數(shù)學(xué)組-王紹培-三角函數(shù)解法的探討

三角函數(shù)解法的探討賓川一中王紹培摘要：三角函數(shù)局部，由于公式繁多，靈活多變，很多學(xué)生都反映這局部知識(shí)理解不難，但要能把這么多公式靈活運(yùn)用就有點(diǎn)難度了，特別是對(duì)初學(xué)者更是如此。所以，在這里我根據(jù)三角函數(shù)局部題型的求值、化簡(jiǎn)、證明的過程和大家分享一種相對(duì)有效的方法———“找構(gòu)找名找角法”、等價(jià)轉(zhuǎn)化法。關(guān)鍵詞：三角函數(shù)等價(jià)轉(zhuǎn)化應(yīng)用解題方法三角函數(shù)這一局部的知識(shí)在高中數(shù)學(xué)課程中仍占有極其重要的作用〔歷年的數(shù)學(xué)高考題中有一道簡(jiǎn)答題就是三角函數(shù)的化簡(jiǎn)，求最值等問題，可見三角函數(shù)的重要性〕。高中數(shù)學(xué)課程中三角函數(shù)局部，由于公式繁多，靈活多變，很多學(xué)生都反映這局部知識(shí)理解不難，但要能把這么多公式靈活運(yùn)用就有點(diǎn)難度了，特別是對(duì)初學(xué)者更是如此。所以，在這里我根據(jù)三角函數(shù)局部題型的求值、化簡(jiǎn)、證明的習(xí)題總結(jié)出一種相對(duì)有效的方法———“找構(gòu)找名找角法”、等價(jià)轉(zhuǎn)化法。一、找構(gòu)找名找角法所謂的“找構(gòu)找名找角法”，就是一找出三角函數(shù)的式子結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，二找各種類角的函數(shù)名的特點(diǎn)，三找函數(shù)式中角的特點(diǎn)，很多三角函數(shù)化簡(jiǎn)、求值、證明的題目，大多都是式子結(jié)構(gòu)較為復(fù)雜、多個(gè)函數(shù)名同時(shí)存在、角的代換變化多樣，要解決好這類問題我們必須本著數(shù)學(xué)上的根本思想：化歸、統(tǒng)一思想。從這個(gè)角度出發(fā)將“找構(gòu)找名找角法”歸納如下。1、找三角函數(shù)的式子結(jié)構(gòu)當(dāng)看到數(shù)學(xué)題后，不要急于下手，首先應(yīng)仔細(xì)觀察；分析條件與結(jié)論的關(guān)系；分析題目隱含著的各種信息；分析它屬于數(shù)學(xué)中哪局部、要用到什么樣的數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)、公式及方法〔要注意的是同一個(gè)公式在解題過程中可能會(huì)用到屢次〕等。而對(duì)于三角函數(shù)題來說，第一步就是要先找式子的結(jié)構(gòu)，找出式子結(jié)構(gòu)再思考要運(yùn)用哪些公式，此時(shí)最好就是能回憶起平時(shí)曾經(jīng)做過的題型，以及化簡(jiǎn)的方向，在結(jié)合實(shí)際題型來解題。如看到就聯(lián)想到要，看到立即就聯(lián)想到等，看例子：例1分析結(jié)構(gòu)：1)左邊比右邊較為繁瑣，所以應(yīng)該由繁向簡(jiǎn)即從左邊入手。2〕觀察左邊是一個(gè)分子結(jié)構(gòu)，不同分母的分式化簡(jiǎn)一般是通分，所以通分得，左邊=3〕由1第二步得到也是一個(gè)分式，先觀察分母，容易看到應(yīng)該考慮用正弦二倍角公式即，分子從多項(xiàng)式的角度看，可用平方差公式，然后在用可化為到此解決問題。例2：分析：觀察結(jié)構(gòu)，等式左右兩邊都是分式，而且繁簡(jiǎn)相當(dāng)，這時(shí)可以是移項(xiàng)在通分.原式====0到此解決問題。2找各種類角的函數(shù)名世間萬事萬物皆有名，所謂“物以類聚，人以群分”，因此在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)就要使被解決的問題在表現(xiàn)形式上趨于和諧，在數(shù)量關(guān)系方面趨于統(tǒng)一的方向進(jìn)行，使問題的條件與結(jié)論表現(xiàn)得更對(duì)稱，統(tǒng)一。這就要求我們?cè)诮鉀Q一個(gè)三角函數(shù)的化簡(jiǎn)`求值`證明問題時(shí)，如果三角函數(shù)的名稱、種類太多，應(yīng)該利用各種關(guān)系式轉(zhuǎn)化函數(shù)種類，力達(dá)統(tǒng)一為目的。經(jīng)常運(yùn)用的有“切割化弦”、“弦化切”、“化1”等例3求證：分析：觀察題目可見，題目中函數(shù)種類有正弦、余弦、正切、余切，這種情況下將切化弦，就極易解決問題：左邊====得證。例4分析：由題目條件容易得到利用兩角和的正切公式得到，再來觀察要求解的全是弦函數(shù)，我們利用平方和等于一的關(guān)系式求解，必定會(huì)遇到開方的麻煩，所以，為了避開這一大麻煩，這里采用“弦化切”的方法，如下：原式=====33找函數(shù)式中角的特點(diǎn)仍然本著統(tǒng)一的原那么，如果某些三角函數(shù)式子不統(tǒng)一的時(shí)候，我們將努力使其角向著和諧統(tǒng)一的方向開展，題目往往就能迎刃而解。例5=分析：觀察題目得知：條件中的角分別為，并且等號(hào)的左邊比右邊繁瑣，故先從等號(hào)左邊入手，然后根據(jù)等號(hào)右邊的單角來化簡(jiǎn)即把，解題如下：左邊======得證。再如求的值，很容易得到，本來比擬難處理的問題也就變得明了了。二、等價(jià)轉(zhuǎn)化法等價(jià)轉(zhuǎn)化是把未知解的問題轉(zhuǎn)化到在已有知識(shí)范圍內(nèi)可解的問題的一種重要的思想方法。通過不斷的轉(zhuǎn)化，把不熟悉、不標(biāo)準(zhǔn)、復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為熟悉、標(biāo)準(zhǔn)甚至模式法、簡(jiǎn)單的問題。歷年高考，等價(jià)轉(zhuǎn)化思想無處不見，我們要不斷培養(yǎng)和訓(xùn)練自覺的轉(zhuǎn)化意識(shí)，將有利于強(qiáng)化解決數(shù)學(xué)問題中的應(yīng)變能力，提高思維能力和技能、技巧。著名的數(shù)學(xué)家，莫斯科大學(xué)教授C.A.雅潔卡婭曾在一次向數(shù)學(xué)奧林匹克參賽者發(fā)表《什么叫解題》的演講時(shí)提出：“解題就是把要解題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)解過的題”。數(shù)學(xué)的解題過程，就是從未知向、從復(fù)雜到簡(jiǎn)單的化歸轉(zhuǎn)換過程。例6.求值：ctg10°－4cos10°【分析】分析所求值的式子，估計(jì)兩條途徑：一是將函數(shù)名化為相同，二是將非特殊角化為特殊角。【解一】ctg10°－4cos10°＝－4cos10°＝＝＝＝＝＝＝〔根本過程：切化弦→通分→化同名→拆項(xiàng)→差化積→化同名→差化積〕【解二】ctg10°－4cos10°＝－4cos10°＝＝＝＝＝＝＝＝〔根本過程：切化弦→通分→化同名→特值代入→積化和→差化積〕【解三】ctg10°－4cos10°＝－4cos10°＝＝＝＝＝＝＝〔根本過程：切化弦→通分→化同名→拆角80°→和差角公式〕【注】無條件三角求值問題，是高考中常見題型，其變換過程是等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的表達(dá)。此種題型屬于三角變換型。一般對(duì)于三角恒等變換，需要靈活運(yùn)用的是同角三角函數(shù)的關(guān)系式、誘導(dǎo)公式、和差角公式、倍半角公式、和積互化公式以及萬能公式，常用的手段是：切割化弦、拆角、將次與升次、和積互化、異名化同名、異角化同角、化特殊角等等。對(duì)此，我們要掌握變換的通法，活用2公式，攻克三角恒等變形的每一道難關(guān)。等價(jià)轉(zhuǎn)化思想方法的特點(diǎn)是具有靈活性和多樣性。在應(yīng)用等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想方法去解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，沒有一個(gè)統(tǒng)一的模式去進(jìn)行。它可以在數(shù)與數(shù)、形與形、數(shù)與形之間進(jìn)行轉(zhuǎn)換；它可以在宏觀上進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化。此類題目要求考生對(duì)三角函數(shù)知識(shí)的掌握比擬高，且具有較強(qiáng)的知識(shí)遷移能力和數(shù)學(xué)建模能力，要注意數(shù)形結(jié)合思想在解題中的應(yīng)用例7設(shè)z1=m+(2－m2)i,z2=cosθ+(λ+sinθ)i,其中m,λ,θ∈R，z1=2z2，求λ的取值范圍此題主要考查三角函數(shù)的性質(zhì)，考查考生的綜合分析問題的能力和等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用解法一∵z1=2z2，∴m+(2－m2)i=2cosθ+(2λ+2sinθ)i,∴∴λ=1－2cos2θ－sinθ=2sin2θ－sinθ－1=2(sinθ－)2－當(dāng)sinθ=時(shí)λ取最小值－，當(dāng)sinθ=－1時(shí)，λ取最大值2解法二∵z1=2z2∴∴,∴=1∴m4－(3－4λ)m2+4λ2－8λ=0,設(shè)t=m2,那么0≤t≤4,令f(t)=t2－(3－4λ)t+4λ2－8λ,那么或f(0)·f(4)≤0∴∴－≤λ≤0或0≤λ≤2∴λ的取值范圍是［－，2］美國(guó)著名數(shù)學(xué)教育家波利亞說過，掌握數(shù)學(xué)就意味著要善于解題。而當(dāng)我們解題時(shí)遇到一個(gè)新問題，總想用熟悉的題型去“套”，這只是滿足于解出來，只有對(duì)數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法理解透徹及融會(huì)貫穿時(shí)，才能提出新看法、巧解法。高考試題十分重視對(duì)于數(shù)學(xué)思想方法的考查，特別是突出考查能力的試題，其解答過程都蘊(yùn)含著重要的數(shù)學(xué)思想方法。我們要有意識(shí)地應(yīng)用數(shù)學(xué)思想方法去分析問題解決問題，形成能力，提高數(shù)學(xué)素質(zhì)，使自己具有數(shù)學(xué)頭腦和眼光。以上是我對(duì)三角函