2021-2022學(xué)年高中數(shù)學(xué)北師大版練習(xí)考點(diǎn)綜合提升練9

考點(diǎn)綜合·提升練9(范圍：第五章§1－§2)限時(shí)60分鐘分值100分戰(zhàn)報(bào)得分______一、選擇題(每小題5分，共30分，在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一個(gè)正確選項(xiàng))1．y＝x－1的圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)及其零點(diǎn)分別是()A．1，(1，0) B．(1，0)，0C．(1，0)，1 D．1，1【解析】選C.由y＝x－1＝0，得x＝1，故交點(diǎn)坐標(biāo)為(1，0)，零點(diǎn)是1.2．下列圖象中與x軸均有交點(diǎn)，但不宜用二分法求交點(diǎn)橫坐標(biāo)的是()【解析】選B.B中的零點(diǎn)不是變號零點(diǎn)，所以不能用二分法求解．3．某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品的月產(chǎn)量y和月份x滿足關(guān)系y＝a·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)＋b，現(xiàn)已知該廠1月份、2月份生產(chǎn)該產(chǎn)品分別為1萬件、1.5萬件．則此廠3月份該產(chǎn)品的產(chǎn)量為()A．2萬件 B．1.8萬件C．1.75萬件 D．1.7萬件【解析】選C.由題意知，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a·\f(1,2)＋b＝1，,a·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(2)＋b＝1.5，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－2，,b＝2，))所以y＝－2·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)＋2.當(dāng)x＝3時(shí)，y＝－2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(3)＋2＝eq\f(7,4)＝1.75.4．如圖所示，液體從一個(gè)圓錐形漏斗漏入一個(gè)圓柱形桶中，開始時(shí)漏斗中盛滿液體，經(jīng)過3秒漏完，圓柱形桶中液面上升速度是一個(gè)常量，則漏斗中液面下降的高度H與下降時(shí)間t之間的函數(shù)關(guān)系的圖象只可能是()【解析】選B.由于所給的圓錐形漏斗上口大于下口，當(dāng)時(shí)間取eq\f(1,2)t時(shí)，漏斗中液面下落的高度不會達(dá)到漏斗高度的eq\f(1,2)，對比四個(gè)選項(xiàng)的圖象可得結(jié)果．5．某公司招聘員工，經(jīng)過筆試確定面試對象人數(shù)，面試對象人數(shù)按擬錄用人數(shù)分段計(jì)算，計(jì)算公式為：y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4x，1≤x≤10，,2x＋10，10<x≤100，,1.5x，x>100，))其中x代表擬錄用人數(shù)，y代表面試對象人數(shù)．若應(yīng)聘的面試對象人數(shù)為60人，則該公司擬錄用人數(shù)為()A．15B．40C．25D．30【解析】選C.若x∈[1，10]，則y＝4x≤40.若x∈(100，＋∞)，則y＝1.5x>150.所以60＝2x＋10，所以x＝25.6．在股票買賣過程中，經(jīng)常用到兩種曲線，一種是即時(shí)價(jià)格曲線y＝f(x)，一種是平均價(jià)格曲線y＝g(x)，如f(2)＝3表示開始交易后2小時(shí)的即時(shí)價(jià)格為3元，g(2)＝4表示開始交易后兩小時(shí)內(nèi)所有成交股票的平均價(jià)格為4元，下面所給出的四個(gè)圖象中，實(shí)線表示y＝f(x)，虛線表示y＝g(x)，其中可能正確的是()【解析】選C.f(0)與g(0)應(yīng)該相等，故排除A，B中開始交易的平均價(jià)格高于即時(shí)價(jià)格，D中恰好相反，故正確選項(xiàng)為C.二、選擇題(每小題5分，共10分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求的，全部選對的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對的得3分)7．若關(guān)于x的一元二次方程(x－1)(x－3)＝m有實(shí)數(shù)根x1，x2，且x1＜x2，則下列結(jié)論中正確的是()A．m＞－1B．m＜－1C．當(dāng)m＞0時(shí)，x1＜1＜3＜x2D．當(dāng)m＞0時(shí)，1＜x1＜x2＜3【解析】選AC.方程整理可得：x2－4x＋3－m＝0，由不同兩根的條件為：Δ＝16－4(3－m)＞0，可得m＞－1，所以A正確，B不正確．當(dāng)m＞0，即(x－1)(x－3)＞0時(shí)，函數(shù)f(x)＝(x－1)(x－3)－m與x軸的交點(diǎn)(x1，0)，(x2，0)，如圖可得x1＜1＜3＜x2，所以C正確，D不正確．8．已知函數(shù)f(x)＝2x－logeq\s\do9(\f(1,2))x，且實(shí)數(shù)a，b，c(a＞b＞c＞0)滿足f(a)f(b)f(c)＜0.若實(shí)數(shù)x0是函數(shù)y＝f(x)的一個(gè)零點(diǎn)，那么下列不等式中可能成立的是()A．x0＜a B．x0＞aC．x0＜b D．x0＜c【解析】選ABC.根據(jù)題意，函數(shù)f(x)＝2x－logeq\s\do9(\f(1,2))x＝2x＋log2x，其定義域?yàn)?0，＋∞)，函數(shù)y＝2x和y＝log2x都在(0，＋∞)上為增函數(shù)，則函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上為增函數(shù)，因?yàn)閷?shí)數(shù)a，b，c(a＞b＞c＞0)滿足f(a)f(b)f(c)＜0，則f(a)，f(b)，f(c)可能都小于0或有1個(gè)小于0，2個(gè)大于0，如圖．則A，B，C可能成立，x0＞c，D不可能成立．三、填空題(每小題5分，共20分)9．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(|log2x|（0<x<4），,－\f(1,2)x＋6（x≥4），))若函數(shù)y＝f(x)的圖象與y＝k的圖象有三個(gè)不同的公共點(diǎn)，這三個(gè)公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為a，b，c，且a<b<c，則c－ab的取值范圍是________．【解析】畫出函數(shù)f(x)的圖象，如圖所示．由圖可知8<c<12，而|log2a|＝|－log2a|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(log2\f(1,a)))＝|log2b|，故ab＝1，所以7<c－1<11.答案：(7，11)10．在如圖所示的銳角三角形空地中，欲建一個(gè)面積最大的內(nèi)接矩形花園(陰影部分)，則其邊長x＝________m.【解析】設(shè)內(nèi)接矩形另一邊長為y，由相似三角形的性質(zhì)得eq\f(x,40)＝eq\f(40－y,40)，所以y＝40－x，所以矩形面積S＝xy＝x(40－x)＝40x－x2＝－(x－20)2＋400(0<x<40).所以當(dāng)x＝20時(shí)，矩形面積最大．答案：2011．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(|2x－1|，x<2，,\f(3,x－1)，x>2，))若方程f(x)－a＝0有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________．【解析】函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(|2x－1|，x<2，,\f(3,x－1)，x>2，))作出函數(shù)f(x)的圖象，如圖所示．方程f(x)－a＝0有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，等價(jià)于函數(shù)y＝f(x)的圖象與y＝a有三個(gè)不同的交點(diǎn)．根據(jù)圖象可知，當(dāng)0<a<1時(shí)，函數(shù)y＝f(x)的圖象與y＝a有三個(gè)不同的交點(diǎn)，方程f(x)－a＝0有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則a的取值范圍是(0，1).答案：(0，1)12．為了保證信息安全，傳輸必須使用加密方式，有一種方式其加密、解密原理如下：明文eq\o(→,\s\up7(加密))密文eq\o(→,\s\up7(發(fā)送))密文eq\o(→,\s\up7(解密))明文已知加密為y＝ax－2(x為明文、y為密文)，如果明文“3”通過加密后得到密文為“6”，再發(fā)送，接收方通過解密得到明文“3”，若接收方接到密文為“14”，則原發(fā)的明文是________．【解析】依題意y＝ax－2中，當(dāng)x＝3時(shí)，y＝6，故6＝a3－2，解得a＝2.所以加密為y＝2x－2，因此，當(dāng)y＝14時(shí)，由14＝2x－2，解得x＝4.答案：4四、解答題(每小題10分，共40分)13．若函數(shù)f(x)＝ax2－x－1僅有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【解析】若a＝0，則f(x)＝－x－1為一次函數(shù)，且函數(shù)f(x)只有一個(gè)零點(diǎn)x＝－1，符合題意；若a≠0，則f(x)＝ax2－x－1為二次函數(shù)，若只有一個(gè)零點(diǎn)，則方程ax2－x－1＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，故Δ＝1＋4a＝0，即a＝－eq\f(1,4).綜上，當(dāng)a＝0或a＝－eq\f(1,4)時(shí)，函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)．14．證明方程2x＋x＝4在區(qū)間(1，2)內(nèi)有唯一一個(gè)實(shí)數(shù)解，并求出這個(gè)實(shí)數(shù)解(精確度為0.3).參考數(shù)據(jù)：x1.1251.251.3751.51.6251.751.8752x2.182.382.592.833.083.363.67【解析】設(shè)函數(shù)f(x)＝2x＋x－4，因?yàn)閒(1)＝－1<0，f(2)＝2>0，f(x)在區(qū)間(1，2)上單調(diào)遞增，所以f(x)在區(qū)間(1，2)內(nèi)有唯一的零點(diǎn)，則方程2x＋x－4＝0在區(qū)間(1，2)內(nèi)有唯一一個(gè)實(shí)數(shù)解．取區(qū)間(1，2)作為起始區(qū)間，用二分法逐次計(jì)算如下：區(qū)間中點(diǎn)的值中點(diǎn)的函數(shù)值區(qū)間長度(1，2)1.50.331(1，1.5)1.25－0.370.5(1.25，1.5)1.375－0.0310.25由表可知，區(qū)間(1.25，1.5)的長度為0.25<0.3.所以方程的實(shí)數(shù)解為1.375.15．近年來，“共享單車”的出現(xiàn)為市民“綠色出行”提供了極大的方便，某共享單車公司計(jì)劃在甲、乙兩座城市共投資120萬元，根據(jù)行業(yè)規(guī)定，每個(gè)城市至少要投資40萬元，由前期市場調(diào)研可知：甲城市收益P與投入a(單位：萬元)滿足P＝3eq\r(2a)－6，乙城市收益Q與投入a(單位：萬元)滿足Q＝eq\f(1,4)a＋2，設(shè)甲城市的投入為x(單位：萬元)，兩個(gè)城市的總收益為f(x)(單位：萬元).(1)當(dāng)甲城市投資50萬元時(shí)，求此時(shí)公司的總收益；(2)試問如何安排甲、乙兩個(gè)城市的投資，才能使總收益最大？【解析】(1)當(dāng)甲城市投資50萬元，則乙城市投資70萬元，所以總收益f(50)＝3eq\r(2×50)－6＋eq\f(1,4)×70＋2＝43.5(萬元).(2)由題知，甲城市投資x萬元，乙城市投資(120－x)萬元，所以f(x)＝3eq\r(2x)－6＋eq\f(1,4)(120－x)＋2＝－eq\f(1,4)x＋3eq\r(2x)＋26，依題意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x≥40，,120－x≥40，))解得40≤x≤80.故f(x)＝－eq\f(1,4)x＋3eq\r(2x)＋26(40≤x≤80).令t＝eq\r(x)，則t∈[2eq\r(10)，4eq\r(5)]，所以y＝－eq\f(1,4)t2＋3eq\r(2)t＋26＝－eq\f(1,4)(t－6eq\r(2))2＋44.當(dāng)t＝6eq\r(2)，即x＝72萬元時(shí)，y的最大值為44萬元，所以當(dāng)甲城市投資72萬元，乙城市投資48萬元時(shí)，總收益最大，且最大收益為44萬元．16．已知函數(shù)f(x)＝1－eq\f(4,2ax＋a)(a>0，a≠1)且f(0)＝0.(1)求a的值；(2)若函數(shù)g(x)＝(2x＋1)·f(x)＋k有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；(3)當(dāng)x∈(0，1)時(shí)，若f(x)>m·2x－2恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【解析】(1)由f(0)＝0得1－eq\f(4,2a0＋a)＝0，即a＋2＝4，解得a＝2.(2)由(1)可知f(x)＝1－eq\f(2,2x＋1)＝eq\f(2x－1,2x＋1)，函數(shù)g(x)＝(2x＋1)·f(x)＋k有零點(diǎn)?方程2x－1＋k＝0有解，即k＝1－2x有解，因?yàn)?－2x∈(－∞，1)，所以k∈(－∞，1).(3)因?yàn)閒(x)＝eq\f(2x－1,2x＋1)，由f(x)>m·2x－2得m(2x)2＋(m－3)2x－1<0，令t＝2x，因?yàn)閤∈(0，1)，所以t∈(1，2)，即f(x)>m·2x－2?mt2＋(m－3)t－1<0對于t∈(1，2)恒成立，設(shè)g(t)＝mt2＋(m－3)t－1，①當(dāng)m<0時(shí)，m－3<0，所以g(t)＝mt2＋(m－3)t－1<