尺規(guī)作圖與定義命題定理（講練）-2023年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（全國通用）

2.1尺規(guī)作圖與定義、命題、定理

目錄

知識(shí)梳理.........................................................................1

核心考點(diǎn)歸納....................................................................3

考點(diǎn)1：基本作圖................................................................3

考點(diǎn)2:復(fù)雜作圖................................................................5

考點(diǎn)3：圓中的作圖問題..........................................................7

考點(diǎn)4:邏輯推理...............................................................11

考點(diǎn)5:真命題、假命題........................................................13

考點(diǎn)6：互逆命題與互逆定理....................................................15

考點(diǎn)7：反證法.................................................................16

易錯(cuò)點(diǎn)糾錯(cuò).....................................................................17

★★★真題達(dá)標(biāo)演練★★★......................................................20

知識(shí)梳理

一、尺規(guī)作圖

1.尺規(guī)作圖的定義:在幾何里，把限定用沒有刻度的直尺和圓規(guī)來畫圖稱為尺規(guī)作圖.

2.五種基本作圖

D作一條線段等于已知線段；2）作一個(gè)角等于已知角；3）作一個(gè)角的平分線；4）作一條

線段的垂直平分線；5）過一點(diǎn)作己知直線的垂線.

3.根據(jù)基本作圖作三角形

1）已知三角形的三邊，求作三角形；2）已知三角形的兩邊及其夾角，求作三角形；

3）已知三角形的兩角及其夾邊，求作三角形；4）已知三角形的兩角及其中一角的對(duì)邊，求

作三角形；

5）已知直角三角形一直角邊和斜邊，求作直角三角形.

4.與圓有關(guān)的尺規(guī)作圖

1）過不在同一直線上的三點(diǎn)作圓（即三角形的外接圓）；2）作三角形的內(nèi)切圓.

5.有關(guān)中心對(duì)稱或軸對(duì)稱的作圖以及設(shè)計(jì)圖案是中考常見類型.

6.作圖題的一般步驟

（1）已知；（2）求作；（3）分析；（4）作法；（5）證明；（6）討論.

其中步驟（3）（4）（5）（6）一般不作要求，但作圖中一定要保留作圖痕跡.

二、尺規(guī)作圖的方法

1.尺規(guī)作圖的關(guān)鍵

1）先分析題目，讀懂題意，判斷題目要求作什么；2）讀懂題意后，再運(yùn)用幾種基本作圖方

法解決問題.

2.根據(jù)已知條件作等腰三角形或直角三角形

求作三角形的關(guān)鍵是確定三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，作圖依據(jù)是三角形全等的判定，常借助基本作

圖來完成，如作直角三角形就先作一個(gè)直角.

三、定義與命題

I.一般地，對(duì)某一名稱或術(shù)語進(jìn)行描述或作出規(guī)定就叫做該名稱或術(shù)語的定義.

2.判斷一件事情的語句叫做命題.

3.命題的組成：命題是由題設(shè)和結(jié)論兩部分組成，題設(shè)是已知事項(xiàng)，結(jié)論是由已知事項(xiàng)推

出的事項(xiàng).

4.命題的表達(dá)形式：命題可以寫成“如果……那么……”的形式，“如果”后接的部分是題設(shè)，

“那么”后接的部分是結(jié)論.

二、真命題、假命題

1.正確的命題叫做真命題.

2.要說明一個(gè)命題是正確的，需要根據(jù)命題的題設(shè)和己學(xué)的有關(guān)公理、定理進(jìn)行說明（推

理、證明）.

3.要說明一個(gè)命題是假命題，只需舉一個(gè)反例即可.

三、逆命題

1.把原命題的結(jié)論作為命題的條件，把原命題的條件作為命題的結(jié)論，所組成的命題叫做

原命題的逆命題.

2.在兩個(gè)命題中，如果第一個(gè)命題的條件是第二個(gè)命題的結(jié)論，而第一個(gè)命題的結(jié)論是第

二個(gè)命題的條件，那么這兩個(gè)命題叫做互逆命題.如果把其中的一個(gè)命題叫做原命題，那么

另一個(gè)命題就叫做它的逆命題.

3.正確寫出一個(gè)命題的逆命題的關(guān)鍵是能夠正確區(qū)分這個(gè)命題的題設(shè)和結(jié)論.

4.每個(gè)命題都有逆命題，但原命題是真命題，它的逆命題不一定是真命題.

四、公理與定理

I.如果一個(gè)命題的正確性是人們?cè)陂L期實(shí)踐中總結(jié)出來的，并把它作為判斷其他命題真假

的原始依據(jù)，這樣的真命題叫做公理.

2.如果一個(gè)命題可以從公理或其他命題出發(fā)，用邏輯推理的方法判斷它是正確的，并且可

以進(jìn)一步作為判斷其他命題真假的依據(jù)，這樣的命題叫做定理.

3.公理和定理都是真命題，都可作為證明其他命題是否為真命題的依據(jù).

4.由定理直接推出的結(jié)論，并且和定理一樣可作為進(jìn)一步推理依據(jù)的真命題叫做推論.

五、互逆命題

I.如果一個(gè)定理的逆命題經(jīng)過證明是真命題，那么它也是一個(gè)定理，這兩個(gè)定理叫做互逆

定理，其中一個(gè)定理叫做另一個(gè)定理的逆定理.

2.任何一個(gè)命題都有逆命題，而一個(gè)定理并不一定有逆定理.

3.角平分線性質(zhì)定理及其逆定理、線段的垂直平分線性質(zhì)定理及其逆定理、勾股定理及其

逆定理等都是互逆定理.

六、反證法

1.定義：假設(shè)命題的結(jié)論不成立，即命題結(jié)論的反面成立，由此經(jīng)過推理得出矛盾，由矛

盾斷定所作假設(shè)不正確，從而得到原命題成立，這種證明方法叫做反證法.

2.反證法的步驟：①假設(shè)命題結(jié)論的反面正確；②從假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過邏輯推理，推出與公

理、定理、定義或已知條件相矛盾的結(jié)論；③說明假設(shè)不成立，從而得出原命題正確.

核心考點(diǎn)歸納

考點(diǎn)1：基本作圖

1.最基本、最常用的尺規(guī)作圖，通常稱為基本作圖.

2.基本作圖有五種：1）作一條線段等于已知線段；2）作一個(gè)角等于已知角；3）作一個(gè)角

的平分線；

4）作一條線段的垂直平分線；5）過一點(diǎn)作已知直線的垂線.

1.（2021秋?交城縣期末）如圖，是尺規(guī)作圖中“畫一個(gè)角等于已知角”的示意圖，該作

法運(yùn)用了“全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等”這一性質(zhì)，則判定圖中兩三角形全等的條件是（

D.SSS

【分析】如圖，由作圖可知，OA=OB=CE=EF`84=b.根據(jù)SSS證明ΔAO8=ACEF.

【解答】解：如圖，由作圖可知，OA=OB=CE=EF,BA=CF.

AO=CE

OB=EF,

AB=CF

:.^AOB=^CEF（SSS）,

故選：D.

2.（2021秋?贛州期末）下列畫圖的畫法語句正確的是（）

A.畫直線MN=5厘米B.畫射線。4=4厘米

C.在射線上截取AB=2厘米D.延長線段A3到點(diǎn)C,使8C=AB

【分析】直接利用直線、射線、線段的定義結(jié)合尺規(guī)作圖分別分析得出答案.

【解答】解：A.畫直線MN可以，直線沒有長度，故此選項(xiàng)不合題意；

B.畫射線可以，射線沒有長度，故此選項(xiàng)不合題意；

C.在射線Q4I：截取03=2厘米可以，因?yàn)楸仨殢囊粋€(gè)端點(diǎn)截取，故此選項(xiàng)不合題意；

D.延長線段AB到點(diǎn)C,使8C=A8,正確，故此選項(xiàng)符合題意.

故選：D.

3.（2022?麗水二模）如圖，RtAABC中，ZC=90°,/8=30。，要求用圓規(guī)和直尺作圖,

把它分成兩個(gè)三角形，其中一個(gè)三角形是等腰三角形.其作法錯(cuò)誤的是（）

A

【分析】A.由作法知AD=AC,可判斷A;B.由作法知所作圖形是線段BC的垂直平

分線，可判斷5；C由作法知，所作圖形是線段AB的垂直平分線，根據(jù)線段垂直平分線的

性質(zhì)得到DA=DB,可判斷C；D.由作法知Af）是N&4C的平分線，根據(jù)角平分線的定

義和等腰三角形的判定得到DB=DA,可判斷。.

【解答】解：A.由作法知AD=AC，

.?.AACD是等腰三角形，故選項(xiàng)A不符合題意；

B.由作法知所作圖形是線段BC的垂直平分線，

/.不能推出ΔACZ）和AABD是等腰三角形，故選項(xiàng)B符合題意；

C由作法知，所作圖形是線段AB的垂直平分線，

DA=DB，

??.八鉆。是等腰三角形，故選項(xiàng)C不符合題意；

D.NC=90。，/8=30。，

NBAC=60。，

由作法知AD是ZBAC的平分線，

.?.ZβAT>=30o=ZB,

DB=DA1

.?.AMQ是等腰三角形，故選項(xiàng)O不符合題意；

故選3.

考點(diǎn)2：復(fù)雜作圖

利用五種基本作圖作較復(fù)雜圖形.

4.已知線段”,江點(diǎn)A,P位置如圖所示.

（1）畫射線AP,請(qǐng)用圓規(guī)在射線AP上依次截取A8=α,BC=A（保留作圖痕跡，不

寫作法）

（2）在（1）所作圖形中，若M,N分別為A8,BC的中點(diǎn)，在圖形中標(biāo)出點(diǎn)M,N的

位置，再求出當(dāng)α=4,b=2時(shí)，線段MN的長.

b

A,P

【解答】解：（1）如圖所示，線段A8、BC即為所求.

a

b

AMMNlCp

(2)?.Z=4,b=2,即AB=4,BC=2,且M,N分別為48,8C的中點(diǎn)，

.?.Mβ=-kAB=2,BN=Lc=I,

22

MN=MB+BN=2+1=3.

5.如圖，AO是aABC的角平分線，DElAB于點(diǎn)E.

(1)用尺規(guī)完成以下基本作圖：過點(diǎn)。作。用LAC于點(diǎn)凡連接EF交4￡＞于點(diǎn)G.(不

寫作法，保留作圖痕跡)

(2)在(1)中所作的圖形中，求證：ADA.EF.

(2)證明：:A。是AABC的角平分線，DELAB,DFLAC,

：.DE=DF,

在Rt?ΛDE和Rt?ΛOF中,

(AD=AD

IDE=DF'

ΛRt?ADE^Rt?ADF(HL),

：.AE=AF,

而DE=DF1

：.AD垂直平分EF,

BPADLEF.

6.作圖題：如圖，平面內(nèi)有四個(gè)點(diǎn)4、B、C、。，請(qǐng)你利用直尺和圓規(guī)，根據(jù)下列語句畫

出符合要求的圖，請(qǐng)保留作圖痕跡.

(1)畫直線AB,射線Ae線段BC;

(2)在直線AB上找一點(diǎn)使線段MC與線段MC之和最??；

(3)在線段AO的延長線上截4E=3AO,連線段CE交直線AB于點(diǎn)E

C

A.?B

D

【解答】解：(1)如圖，直線AB,射線AC,線段8C為所作；

(2)如圖，點(diǎn)例為所作；

(3)如圖，點(diǎn)E、F為所作.

考點(diǎn)3：圓中的作圖問題

7.如圖，放置在直線/上的扇形。4B?由圖①滾動(dòng)(無滑動(dòng))到圖②，再由圖②滾動(dòng)到圖

③.若半徑。4=2,ZAOB=45°,則點(diǎn)。所經(jīng)過的運(yùn)動(dòng)路徑的長是()

c5πA

A.24+2B.3πcD.—+2

-T2

【分析】利用弧長公式計(jì)算即可.

【解答】解：如圖，

點(diǎn)O的運(yùn)動(dòng)路徑的長=OOl的長+。2。3的長+O1O2的長

90萬,290?乃.245?τr?2

----------------1------------------1----------------

180180180

5π

T

故選：C.

8.如圖，在等腰AABC中，AB=AC=2亞,BC=8,按下列步驟作圖:

①以點(diǎn)A為圓心，適當(dāng)?shù)拈L度為半徑作弧，分別交AB,AC于點(diǎn)E,F,再分別以點(diǎn)E,F

為圓心，大于gEF的長為半徑作弧相交于點(diǎn)H,作射線AH；②分別以點(diǎn)A,B為圓心,

2

大于gAB的長為半徑作弧相交于點(diǎn)M,N,作直線交射線AH于點(diǎn)。；③以點(diǎn)。為

2

則。。的半徑為（）

C.4D.5

【答案】D

【分析】如圖，設(shè)OA交BC于T.解直角三角形求出A7,再在RtAOCr中，利用勾股定

理構(gòu)建方程即可解決問題.

【詳解】解：如圖，設(shè)OA交BC于T.

VAB=AC=2√5?Ao平分NBAC,ΛA0±BC,BT=TC=4,

?AE=√AC2-CT2=7(2√5)2-42=2?在RtZkOCT中，則有8=(r-2)2+42,解得

r=5,故選：D.

9.(2021?宜賓)如圖，。的直徑A5=4,P為。上的動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)AP,Q為A尸的

中點(diǎn)，若點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)一周，則點(diǎn)。經(jīng)過的路徑長是_2萬_.

【分析】由垂徑定理可得OQ_LAP,則點(diǎn)Q在以Ao為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，即可求解.

【解答】解：如圖，連接0Q，

AB=4,

.,.AO=2，

。為AP的中點(diǎn),

.?.OQ±APf

.?.ZAQo=90。，

.?.點(diǎn)。在以Ao為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，

???點(diǎn)Q經(jīng)過的路徑長為2萬，

故答案為：2π.

10.（2022.海南?？?海南華僑中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知,ABC.①以點(diǎn)A為圓心，

以適當(dāng)長為半徑畫弧,交AC于點(diǎn)M、交48于點(diǎn)M②分別以M、N為圓心，以大于;MN

的長為半徑畫弧，兩弧在/84C內(nèi)部相交于點(diǎn)P.③作射線AP交BC于點(diǎn)D④分別

以A、。為圓心，以大于=A。的長為半徑畫弧，兩弧相交于G、H兩點(diǎn).⑤作直線G”，

2

7

分別交AC、AB于點(diǎn)E、F.依據(jù)以上作圖，若AF=2,CE=3,BD=：,則AE=

4

,CD=.

【分析】利用作法得4。平分/BAC,石尸垂直平分AD,所以N=ΛFAD,EA=ED,

FA=FD,再證明四邊形血下為菱形得到AE=Ab=2,然后利用平行線分線段成比例定

理計(jì)算CO的長.

【詳解】解：連接EO，F(xiàn)D,如圖所示：

..ZEAD=ZFADfEA=ED.FA=FD,

EA=ED,

..ZEAD=ZEDA,

..ZFAD=ZEDAf

.?DE∕∕AF,

同理可得AEDF,

.??四邊形血不為平行四邊形,

而E4=ED,

，四邊形AEr尸為菱形，

.?AE=AF=2,

DE//AB,

CDCE?CD<=-3

.?.——=—,即hπ72,

DBEA4

.?CD=-.

8

21

故答案為：2,—,

O

考點(diǎn)4：邏輯推理

11.如圖，汽車在東西向的公路/上行駛，途中A,B,C,。四個(gè)十字路口都有紅綠燈?AB

之間的距離為800米，BC為IOOO米，CD為1400米，且/上各路口的紅綠燈設(shè)置為：

同時(shí)亮紅燈或同時(shí)亮綠燈，每次紅(綠)燈亮的時(shí)間相同，紅燈亮的時(shí)間與綠燈亮的時(shí)

間也相同.若綠燈剛亮?xí)r，甲汽車從A路口以每小時(shí)30千米的速度沿/向東行駛，同

時(shí)乙汽車從。路口以相同的速度沿/向西行駛，這兩輛汽車通過四個(gè)路口時(shí)都沒有遇到

紅燈，則每次綠燈亮的時(shí)間可能設(shè)置為()

JLJI__II____IL

ABCDI

-Irnl—IIIΓ

A.50秒B.45秒C.40秒D.35秒

【分析】首先求出汽車行駛各段所用的時(shí)間，進(jìn)而根據(jù)紅綠燈的設(shè)置，分析每次綠燈亮的時(shí)

間，得出符合題意答案.

【解答】解：,甲汽車從A路口以每小時(shí)30千米的速度沿/向東行駛，同時(shí)乙汽車從。路

口以相同的速度沿/向西行駛，

.?.兩車的速度為：迎”=竺(m∕s),

36003

AB之間的距離為800米，BC為IoOo米，C￡＞為1400米，

.?.分別通過Λβ,BC,Co所用的時(shí)間為：緩=96")，?=120(Λ),翳=168(s),

TTT

,這兩輛汽車通過四個(gè)路口時(shí)都沒有遇到紅燈，

當(dāng)每次綠燈亮的時(shí)間為50s時(shí)，；史=1啰，甲車到達(dá)5路口時(shí)遇到紅燈，故A錯(cuò)誤;

5025

???當(dāng)每次綠燈亮的時(shí)間為45s時(shí)，度=3口，乙車到達(dá)。路口時(shí)遇到紅燈，故3錯(cuò)誤；

4515

96120

???當(dāng)每次綠燈亮的時(shí)間為40s時(shí)，.?÷=5Z,.?.甲車到達(dá)C路口時(shí)遇到紅燈，故C錯(cuò)

405

誤；

??.當(dāng)每次綠燈亮的時(shí)間為35$時(shí)，—=2—,96+120=69,96+120+168=?θ?j-

353535353535

1684168+120o8

3553535

二這兩輛汽車通過四個(gè)路口時(shí)都沒有遇到紅燈，故JD正確；

則每次綠燈亮的時(shí)間可能設(shè)置為：35秒.

故選：D.

12.圖（①）為雅婷左手拿著3張深灰色與2張淺灰色的牌迭在一起的情形.以下是她每次

洗牌的三個(gè)步驟：

步驟一：用右手拿出迭在最下面的2張牌，如圖（②）.

步驟二：將右手拿的2張牌依序交錯(cuò)插入左手拿的3張牌之間，如圖（③）.

步驟三：用左手拿著顏色順序已改變的5張牌，如圖（④）.

若依上述三個(gè)步驟洗牌，從圖（①）的情形開始洗牌若干次后，其顏色順序會(huì)再次與圖（①）

相同，則洗牌次數(shù)可能為下列何者？（）

A.18B.20C.25D.27

【分析】根據(jù)洗牌的規(guī)則得出洗牌的變化規(guī)律，進(jìn)而根據(jù)各選項(xiàng)分析得出即可.

【解答】解：設(shè)5張牌分別為：1,2,3,A,B；第1次洗牌后變?yōu)椋?,A,2,B,3；

第2次洗牌后變?yōu)椋?,B,A,3,2；

第3次洗牌后變?yōu)椋?,3,B,2,A；

第4次洗牌后變?yōu)椋?,2,3,A,B；

故每洗牌4次，其顏色順序會(huì)再次與圖（①）相同，

故洗牌次數(shù)可能的數(shù)為4的倍數(shù)，選項(xiàng)中只有20符合要求.

故選：B.

13.如圖是某劇場第一排座位分布圖.甲、乙、丙、丁四人購票，所購票數(shù)分別為2,3,4,

5.每人選座購票時(shí)，只購買第一排的座位相鄰的票，同時(shí)使自己所選的座位號(hào)之和最

小，如果按“甲、乙、丙、丁”的先后順序購票，那么甲購買1,2號(hào)座位的票，乙購

買3,5,7號(hào)座位的票，丙選座購票后，丁無法購買到第一排座位的票.若丙第一個(gè)購

票，要使其他三人都能購買到第一排座位的票，寫出一種滿足條件的購票的先后順序

丙、丁、甲、乙.

舞臺(tái)

I∕'ιι、I/'、Ij、I/、I/1、IJll、I∕ι、II/"八Ij1、I■/?I/、I/、Ij、I/1、I

【分析】先判斷，丙購4票(3124)后，左余6座，右余5座，即可得出結(jié)論.

【解答】解：根據(jù)題意，丙第一個(gè)購票，只能購買3,1,2,4號(hào)票，

此時(shí)，3號(hào)左邊有6個(gè)座位，4號(hào)右邊有5個(gè)座位，

即甲、乙購買的票只要在丙的同側(cè)，四個(gè)人購買的票全在第一排，

①第二個(gè)丁可以購買3號(hào)左邊的5個(gè)座位，另一側(cè)的座位甲和乙購買，

即丙(3,1,2,4)、丁(5,7,9,11,13),甲(6,8)、乙(10,12,14),

或丙(3,1,2,4)、T(5,7,9,11,13)、乙(6,8,10)、甲(12,14)；

②第二個(gè)由甲或乙購買，此時(shí)，只能購買5,7號(hào)票，第三個(gè)購買的只能是丁，且只能購買

6,8,10,12,14號(hào)票，

此時(shí)，四個(gè)人購買的票全在第一排，

即丙(3,1,2,4)、甲(5,7)、T(6,8,10,12,14)、乙(9,11,13),

或丙(3,1,2,4)、乙(5,7,9)、丁(6,8,10,12,14)、甲(11,13),

因此，第一個(gè)是丙購買票，丁只要不是最后一個(gè)購買票的人，都能使四個(gè)人購買的票全在第

一排，

故答案為：丙、丁、甲、乙.

考點(diǎn)5：真命題、假命題

1.判斷語句是否為命題要抓住兩條：①命題必須是一個(gè)完整的帶有判斷性的句子，通常是

陳述句(包括肯定句和否定句)，而疑問句和命令性語句都不是命題；②命題必須對(duì)某件事

作出肯定或否定的判斷.

2.辨別命題的真假時(shí)，對(duì)命題的正確性理解一定要準(zhǔn)確，進(jìn)行辨別時(shí)要熟練掌握相關(guān)的定

理、公理、定義.要說明一個(gè)命題是假命題，通常可以通過舉反例的方法解決.命題的反例

是具備命題的條件，但不具備命題的結(jié)論的實(shí)例.

14.(2022?達(dá)州)下列命題是真命題的是()

A.相等的兩個(gè)角是對(duì)頂角

B.相等的圓周角所對(duì)的弧相等

2

C.若a<b,則。c?vbc

D.在一個(gè)不透明的箱子里放有1個(gè)白球和2個(gè)紅球，它們除顏色外其余都相同，從箱子

里任意摸出1個(gè)球，摸到白球的概率是1

3

【分析】根據(jù)對(duì)頂角的定義、圓周角，不等式的性質(zhì)、概率公式判斷即可.

【解答】解：A、相等的兩個(gè)角不一定是對(duì)頂角，原命題是假命題；

8、在同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧相等，原命題是假命題；

C、若aV匕,C=O時(shí)，則疝=。<?,原命題是假命題；

。、在一個(gè)不透明的箱子里放有1個(gè)白球和2個(gè)紅球，它們除顏色外其余都相同，從箱子

里任意摸出1個(gè)球，摸到白球的概率是,，是真命題：

3

故選：D.

15.（2022?衡陽）下列命題為假命題的是（）

A.對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形

B.對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形

C.有一個(gè)內(nèi)角是直角的平行四邊形是正方形

D.有一組鄰邊相等的矩形是正方形

【分析】根據(jù)矩形、菱形、正方形的判定逐項(xiàng)判斷即可.

【解答】解：對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形，故A是真命題，不符合題意；

對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形，故5是真命題，不符合題意；

有一個(gè)內(nèi)角是直角的平行四邊形是矩形，故C是假命題，符合題意；

有一組鄰邊相等的矩形是正方形，故。是真命題，不符合題意；

故選：C.

16.（2021?衡陽）下列命題是真命題的是（）

A.正六邊形的外角和大于正五邊形的外角和

B.正六邊形的每一個(gè)內(nèi)角為120。

C.有一個(gè)角是60。的三角形是等邊三角形

D.對(duì)角線相等的四邊形是矩形

【分析】根據(jù)多邊形的外角和都是360度對(duì)A作出判斷；

根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式求出正六邊形的內(nèi)角和，再求出每個(gè)內(nèi)角對(duì)8作出判斷；

根據(jù)等邊三角形的判定對(duì)C作出判斷；

根據(jù)矩形的判定對(duì)。作出判斷.

【解答】解：Λ.每個(gè)多邊形的外角和都是360。，故錯(cuò)誤，假命題；

B.正六邊形的內(nèi)角和是720。，每個(gè)內(nèi)角是120。，故正確，真命題；

C.有一個(gè)角是60。的等腰三角形是等邊三角形，故錯(cuò)誤，假命題；

D.對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形，故錯(cuò)誤，假命題.

故選：B.

17.下列判斷正確的是（）

A.北斗系統(tǒng)第五十五顆導(dǎo)航衛(wèi)星發(fā)射前的零件檢查，應(yīng)選擇抽樣調(diào)查

B.一組數(shù)據(jù)6,5,8,7,9的中位數(shù)是8

C.甲、乙兩組學(xué)生身高的方差分別為S,2=2.3,S”=i8.則甲組學(xué)生的身高較整齊

D.命題“既是矩形又是菱形的四邊形是正方形”是真命題

【分析】根據(jù)抽樣調(diào)查、中位數(shù)定理、命題的判斷進(jìn)行分析即可；

【詳解】解：A.北斗系統(tǒng)第五十五顆導(dǎo)航衛(wèi)星發(fā)射前的零件檢查，應(yīng)選擇全面調(diào)查，所以

A選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B.一組數(shù)據(jù)6,5,8,7,9的中位數(shù)是7,所以8選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C,甲、乙兩組學(xué)生身高的方差分別為S,∕=2.3,SzJ=1.8.則乙組學(xué)生的身高較整齊，所

以C選項(xiàng)錯(cuò)誤；

D.命題“既是矩形乂是菱形的四邊形是正方形”是真命題，所以。選項(xiàng)正確.故選：D.

考點(diǎn)6：互逆命題與互逆定理

I.如果兩個(gè)命題的題設(shè)和結(jié)論正好相反，那么這樣的兩個(gè)命題叫做互逆命題.如果把其中

一個(gè)叫做原命題，那么另一個(gè)叫做它的逆命題.

2.一般地，如果一個(gè)定理的逆命題經(jīng)過證明是正確的，那么它也是一個(gè)定理，則稱這兩個(gè)

定理互為逆定理，其中一個(gè)定理叫做另一個(gè)定理的逆定理.

3.“題設(shè)與結(jié)論正好相反"可理解為第一個(gè)命題的題設(shè)是第二個(gè)命題的結(jié)論，第一個(gè)命題

的結(jié)論是第二個(gè)命題的題設(shè).

18.下列定理中，沒有逆定理的是（）.

A.兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)B.線段垂直平分線上的任意一點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的

距離相等

C.等腰三角形兩個(gè)底角相等D.同角的余角相等

【分析】把一個(gè)命題的條件和結(jié)論互換就得到它的逆命題.再分析逆命題是否為真命題.

【詳解】解：A、逆命題是：同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行，是真命題，故本選項(xiàng)不符合題意：

B、逆命題是：到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上，是真命題，故

選項(xiàng)不符合題意：

C、逆命題是：如果三角形有兩個(gè)角相等，那么這個(gè)三角形是等腰三角形，是真命題，故本

選項(xiàng)不符合題意；

D、逆命題是：如果兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角是同一個(gè)角的余角，是假命題，故選項(xiàng)符合

題意.故選：D.

19.下列命題：（1）對(duì)于y=A（Z≠O）,當(dāng)氏〉0時(shí)，y隨X的增大而減??；（2）菱形的對(duì)

X

bC

角線互相垂直；（3）若一>一，貝IJah>ac；（4）若孤=版，則〃=〃；其中原命

aa

題和逆命題均為真命題的個(gè)數(shù)為（）

A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)

【分析】根據(jù)逆命題的書寫方法，寫出逆命題，判斷原命題，逆命題的真假性即可.

【詳解】A.原命題：對(duì)于y="（左≠0）,當(dāng)左>0時(shí)，y隨X的增大而減??；假命題

X

逆命題：對(duì)于y=K（Z≠O）,當(dāng)y隨X的增大而減小時(shí)，4>0；假命題

X

B.原命題：菱形的對(duì)角線互相垂直；真命題逆命題：對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形；

假命題

hcbC

C.原命題：若一>—,則αb>αc;真命題逆命題：若ab>ac,則一>—；真命題

aaaa

D.原命題：若孤=探，則/=/；真命題逆命題：若“2=/,則。Z=探；假命

題故選：B.

20.（2022?湖州）命題“如果Ial=I勿，那么q=b."的逆命題是如果α=b,那么∣〃l=?A∣

【分析】把一個(gè)命題的條件和結(jié)論互換就得到它的逆命題.

【解答】解：命題''如果IaI=|“，那么α=6.”的逆命題是如果α=A,那么|"Rb|,

故答案為：如果a=b,那么IaI=IZ

考點(diǎn)7：反證法

①當(dāng)命題的結(jié)論涉及“否定”“至多”“至少”"無限'"'無數(shù)”"唯一”時(shí)常用反證法.

②矛盾的類型：a.與已知定義、定理、公理相矛盾；b.與已知條件相矛盾；c.推出自相

矛盾的結(jié)果.

③用反證法證明問題的關(guān)鍵是清楚結(jié)論的反面是什么，有哪些情況，不要遺漏；利用反證法

證明時(shí)，每一步都要有依據(jù)，直到推出矛盾.

21.用反證法證明命題：”如圖，如果A8//CO,ABHEF,那么8〃￡F"，證明的第一

個(gè)步驟是（）

A---------------B

C---------------D

E---------------F

A.假定8//E尸B.假定CD不平行于EF

C.己知AB//EFD.假定Ae不平行于所

【分析】根據(jù)要證8//M,直接假設(shè)8不平行于所即可得出.

【解答】解：?用反證法證明命題：如果AB//8，ABllEF,那么8∕∕EP.

.??證明的第一步應(yīng)是：從結(jié)論反面出發(fā)，假設(shè)CO不平行于EE.

故選：B.

22.用反證法證明時(shí)，假設(shè)結(jié)論“點(diǎn)在圓外”不成立，那么點(diǎn)與圓的位置關(guān)系只能是（

）

A.點(diǎn)在圓內(nèi)B.點(diǎn)在圓上

C.點(diǎn)在圓心上D.點(diǎn)在圓上或圓內(nèi)

【分析】由于反證法的步驟是：（1）假設(shè)結(jié)論不成立；（2）從假設(shè)出發(fā)推出矛盾；（3）假設(shè)

不成立，則結(jié)論成立.

在假設(shè)結(jié)論不成立時(shí)要注意考慮結(jié)論的反面所有可能的情況，如果只有一種，那么否定一種

就可以了，如果有多種情況，則必須一一否定.由此即可解決問題.

【解答】解：反證法證明時(shí)，假設(shè)結(jié)論“點(diǎn)在圓外”不成立，那么點(diǎn)與圓的位置關(guān)系只能是：

點(diǎn)在圓上或圓內(nèi).

故選：D.

23.用反證法證明“垂直于同一條直線的兩條直線平行”時(shí)，第一個(gè)步驟是假設(shè)這兩條直

線不平行.

【分析】先根據(jù)已知條件和反證法的特點(diǎn)進(jìn)行假設(shè)，即可求出答案.

【解答】解：根據(jù)反證法的第一步：從結(jié)論的反面出發(fā)假設(shè)命題不成立，

故用反證法證明“垂直于同一條直線的兩條直線平行”時(shí)，第一個(gè)步驟是：假設(shè)這兩條直線

不平行.

故答案為：假設(shè)這兩條直線不平行.

易錯(cuò)點(diǎn)糾錯(cuò)

易錯(cuò)題Ol作圖一應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖

?.（2022春?濱海新區(qū)期末）李強(qiáng)同學(xué)學(xué)完“相交線與平行線”一章后，在一本數(shù)學(xué)讀物

上看到一種只利用圓規(guī)和無刻度直尺作圖的方法：

①以NAoB的頂點(diǎn)O為圓心，以適當(dāng)長為半徑畫弧，交邊于點(diǎn)M,交03邊于點(diǎn)N;

②作一條射線Cr＞，以點(diǎn)C為圓心，以O(shè)M長為半徑畫弧，與射線Cn交于點(diǎn)E；③以點(diǎn)E

為圓心，以MN長為半徑畫弧，與②中所畫弧交于點(diǎn)P；④過點(diǎn)尸作射線CP,則

ZPCD=ZBOA.如圖1:

李強(qiáng)想利用這種方法過平面內(nèi)一點(diǎn)Q作直線/的平行線?.如圖2.

（I）李強(qiáng)同學(xué)能借助上述方法作出直線/的平行線〃嗎？（填“能”或“不能”）.

（II）如果能，請(qǐng)?jiān)趫D2中作出直線α,保留作圖痕跡，并說明能夠證明這兩條直線平行的

理

由：.

【分析】（I）利用同位角相等兩直線平行，解決問題；

（Il）過點(diǎn)Q作直線交宜線/于點(diǎn)C,作NEQF=NECD即可.

【解答】解：（I）能.

故答案為：能；（H）如圖，直線?即為所求.

由作圖可知，NEQF=NECD,

.?.直線a//直線/（同位角相等兩直線平行）.

故答案為：同位角相等兩直線平行.

2.（2022春?安寧市期末）在數(shù)學(xué)課上，王老師拿出一張如圖1所示的長方形A4紙（對(duì)

道ABI/CD,ADHBC,四個(gè)角都是直角），要求同學(xué)們用直尺和量角器在ΛB邊上找

一點(diǎn)E,使NAEC=I50。.

（1）甲同學(xué)的思路：在A5邊上任取一點(diǎn)E,以￡為頂點(diǎn)，以他為一邊，用量角器作150。

角，則NAEC即為所求.

（2）乙同學(xué)的思路：以CD為始邊，在長方形的內(nèi)部，利用量角器作NZ）CE=30。，射線CF

與AB交于點(diǎn)E,如圖2所示，則NAEC即為所求.

你支持乙同圖依據(jù)

是Sl圖2

【分析】支持乙同學(xué)的思路.利用三角形的外角的性質(zhì)證明即可.

【解答】解：支持乙同學(xué)的思路.

如圖1中,

圖1

四邊形A88是矩形，

.?ZB=ZDCB=90°,

NDCE=30°,

ZfCB=90。-30。=60。，

.?.ZAEC=ZS+ZECB=90o+60o=I50°.

作圖依據(jù)是：三角形的外角等丁?不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和.

易錯(cuò)題02作圖一代數(shù)計(jì)算作圖

3.（2022秋?西安期中）作圖題：在數(shù)軸上作出表示布的點(diǎn).（保留作圖痕跡，不寫作

法，但要作答）-4-7-1∩—1—?―24'

【分析】因?yàn)?0=9+1,則首先作出以1和3為直角邊的直角三角形,則其斜邊的長即是√IU.

再以原點(diǎn)為圓心，以Jid為半徑畫弧，和數(shù)軸的正半軸交于一點(diǎn)即可.

【解答】解：因?yàn)?0=9+1,則首先作出以1和3為直角邊的直角三角形，則其斜邊的長即

是癡.

-4Y-?-1O

4.（2021春?鄒城市期中）正方形網(wǎng)格中，小格的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)，小華按下列要求作圖：

①在正方形網(wǎng)格的三條不同實(shí)線上各取一個(gè)格點(diǎn)，使其中任意兩點(diǎn)不在同一條實(shí)線上：

②連接三個(gè)格點(diǎn)，使之構(gòu)成直角三角形.

小華在左邊的正方形網(wǎng)格中作出了RlΔABC,請(qǐng)你按照同樣的要求，在右邊的兩個(gè)正方形網(wǎng)

格中各畫出一個(gè)直角三角形，并求出這個(gè)直角三角形的面積.（要求：三個(gè)網(wǎng)格中的直角三

角形互不全等）

【分析】畫的直角三角形的三邊應(yīng)符合兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.第一個(gè)圖形和第

二個(gè)圖形的面積可讓兩條直角邊的積÷2即可.

易得圖1三邊長為如、√10,√20,符合兩邊和的平方等于第三邊的平方，面積為:

i×√I0×√10=5;

2

圖2中三邊長分別為衣、如儷符合兩邊和的平方等于第三邊的平方，面積為:

[χ0XM=3.

2

★★★真題達(dá)標(biāo)演練★★★

1.（2022?巴中）如圖，在菱形ABCD中，分別以C、。為圓心，大于』CD為半徑畫弧，

2

兩弧分別交于點(diǎn)M、N,連接MN,若直線MN恰好過點(diǎn)A與邊8交于點(diǎn)E,連接BE,

則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

AD

BC

A.ZβCD=120oB.若AB=3,則BE=4

CCE=3BCD.SAAOE=—SAΛBE

【分析】利用菱形的性質(zhì)、解直角三角形等知識(shí)逐項(xiàng)判斷即可.

【解答】解：連接AC.

由作法得MN垂直平分CD,

.?.AD=AC,CM=DM,NAED=90°,

四邊形ABCD為菱形，

/.AB=BC=AD,

..AB=BC=AC,

.?.ΔABC為等邊三角形，

/.ZABC=60°,

.-.ZBCD=120°,即A選項(xiàng)的結(jié)論正確，不符合題意；

3

當(dāng)AB=3,MlJCE=DE=-,

2

ZD=60。，

/.AE=y∣AD2-ED2=J32-(∣)2=?,ZZME=30o,ZBAD=UOo,

.?ZBAE=ZBAD-ZDAE=l20o-30o=90o,

在RtAABE中，BE=√AB2+AE2=^32+(?)2???,所以3選項(xiàng)的結(jié)論錯(cuò)誤，符合題

忌J?.；

四邊形AβCO是菱形，

.?..BC=CD=ICE,即CE=IBC,所以C選項(xiàng)的結(jié)論正確，不符合題意；

2

AB//CD,AB=2DE,

所以。選項(xiàng)的結(jié)論正確，不符合題意.

.?.SM4irlD*√CE.=-2SMt-vB?θE?,

故選：B.

2.（2022?黃石）如圖，在AABC中，分別以A,C為圓心，大于』AC長為半徑作弧，

2

兩弧分別相交于M,N兩點(diǎn)，作直線MN,分別交線段BC,AC于點(diǎn)O,E,若

AE2cm,ΔAβQ的周長為11的，則AABC的周長為（）

A.13C∕MB.?AcmC.15CmD.16cm

【分析】利用基本作圖得到MN垂直平分AC,則根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到D4=DC，

AE=CE=Icm,再利用等線段代換得到4?+BC=Ik7〃，然后計(jì)算AWC的周長.

【解答】解：由作法得MN垂直平分AC,

DA=DC,AE=CE=2cm,

ΔABZ）的周長為IlCTn,

：.AB+BD+AD=Wcm,

AB+BD+DC=ilσn,KPAB+BC=Iicm,

.?.ΔA8C的周長=A8+8C+4C=11+2x2=15（cm）.

故選：C.

3.（2022?資陽）如圖所示，在AASC中，按下列步驟作圖：

第一步：在AB、AC上分別截取AD、AE,使AT>=AE；

第二步：分別以點(diǎn)。和點(diǎn)E為圓心、適當(dāng)長（大于DE的一半）為半徑作圓弧，兩弧交于點(diǎn)

F；

第三步：作射線AF交BC于點(diǎn)用；

第四步：過點(diǎn)M作MIVJ_AB于點(diǎn)N.

下列結(jié)論一定成立的是（）

A.CM=MNB.AC=ANC.ZCAM=ZBAMD.ZCMA=ZNMA

【分析】根據(jù)題意可知，AM平分NC4B,即可得出正確答案.

【解答】解：由題意可知，AW平分Nc4B,

NC不一定等于90。，.1CM..MV，因此A選項(xiàng)不符合題意；

NC不一定等于90。，.?.AC不一定等于4V,因此B選項(xiàng)不符合題意；

AM平分NC4B,.?.NC4Λ∕=NBAM,因此C選項(xiàng)符合題意；

.NC不定等于90。，.?.NCM4不一定等于NMw4,因此。選項(xiàng)不符合題意.

故選：C.

4.（2022?安順）如圖，在ΔABC中，NABC<90。，AB≠BC,BE是Ae邊上的中線，

按下列步驟作圖：①分別以點(diǎn)8和點(diǎn)C為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧相交

2

于點(diǎn)用，N；②作直線MN,分別交3C,BE于點(diǎn)、D,O；③連結(jié)CO,DE.則下

列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

A.OB=OCB.ABOD=ΛCODC.DE//ABD.NBOC=ABDE

【分析】根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)一一判斷即可.

【解答】解：由作圖可知，垂直平分線段BC,

/.OB=OC，

../BOD=NCOD,

AE=EC,CD=DB,

.?DE//AB,

故A,B,C正確，

故選：D.

5.（2022?威海）過直線/外一點(diǎn)P作直線/的垂線尸。.下列尺規(guī)作圖錯(cuò)誤的是（）

【分析】根據(jù)作圖痕跡結(jié)合線段垂直平分線的判定和性質(zhì)進(jìn)行分析判斷.

【解答】解：選項(xiàng)A,連接∕?,PB,QA,QB,

??.6P在線段AB的垂直平分線上，

QA=QB,

；.點(diǎn)Q在線段AB的垂直平分線上，

.-.PQn,故此選項(xiàng)不符合題意；

選項(xiàng)8,連接∕?,PB,QA,QB,

PA=QA,

點(diǎn)A在線段PQ的垂直平分線上,

PB=QB`

點(diǎn)B在線段尸。的垂直平分線上，

:.PQLl,故此選項(xiàng)不符合題意；

選項(xiàng)C，無法證明尸Q_L/,故此選項(xiàng)符合題意;

選項(xiàng)￡＞，連接RA,PB,QA,QB,

.?.點(diǎn)A在線段P。的垂直平分線上，

PB=QB`

二點(diǎn)B在線段PQ的垂直平分線上，

:.PQVl,故此選項(xiàng)不符合題意；

故選：C.

6.（2022?濱州）正方形ABCC）的對(duì)角線相交于點(diǎn)O（如圖1）,如果NBOC繞點(diǎn)O按順時(shí)

針方向旋轉(zhuǎn)，其兩邊分別與邊AB、BC相交于點(diǎn)E、F（如圖2）,連接￡F,那么在

點(diǎn)E由3到A的過程中，線段印的中點(diǎn)G經(jīng)過的路線是（）

圖1圖2

A.線段B.圓弧C.折線D.波浪線

【分析】建立如圖平面直角坐標(biāo)系，設(shè)正方形ABCD的邊長為1,證明ΔAOE三ABOF（ASA）,

推出AE=班■,設(shè)AE=3F=α,則尸（4,0）,￡（0,1-?）,由題意Gdα,i-iβ）,推出點(diǎn)

222

G在直線y=-x+g上運(yùn)動(dòng)，可得結(jié)論.

【解答】解：建立如圖平面直角坐標(biāo)系，設(shè)正方形/WCO的邊長為1,

圖2

■四邊形ABCz)是正方形，

.?.ZOAE=ZOBF=45°,OA=OB,

ZAOB=AEOF=90°,

.?.ZAoE=NBOF,

.?.ΔAOE≈ABOF(ASA),

..AE=BF,

設(shè)AE=M=",則F(α,O),E(O,l-a),

EG=FG,

G(—a>--------O)?

222

，點(diǎn)G在直線y=-x+；上運(yùn)動(dòng)，

點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)軌跡是線段，

故選：A.

7.(2021?百色)下列四個(gè)命題：

①直徑是圓的對(duì)稱軸；

②若兩個(gè)相似四邊形的相似比是1:3,則它們的周長比是1:3,面積比是1:6；

③同一平面內(nèi)垂直于同一直線的兩條直線互相平行；

④對(duì)角線相等且互相垂直的平行四邊形是正方形.

其中真命題有()

A.①③B.①④C.③④D.②③④

【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)、平行線的判定、正方形的判定和對(duì)稱判斷即可.

【解答】解：①直徑所在的直線是圓的對(duì)稱軸，原命題是假命題；

②若兩個(gè)相似四邊形的相似比是1:3,則它們的周長比是1:3,面積比是1:9,原命題是假

命題；

③同一平面內(nèi)垂直于同一直線的兩條直線互相平行，是真命題；

④對(duì)角線相等且互相垂直的平行四邊形是正方形，是真命題；

故選：C.

8.（2021?玉林）學(xué)習(xí)圓的性質(zhì)后，小銘與小熹就討論起來，小銘說：“被直徑平分的弦也

與直徑垂直”，小熹說：“用反例就能說明這是假命題”.下列判斷正確的是（）

A.兩人說的都對(duì)

B.小銘說得對(duì)，小熹說的反例不存在

C.兩人說的都不對(duì)

D.小銘說的不對(duì)，小熹說的反例存在

【分析】根據(jù)垂徑定理判斷即可.

【解答】解：被宜徑平分的弦也與直徑垂直，這個(gè)結(jié)論錯(cuò)誤，當(dāng)弦是宜徑時(shí)，不一定滿足條

件，結(jié)論不成立，

反例：當(dāng)弦是直徑，且與已知直徑的夾角為60。時(shí)，結(jié)論不成立.

故選：D.

9.（2021?浙江）能說明命題“若X為無理數(shù)，則V也是無理數(shù)”是假命題的反例是（

）

A.x=>∕2—1B.x=y∣2+1C.X=3x∣2D.x=>∕3--J2

【分析】根據(jù)題意，只要/是有理數(shù)，即求出各個(gè)選項(xiàng)中K