第五章 三角函數(shù)（單元重點(diǎn)綜合測(cè)試）（解析版）

第5章三角函數(shù)（單元重點(diǎn)綜合測(cè)試）一、單項(xiàng)選擇題：每題5分，共8題，共計(jì)40分。1．下列各角中，與角的終邊相同的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)終邊相同角的形式依次驗(yàn)證各個(gè)選項(xiàng)即可.【詳解】與終邊相同的角為；當(dāng)時(shí)，，A正確；其余三個(gè)選項(xiàng)中，不合題意.故選：A.2．如圖是杭州年第屆亞運(yùn)會(huì)會(huì)徽，名為“潮涌”，形象象征著新時(shí)代中國(guó)特色社會(huì)主義大潮的涌動(dòng)和發(fā)展．如圖是會(huì)徽的幾何圖形，設(shè)弧長(zhǎng)度是，弧長(zhǎng)度是，幾何圖形面積為，扇形面積為，若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)扇形的弧長(zhǎng)公式得出，表示出，可得答案.【詳解】設(shè)（弧度），則，；因?yàn)椋?，，，所?故選：C.3．若，且，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用角的關(guān)系，再結(jié)合誘導(dǎo)公式和同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，即可求解.【詳解】由得，則，因?yàn)?，所以，所?故選：A4．已知，且，則（

）．A． B． C． D．【答案】A【分析】先對(duì)化簡(jiǎn)可得，再結(jié)合，可得，再給分子分母同除以，結(jié)合化簡(jiǎn)可求出答案【詳解】解：由，得，所以，，，所以，，解得或，因?yàn)?，所以，所以，故選：A5．已知，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)同角的三角函數(shù)關(guān)系，切化弦，再結(jié)合兩角和差的正弦公式化簡(jiǎn)，即可求得答案.【詳解】由，，得，即，即，所以，即，所以，故選：C6．已知，若定義表示不超過的最大整數(shù)，如，，，.若，，則函數(shù)值域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用二倍角和輔助角公式化簡(jiǎn)得到，利用正弦型函數(shù)值域的求解方法可求得值域，根據(jù)的定義，分段討論得到的值域.【詳解】，當(dāng)時(shí)，，，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；的值域?yàn)?故選：D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)的新定義運(yùn)算問題，解題關(guān)鍵是能夠通過三角恒等變換和整體對(duì)應(yīng)的方式準(zhǔn)確求得正弦型函數(shù)的值域.7．筒車是我國(guó)古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，既經(jīng)濟(jì)又環(huán)保，明代科學(xué)家徐光啟在《農(nóng)政全書》中用圖1描繪了筒車的工作原理.假定在水流穩(wěn)定的情況下，筒車上的每一個(gè)盛水筒都做勻速圓周運(yùn)動(dòng).將筒車抽象為一個(gè)幾何圖形（圓），筒車的半徑為2m，筒車的軸心O到水面的距離為1m，筒車每分鐘按逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)2圈.規(guī)定：盛水筒M對(duì)應(yīng)的點(diǎn)P從水中浮現(xiàn)（即時(shí)的位置）時(shí)開始計(jì)算時(shí)間，設(shè)盛水筒M從運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)P時(shí)所用時(shí)間為t（單位：s），且此時(shí)點(diǎn)P距離水面的高度為h（單位：m）.若以筒車的軸心O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)O的水平直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系（如圖2），則h與t的函數(shù)關(guān)系式為（

）A．， B．，C．， D．，【答案】A【解析】首先先求以為終邊的角為，再根據(jù)三角函數(shù)的定義求點(diǎn)的縱坐標(biāo)，以及根據(jù)圖形表示.【詳解】，所以對(duì)應(yīng)的角是，由在內(nèi)轉(zhuǎn)過的角為，可知以為始邊，以為終邊的角為，則點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，所以點(diǎn)距水面的高度表示為的函數(shù)是.故選：A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵讀懂題意，并能抽象出函數(shù)關(guān)系，關(guān)鍵是求以在內(nèi)轉(zhuǎn)過的角為，再求以為終邊的角為.8．已知定義在上的奇函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，.若函數(shù)在區(qū)間上有10個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意可知和都是周期為2的周期函數(shù)，因此可將的零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)換為和的交點(diǎn)問題，畫出函數(shù)圖形，找到交點(diǎn)規(guī)律即可找出第10個(gè)零點(diǎn)坐標(biāo)，而m的取值范圍就在第10個(gè)零點(diǎn)和第11個(gè)零點(diǎn)之間.【詳解】由得是一個(gè)周期為2的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，因此，因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以，，且的周期為，且，，，，求的零點(diǎn)，即是與的交點(diǎn)，如圖：為與在區(qū)間的交點(diǎn)圖形，因?yàn)榕c均為周期為2的周期函數(shù)，因此交點(diǎn)也呈周期出現(xiàn)，由圖可知的零點(diǎn)周期為，若在區(qū)間上有10個(gè)零點(diǎn)，則第10個(gè)零點(diǎn)坐標(biāo)為，第11個(gè)零點(diǎn)坐標(biāo)為，因此.故選：A【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：函數(shù)的零點(diǎn)問題，往往可以轉(zhuǎn)化為常見函數(shù)的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題，而圖象的刻畫需結(jié)合函數(shù)的奇偶性、周期性等來(lái)處理.二、多項(xiàng)選擇題：每題5分，共4題，共計(jì)20分，全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得2分，有選錯(cuò)的不得分。9．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的圖象，則下列說(shuō)法正確的是（

）

A． B．C．函數(shù)為偶函數(shù) D．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減【答案】BD【分析】根據(jù)函數(shù)圖象求出的解析式，即可判斷A、B，再根據(jù)三角函數(shù)的變換規(guī)則得到解析式，再由正弦函數(shù)的性質(zhì)判斷C、D．【詳解】函數(shù)的部分圖象，可得，，，則．又，所以，，所以，，又，，，故A錯(cuò)誤．由，，，故B正確；將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到，則為奇函數(shù)，故C錯(cuò)誤；當(dāng)則，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，故D正確，故選：BD．10．已知函數(shù)，則（

）A．為偶函數(shù) B．的最小正周期為C．在上單調(diào)遞增 D．在內(nèi)僅有1個(gè)解【答案】ABD【分析】利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)和可判斷A，B；利用正、余弦函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可判斷C；由，可得，結(jié)合余弦函數(shù)的單調(diào)性可判斷D.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，定義域?yàn)椋詾榕己瘮?shù)，故A正確；對(duì)于B，，所以是的一個(gè)周期，又，所以不是的周期，故的最小正周期為，故B正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，又在上是偶函數(shù)，先增后減，不是單調(diào)函數(shù)，而函數(shù)在上單調(diào)遞增，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，在上不是單調(diào)遞增函數(shù)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)?，所以，由，可得，而函?shù)在上單調(diào)遞減，所以在內(nèi)僅有1個(gè)解，故D正確.故選：ABD11．已知函數(shù)的所有非負(fù)零點(diǎn)從小到大依次記為，則（

）A． B．C． D．【答案】BC【分析】根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為方程的根的問題，再轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象交點(diǎn)問題，故作出函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合判斷交點(diǎn)個(gè)數(shù)，再由正弦型函數(shù)的對(duì)稱性判斷CD選項(xiàng).【詳解】由，可得，即與的圖象在第一象限交點(diǎn)橫坐標(biāo)即為，因?yàn)椋瑫r(shí)，，如圖，由圖可知，共有9個(gè)符合要求的交點(diǎn)，所以，令，解得，，即，故由圖象可知，，，，所以，因?yàn)椋?，則需，由圖知，，故不成立，綜上可知，BC正確，AD錯(cuò)誤.故選：BC12．已知函數(shù)，則（

）A．當(dāng)時(shí)，的最小正周期是 B．當(dāng)時(shí)，的值域是C．當(dāng)時(shí)，為奇函數(shù) D．對(duì)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱【答案】ABD【分析】先把n值代入函數(shù)的解析式，化簡(jiǎn)整理成正弦型三角函數(shù)，再去求最小正周期、值域；依據(jù)定義去判斷奇偶性、對(duì)稱軸即可解決.【詳解】選項(xiàng)A：當(dāng)時(shí)，最小正周期是.判斷正確；選項(xiàng)B：當(dāng)時(shí)，的值域是.判斷正確；選項(xiàng)C：當(dāng)時(shí)，則故，即不是奇函數(shù).判斷錯(cuò)誤；選項(xiàng)D：則的圖象關(guān)于直線對(duì)稱.判斷正確.故選：ABD三、填空題：每題5分，共4題，共計(jì)20分。13．若，，、，則.【答案】【解析】利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出、的值，再利用兩角差的余弦公式可求得的值.【詳解】且，，，，，因此，.故答案為：.14．已知，若函數(shù)的圖像如圖所示，則．【答案】【分析】由函數(shù)的圖像可得出，，，由此即可求出一個(gè)周期內(nèi)，再利用周期性得出答案.【詳解】由圖可知（同理），,解得：,此時(shí)，又函數(shù)過點(diǎn)，即，解得，取，所以，，，，，，，，，即，所以.故答案為：15．若將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，平移后的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則．【答案】【分析】先利用輔助角公式將函數(shù)的解析式化簡(jiǎn)，并求出平移變換后的函數(shù)解析式，由變換后的函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，可得出的表達(dá)式，結(jié)合的范圍可求出的值.【詳解】,將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位后，所得圖象的函數(shù)解析式為，由于函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則，得，，，.故答案為：.16．已知函數(shù)，其中，，恒成立，且在區(qū)間上恰有個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是．【答案】【分析】確定函數(shù)的，由此可得，再利用在區(qū)間上恰有個(gè)零點(diǎn)得到，求得答案.【詳解】由已知得：恒成立，則，，由得，由于在區(qū)間上恰有3個(gè)零點(diǎn)，故，則，，則,只有當(dāng)時(shí)，不等式組有解，此時(shí)，故，故答案為：綜合題：共6題，共計(jì)70分。17．在平面直角坐標(biāo)系中，銳角的頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與軸正半軸重合，終邊交單位圓于點(diǎn)．將角的終邊按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到角．(1)求；(2)求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）由題意，利用任意角的三角函數(shù)的定義，誘導(dǎo)公式，計(jì)算求得結(jié)果．（2）法一：由題意，利用誘導(dǎo)公式，計(jì)算求得結(jié)果；法二：根據(jù)，將已知等式化成含角的式子，再利用（1）中結(jié)果計(jì)算即可.【詳解】（1）由得，又，所以，由題可知，所以，，則．（2）（法一）原式由（1）得，，，所以原式．（法二）18．已知函數(shù)（，）在上單調(diào)遞增，且直線和為圖象的兩條對(duì)稱軸．(1)求的解析式；(2)若函數(shù)，求的單調(diào)遞增區(qū)間．【答案】(1)(2)（）【分析】（1）由題意可得可求出的值，再由時(shí)函數(shù)取得最大值可求出的值，從而可求出的解析式；（2）由三角函數(shù)恒等變換公式可得，由（），可求出函數(shù)的遞增區(qū)間.【詳解】（1）設(shè)的最小正周期為，則，得．由題意得（），得（），因?yàn)?，所以．故．?）由題意得，由（），得（），所以的單調(diào)遞增區(qū)間為（）．19．高郵某公司欲生產(chǎn)一款迎春工藝品回饋消費(fèi)者，工藝品的平面設(shè)計(jì)如圖所示，該工藝品由直角三角形和以為直徑的半圓拼接而成，點(diǎn)為半圓上一點(diǎn)（異于），點(diǎn)在線段上，且滿足.已知，，設(shè)，

(1)為了使工藝禮品達(dá)到最佳觀賞效果，需滿足，達(dá)到最大.當(dāng)為何值時(shí)，工藝禮品達(dá)到最佳觀賞效果；(2)為了工藝禮品達(dá)到最佳穩(wěn)定性便于收藏，需滿足，且達(dá)到最大.當(dāng)為何值時(shí)，取得最大值，并求該最大值.【答案】(1)時(shí)，達(dá)最大值(2)當(dāng)時(shí)，達(dá)到最大值【分析】（1）由三角形為直角三角形，，得到，在直角中，易得，再由點(diǎn)為半圓上一點(diǎn)，得到，，從而得到然后求解；（2）在直角中，利用等面積法得到，再在直角中，得到，從而求解.【詳解】（1）因?yàn)槿切螢橹苯侨切?，，所以，在直角中，因?yàn)椋?因?yàn)辄c(diǎn)為半圓上一點(diǎn)，所以，又因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)?，所以?dāng)，即時(shí)，達(dá)最大值；（2）在直角中，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，又因?yàn)樗?，在直角中，，所以?/p>

，，所以當(dāng)即時(shí)，達(dá)到最大值，答：當(dāng)時(shí)，達(dá)到最大值.20．已知函數(shù)，．(1)當(dāng)時(shí)，求的值域；(2)若滿足，且在區(qū)間上單調(diào)遞減，求：①的最小正周期；②方程的所有根之和．【答案】(1)(2)①；②【分析】（1）利用兩角差的正弦公式化簡(jiǎn)，再由的取值范圍求出的取值范圍，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得；（2）①依題意可得過點(diǎn)，即可得到，，再根據(jù)單調(diào)性得到，，最后由，即可求出的值，從而求出函數(shù)的最小正周期；②依題意可得或，由的范圍求出的范圍，令，則，分別求出、時(shí)方程的根，即可得解.【詳解】（1）由題意，當(dāng)，，當(dāng)時(shí)，，所以，則，即的值域?yàn)?；?）①因?yàn)椋驗(yàn)榍以趨^(qū)間上單調(diào)遞減，所以過點(diǎn)，即，，所以，，又，，解得，，又，所以且，解得，綜上所述可得，所以函數(shù)的最小正周期為；②由①可得，由，解得或，由于，所以，令，即，令，則，當(dāng)時(shí)方程在上有兩個(gè)根，記作，，且兩根關(guān)于對(duì)稱，所以，設(shè)方程的兩根為，，則，所以，令，即，則當(dāng)時(shí)，方程在上有三個(gè)根，，，則，，，設(shè)方程的三根為，，，則，所以，所以的所有根之和為．21．已知函數(shù)，且．(1)求函數(shù)的解析式；(2)若函數(shù)在區(qū)間上恰有3個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍和的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）由的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱得出，即得函數(shù)解析式;（2）在區(qū)間上恰有3個(gè)零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為與在的圖像上恰有3個(gè)交點(diǎn)求參數(shù)即可，再數(shù)形結(jié)合根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱軸即可計(jì)算求值【詳解】（1）．由知，的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以，得．因?yàn)?，所以，即函?shù)．（2），當(dāng)時(shí)，．函數(shù)在區(qū)間上恰有3個(gè)零點(diǎn)，令，則在上有3個(gè)不相等的根．即與在的圖像上恰有3個(gè)交點(diǎn)，作出與的圖像，如圖所示，

由圖可知，，且，所以．故的取值范圍為的值為．22．已知．(1)當(dāng)時(shí)，求的值；(2)若的最小值為，求實(shí)數(shù)的值；(3)是否存在這樣的實(shí)數(shù)，使不等式對(duì)所有都成立．若存在，求出的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)或(3)存在，