的度數為()A．30° B．n° C．n°或180°－n° D．30°或150°6．如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，點D在邊AC上，且BD平分△ABC的周長，則BD的長是()A.eq\r(5) B.eq\r(6) C.eq\f(6\r(5),5) D.eq\f(3\r(6),4)7．如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC邊的中線．若AB＝5，BC＝6，則AD的長度為________．8．若(a－3)2＋eq\r(b－5)＝0，則以a，b為邊長的等腰三角形的周長為____________．9．將含30°角的直角三角板和直尺按如圖所示的方式放置，已知∠α＝60°，點B，C表示的刻度分別為1cm，3cm，則線段AB的長為________cm.10．如圖，CD為Rt△ABC斜邊AB上的中線，點E為AC的中點．若AC＝8，CD＝5，則DE＝________.11．如圖，△ABC中，若AB＝AC，AD＝BD，∠CAD＝24°，則∠C＝________°.12.如圖，BD是等邊三角形ABC的中線，以點D為圓心，DB的長為半徑畫弧，交BC的延長線于點E，連接DE.求證：CD＝CE.13．如圖，在△ABC中，∠ABC的平分線BD交AC邊于點D，AE⊥BC于點E.已知∠ABC＝60°，∠C＝45°.(1)求證：AB＝BD；(2)若AE＝3，求△ABC的面積．14．如圖，在正方形方格中，每個小正方形的邊長都是1個單位長度，點A，B，C，D，E均在小正方形方格的頂點上，線段AB，CD交于點F.若∠CFB＝α，則∠ABE等于()A．180°－α B．180°－2α C．90°＋α D．90°＋2α15．如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠C＝45°，以AB為腰作等腰直角三角形BAE，頂點E恰好落在CD邊上．若AD＝1，則CE的長是()A.eq\r(2) B.eq\f(\r(2),2) C．2 D．116．如圖，O是等邊三角形ABC內一點，OA＝2，OB＝1，OC＝eq\r(3)，則△AOB與△BOC的面積之和為()A.eq\f(\r(3),4) B.eq\f(\r(3),2) C.eq\f(3\r(3),4) D.eq\r(3)17．我國漢代數學家趙爽證明勾股定理時創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖”，后人稱之為“趙爽弦圖”，它是由4個全等的直角三角形和一個小正方形組成．如圖，直角三角形的直角邊長為a，b，斜邊長為c.若b－a＝4，c＝20，則每個直角三角形的面積為________．18．如圖，邊長為2的等邊三角形ABC的兩個頂點A，B分別在兩條射線OM，ON上滑動．若OM⊥ON，則OC的最大值是________．19．如圖，C為線段AB上一點，分別以AC，BC為等腰三角形的底邊，在AB的同側作等腰三角形ACD和等腰三角形BCE，且∠A＝∠CBE.在線段EC上取一點F，使EF＝AD，連接BF，DE.如圖，求證：DE＝BF.20．如圖，△ABC是邊長為4的等邊三角形，點D，E，F分別在邊AB，BC，CA上運動，滿足AD＝BE＝CF.(1)求證：△ADF≌△BED；(2)設AD的長為x，△DEF的面積為y，求y關于x的函數表達式；(3)結合(2)所得的函數，描述△DEF的面積隨AD的增大如何變化．

參考答案1．C2.D3.D4.B5.C6.C 7．C8.A9.C10．411.11或1312.213.314.5215．證明：如圖，∵BD為等邊三角形ABC的中線，∴BD⊥AC，∠1＝60°，∴∠3＝30°.∵BD＝DE，∴∠E＝∠3＝30°.∵∠2＋∠E＝∠1＝60°，∴∠E＝∠2＝30°，∴CD＝CE.16．(1)證明：∵BD平分∠ABC，∠ABC＝60°，∴∠DBC＝eq\f(1,2)∠ABC＝30°.∵∠C＝45°，∴∠ADB＝∠DBC＋∠C＝75°，∠BAC＝180°－∠ABC－∠C＝75°，∴∠BAC＝∠ADB，∴AB＝BD.(2)解：在Rt△ABE中，∠ABC＝60°，AE＝3，∴BE＝eq\f(AE,tan∠ABC)＝eq\r(3).在Rt△AEC中，∠C＝45°，AE＝3，∴EC＝eq\f(AE,tanC)＝3，∴BC＝3＋eq\r(3)，∴S△ABC＝eq\f(1,2)BC·AE＝eq\f(9＋3\r(3),2).17．9618.1＋eq\r(3)19．證明：∵△ACD和△BCE都是等腰三角形，∴AD＝CD，EC＝EB，∠A＝∠DCA.∵∠A＝∠CBE，∴∠DCA＝∠CBE，∴CD∥BE，∴∠DCE＝∠BEF.∵EF＝AD，∴EF＝CD.在△DCE和△FEB中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(CD＝EF，,∠DCE＝∠FEB，,EC＝EB，))∴△DCE≌△FEB(SAS)，∴DE＝BF.20．(1)證明：∵△ABC是邊長為4的等邊三角形，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，AB＝BC＝AC＝4.∵AD＝BE＝CF，∴AF＝BD＝CE.在△ADF和△BED中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AF＝BD，,∠A＝∠B，,AD＝BE，))∴△ADF≌△BED(SAS)．(2)解：如圖，分別過點C，F作CH⊥AB，FG⊥AB，垂足分別為H，G.在等邊三角形ABC中，∠A＝∠B＝∠ACB＝60°，AB＝BC＝AC＝4，∴CH＝AC·sin60°＝2eq\r(3)，∴S△ABC＝eq\f(1,2)AB·CH＝4eq\r(3).設AD的長為x，則AD＝BE＝CF＝x，AF＝4－x，∴FG＝AF·sin60°＝eq\f(\r(3),2)(4－x)，∴S△ADF＝eq\f(1,2)AD·FG＝eq\f(\r(3),4)x(4－x)，同理(1)可知△ADF≌△BED≌△CFE，∴S△ADF＝S△BED＝S△CFE＝eq\f(\r(3),4)x(4－x)．∵△DEF的面積為y，∴y＝S△ABC－3S△ADF＝4eq\r(3)－eq\f(3\r(3),4)x(4－x)＝eq\f(3\r(3),4)x2－3eq\r(3)x＋4eq\r(3).(3)解：由(2)可知y＝eq\f(3\r(3),4)x2－3eq\r(3