軸對稱最短路徑問題

關(guān)于軸對稱最短路徑問題飲馬問題如圖，牧馬人從馬棚A牽馬到河邊l飲水，然后再到帳蓬B．問：在河邊的什么地方飲水，可使所走的路徑最短？ABlABl第2頁,共15頁，2024年2月25日，星期天lABCC轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題當點C在直線l的什么位置時，AC+CB的和最小？分析：ABl第3頁,共15頁，2024年2月25日，星期天如果點A、B在直線l的異側(cè)時聯(lián)想：lABC第4頁,共15頁，2024年2月25日，星期天思考：能把A、B兩點從直線l

的同側(cè)轉(zhuǎn)化為異側(cè)嗎？

分析：lABClABC第5頁,共15頁，2024年2月25日，星期天作法及思路分析1.作點B關(guān)于直線l的對稱點B′，連接CB′。，問題可以轉(zhuǎn)化為：當點C在直線l的什么位置時，AC與CB′的和最小？如上右圖，在連接AB′兩點的線中，線段AB′最短.因此，線段AB′與直線l的交點C的位置即為所求.lABCB′

2.由上步可知AC+CB=AC+CB′，思考：當C在直線l

的什么位置時AC+CB′最短？第6頁,共15頁，2024年2月25日，星期天lABCB′C′略證：試比較新路徑與AB′的大小結(jié)論：AC+CB這條路徑最短．根據(jù)前面的分析，我們認為的最短路徑是AC+CB=AC+CB′=AB′在直線l上取一個與C點不重合的點C′新路徑=

AC′

+C′B

=AC′

+C′B′第7頁,共15頁，2024年2月25日，星期天問題1歸納lABClABCB′lABC轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題用舊知解決新知聯(lián)想舊知解決實際問題ABl提示：本題也可作A點關(guān)于直線l的對稱點第8頁,共15頁，2024年2月25日，星期天變式練習1如圖，牧馬人要把馬從馬棚A牽到草地邊吃草，然后到河邊飲水，最后再回到馬棚A.草地小河A問題：請你確定這一過程的最短路徑.第9頁,共15頁，2024年2月25日，星期天如圖，在l1、l2之間有一點A,要使AM+MN+NA最小,點M、N應(yīng)該在

l1、l2的什么位置

?l1l2AMNA’A’’轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題第10頁,共15頁，2024年2月25日，星期天l1l2走A-M-N路線最短.

MNA’AA’’第11頁,共15頁，2024年2月25日，星期天ABPQlMN變式練習2如圖：某一天牧馬人要從馬棚A牽出馬到草地邊吃草，再到河邊飲水，最后回到帳篷B，請你幫他確定這一天的最短路線。l2l1第12頁,共15頁，2024年2月25日，星期天PQABA’B’l1l2第13頁,共15頁，2024年2月25日，星期天(3)兩點在兩相交直線內(nèi)部歸納小結(jié)2.關(guān)鍵：作對稱點，利用軸對稱的性質(zhì)將線段轉(zhuǎn)化，從而利用“兩點之間，線段最短”來解決(2)一點在兩相交直線內(nèi)部(1)兩點在一條直線同側(cè)l1l2l1l21.學了三種情況下