2024屆重慶市拔尖強(qiáng)基聯(lián)盟高三年級(jí)上冊(cè)12月月考數(shù)學(xué)試題（解析版）

2024屆重慶市拔尖強(qiáng)基聯(lián)盟高三上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題

一、單選題

1.已知復(fù)數(shù)z=(l+2i)(i—l),則忖=()

A.VioB.72c.y[5D.V3

【答案】A

【分析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算化簡(jiǎn)z=(l+2i)(i-1),結(jié)合模長(zhǎng)公式計(jì)算即可.

【詳解】z=(l+2i)(i-l)=-l+2i2-i=-3-i,所以目=J(一3y+(T『=而,

故選：A.

2.已知圓石：/+,2一6%一8y=。，圓尸：工2+)2一2%-4>+4=0,則這兩圓的位置關(guān)系為()

A.內(nèi)含B.相切C.相交D.外離

【答案】A

【分析】根據(jù)圓的方程確定圓心及半徑，由兩圓圓心距離與半徑的關(guān)系判斷位置關(guān)系.

【詳解】由題設(shè)，E：(X—3)+(y—4)2=25,F：(x—I)?+(y—2)2=1,

；.E(3,4),半徑4=5；F(l,2),半徑4=1；但耳=/3-1)2+(4-2)2=2拒,

Arx-r2>\CXC2\,即兩圓內(nèi)含.

故選：A

—a—3

3.在首項(xiàng)為1的數(shù)列｛%｝中，滿足4+1="「，則％20=()

%十,

54

A.—B.—C.0D.1

23

【答案】D

【分析】根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系可得｛%｝為周期數(shù)列，且周期為3,即可利用周期求解.

一a—31

【詳解】由〃〃+i=rv可得%+i=T一一—,

%+2〃“+2

1I4[I5,I

由于4=1,所以。2=-1---=〃3=-1----7^=_不M4=_1------=1=，

q+23出+22%+2

因此｛%｝為周期數(shù)列，且周期為3,

故?520=4x173+1=4=1，

故選：D

2i

4.若3"=4"=%且一+—=1（。,仇根eR）,則（）

ab

A.2有B.6C.36D.12

【答案】C

21

【分析】將3"=4〃=根化成對(duì)數(shù)式，代入4+；=1,利用換底公式等計(jì)算即可.

ab

【詳解】因?yàn)?"=4"=相，所以a=log3根,b=log4根，

所以2+<=^^——=2log,,,3+log,,,4=log,,,（9x4）=1.

ablog3mlog4m

解得：m=36.

故選：C.

5.已知點(diǎn)〃為RtZkABC外接圓。上的任意一點(diǎn)，ZABC=90°,AB=1,BC=73,貝!］（。4-。孫8/

的最大值為（）

3

A.1B.-C.y/3D.75

【答案】B

【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的幾何意義，結(jié)合圖形即可求解.

ArJ（6）+1

【詳解】設(shè)RtZkABC外接圓的半徑為人由正弦定理得2-=—4^=3—=2,

sinZABC,

3

故廠=1.

所以（OA-08）?=8A-8M=忸4卜（|w|cosZABM）=|BA/|cosZABM,

當(dāng)過點(diǎn)圓上一點(diǎn)M作平行于BC的圓的切線時(shí)，此時(shí)\BM\cosZABM最大，

由于。到BC的距離為"=；|剛=；，所以忸/cosZABM的最大值為d+r=~

故選：B

6.在平面直角坐標(biāo)系中，集合A={(x,y)|Ax-y+左=0},集合8={(x,y)|y=丘-1},已知點(diǎn)MeA,

點(diǎn)NeB,記d表示線段MN長(zhǎng)度的最小值，則d的最大值為()

A.2B.V3C.1D.72

【答案】D

【分析】將集合A3看作是直線的集合，求出定點(diǎn)坐標(biāo)，即可得出答案.

【詳解】集合&=同"7+4=0}可以看作是表示直線仁依-y+左=。上的點(diǎn)的集合，

由fcc-y+左=0變形可得，Zr(x+l)-j=0,

fx+l=0[x=-l

由n可得，n，

[y=o[y=。

所以直線4：入-y+A=o過定點(diǎn)E(-l,0).

集合3={(%耳卜=履-1}可看作是直線/2：y=fcv-l上的點(diǎn)的集合，

由>=履一1變形可得，丘一(y+l)=0,

fx=0fx=0

由1八可得，I，

[y+i=o[y=-i

所以,直線4：y=hT過定點(diǎn)—o,T).

顯然，當(dāng)線段A3與直線4,4都垂直時(shí)，d有最大值但尸|=。0+1)2+(-1-op=0.

故選：D.

7.設(shè)。=『。,6=(,。=111+，貝!|()

A.a<b<cB.a<c<bC.b<c<aD.c<b<a

【答案】A

【分析】對(duì)于。，6結(jié)合不等式的性質(zhì)，易判斷大??；對(duì)于瓦。可構(gòu)造函數(shù)〃x)=ln(l+x)-利

用導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性、最值即可判斷.

【詳解】對(duì)于。=eT°=4,6=4，顯然0<4T<^7.所以a<6;

e11e11

1

對(duì)于b=」-=1。,c=In

111+-^

10

可構(gòu)造函數(shù)/(%)=ln(l+x)-士，且x>—l,

所以小)=占一島=的，

當(dāng)x>0時(shí)以X)>0,所以“X)在(0,+8)單調(diào)遞增,

當(dāng)—l<x<0時(shí)r(x)<0,所以“X)在(—1,0)單調(diào)遞減，

所以"x"LAOhlnO+O)-臺(tái)=0,所以八丈)？0,

1

所以端)>0,即/苫=ln?0,故%>］，所以b<c.

10

綜上：a<b<c.

故選:A.

8.點(diǎn)M、N為正四面體ABCD的內(nèi)切球球面上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，T為棱A3上的一動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)—M7N取

最大值時(shí)，tanNM7N=()

A.-72B.1C.72D.2^/2

【答案】D

【分析】根據(jù)正四面體體積的等積性、球的幾何性質(zhì)、圓的切線性質(zhì)，結(jié)合銳角三角函數(shù)定義、正

切二倍角公式、正弦函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可.

【詳解】設(shè)該正四面體的棱長(zhǎng)為。，

設(shè)該正四面體的內(nèi)切球的球心為。，頂點(diǎn)A在底面的射影為G,

顯然。在線段AG上，顯然該正四面體內(nèi)切球的半徑為。G,

如圖所示：

0一CD_a—_也

由正弦定理可知：G--F=BG1a,

sin—2L±

32

由勾股定理可知：AG=ylAB「BG。斗邛

由三棱錐體積的等積性可得:

-x--aa---AG=4x-x--a-a--OG=>OG=a,

32232212

由球的性質(zhì)可知：當(dāng)力與圓相切時(shí)，NMTN最大,

如圖所示：OM1TM,ON1TN,

由圓的切線長(zhǎng)定理可知：ZMTN=2ZOTM,

在直角三角形O7M中，sin/OTM=嘿,

/M7N最大時(shí)，OT最小，因?yàn)椤?=03,

所以此時(shí)T為45的中點(diǎn)，即有

正四面體的內(nèi)切球的球心為。，顯然。也是該正四面體的外接球的球心,

OMV2

tanZOTM

2速

2tanZC)?

于是有tan/MTW2272,

l-tan2ZO?

1--

2

故選：D

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是利用球的幾何性質(zhì)、正弦函數(shù)的單調(diào)性、三棱錐的體積等積性.

二、多選題

9.如圖，在正四棱柱ABCD-AB'C'D中，A4,=2AB=4,。為此正四棱柱的外接球球心，下列說

法正確的是（）

A.BC1.AB'B.球。的表面積為20兀

C.點(diǎn)。到的距離為班D.四棱錐。-A6CD的表面積為4+4拓

【答案】ACD

【分析】根據(jù)線面垂直即可求解線線垂直，判斷A,根據(jù)正四棱柱的性質(zhì)可知外接球的直徑為體對(duì)

角線，即可求解BC,根據(jù)面積公式，結(jié)合正棱錐的性質(zhì)即可求解D.

【詳解】由于四棱柱ABCD-AZC'D為正四棱柱，所以底面ABC。為正方形，

故BC_LAB,BB'±CB,ABcBB'=B,AB,3?u平面ABB'A：,

因此BC1平面ABB'A',AB<=平面ABB'A'，所以3C_LAB',A正確，

由正四棱柱的性質(zhì)可得其外接球的球心為AC的中點(diǎn)，AC'為外接球一條直徑,

因?yàn)?6+2^+42=2戈，

所以正四棱柱ABC。-AAGA的外接球的半徑為幾，

其表面積為4“x（卡）2=2471,B錯(cuò)誤，

由于AD_L平面OCC'D',OC'u平面OCCD',所以A￡>_LDC',

在RtADC中，由于℃'=JDC2+CC2=/2?+42=2占，。為AC'的中點(diǎn)，

所以點(diǎn)。到AZ）的距離為：OC'=6,故C正確，

2

由于。為AC'的中點(diǎn)，所以四棱錐O-AfiCD為正四棱錐，且側(cè)棱長(zhǎng)為：4仁=C,

因止匕側(cè)面上的高為JoBz一=遙,則側(cè)面積為45。比=4、；2^、6=46，

底面積為4,故四棱錐O-ABCD的表面積為4+4如，D正確，

故選：ACD

10.已知圓G:（x+iy+（y-2）2=3,直線/:mx-〃y=0（牡〃eR且〃4〃不同時(shí)為0）,下列說法正確

的是()

A.當(dāng)直線/經(jīng)過(-M)時(shí)，直線/與圓G相交所得弦長(zhǎng)為師

B.當(dāng)機(jī)=0時(shí)，直線/'與/關(guān)于點(diǎn)G對(duì)稱，則/'的方程為：，=4

C.當(dāng)〃=0時(shí)，圓G上存在4個(gè)點(diǎn)到直線/的距離為0

D.過點(diǎn)G與/平行的直線方程為：mx-ny-m-2n=Q

【答案】AB

【分析】對(duì)于A選項(xiàng)：利用直線/經(jīng)過得到x+y=o,求出圓心到直線的距離，借助圓的弦長(zhǎng)

公式計(jì)算即可；

對(duì)于B選項(xiàng)：利用直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的直線的求法，求解即可；

對(duì)于C選項(xiàng)：借助圓心到直線的距離，半徑，以及圓上的點(diǎn)到直線的距離的大小關(guān)系判斷即可；

對(duì)于D選項(xiàng)：借助直線平行的相關(guān)知識(shí)，求出與之平行的直線即可.

【詳解】因?yàn)閳AG:(x+l)2+(y-2了=3,所以圓心為(-1,2),半徑若，

對(duì)于A選項(xiàng)：因?yàn)橹本€/經(jīng)過(-M),所以根+〃=0,l:x+y=0,

卜1+2|：3

所以圓心到直線的距離為d=

"+下-2

直線/與圓G相交所得弦長(zhǎng)為一相=2CI=加，故A選項(xiàng)正確;

對(duì)于B選項(xiàng)：當(dāng)m=0時(shí)，直線/：y=0,因?yàn)橹本€/'與/關(guān)于點(diǎn)G對(duì)稱，所以直線/'與/平行，由于

G(-1,2)到/:y=0的距離為2,所以G(-1,2)到廠的距離也為2,

所以/'的方程為：y=4,故B選項(xiàng)正確；

對(duì)于C選項(xiàng)：當(dāng)〃=0時(shí)，直線/:x=0,此時(shí)圓心G(-1,2)到直線的距離為4=1,

由于半徑廠=出，

所以在直線/：x=0的右側(cè)：r-d=^-l<^,所以在直線/：x=0的右側(cè)不存在滿足條件的點(diǎn);

在直線/:x=0的左側(cè)：r+d=6+l>及，所以在直線/：x=0的左側(cè)存在滿足條件的點(diǎn)有2個(gè);

所以圓G上只存在2個(gè)點(diǎn)到直線/的距離為血，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)于D選項(xiàng)：過點(diǎn)G(-1,2)與/平行的直線方程可設(shè)為：mx-ny+c=0,

將點(diǎn)代入，所以一加一2〃+。=0,即。=m+2孫

所以過點(diǎn)G(-l,2)與/平行的直線方程為：〃氏-〃y+加+2〃=0,故D選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：AB.

11.已知函數(shù)〃x)=-2co&rcos(x+3e)-l是偶函數(shù)，其中夕若函數(shù)g(x)=sin(2x—0),

則下列說法正確的是()

,兀

A.6?=—

3

B.g(尤)的圖象可由函數(shù)〃尤)的圖象向右平移居個(gè)單位長(zhǎng)度得到

C.g(x)的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間是卜合,鼻

D.若關(guān)于x的方程g(x)=0在g,兀］上有兩個(gè)不同的實(shí)根，則機(jī)的取值范圍是卜，-孝

【答案】ABD

【分析】根據(jù)奇偶性定義可得°=方，即可判斷A,根據(jù)函數(shù)圖象平移可判斷B,根據(jù)單調(diào)區(qū)間與周

期的關(guān)系可判斷C,結(jié)合函數(shù)圖象可判斷D.

【詳解】；函數(shù)〃x)=-2cosxcos(x+3e)-l為偶函數(shù)，其中0e］。,。

所以/(x)=/(-%)n-2cosxcos(x+3何一1=-2cos(-x)cos(-x+3夕)-1,

因此cos(x+30)=cos(-x+3(p)=cos(x-3(p)對(duì)于任意的冗eR恒成立，

貝|］%+3。=%一3。+2E,左wZ,所以左￡Z,由于。故夕=g,A正確，

/./(%)=-2cosxcos(X+兀)一1=2cos2x-l=cos2x,

將函數(shù)/(X)的圖象向右平移三個(gè)單位長(zhǎng)度得到

而g(x)=sin[2x-]J,所以B正確，

由于g(%)=sin[2x-1]的最小正周期為丁=兀，而T-(-白]〉g=；T，所以[-不是g(%)的

\。)4\A4J乙乙\，乙乙J

一個(gè)單調(diào)區(qū)間，故C錯(cuò)誤,

則sin/■=%在fe作出y=sinf的圖象如下:

當(dāng)f=g時(shí)，sin/=-g,故sinEw在fe1個(gè)，1)上有兩個(gè)不同的實(shí)根，則根--1)，D正確,

故選：ABD

12.定義在[0』上的函數(shù)/'(X)同時(shí)滿足以下條件:

①/(1)=1②Vx?0,l]"(x)=lHl)

③VX],尤2€[0,1],(%-%)[/(%-f(*2)]2。@Vxe[0,l]/(x)=2/^-J

則下列說法正確的有()

A.若尤e,則〃x)=；B.方程/(x)==在xe[。』上無實(shí)數(shù)解

O

D?芯片

【答案】ACD

【分析】根據(jù)對(duì)稱性結(jié)合條件④③即可根據(jù)

卜齊⑴=3"0=1一/日=>[#判斷BC進(jìn)而根據(jù)

Vxe[0,1]“X)=2/gJ可判斷AD,

【詳解】由②也目0,1],〃月=1-〃17)可知小)在[0』上的圖象關(guān)于[：,￡|對(duì)稱,

由③V%1，%%)-〃々)[2?？芍?4尤2e[0,l],/(jq)</(x,)

,D正確,

2k-l-

三「，c正

確，

故選：ACD

三、填空題

13.己知數(shù)列｛4｝是等差數(shù)列，S“表示數(shù)列｛q｝的前"項(xiàng)和，若%=4,則“=

【答案】52

【分析】根據(jù)等差數(shù)列前〃項(xiàng)和公式、等差數(shù)列的性質(zhì)求得正確答案.

【詳解】幾1Si+陽)=13x(2%)=13x4=52.

1322

故答案為：52

14.若cos[e+：)=,則sin28=.

【答案】I

【分析】根據(jù)兩角和的余弦公式、平方關(guān)系、二倍角公式求解.

孝(cosd-sin6)=%

【詳解】cos0+^=coscos—sin夕sin—二

44

.一24

所以cos。一sin。=—,(cose-sin9=cos2^+sin20-2cos6sin6=1-sin2。=—,

3

所以sin28=1,

故答案為：

15.設(shè)橢圓￡的兩個(gè)焦點(diǎn)是小工，過點(diǎn)工的直線與橢圓E交于點(diǎn)A段若|A司=|耳閭，且

|A閭=2忸閱，則橢圓￡的離心率是.

【答案】I

【分析】根據(jù)橢圓定義可得長(zhǎng)度關(guān)系，即可利用余弦定理求解.

22

【詳解】不妨設(shè)橢圓方程為點(diǎn)+方=1（。>6>0）,

貝人納|=|耳周=2c,|盟|=24—|明仁勿一尢忸閶=4一（?,忸￡|=24—忸閶=4+C,

由于cos/A2耳=-cos/8居月,所以由余弦定理可得

（2a-2C）2+（2C）2-（2C）2_（a-c）2+（2蛾-（a+c）2

2（2a-2c）（2c）2（a-c）（2c）

化簡(jiǎn)得（a—c）（a—3c）=0,

c1

由于所以a=3c,i^e=-=-

a3

16.若a+/—sin7=0,則而+曲一Jcosy的最大值為.

【答案】V2

【分析】借助基本不等式有石+14口^^=炳萬消去&、B，對(duì)歷B-而7求最大

值即可，再應(yīng)用三角函數(shù)的單調(diào)性即可得.

【詳解】由題意得：0<a+/7=sin/Vl,?>0,/3>0,

貝[）+#）=a+p+2y[a^<a+/3+a+/3=2（a+/3）,

當(dāng)且僅當(dāng)a=￡時(shí)等號(hào)成立，

即Va+鄧<12（a+0）=J2sin/，

即Va+#—JcosyWJZsiny-Jcosq，

10Wsin/<1兀

貝”有〈八//J貝!J2EW/+,k《Z,

[0<cos/<12

jr

有sin7在2fai,—+2fai單調(diào)遞增，

TT

cos/在2kn,-+2kn上單調(diào)遞減，

故J2siny_[cosy在2版胃+2左兀上單調(diào)遞增，

jr

則當(dāng)7=3+2加時(shí)，即sin/=l、cos/=0時(shí)，

J2siny-[cosy有最大值&，

即4a+金-1cosy的最大值為72.

故答案為：A/2.

【點(diǎn)睛】本題關(guān)鍵在于如何將多變量求最值問題中的多變量消去，結(jié)合基本不等式與題目條件可將

1、/消去，再結(jié)合三角函數(shù)的值域與單調(diào)性即可求解.

四、問答題

17.等差數(shù)列｛%｝滿足%+必=-7,%+/+%=%+/，等比數(shù)歹式2｝滿足公=4，&7=3d6

（1）求數(shù)列｛q｝，｛%｝的通項(xiàng)公式；

⑵若cn=|a?|xbn,求數(shù)歹!j｛c,｝的前"項(xiàng)和Sn.

【答案】（1）%=-",2=3"T

12n-l*

⑵，+丁小

【分析】（1）利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式分別列式即可得解;

（2）利用錯(cuò)位相減法即可得解.

【詳解】（1）設(shè)｛4｝公差為4｛。｝公比為4,則2H0,

q+q+5d——7Q]=一]

則11,解出

q+d+q+2d+q+4d=q+3d+q+5dd=—1

所以%=一"，

（如2）2=加4

4=1

又由女一3'解出

q=3

既

所以2=3"、

(2)由(1)得c“=何,卜。=wx3"T,

貝I]s“=1x3°+2x31+3x3?+…+〃X3"T,

?35?=lx31+2x32+---+(n-l)x3n-1+nx3",

兩式相減得，-2S?=1+1X31+1X32+---+1X3,,-1-/IX38

1-3"

-1-3

所以SLJ+W”

44

五、證明題

18.在一ABC中，內(nèi)角AB,C所對(duì)的邊分別為a,6,c,滿足b=a-處cosC

⑴求證：C=2B；

⑵若_ABC為銳角三角形，求2sinC+cosB-sinB的最大值.

【答案】(1)證明見解析

⑵u

8

【分析】(1)利用正弦定理將邊化角，借助三角恒等變換公式化簡(jiǎn)即可.

ITJT

(2)利用jABC為銳角三角形，求出表示出2sinC+cos5-sinB,并進(jìn)行換元轉(zhuǎn)化為二

64

次函數(shù)，進(jìn)而求得最大值.

【詳解】(1)由題〃=a-2bcosc,

由正弦定理：sinB=sinA-2sinBCOSC=sin(B+C)-2sinBcosC,

所以sinB=sinBcosC+cosBsinC-2sinBcosC,

整理sin3=sinCeosB-cosCsinB,

所以sin3=sin(C-B),

:.B=C-B^B+C-B=TI(舍),

.\C=2B.

(2)?ABC為銳角三角形,

7C

0<7i-3B<-

2

八n兀/口兀八兀1廣.??7C__7C

.JO<B<-，解得：：<3<二,所以。<二—5<二,

264412

71

0<2B<-

2

71.（71兀、.717171.71v6—A/2

——=sin-------=sin—cos—cos—sin—=-------------

12（34）34344

由（1）問，C=2B,2sinC+cosB-sinB=2sin2B+cosB-sinB,

令/二cosB-sinB=A/2sinf-BjG0,V3-f

kJ

則sin2B=l-（cosB-sinB）2,

所以2sinC+cosB—sinB=2（l—r2）+f=—2r2+f+2=—2（f—；）+y,

因?yàn)閒e0,^—,

117

「?當(dāng)。=:時(shí)，所求2sinC+cos5-sinB的最大值為一.

48

19.五棱錐尸—ABCFE中，AB//CF,AE//BC,PE±PF,AB1BC,PE=PF=AE=2,

FC=BC=4,AB=6,平面尸EF_L平面ABCFE,M為PB的中點(diǎn)，

⑴求證：?//平面PC產(chǎn)；

(2)求直線AM與平面尸叱所成角的正弦值.

【答案】(1)證明見解析

⑵亞

【分析】⑴取8C的中點(diǎn)Q,證得MQ〃平面PC/，再由四邊形以8。為平行四邊形，證得EQ/MB,

得到￡2//3，證得EQ〃平面PC/，結(jié)合面面平行的判定定理，證得平面EMQ//平面尸CF,進(jìn)

而證得￡M//平面「CF；

(2)取政中點(diǎn)。，連接PZ),證得尸￡＞，平面AC,以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，求得

平面尸c尸的法向量”=卜3,0』)和結(jié)合向量的夾角公式，即可求解.

【詳解】(1)解：取BC的中點(diǎn)。，連接EQ,MQ,

因?yàn)镸為PB的中點(diǎn)，所以V。//尸C,

又因?yàn)镻Cu平面尸CF,且平面尸CP,所以〃平面PCF,

因?yàn)锳E//3Q,AE=8Q,所以四邊形E4BQ為平行四邊形，可得EQ//A3,

又因?yàn)锳S//CF,所以EQ//CF,

因?yàn)镃Fu平面PCr，且EQZ平面PCF,所以EQ〃平面PCP,

又因?yàn)镋QMQ=Q,EQu平面EMQ,MQI平面

所以平面EM。//平面PCF,

因?yàn)镋Mu平面EMQ,￡M〃平面PCP.

(2)解：取￡■尸中點(diǎn)。，連接PD,由PE=PF,可得PD_LEF,

因?yàn)槠矫鍼￡F_L平面AC,且平面PEF，平面AC=￡F,所以PD_L平面AC,

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，DP為z軸，過。作3C〃x軸，過點(diǎn)。作A2〃y軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖

所示，

可得4(3,-1,0),尸(0,0,艱),3(3,5,0),M［，|，孝,F(-l,l,0),C(-l,5,0),

貝IPC=(-1,5,-V2),PF=(-1,1,-V2)

n?PC=-x+5y-v2z=0

設(shè)平面PCF的法向量為。=(x,y,z),則＜

n?PF=-x+y-y/2z=0

取z=l,可得x=—y=0,所以〃=卜^/^,。,1),

又由AM可得cos〈AM,〃〉=產(chǎn)巫,

(222)J3x，1515

所以直線A"與平面PC尸所成角的正弦值為處.

15

六、解答題

20.研究表明，學(xué)生的學(xué)習(xí)成績(jī)y（分）與每天投入的課后學(xué)習(xí)時(shí)間x（分鐘）有較強(qiáng)的線性相關(guān)性.某

校數(shù)學(xué)小組為了研究如何高效利用自己的學(xué)習(xí)時(shí)間，收集了該校高三（1）班學(xué)生9個(gè)月內(nèi)在某學(xué)科

（滿分100分）所投入的課后學(xué)習(xí)時(shí)間和月考成績(jī)的相關(guān)數(shù)據(jù)，下圖是該小組制作的原始數(shù)據(jù)與統(tǒng)

計(jì)圖（散點(diǎn)圖）.

月次123456789

某科課后投入時(shí)間X（分鐘）202530354045505560

高三（I）班某科平均分y（分）6568757273737373.573

(

476

a點(diǎn)74

k272

賓70

?。?）當(dāng)xW40時(shí)，該小組建立

68

州

科66

)64

二*010203040

（課后投入時(shí)間X）

了y與x的線性回歸模型，求其經(jīng)驗(yàn)回歸方程；

⑵當(dāng)x<40時(shí)，由圖中觀察到，第3個(gè)月的數(shù)據(jù)點(diǎn)明顯偏離回歸直線/,若剔除第3個(gè)月數(shù)據(jù)點(diǎn)后,

用余下的4個(gè)散點(diǎn)做線性回歸分析，得到新回歸直線證明：/〃/'；

（3）當(dāng)x>40時(shí)，該小組確定了，與x滿足的線性回歸方程為：y=o.Ok+72.6,該數(shù)學(xué)小組建議該班

在該學(xué)科投入課后學(xué)習(xí)時(shí)間為40分鐘，請(qǐng)結(jié)合第（1）（2）間的結(jié)論說明該建議的合理性.

附：經(jīng)驗(yàn)回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：?=------------，a=y-bx

Z=1

【答案】⑴>=04x+58.6

(2)證明見解析

(3)建議合理

【分析】(1)利用最小二乘法求解;

(2)利用最小二乘法求解;

(3)利用回歸直線的斜率的意義判斷.

釬：65+68+75+72+73

【詳解】(1)解:20+25++35+4。=3°,=70.6

工(占-丁)(y-》)

—10X(—5.6)+(—5)X(—2.6)+0>4.4+5X14+10X2.4100八4

b=^-^------------——=0.4,

￡(現(xiàn)一元)2100+25+0+25+100250

i=l

貝=y一筋=70.6—0.4x30=58.6,

???所求經(jīng)驗(yàn)回歸方程為：y=0.4x+58.6；

釬65+68+72+73=69.5,

(2)設(shè)/'的方程為y=4冗+4,20+25+35+4。=3°,

44

4

丁)(y-刃

i=l_______________—10X(—5.6)+(—5)X(—2.6)+5X1.4+10X2.4

4

100+25+0+25+100

i=l

貝lj4二》一4元=69.5-0.4x30=57.5,

\b=b

??J的方程為y=04%+57.5,故iy

[6w〃

(3)當(dāng)xW40時(shí)，r的斜率為0.4,這個(gè)斜率的意義是：課后每多投入10分鐘，平均分就能提高4

分；

當(dāng)了>40時(shí)，回歸直線的斜率為0.01這個(gè)斜率的意義是：課后每多投入10分鐘，平均分就能提高

0.1分，說明投入幾乎沒用，

故該學(xué)習(xí)小組的建議是合理的.

七、問答題

丫2

21.已知點(diǎn)尸(0,D,Q(0,-l)為橢圓C:二+>2=根內(nèi)的兩點(diǎn)，在橢圓C上存在兩點(diǎn)A,5滿足

AP=2PB，直線AQ交橢圓C于點(diǎn)M(點(diǎn)/異于點(diǎn)A).

(1)當(dāng)機(jī)=2時(shí)，求點(diǎn)5的縱坐標(biāo)；

⑵求點(diǎn)5,M橫坐標(biāo)乘積的最大值.

【答案】（1）:

喧

【分析】（1）先根據(jù)條件得到坐標(biāo)間的關(guān)系，代入橢圓方程解得B的縱坐標(biāo)，即得B的橫坐標(biāo)

關(guān)于加的函數(shù)關(guān)系，根據(jù)加=2可解出點(diǎn)3的縱坐標(biāo).

（2）直線與橢圓相交，根據(jù)直線的斜率是否存在進(jìn)行分類討論，利用（1）中關(guān)系進(jìn)行化簡(jiǎn)計(jì)算求

得.

【詳解】⑴設(shè)孫丫2），由AP=2尸8，即（一五」一%）=26,靈T）

芯=—2X玉=—2X

2,從而2

%+2%=371=3-2%

_m+3

進(jìn)一步[;2%[+4(3-2%y=4%解得名4

兀；+4y；=4m2_―一+10下一9

々-4

故〃?=2時(shí)，%=十=3,所以點(diǎn)5的縱坐標(biāo)為J

444

+12<m

（2）由（1）可知:A<m<9.

-m2+10m-9

>0

4

設(shè)/（%,%）

①當(dāng)A。斜率不存在時(shí)，B、M重合，此時(shí)三三=0

②當(dāng)A。斜率存在時(shí)，設(shè)直線4。：＞=上已尤-1,則AQ:y=2二

國(guó)X2

%—21z\2

一/+4上1i

則%2+4/=4機(jī)I%J

2C

%-222

4I+1X-8-x+4-4m=0

、/<%2>

??,僅在橢圓內(nèi)，「?A。與橢圓一定相交

4-4m4-4m2------=；(機(jī)一I)?(m-9)

xxx3=-2X2X3=—2—

%-2竽-2

4+1

x2l+1

4x-m2+10m-9

4

m-l+m-l+18-2m

二空

x2x31)(18-2m)j

3127

19

當(dāng)且僅當(dāng)m-1=18-2機(jī)即加=可時(shí)，等號(hào)成立

256

故(aOmax

~27~

22.已知函數(shù)/'(%)=36*(*-2)-a(尤-I)，,其中xeR.

⑴若/(X)在(l,y)單調(diào)遞增，求。的取值范圍;

(2)若了。)有三個(gè)極值點(diǎn)，記為x,々，工3(%＜々＜毛)，且再+23+3W€81n2+6,9+/y,求x3-xx

e—1x2-xx

的取值范圍.

【答案】(Dave?

。/X3一芯/

(2)2<———-<e

x2一%

【分析】(1)根據(jù)導(dǎo)數(shù)恒為非負(fù)，即可將問題轉(zhuǎn)化為4W工在(1,+8)上恒成立，構(gòu)造函數(shù)

X—1

g(x)=—(x＞l),求導(dǎo)即可求解最值求解;

x-1

(2)根據(jù)'與g(x)=工有兩個(gè)交點(diǎn)結(jié)合圖象可得玉=1＜々＜2＜%，進(jìn)而”三二!，?＞1)得

x-l九2T

In/i

X?--------F1

；口：，構(gòu)造函數(shù)方(。=至望4n/+6?>1)和p(t)=3z2