2023年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)知識解讀 定角定高

專題05定角定高（知識解讀）

【專題說明】

定角定高問題是初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重點和難點問題，也是升入名?？疾榈臒狳c。

此類問題綜合性強，常常會與三角形，四邊形進行結(jié)合起來，隱蔽性強。常應(yīng)

用于求一類三角形底邊長的最小值，繼而求三角形面積的最小值，問題的關(guān)鍵

就在作這個動三角形的外接圓，根據(jù)“半徑+弦心距，定高”求出半徑的最小值，

那底邊存在最小值，面積存在最小值。由于底邊的長在變化，此外接圓“隱形

圓”的大小也會發(fā)生變化，但是在運動過程中于找到“隱形圓”半徑最小值，

找到此處為突破口，建立數(shù)學(xué)模型，綜合性問題就迎刃而解.

【方法技巧】

L定角定高模型呈現(xiàn)：有一類問題滿足這樣的條件特征：如下圖，直線BC

外一點A,A到直線BC距離為定值（定高），NBAC為定角。則AD有最小值。

又因為，像探照燈一樣所以也叫探照燈模型。

2.輔助線作法：

①作△ABC的外接圓。O；

②連接。3，OC,作。

3.說理證明：

①易證/胡。=/3。"=a,OC=OB=OA=r；

②在中,BM=rsina,OM=rcosa；

?.?AH±BC,：.OM^OA>AH,

「?rcosc+r>/?,

r>h

1+COSG

2Asina

??.BC=2BM=2rsinCc>

14-cosc

解決問題的策略：定角夾定高、作三角形外接圓、三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為半徑最值、等

腰時取到最值.關(guān)鍵步驟：

1.作定角定高三角形外接圓，并設(shè)外接圓半徑為「，用含「的代數(shù)式表示圓心距及

底邊長；

2.根據(jù)“半徑+弦心距N定高”求「的取值范圍；

3.求出底邊的范圍，計算面積最小值。

【典例L析】

【典例a輔助圓之定角定高求解探究

(1)如圖①，已知線段AB,以AB為斜邊，在圖中畫出一個直角三角形；

(2)如圖②，在△ABC中，ZACB=60°,CO為A3邊上的高，若CD=4,

試判斷AB是否存在最小值，若存在，請求出A3最小值；若不存在，請說明

理由；

(3)如圖③，某園林單位要設(shè)計把四邊形花園劃分為幾個區(qū)域種植不同花草,

在四邊形A8CO中，ZA=45°,ZB=ZD=90°,CB=CD=6近,點E、

產(chǎn)分別為A3、AD上的點，若保持CE_LCR那么四邊形AECP的面積是否存

在最大值，若存在，請求出面積的最大值，若不存在，請說明理由.

【變式1-1］如圖，在△A3C中，NB4C=60°,于點。，且AO=4,

則△ABC面積的最小值為

【變式1-2】如圖，在△ABC中，ZBAC=90°,邊上的高AO=6,則△ABC

周長的最小值為.

【變式1-3]如圖，正方形A3CD的邊長為6,點E,尸分別是CD,BC邊上的

【變式1-4]（2019?新城區(qū)校級一模）問題提出：

如圖1：在△A3C中，BC=10且NBAC=45°，點。為△ABC的外心，則4

ABC的外接圓半徑是.

問題探究：

如圖2,正方形ABC。中，E、尸分別是邊BC、CD兩邊上點且NE4F=45°,

請問線段BE、DF、E尸有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說明理由.

問題解決：

如圖3,四邊形ABCO中，AB=AO=4M，ZB=45°,ZD=135°,點E、

F分別是射線CB、CD上的動點，并且NE4F=NC=60°,試問△4用的面

積是否存在最小值？若存在，請求出最小值.若不存在，請說明理由.

專題05定角定高（知識解讀）

【專觀說則】

定角定高問題是初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重點和難點問題，也是升入名?？疾榈臒狳c。

此類問題綜合性強，常常會與三角形，四邊形進行結(jié)合起來，隱蔽性強。常應(yīng)

用于求一類三角形底邊長的最小值，繼而求三角形面積的最小值，問題的關(guān)鍵

就在作這個動三角形的外接圓，根據(jù)“半徑+弦心距2定高”求出半徑的最小值，

那底邊存在最小值，面積存在最小值。由于底邊的長在變化，此外接圓“隱形

圓”的大小也會發(fā)生變化，但是在運動過程中于找到“隱形圓”半徑最小值，

找到此處為突破口，建立數(shù)學(xué)模型，綜合性問題就迎刃而解.

【方法技巧】

1.定角定高模型呈現(xiàn)：有一類問題滿足這樣的條件特征：如下圖，直線BC

外一點A,A到直線BC距離為定值（定高），ZBAC為定角。則AD有最小值。

又因為，像探照燈一樣所以也叫探照燈模型。

2.輔助線作法：

①作△ABC的外接圓。。；

②連接08,0C,作8c.

3.說理證明：

①易證N84C=N3OA7=a,OC=OB=OA=r；

②在放△30M中，BM=rsina,OM=/cosa；

vAH1BC,：.AH9

/.rcosc+r>h,

..r>h

1+COSG

2hsina

/.BC—2BM=2rsina>

1+COSG

解決問題的策略：定角夾定高、作三角形外接圓、三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為半徑最值、等

腰時取到最值.關(guān)鍵步驟：

1.作定角定高三角形外接圓，并設(shè)外接圓半徑為，，用含r的代數(shù)式表示圓心距及

底邊長；

2.根據(jù)“半徑+弦心距2定高”求，?的取值范圍；

3.求出底邊的范圍，計算面積最小值。

【真例臺新】

【典例1］輔助圓之定角定高求解探究

(1)如圖①，已知線段A8,以AB為斜邊，在圖中畫出一個直角三角形；

(2)如圖②，在△ABC中，NACB=60°,CO為AB邊上的高，若8=4,

試判斷A8是否存在最小值，若存在，請求出最小值；若不存在，請說明

理由；

(3)如圖③，某園林單位要設(shè)計把四邊形花園劃分為幾個區(qū)域種植不同花草,

在四邊形A3CO中，NA=45°,ZB=ZD=90°,CB=CD=6近,點E、

戶分別為AB、AD上的點，若保持CE_LCR那么四邊形AECF的面積是否存

在最大值，若存在，請求出面積的最大值，若不存在，請說明理由.

【解答】解：(1)如圖①中，△A8C即為所求.

(2)如圖②中，作△ABC的外接圓。。，連接04,OB,0C,作。ELA3于

E.iSOA=OC=2x.

圖②

VZAOB=2ZACB=\20°,OA=OB,OELAB,

：.AE=EB,ZAOE=ZBOE=60°,

OE=^-OA=x,AE=y[3x,

2

■:OC+OE^CD,

3x24,

生

3

/.X的最小值為馬，

3

,:AB=2Q,

：.AB的最小值為庭

3

(3)如圖③中，連接AC,延長8C交AO的延長線于G,將△COF順時針旋

轉(zhuǎn)得到△C3”，作△CE”的外接圓。。

圖③

?.?/ADC=/A5C=90°,AC=AC,CD=CB,

：.RtAACD^RtAACB(HL),

??SAACD=S&ACB,

,：ZDAB=45°,

/.ZDCB=135°,

：.ZDCG=45°,

VZCDG=90°,

:.CD=DG=6五,

：.CG=42CD=12,

，AB=GB=12+6&,

由(2)可知，當(dāng)△(?￡：”的外接圓的圓心。在線段8c上時，的面積

最小，此時四邊形AFCE的面積最大，

設(shè)OC=OE=r,易知OB=EB=^r,

2

r+2ZZ_r=6V2>

2

.”=6&(2-&),

:.EH=?1r=12(2-V2)，

二四邊形MCE的面積的最大值=2義工義(12+6&)*6企-1x12(2-72)

22

X6&=144.

【變式1-1］如圖，在△ABC中，ZBAC=60°,AOLBC于點。，且45=4,

則△ABC面積的最小值為.

3

【解答】解：作△ABC的外接圓。0,連接OB,0C,過點。作OEJ_

BC于點E,

AZBOC=120°,

'：OB=OC,

；.NOBC=NOCB=30°,

設(shè)。。的半徑為r,則。E=2。6=工'，BE=?OB=?r,

2222

BC=y/^r,

'：OA+OE^AD,

：.什L24,

2

解得：「與心，

3

:.BC2^~,

3

,?SAABC=^-BC-AD>-2XR-X4/—'

^ABC的面積的最小值為16我,

3

故答案為：wi.

3

【變式1-2］如圖，在△ABC中，ZBAC=90°,BC邊上的高AD=6,則△ABC

周長的最小值為.

【答案】12后+12

【解答】解：如圖，延長C8到E,使得延長3C到F,使得

CA,連接AE,AF,作AAE尸的外接圓。0,連接OE,OF,過點。作0/_L

EF于點J,交OO于點T.

?：BA=BE,CA=CF,

：.ZBAE=ZBEA,ZCAF=ZCAF,

,?ZABC=ZBAE+ZBEA,ZACB=ZCAF+ZCFA,

ZAEF+ZAFE=1(ZABC+ZACB)=45°,

2

.'.ZEAF=135°,

工NEOF=90°,

'."OJ1EF,

：.EJ=JF,

:.OJ=LEF,

2

設(shè)OE=OF=r,則￡F=&r,OJ=JLr,

2

■:AB+BC+AC=EB+BC+CF=EF,

.?.ER最小時，/XABC的周長最小，

'：AD±BC,

：.AD+OJ^OT,

2

，B12+6&,

AEF^1272+12,

.*.AB+8C+AC212&+12,

.'.△ABC的周長的最小值為12&+12,

故答案為：12加+12.

【變式1-3］如圖，正方形A3CO的邊長為6,點￡,P分別是CD,邊上的

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，AH=AE,ZBAH=ZDAE,

VZE4F=45°,ZBAD=90°,

/.ZBAF+ZDAE=ZBAH+ZBAF=45°,

：.ZFAH=ZEAF=45°,

在/和△A//F中,

'AE=AH

<NEAF=NHAF，

AF=AF

/.AAEF^/XAHF(SAS),

：.FH=EF,

??SMEF=SMFH,

設(shè)DE=x,BF=y,貝BH=DE=x,EF=BF+BH=x+y,CE=6-x,CF=6

-y，

在RtAEFC中，EC2+CP=EF2,

：.(6-x)2+(6-y)2=(x+y)2,

化簡得：y=36-6x=9衛(wèi),

x+6x+6

AS^AEF=S^FH=1FH'AB=1X6(x+y)=3[尤+(-6+衛(wèi))]=3[(x+6)+衛(wèi)

22x+6x+6

-12]=3[(77^6-2+12企-12],

Vx+6

，當(dāng)行而=@反時，x=6&-6,SAAEF的最小值為36&-36.

x+6

故答案為：3672-36.

【變式1-4](2019?新城區(qū)校級一模)問題提出：

如圖1：在△ABC中，3c=10且N84C=45°，點。為△ABC的外心，則4

A8C的外接圓半徑是.

問題探究：

如圖2,正方形ABC。中，E、R分別是邊BC、CD兩邊上點且NE4尸=45°,

請問線段BE、DF、E/有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說明理由.

問題解決：

如圖3,四邊形A3C。中，AB=AD=442,ZB=45°,NO=135°,點￡、

F分別是射線CB、CD上的動點，并且NEAF=NC=60°,試問△4用的面

積是否存在最小值？若存在，請求出最小值.若不存在，請說明理由.

【解答】解：(1)如圖1,作出△A3C的外接圓。0,

VZA=45°,

AZBOC=90°,

VBC=10,

.,.□B=sin45°XBC=^-x10=5V2(

故答案為：5&.

(2)EF=BE+DF,理由如下：

如圖2,延長E8,使8G=OF,連接AG,

：.AB=AD,NABG=N￡>=90°,

在△ABG和△AO尸中，

，AB=AD

<ZABG=ZD>

B