2023年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（全國版文） 第4章 解三角形及其應(yīng)用舉例

§4.8解三角形及其應(yīng)用舉例

【考試要求】1.能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計(jì)算有關(guān)的

實(shí)際問題.2.能利用正弦定理、余弦定理解決三角形中的最值和范圍問題.

佚口識梳理】

測量中的幾個(gè)有關(guān)術(shù)語

術(shù)語名稱術(shù)語意義圖形表示

在目標(biāo)視線與水平視線（兩者在同一鉛垂平

面內(nèi)）所成的角中，目標(biāo)視線在水平視線上

仰角與俯角

方的叫做仰角，目標(biāo)視線在水平視線下方的

叫做俯角

從某點(diǎn)的指北方向線起按順時(shí)針方向到目

方位角標(biāo)方向線之間的夾角叫做方位角.方位角。

的范圍是0。<0<360。

正北或正南方向線與目標(biāo)方向線所成的銳例：（1）北偏東a：

方向角

角，通常表達(dá)為北（南）偏東（西）a（2）南偏西a：

坡面與水平面所成的銳二面角叫坡角（8為

坡角）；坡面的垂直高度與水平長度之比叫

坡角與坡比

h

坡比（坡度），即z=Y=tan6

【思考辨析】

判斷下列結(jié)論是否正確（請?jiān)诶ㄌ栔写颉癑”或“X”）

（1）東南方向與南偏東45。方向相同.（J）

⑵若△4BC為銳角三角形且A=；，則角8的取值范圍是（0,習(xí).（X）

（3）從A處望8處的仰南為a,從B處望A處的俯角為萬，則a,4的關(guān)系為6（+夕=180。.（X）

7T

（4）俯角是鉛垂線與目標(biāo)視線所成的角，其范圍為［0,1」.（X）

【教材改編題】

1.為了在一條河上建一座橋，施工前在河兩岸打上兩個(gè)橋位樁A,8（如圖），要測量A,B兩

點(diǎn)的距離，測量人員在岸邊定出基線8C,測得8c=50m,ZABC=105°,/8C4=45。.就可

以計(jì)算出A,B兩點(diǎn)的距離為（）

A.2O\f2mB.3O\f2m

C.4072mD.50^2m

答案D

解析由三角形內(nèi)角和定理，

可知ZBAC=180°-ZACB-ZABC=30°,

由正弦定理得sin/ACB=sin/BAC

噬號=歷5位

22

2.為測某塔AB的高度,在一幢與塔AB相距30m的樓的樓頂C處測得塔頂A的仰角為30。,

測得塔基B的俯角為45。，則塔AB的高度為m.

答案30+10^3

解析如圖所示，依題意NACE=30。，

NECB=45°,DB=30,

所以CE=30,BE=30,

AE_CE

由sin30°=sin60°

得AE=1M，

所以AB=(3O+1M)m.

3.在△ABC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,已知a=2,A=60°,則△ABC的

面積最大值為.

答案小

解析由余弦定理得/=〃+°2—2匕ccosA,

4=^+(^—be,

bc+4—tr+c1^2bc,

即AW4(當(dāng)且僅當(dāng)6=c時(shí)取“=”),

S&xec-2^cs>nA=*'bcW小,

...△ABC的面積最大值為正.

題型一解三角形的應(yīng)用舉例

命題點(diǎn)1距離問題

例1(1)(2022?天津模擬)如圖，從氣球A上測得正前方的河流的兩岸8,C的俯角分別為75°,

30°,此時(shí)氣球的高度是60m,則河流的寬度8c等于()

A.240(73-l)mB.180(^2-1)01

C.120(^3-l)mD.30(^2-l)m

答案C

解析從氣球A上測得正前方的河流的兩岸8,C的俯角分別為75。，30°,氣球的高度是60

m,

所以NABC=105°,NACB=30°,NC4B=45°,

所以AB=sii?75Q,

由正弦定理可得藕=粽，

訴2vABsin45。60X/

所以BC—sin30°-sin（30°+45°）

=120（73-1）.

（2）（2022.寧德質(zhì)檢）海洋藍(lán)洞是地球罕見的自然地理現(xiàn)象，被譽(yù)為“地球給人類保留宇宙秘密

的最后遺產(chǎn)”，我國擁有世界上已知最深的海洋藍(lán)洞，若要測量如圖所示的海洋藍(lán)洞的口徑

（即4,B兩點(diǎn)間的距離），現(xiàn)取兩點(diǎn)C,。，測得CD=80,NAOB=135。，NBDC=NDCA

=15°,ZACB=120°,則圖中海洋藍(lán)洞的口徑為.

答案8075

解析由已知得，在△ADC中，ZACD=}5°,乙4￡>C=150。，所以ND4C=15。，

由正弦定理得

80sin150°40r-,直、

AC~sin15°-乖—小-40（乖+?。?

4

在△BCQ中，ZBDC=15°,ZBCD=135°,

所以/￡>BC=30。，

由正弦正理sin/CB。—sinNBDC'

，口CDsin/BDC80Xsin150

得BC=sMGo=—i—

2

=160sin150

=40（^6-^2）.

在△ABC中，由余弦定理得AB2=\600X（8+4?。?1600X（8—4小）+2*1600X（加+

V2）X（A/6—V2）X|=1600X16+1600X4

=1600X20=32000,

解得48=8M，

故圖中海洋藍(lán)洞的口徑為80V5.

命題點(diǎn)2高度問題

例2（1）（2022?重慶沙坪壩質(zhì)檢）在東京奧運(yùn)會乒乓球男單頒獎(jiǎng)禮上，五星紅旗冉冉升起，在

坡度15。的看臺上，同一列上的第一排和最后一排測得旗桿頂部的仰角分別為60。和30。，第

一排和最后一排的距離為外耳米（如圖所示），則旗桿的高度為（）

A.9米B.27米

C.9V5米D.噬米

答案B

解析依題意可知乙4EC=45。，

ZCAE=1800-60o-15o=105°,

/ACE=180°—45°—105°=30°,

ApAr

由正弦定理可知一.*.『=一廠

sinNACEsin3ZA3cC

An廠

：.AC=...?,-sinZAEC=18板米），

smZACEcv

在Rt/\ABC中，

BC=ACsinNC4B=18小X坐=27（米）.

（2）（2022?河南豫南九校聯(lián)盟聯(lián)考）如圖所示，為測量某不可到達(dá)的豎直建筑物A8的高度，在

此建筑物的同一側(cè)且與此建筑物底部在同一水平面上選擇相距10米的C,。兩個(gè)觀測點(diǎn)，并

在C,。兩點(diǎn)處測得建筑物頂部的仰角分別為45。和60。，且N8DC=60。，則此建筑物的高

度為（）

A.1即米B.5小米

C.10米D.5米

答案B

解析設(shè)AB=x,則BC—x,B￡>=乎x,

在△BC。中，由余弦定理可得

BC2^BD2+DC2~2BDDCCOSZBDC,

即*=￥+100-2X坐tX10X^,

整理得f+55x-150=0,

解得x=5小或x=-1即（舍）.

命題點(diǎn)3角度問題

例3（1）（2022?南昌檢測）兩座燈塔A和B與海岸觀察站C的距離相等，燈塔A在觀察站北偏

東40。，燈塔B在觀察站南偏東60。，則燈塔A在燈塔8的（）

A.北偏東10°B.北偏西10°

C.南偏東10°D.南偏西10°

答案B

解析由題可知/4BC=50。，4,B,C位置如圖，B正確.

（2）如圖所示，在坡度一定的山坡A處測得山頂上一建筑物CO的頂端C對于山坡的斜度為

15°,向山頂前進(jìn)100m到達(dá)B處，又測得C對于山坡的斜度為45。，若CZ）=50m,山坡對

于地平面的坡角為仇則cos0等于（）

A.當(dāng)B.#-2

C.yfi—1D.y[2—1

答案C

解析由題知，ZCAD=\5°,ZCBD=45°,

所以/ACB=30。，135°.

在4BC中，由正弦定理4/?得訴A=C備，

又AB=100m,所以AC=10岫m.

在△AOC中，NAOC=90°+仇CD=50m,

由正弦無理軍sin（8+90°）—sin150'

所以cos。=$出（8+90。）="°，需15

=小-1.

【教師備選】

1.（2022?興寧第一中學(xué)模擬）一艘海輪從A處出發(fā)，以每小時(shí)40海里的速度沿南偏東40。的

方向直線航行，30分鐘后到達(dá)B處，在C處有一座燈塔，海輪在4處觀察燈塔，其方向是

南偏東70。，在B處觀察燈塔，其方向是北偏東65。，那么8,C兩點(diǎn)間的距離是（）

A.1麗海里B.1即海里

C.2075海里D.2M海里

答案A

解析如圖所示，在△ABC中，48=20,ZCAB=30°,ZACB=45°,

根據(jù)正弦定理得禹=焉，

解得8C=1S/Z（海里）.

2.圣?索菲亞教堂（英語：SAINTSOPHIACATHEDRAL）坐落于中國黑龍江省，是一座始建于

1907年拜占庭風(fēng)格的東正教教堂，距今已有114年的歷史，為哈爾濱的標(biāo)志性建筑.1996年

經(jīng)國務(wù)院批準(zhǔn)，被列為第四批全國重點(diǎn)文物保護(hù)單位，是每一位到哈爾濱旅游的游客拍照打

卡的必到景點(diǎn)，其中央主體建筑集球、圓柱、棱柱于一體，極具對稱之美，可以讓游客從任

何角度都能領(lǐng)略它的美.小明同學(xué)為了估算索菲亞教堂的高度，在索菲亞教堂的正東方向找

到一座建筑物AB,高為（15小一15）m,在它們之間的地面上的點(diǎn)M（B,M,。三點(diǎn)共線）處測

得樓頂A，教堂頂C的仰角分別是15。和60。，在樓頂A處測得教堂頂C的仰角為30°,則小

明估算索菲亞教堂的高度為（）

A.20mB.30m

C.2073mD.3Mm

答案D

解析由題意知NCAM=45°,ZAMC=\05°,

所以/ACM=30。，

48AB

AMCM

在△ACM中，由正弦定理得:

sin300-sin450,

AMsin45°ABsin45°

所以CM=

sin300-sin150-sin300,

在RtADCM中，

…AHsin45°sin600

CD=CMsm60=sinI50?sin30°

（15小一15）X乎又坐

=30^3(01).

V6~V21

4X2

思維升華解三角形的應(yīng)用問題的要點(diǎn)

（1）從實(shí)際問題抽象出已知的角度、距離、高度等條件，作為某個(gè)三角形的元素；

（2）利用正弦、余弦定理解三角形，得實(shí)際問題的解.

跟蹤訓(xùn)練1（1）如圖所示，為了測量A,B兩島嶼的距離，小明在D處觀測到A,B分別在D

處的北偏西15。、北偏東45。方向，再往正東方向行駛10海里至C處，觀測B在C處的正北

方向，A在C處的北偏西60。方向，則A,8兩島嶼的距離為海里.

答案5班

解析由題意知/AOB=60。，NAC8=60。，

ZADC=105°,/ACD=30°,CD^10,

在48中，由正弦定理得益=舟，

匕61clOsin3005Li-

所以4sin45。=sin450=5隹

在RtABCD中，ZBDC=45°,

所以△BC。為等腰直角三角形，

則BD=pCD=10V2,在△AB。中，由余弦定理可得AB^y]AD2+BD2~2ADBDcos60°

=5加(海里).

(2)如圖，一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，到A處時(shí)測得公路北側(cè)一山頂。在西偏

北30。的方向上，行駛600m后到達(dá)8處，測得此山頂在西偏北75。的方向上，仰角為30。，

則此山的高度CD=m.

答案100V6

解析由題意，在△A8C中，NBAC=30。，NA8C=180。-75。=105。，

故NACB=45°.

又AB=600m,

故由正弦正理仔sin45°=sin30。，

解得fiC=300^2m.

在RtABCD中，

CD=BCtan30°=30Mx乎=10()V6(m).

題型二解三角形中的最值和范圍問題

例4(2022.遼寧實(shí)驗(yàn)中學(xué)模擬)在△A8C中，角A,B,C所對的邊分別為“，b,c,己知坐

加inC+ccosB=a.

(1)若4=2,b=小,求△ABC的面積；

(2)若c=2,求△ABC周長的取值范圍.

解(1)*.,理。sinC+ccosB=a,

???看sinBsinC+sinCeosB=sinA,

???岸sinBsinC+sinCeosB=sin(B+C),

工坐sinBsinC+sinCeosB

=sinBcosC+cosBsinC,

工坐sinBsinC=sinBcosC,

VsinBW0,

?亞?r—r

..sinC—cosC,

又易知cosCW0,

tanC=5,

V0<C<K,

Vtz=2,b=小,。=冬

ii兀

，Szw?c=2"sinC=1X2X小Xsin§

=與義2義/X=2,

jr

(2)在△ABC中，c=2,C=y

22

由余弦定理得4=a+b—ab9

?、(a+〃)2-4=3W3?，

c3c

即(a+〃產(chǎn)一4WJ"+")2，

即(〃+Z?)2w16,

???0<〃+人〈4,當(dāng)且僅當(dāng)〃=/;時(shí)等號成立，

又a+h>c=2f

?\2<?+6W4,.??4<a+/?+cW6,

故XABC周長的取值范圍是(4,6].

延伸探究把本例(2)改為△ABC為銳角三角形，若c=2,求△ABC周長的取值范圍.

腫(,sinAsinBsinC.兀'

sin3

.??a+匕+c=￥sinA+華sinB+2

邛sinA+%痣-A)+2

=￥(|sinA+乎cosA)+2

=4sin(A+專)+2,

:△ABC為銳角三角形，

JOS專

jo年一槨

解得凱潔,

o2

.兀一兀2兀

??鏟4+rr，

.,.乎＜sin(A+/wi,

2小+2＜4sin(A+看)+2W6,

△ABC周長的取值范圍為(2小+2,6].

【教師備選】

在△ABC中，角4,B,C所對的邊分別為a,b,c,滿足cosC+cos4cos8=2&sin4cosB.

⑴求cosB的值；

(2)若〃+c=2,求b的取值范圍.

解(1)因?yàn)閏osC+cosAcos8=2啦sinAcosB,

所以一cos(4+8)+cosAcos8=2/sinAcosB,

即sinAsin5=2陋sinAcosB,

因?yàn)閟inAWO,

所以sin8=2吸c(diǎn)osB＞0,

又因?yàn)閟in2J*4?+cos2^=1,

解得cosB=q.

(2)由a+c=2,可得c=2—ci,

由余弦定理，得

2

b2=a2+c2-2accosB=ci2+c2—^ac

2

=/+(2—〃)2—利2—〃)

=|(a-l)2+1,

4_

因?yàn)?＜。＜2,所以廬＜4,

所以羋W*2,

所以b的取值范圍為[平，2)

思維升華解三角形中最值(范圍)問題的解題策略

利用正弦、余弦定理以及面積公式化簡整理，構(gòu)造關(guān)于某一個(gè)角或某一邊的函數(shù)或不等式，

利用函數(shù)的單調(diào)性或基本不等式等求最值(范圍).

跟蹤訓(xùn)練2(2022?洛陽模擬)在△ABC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為〃，h,c,若序+/

—a1—be.

(1)求角A的大小；

(2)若4=小，求8c邊上的中線AM的最大值.

解(1)；序+,2—4?=歷，

.h2+c2-a21

?>,asA=詆=,

7[

又AG(0,7t),

(2)在△ABC中，由余弦定理得

a2=b2+c2—2bccosA=b2+c2—bc=3,

...從+,2=兒+322兒(當(dāng)且僅當(dāng)人=6?時(shí)取等號)，

：.hc^3.

在△ABC中，V/Uf=1(AB+Ac),

.,.俞=；(而+2通啟+交)

=；(〃+/+歷)

=：(2A+3)

19

W72X3+3)=i，

3即中線AM的最大值為家3

課時(shí)精練

I.若點(diǎn)4在點(diǎn)C的北偏東60。方向上，點(diǎn)B在點(diǎn)C的南偏東30。方向上，且AC=BC,則點(diǎn)

A在點(diǎn)8的()

A.北偏東15。方向上B.北偏西15。方向上

C.北偏東10。方向上D.北偏西10。方向上

答案A

解析由題意，點(diǎn)A在點(diǎn)C的北偏東60。方向上，點(diǎn)B在點(diǎn)C的南偏東30。方向上，且AC

=BC,可得幾何位置關(guān)系如圖所示.

則/CBE=30。，

ZABC=45°,

所以/4BE=15。，

故點(diǎn)4在點(diǎn)B的北偏東15。方向上.

2.（2022?貴陽模擬）如圖，一架飛機(jī)從A地飛往B地，兩地相距500km.飛行員為了避開某一

區(qū)域的雷雨云層，從A點(diǎn)起飛以后，就沿與原來的飛行方向AB成12。角的方向飛行，飛行到

中途C點(diǎn)，再沿與原來的飛行方向AB成18。角的方向繼續(xù)飛行到終點(diǎn)B點(diǎn).這樣飛機(jī)的飛

行路程比原來的路程500km大約多飛了（sin12。七，sin18。%）（）

A.10kmB.20km

C.30kmD.40km

答案B

解析在△ABC中，由A=12。，B=18。，

得C=150°,

由正弦定理得備=舟=磊，

所以半人政，

2

所以AC=310km,BC=210km,

所以AC+BC~AB=20km.

3.岳陽樓與湖北武漢黃鶴樓，江西南昌滕王閣并稱為“江南三大名樓”，是“中國十大歷史

文化名樓”之一，世稱“天下第一樓”.其地處岳陽古城西門城墻之上，緊靠洞庭湖畔，下

瞰洞庭，前望君山.始建于東漢建安二十年（215年），歷代屢加重修，現(xiàn)存建筑沿襲清光緒六

年（1880年）重建時(shí)的形制與格局.因北宋滕宗諒重修岳陽樓，邀好友范仲淹作《岳陽樓記》

使得岳陽樓著稱于世.自古有“洞庭天下水，岳陽天下樓”之美譽(yù).小李為測量岳陽樓的高

度選取了與底部水平的直線AC,如圖，測得NQAC=30。，NDBC=45。,AB=14米，則岳

陽樓的高度CQ約為（啦七，S七）（）

A.18米B.19米

C.20米D.21米

答案B

解析在RtZ\AZ）C中，ZDAC=30°,

則AC=yj3CD,

在RtZ\8OC中，NO8C=45。，則BC=C￡）,

由AC~BC=AB得

V3CD-CD=14=>CD=^^-j-

=7（小+1）%,C。約為19米.

4.（2022?蘭州模擬）某人從出發(fā)點(diǎn)A向正東走xm后到B,然后向左轉(zhuǎn)150。再向前走3m到C,

測得△A8C的面積為歲n?,此人這時(shí)離出發(fā)點(diǎn)的距離為（）

A.3mB.yf2m

C.2y[3mD.5m

答案D

解析如圖，由題意可得

ZABC=30°,

因?yàn)椤鰽BC的面積為乎n?,

8c=3m,AB=xm,

所以S^Anc^ABBCsmZ.ABC

解得x=y[3,

由余弦定理得

AC2=AB2+BC2~2ABBCCOSZABC

A

=3+9-2X小X3X^-=3,

所以AC=\[?>m.

5.第6號臺風(fēng)“煙花”于2021年7月25日12時(shí)30分前后登陸舟山普陀區(qū).如圖，A點(diǎn)，

正北方向的C市受到臺風(fēng)侵襲，一艘船從A點(diǎn)出發(fā)前去實(shí)施救援，以24nmile/h的速度向正

北航行，在A處看到S島在船的北偏東15。方向，船航行Wh后到達(dá)8處，在3處看到S島

在船的北偏東45。方向.此船從4點(diǎn)到C市航行過程中距離S島的最近距離為（）

A.9陋nmile

B.9（V2-l）nmile

C.9（小—l）nmile

D.9（小一啦）nmile

答案C

解析如圖，SELAB,

在aASB中，/A8S=135。，

3

45=24X^=18,ZBAS=15°,

ZASB=180°-ZABS-ZSAB=30°9

由正弦定理得

AS_AB

s\nZABS=sinZASB9

所以,5=18啦(nmile),

所以船與S島的最近距離

SE=SAsin/SA8=18gsin15°

=18-72x也；小=9他-i)(nmile).

6.ZVIBC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若“=2,B=2A,則方的取值范圍為()

A.(0,4)B.(2,2小)

C.(2,4)D.(2卷4)

答案C

解析因?yàn)椤?2,B=2A9

所以由正弦定理得

a_____b________b

sinA-sinB2sinAcosA'

fO<A<JC,

得b=4cosA,由，0<2/4<7t,

[o<7T—3A<7t,

解得0<A<1,

所以￡<cosA<1,

所以2<4cosA<4,所以2<tx4.

7.《九章算術(shù)》“勾股”章有一題：“今有二人同立.甲行率七，乙行率三，乙東行，甲南

行十步而斜東北與乙會，問甲乙各行幾何？”大意是說：已知甲、乙二人同時(shí)從同一地點(diǎn)出

發(fā)，甲的速度為7步/秒，乙的速度為3步/秒，乙一直向東走，甲先向南走10步，后又斜向

北偏東某方向走了一段后與乙相遇，則甲、乙共走了步.

答案35

解析由題意，得到示意圖如圖所示，甲、乙從A點(diǎn)出發(fā)，甲走到B處后，又斜向北偏東某

方向走了一段后與乙相遇，即在C點(diǎn)相遇，假設(shè)甲、乙相遇時(shí)經(jīng)過時(shí)間為f秒，每步走。米，

則AC=3s,A8=10a,BC=(7f—10)a,

在RtZ\ABC中，AC2-\-AB2=BC2,

即(3s)2+(10q)2=[(7r—10)02,

7

解得，

49

故甲走了7/=爹=步,

21

乙走了3/=5=步.

故共走了+=35步.

8.△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.若sinAsinBcosC=2sin2C,則展

sinC的最大值為.

答案513

解析Vsin/AsinBcosC=2sin2C,

2

???利用正弦定理可得abcosC=2C9

a2+Z?2—c2

X-cosC=2ab

層+〃一/

2—=2),

整理可得上￥=5?

,,,2一十一

a2+b2-c2a+b'~5

cosC=----2~^lab

4

-

2(tz-+Z?-)>2-2^Z?

—5ab—5ab5*

當(dāng)且僅當(dāng)。=b時(shí)等號成立，

sinC的最大值為日1—cos2c=^,

當(dāng)且僅當(dāng)。=方時(shí)等號成立.

9.已知函數(shù)y(%)=2，5sinxcosx—2cos2工+加，且函數(shù)人工)的最大值為3.

⑴求加的值;

(2)已知△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別是〃，b,c,若人3)=0,b=2,求△ABC面積的

最大值.

解(1)因?yàn)閒ix)=25sinxcosx~2COS2X+/H

r-1+cos2x,

=\3sin2x-2X-\~m

=，§sin2x—cos2x+m—1

=2sin(2x一習(xí)+加一1,

所以於)max=〃z+l=3,解得加=2.

(2)因?yàn)?(B)=2sin(2B—事)+1=0,

可得sin(2B*)=—1,

因?yàn)?<3<幾，

兀入八n117C

則一薩8-不干，

所以28一季=芝

oo

可得B=竽，

CC-八C4

由余弦定理可得4=b2=a2+c2—2accosB=cr+c1-\-ac^2ac-\-ac=3ac,即acW],

當(dāng)且僅當(dāng)。=。=￥時(shí)，等號成立，

因此SAABC=|?csinB=坐"這坐X3=喙,

即AABC面積的最大值為坐.

10.(2022?江蘇前黃高級中學(xué)質(zhì)檢)記△4BC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.請?jiān)谙铝?/p>

三個(gè)條件中任選一個(gè)作為已知條件，解答問題.

①(a-c)sinA+csin(A+B)=Z;sin8；②2s=小油?丹(其中S為△ABC的面積)；@y[3a-csinB

=y[^bcosC.

(1)若6=4,ac=3,求a+c的值；

(2)若△A3C為銳角三角形，且。=2,求。的取值范圍.

解選擇①(a—c)sinA+csin(A+B)=bsinB,

由正弦定理得(a—《)〃+/=〃，

cr+c1—b11

所以cos3=獲=g,B^(0,7T),

則B=1；

選擇②2s=小魂.無，

則acsinB=\3ctzcosB,

所以lanB=，5,又B￡(0,兀)，

則B=1;

選擇③小〃一底由B=y[3hcosC,

由正弦定理得

小sinA—sinCsinB=y/^sinBcosC,

又因?yàn)閟inA=sin(B+O

=sinBcosC+cosBsinC,

所以/cosBsinC-sinCsinB=0,

則lanB=小,又8仁(0,兀)，則8=?

故選擇①②?均得到5=全

⑴若b=4,ac=3,

由余弦定理得b2=a1+c2-2accosB,

即16=a2+c-2—2fzccos^=(a+c)2—3ac,

所以a+c=5.

⑵由"BC為銳角三角形及8=1，

得4=爭一C￡(0,勻且C￡(0,習(xí)，

nit

所以CG6'2)'

2sidC+青

sinC

sinC+V5cosC

sinC

7171

因?yàn)镃￡6'2小

所以tance

所以嬴下￡（0,?。?

所以1+需^（1，4），

LailC

即所求a的取值范圍是（1,4）.

11.（2022?大慶模擬）小李在某大學(xué)測繪專業(yè)學(xué)習(xí)，節(jié)日回家，來到村頭的一個(gè)池塘（如圖陰影

部分），為了測量該池塘兩側(cè)C,。兩點(diǎn)間的距離，除了觀測點(diǎn)C,。外，他又選了兩個(gè)觀測

點(diǎn)Pi，Pi，且PiP2=〃，已經(jīng)測得兩個(gè)角/丹22。=原ZP2PiD=/i,由于條件不足，需要再

觀測新的角，則利用已知觀測數(shù)據(jù)和下面三組新觀測的角的其中一組，就可以求出C,0間

距離的是（）

①/OPiC和NOCPi；②/PP2c和NPiCA；

③NP0C和NDCPi.

A.①和②B.①和③

C.②和③D.①和②和③

答案D

解析根據(jù)題意，△PP2。的三個(gè)角和三個(gè)邊，由正弦定理均可以求出,

①中CD「研

JT'sinZDPiCsinZDCPi?

,,DP\sinZDP\C

故CD=./八心，

sinZDCPi

故①可以求出8;③與①條件等價(jià).

②中，在2c中，

PP2_PC

,

sinZPlCP2~sinZPlP2C

asinNPiP2c

故PC=

sinNPiS

在△PCD中，利用余弦定理求解CQ即可.

12.要測量電視塔A8的高度，在C點(diǎn)測得塔頂?shù)难鼋鞘?5。，在。點(diǎn)測得塔頂?shù)难鼋鞘?0。,

并測得水平面上的N8CQ=120。，C￡>=40m,則電視塔的高度是（）

A.30mB.40啦m

C.4（h/3mD.40m

答案D

解析由題意，設(shè)A8=x,

由于平面8C。，BC,BOU平面BCO,

：.AB±BC,ABLBD,

由題意可得/4CB=45。，ZADB=30°,

在RtAABC中，tanN4c5=五不

DC

=

?**8c=[an45。=1，同理可得BDy[3x9

在△BCO中，Z^CD=120°,C￡>=40,

根據(jù)余弦定理

得BD1=BC2+CD2-2BC-CDcosZDC8,

EP(A/3X)2=402+x2-2X40-x-cos120°,

整理得f-20x-800=0,

解得x=40或x=-20(舍)，

即所求電視塔的高度為40m.

13.(2022?長春模擬)在氣象臺正西方向300km處有一臺風(fēng)中心，它正向東北方向移動(dòng)，移動(dòng)

速度的大小為40km/h,距臺風(fēng)中心250km以內(nèi)的地區(qū)都將受到影響，若臺風(fēng)中心的這種移

動(dòng)趨勢不變，大約小時(shí)后氣象臺所在地開始受到影響(參考數(shù)據(jù)：8,市弓.

答案2

解析設(shè)氣象臺所在地為。，臺風(fēng)中心為A,約/小時(shí)后氣象臺所在地將受到影響，f小時(shí)后

臺風(fēng)中心移動(dòng)至8處，/區(qū)40=45。，

在△OAB中，AB=40t,04=300,08=250,

由余弦定理得

2502=(40;)2+3