2024年廣東省高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第1章第2講：常用邏輯用語（附答案解析）

2024年廣東省高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第1章第2講：常用邏輯用

語

【考試要求】1.理解充分條件、必要條件、充要條件的意義；理解判定定理與充分條件、性質(zhì)

定理與必要條件、數(shù)學(xué)定義與充要條件的關(guān)系2理解全稱量詞和存在量詞的意義，能正確對

兩種命題進(jìn)行否定.

?落實(shí)主干知識

佚口識梳理】

I.充分條件、必要條件與充要條件的概念

若p=則p是q的充分條件，4是P的必要條件

p是q的充分不必要條件paq.且q#p

p是q的必要不充分條件p分q且q=p

p是q的充要條件p0q

p是q的既不充分也不必要條件p4q且q#p

2.全稱量詞與存在量詞

(1)全稱量詞：短語“所有的”“任意一個(gè)”在邏輯中通常叫做全稱量詞，并用符號“乂”表

示.

⑵存在量詞：短語“存在一個(gè)”“至少有一個(gè)”在邏輯中通常叫做存在量詞，并用符號

“旦表示.

3.全稱量詞命題和存在量詞命題

名稱全稱量詞命題存在量詞命題

結(jié)構(gòu)對M中任意一個(gè)x,p(x)成立存在Af中的元素x,p(x)成立

簡記三不￡朋\.(X)

否定非p(x)弋x?M,非Hx)

【常用結(jié)論】

1.充分、必要條件與對應(yīng)集合之間的關(guān)系

設(shè)。={x|p(x)},B={x|g(x)}.

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(1)若p是q的充分條件，則418：

(2)若p是g的充分不必要條件，則Z休8；

(3)若p是q的必要不充分條件，則B便小

(4)若p是q的充要條件，則4=8.

2.含有一個(gè)量詞命題的否定規(guī)律是“改變量詞，否定結(jié)論”.

3.命題p與p的否定的真假性相反.

【思考辨析】

判斷下列結(jié)論是否正確(請?jiān)诶ㄌ栔写颉癑”或“X”)

(l)p是q的充分不必要條件等價(jià)于g是p的必要不充分條件.(V)

(2)“三角形的內(nèi)角和為180?！笔侨Q量詞命題.(V)

(3)已知集合/,B,/U8=Zn8的充要條件是N=8.(V)

(4)命題"sing+cosg=：'是真命題.(X)

【教材改編題】

1.命題“VxGR,的否定是()

A.SxGR>ev—1B.VxGR,ev—IWx

C.3x￡R,ev_l<xD.VxER,er—l<x

答案C

解析由題意得命題“WxWR,d一lex"的否定是"mxeR,ex—l<r

2.(多選)下列命題中為真命題的是()

A.VxGR>x2>0B.VxGR>—KsinxWl

C.SxER.2yoD.SxCR,tanx=2

答案BD

解析當(dāng)x=0時(shí)，x2=0,所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤；

當(dāng)xGR時(shí)，一IWsinxWl,所以B選項(xiàng)正確；

因?yàn)?。0,所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤；

因?yàn)楹訢選項(xiàng)正確.

3.若“無>3”是“x>/'的必要不充分條件，則機(jī)的取值范圍是

答案(3,+8)

解析因?yàn)椤皒>3”是的必要不充分條件，

所以(加，+8)是(3,+8)的真子集，

由圖可知機(jī)>3.

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3mx

■探究核心題型

題型一充分、必要條件的判定

例1(1)(2023?淮北模擬)%>6>0”是“2>1”的()

b

A.充要條件

B.充分不必要條件

C.必要不充分條件

D.既不充分也不必要條件

答案B

解析由心b>0,得3>1,反之不成立，

b

如a=—2,b=-l,滿足4>1,但是不滿足a>6>0,

b

故“心6>0”是的充分不必要條件.

b

(2)(2021?全國甲卷)等比數(shù)列他｝的公比為g,前〃項(xiàng)和為設(shè)甲：q>0,乙：｛S,｝是遞增數(shù)列,

則()

A.甲是乙的充分條件但不是必要條件

B.甲是乙的必要條件但不是充分條件

C.甲是乙的充要條件

D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件

答案B

l

解析當(dāng)m<0,q>l時(shí)，an=aiq"<0,此時(shí)數(shù)列｛SJ單調(diào)遞減，所以甲不是乙的充分條件.當(dāng)

數(shù)列｛S,｝單調(diào)遞增時(shí)，有S,+I-S產(chǎn)斯+i=aq">0,若0>0,則q">0(〃GN*),即g>0；若m<0,

則qYOSCN*),不存在.所以甲是乙的必要條件.

思維升華充分條件、必要條件的兩種判定方法

(1)定義法：根據(jù)p=q=p進(jìn)行判斷，適用于定義、定理判斷性問題.

(2)集合法：根據(jù)p,q對應(yīng)的集合之間的包含關(guān)系進(jìn)行判斷，多適用于條件中涉及參數(shù)范圍

的推斷問題.

跟蹤訓(xùn)練1(1)(2022?長春模擬)““力=同時(shí)’是”與。共線”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

答案A

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解析因?yàn)镚〃=|Q||〃COS解b)=\a\\b\,

所以cosQ,b)=1,

因?yàn)椤?b)e[0,7t],

所以〈a,b)=0,

所以。與〃共線，

當(dāng)。與b共線時(shí)，〈%b〉=0或〈。，b)=7t,

所以〃?力=|0]〃|cos〈*b)=同臼或〃力=|4||b|cos〈〃，b)=—|a||Z>|,

所以是“。與b共線”的充分不必要條件.

(2)(多選)已知基函數(shù)加)=(4〃?-1)日，則下列選項(xiàng)中，能使得火〃)次6)成立的一個(gè)充分不必要

條件是()

A.0<^<-B.a2>b2

ah

C.Ina>lnbD.2a>2b

答案AC

解析由題設(shè)知4加-1=1,可得機(jī)=；,故,/)=4，

所以，要使人。)力S),則仍>揚(yáng)，即a>b20.

0<L,Oa>b>0,A符合題意；

ab

Ina>lnb<>a>b>0,C符合題意；

B,D選項(xiàng)中a,b均有可能為負(fù)數(shù)，B,D不符合題意.

題型二充分、必要條件的應(yīng)用

例2在①NU8=8；②“xWN”是“xWB”的充分條件；③“xWCRA"是"xWCRB"的

必要條件這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充到本題第(2)問的橫線處，求解下列問題.

問題：已知集合N={x|aWxWa+2},5={x|(x+l)(x—3)<0}.

(1)當(dāng)a=2時(shí)，求/C18；

(2)若,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

解(1)由(x+l)(x—3)<0,

解得一14<3,

所以8={x|(x+l)(x-3)<0}={x|-l<x<3},

當(dāng)a=2時(shí)，/={x|2Wx<4},

所以/n8={x[2Wx<3}.

ci>一1,

(2)若選①/U8=B,則/￡8,所以,解得一l〈a〈l,即°仁(一1,1)；

a+2<3,

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若選②“XG/”是“XG8”的充分條件，則/=&所以?"-1'解得一1V/V1,

a+2<3,

即oG(—1,1)；

若選③“xecR/f'是"xecR8”的必要條件，則ZU8,所以1'解得一1<"1,

U+2<3,

即aG(-l,l).

思維升華求參數(shù)問題的解題策略

(1)把充分條件、必要條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系，然后根據(jù)集合之間的關(guān)系列出

關(guān)于參數(shù)的不等式(或不等式組)求解.

(2)要注意區(qū)間端點(diǎn)值的檢驗(yàn).

跟蹤訓(xùn)練2(2023?宜昌模擬)已知集合4={x[—2<xW3},5={x|x2-2/?x+w2-1<0}.

(1)若機(jī)=2,求集合/ns；

(2)已知p：x&A,q：x?B,是否存在實(shí)數(shù)機(jī)，使p是g的必要不充分條件，若存在實(shí)數(shù)加,

求出"?的取值范圍；若不存在，請說明理由.

解⑴由機(jī)=2及*2■—2mx-\-m~一1<0,

得％2—4x+3<0,解得l<x<3,

所以Z?={x|I<x<3},

又Z={x|—2〈xW3},

所以/n8={x|l〈x<3}.

(2)由x2—2mx+m2—1<0,

得[x—(機(jī)-1)][x—(w+1)]<0,

所以,

所以B={x|/n—1<x<m+1}.

由p是q的必要不充分條件，

得集合8是集合Z的真子集，

所以，1'=-lW/?W2(兩端等號不會同時(shí)取得)，

L+1W3

所以"？的取值范圍為[—1,2].

題型三全稱量詞與存在量詞

命題點(diǎn)1含量詞命題的否定

例3(2022?漳州模擬)命題“VaGR,爐―辦+1=0有實(shí)數(shù)解”的否定是()

A.VaGR,x2-ax+l=0無實(shí)數(shù)解

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B.SaeR,爐一"+1=0無實(shí)數(shù)解

C.VaeR,x2-ox+lW0有實(shí)數(shù)解

D.SaGR,N-ax+l#。有實(shí)數(shù)解

答案B

解析因?yàn)槿Q量詞命題的否定是存在量詞命題，

所以“VadR,/一段+1=0有實(shí)數(shù)解”的否定是》2—公+1=0無實(shí)數(shù)解”.

命題點(diǎn)2含量詞命題真假的判斷

例4（多選）（2023,沈陽模擬）下列命題中為真命題的是（）

A.3x6R,—1

2X

B.對于VxeR,neN*JI.n>\,都有加=x

C.VxGR,ln（x-l）2^0

D.Inx^x—1

答案AD

解析當(dāng)x20時(shí)，0<—1,故A項(xiàng)是真命題；

2X

當(dāng)〃為偶數(shù)，且x<0時(shí)，亞=-x,故B項(xiàng)是假命題；

當(dāng)x=l時(shí)，ln（x—1）2無意義，故C項(xiàng)是假命題；

當(dāng)x=l時(shí)，lnx^x-1,故D項(xiàng)是真命題.

命題點(diǎn)3含量詞命題的應(yīng)用

_n7t

例5若3j,sinxv加”是假命題，則實(shí)數(shù)機(jī)的最大值為（）

A1口1「必r1也

A.-B.---C.-3—D.------

2222

答案D

_三5

解析因?yàn)?_,sinx。”是假命題，

_匹匹

所以“Vx￡_3’3_,mWsinx”是真命題，

_n匹

即mWsin1對于_3,3—恒成立，所以加W（sinx）mm,

_7U7T

因?yàn)閥=sinx在—3,3_上單調(diào)遞增，

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所以X=-：時(shí)，y=sinx最小，其最小值為y=sin[j=-sin；=一

所以—近，所以實(shí)數(shù)機(jī)的最大值為一金.

22

思維升華含量詞命題的解題策略

(1)判定全稱量詞命題是真命題，需證明都成立；要判定存在量詞命題是真命題，只要找到一

個(gè)成立即可.當(dāng)一個(gè)命題的真假不易判定時(shí)，可以先判斷其否定的真假.

(2)由命題真假求參數(shù)的范圍，一是直接由命題的真假求參數(shù)的范圍；二是可利用等價(jià)命題求

參數(shù)的范圍.

跟蹤訓(xùn)練3(1)已知命題p：SnGN,〃222〃+5,則非。為()

A.VnGN,〃2》2〃+5

B.層W2〃+5

C.W〃￡N,n2<2n+5

D./=2〃+5

答案C

解析由存在量詞命題的否定可知，非p為V〃￡N,〃2<2〃+5.所以C正確，A,B,D錯(cuò)誤.

(2)(多選)下列命題是真命題的是()

A.VxeR,-x2-l<o

B.V〃￡Z,3/wnm=tn

C.所有圓的圓心到其切線的距離都等于半徑

]3

D.存在實(shí)數(shù)x,使得

%2—2x+34

答案ABC

解析Vx^R,—/WO,所以一爐一i〈o,故A項(xiàng)是真命題;

當(dāng)機(jī)=0時(shí)，=〃7恒成立，故B項(xiàng)是真命題；

任何一個(gè)圓的圓心到切線的距離都等于半徑，故C項(xiàng)是真命題；

因?yàn)?2—2x+3=(x—lp+222,

所以，I,w[3,故D項(xiàng)是假命題.

/-2x+324

(3)若命題X2+(4—l)x+l〈0”的否定是假命題，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是

答案(一8,—1)U(3,+8)

解析命題“mxGR,/+5-1)%+1<0”的否定是假命題，

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則命題uR,x*12+*4（a-l）x+1<0是真命題，

即/=（。_］）2_4>0,

解得a>3或a<—1,

故實(shí)數(shù)〃的取值范圍是（一8,-1）U（3,+8）.

課時(shí)精練

應(yīng)基礎(chǔ)保分練

1.（2023?上饒模擬）“爐>2021”是“爐>2022”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

答案B

解析若析>2022,因?yàn)?022>2021,故/>2021,

故”<>2022”可以推出”/>2021”，

取'=2021.5,則滿足/>2021,但N>2022不成立，

所以“/>2021”不能推出”小>2022”，

所以“爐>2021”是“爐>2022”的必要不充分條件.

2.已知命題p：mxGQ,使得x史N,則非夕為（）

A.VxCQ,都有x生NB.生Q,使得xGN

C.VxGQ,都有x《ND.SxSQ,使得xCN

答案C

解析因?yàn)榇嬖诹吭~命題的否定是全稱量詞命題，

所以由p：3X6Q,使得x守N,

得非p：VxWQ,都有xdN.

3.已知命題：“VxGR,方程》2+以+。=0有解”是真命題，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是（）

A.a<4B.°W4

C.a>4D.a24

答案B

解析“VxGR,方程/+4》+。=0有解”是真命題，

故/=16—4°20,解得aW4.

4.（2023?武漢模擬）已知“，b是兩條不重合的直線，a為一個(gè)平面，且則“b，a”是

ua//b''的（）

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A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

答案C

解析當(dāng)6_La時(shí)，結(jié)合a_La,可得?！?,充分性滿足；

當(dāng)a〃方時(shí)，結(jié)合a_L%可得Z>_La,必要性滿足.

故“bJLa”是ua//bn的充要條件.

5.命題“VlWxW2,x2-“W0”為真命題的一個(gè)充分不必要條件是（）

A.ae4B.

C.aW4D.aW5

答案B

解析因?yàn)槊}“VlWxW2,x2—aWO”是真命題，

所以VlWxW2,恒成立，

所以024,

結(jié)合選項(xiàng)，命題是真命題的一個(gè)充分不必要條件是

6.（多選）下列命題是真命題的是（）

A.所有的素?cái)?shù)都是奇數(shù)

B.有一個(gè)實(shí)數(shù)x,使N+2X+3=0

C.“a=￡”是“sina=sin￡”成立的充分不必要條件

D.命題“mxdR,x+2W0”的否定是“VxGR,x+2>0”

答案CD

解析2是一個(gè)素?cái)?shù)，但2是偶數(shù)，所以A是假命題；

對于方程/+入+3=0,其中/=22-4X3=-8<0,

所以不存在實(shí)數(shù)，使得x2+2x+3=0成立，所以B是假命題；

由a="=>sina=sin"，但由sina=sin￡不能得到&="，故"a=夕'是"sina=sin””成立的

充分不必要條件，所以C是真命題；

根據(jù)全稱量詞命題與存在量詞命題的關(guān)系，可得命題“mxGR,x+2W0”的否定是“V

xGR,x+2>0",所以D是真命題.

7.（多選）若“mxG（0,2）,使得2x2—&+1<0成立”是假命題，則實(shí)數(shù)2可能的值是（）

A.1B.2/C.3D.33

答案AB

解析由題意可知，命題“VxG（0,2）,2%2—b+1>0成立”是真命題，

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所以AxW2x2+l,可得■-，

x

當(dāng)x￡（0,2）時(shí)，由基本不等式可得

2x+-^2yp-=2y12,

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，

所以2W2也.

8.南北朝時(shí)期的偉大科學(xué)家祖唯在數(shù)學(xué)上有突出貢獻(xiàn)，他在實(shí)踐的基礎(chǔ)上提出祖昭原理：“基

勢既同，則積不容異”.其含義是：夾在兩個(gè)平行平面之間的兩個(gè)幾何體，被平行于這兩個(gè)

平行平面的任意平面所截，如果截得的兩個(gè)截面的面積總相等，那么這兩個(gè)幾何體的體積相

等.如圖，夾在兩個(gè)平行平面之間的兩個(gè)幾何體的體積分別為匕，V2,被平行于這兩個(gè)平面

的任意平面截得的兩個(gè)截面面積分別為S,S2,則“S,8不總相等”是匕不相等”

的（）

答案B

解析命題：如果“Si,S2不總相等”，那么“力，力不相等”的等價(jià)命題是：如果“％,

%相等”，那么“S,52總相等”.

根據(jù)祖迪原理，當(dāng)兩個(gè)截面的面積S,S2總相等時(shí)，這兩個(gè)幾何體的體積以，匕相等，所以

逆命題為真，故是必要條件；

當(dāng)兩個(gè)三棱臺，一正一反的放在兩個(gè)平面之間時(shí)，此時(shí)體積相等，但截得截面面積未必相等，

故是不充分條件，所以“與，S2不總相等”是憶不相等”的必要不充分條件.

9.命題“Vxe(0'Isinxvcosx”的否定是

「0,磯

答案Jsinx^cosx

解析因?yàn)?sinxvcosx"的否定是"sinxBcosx”，

所以"VxeP'4）,sinxvcosx"的否定是"三工仁3'Jsinx2cosx”，

10.使得“2均4"成立的一個(gè)充分條件是.

答案=一1（答案不唯一）

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解析由于4*=2Z,故2?2然等價(jià)于x>2x,

解得x<0,

使得“2小平”成立的一個(gè)充分條件只需為集合{x|x〈O}的子集即可.

11.已知命題“mxG{x|-24<3},使得等式2x一機(jī)=0成立”是假命題，則實(shí)數(shù)皿的取值范

圍是

答案(一8,—4]U[6,+°°)

解析若原命題為真命題，貝Imxd{x|-2<x<3},

使得〃?=2x成立，則一4<m<6；

故若原命題為假命題,

則實(shí)數(shù)”的取值范圍為（一8,-4]U[6,+8）.

12.已知a：x<2m~1^x>~m,夕：x<2或x24,若a是4的必要條件，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍

是.

答案G+T

解析設(shè)/={?。?加-1或x＞一〃?},8={小＜2或124},

若a是夕的必要條件，則8a4

當(dāng)2m—1>一〃?，即〃時(shí)，此時(shí)Z=R,BGA成立;

2〃?一122,,

當(dāng)2〃?一1W一〃?，即加時(shí)，若8G4,此時(shí)無解.

3一〃?＜4,

綜上，加"■.

3

0綜合提升練

13.（多選）若“Vx￡M,|沖""為真命題，為假命題，則集合M可以是（）

A.(-8,-5)B.(-3,-1]

C.(3,+8)D.[0,3]

答案AB

解析x>3為假命題,

:、xGM,xW3為真命題,

可得MG(—8,3],

又Vx￡A/,|x|>x為真命題,

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可得MU(—8,o),

；.〃仁(—8,0).

14.一名法官在審理一起珍寶盜竊案時(shí)，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供詞如下：甲說：“罪

犯在乙、丙、丁