高三二輪復(fù)習(xí)專題15隨機(jī)變量分布列

2024屆高三二輪復(fù)習(xí)第15講：隨機(jī)變量分布列解析版2023年考情考題示例考點(diǎn)關(guān)聯(lián)考點(diǎn)2023年新I卷，第21題概率，兩點(diǎn)分布無(wú)2023年新Ⅱ卷，第12題概率無(wú)2023年新Ⅱ卷，第19題頻率分布直方圖、概率函數(shù)2023年天津卷，第13題概率無(wú)2023年北京卷，第18題概率無(wú)2023年甲卷文科，第4題古典型概率無(wú)2023年乙卷理科，第7題幾何型概率圓2023年甲卷理科，第6題概率無(wú)2023年乙卷文科，第5題幾何型概率圓題型一：古典型概率【典例例題】例1.（2023春·廣東省佛山市高三一模）二十四節(jié)氣歌是為了方便記憶我國(guó)古時(shí)立法中的二十四個(gè)節(jié)氣而編成的小詩(shī)歌，體現(xiàn)著我國(guó)古代勞動(dòng)人民的智慧.四句詩(shī)歌“春雨驚春清谷天，夏滿芒夏暑相連；秋處露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒”中，每一句詩(shī)歌的開(kāi)頭一字代表著季節(jié)，每一句詩(shī)歌包含了這個(gè)季節(jié)中的6個(gè)節(jié)氣.若從24個(gè)節(jié)氣中任選2個(gè)節(jié)氣，這2個(gè)節(jié)氣恰好在一個(gè)季節(jié)的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】直接由組合結(jié)合古典概型求解即可.【詳解】由題意知：從24個(gè)節(jié)氣中任選2個(gè)節(jié)氣，這2個(gè)節(jié)氣恰好在一個(gè)季節(jié)的概率為.故選：C.【變式訓(xùn)練】1.（2023春·廣東省梅州市高三一模）若從0，1，2，3，…9這10個(gè)整數(shù)中同時(shí)取3個(gè)不同的數(shù)，則其和為偶數(shù)的概率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先求出基本事件總數(shù)，再求出滿足條件的事件數(shù)，利用古典概型概率求解.【詳解】10不同的數(shù)取3個(gè)不同的數(shù)的情況為：，其中3個(gè)之和為偶數(shù)的情況為：①三個(gè)為偶數(shù)：，②兩奇數(shù)一偶數(shù)：，共60種情況，所以所求概率為：.故選：D.2.（2023春·廣東省深圳市高三一模）安排5名大學(xué)生到三家企業(yè)實(shí)習(xí)，每名大學(xué)生只去一家企業(yè)，每家企業(yè)至少安排1名大學(xué)生，則大學(xué)生甲、乙到同一家企業(yè)實(shí)習(xí)的概率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】5名大學(xué)生分三組，每組至少一人，有兩種情形，分別為2,2,1人或3,1,1人，根據(jù)排列組合得出各自有多少種，再得出甲、乙到同一家企業(yè)實(shí)習(xí)的情況有多少種，即可計(jì)算得出答案.【詳解】5名大學(xué)生分三組，每組至少一人，有兩種情形，分別為2,2,1人或3,1,1人；當(dāng)分為3,1,1人時(shí)，有種實(shí)習(xí)方案，當(dāng)分為2,2,1人時(shí)，有種實(shí)習(xí)方案，即共有種實(shí)習(xí)方案，其中甲、乙到同一家企業(yè)實(shí)習(xí)的情況有種，故大學(xué)生甲、乙到同一家企業(yè)實(shí)習(xí)的概率為，故選：D.3.（2023春·廣東省茂名市高三二模）從1、2、3、4、5中任選3個(gè)不同數(shù)字組成一個(gè)三位數(shù)，則該三位數(shù)能被3整除的概率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用排列組合知識(shí)求出對(duì)應(yīng)的方法種數(shù)，利用古典概型的概率公式直接求解.【詳解】從1、2、3、4、5中任選3個(gè)不同數(shù)字組成一個(gè)三位數(shù)，有種；要使該三位數(shù)能被3整除，只需數(shù)字和能被3整除，所以數(shù)字為1，2，3時(shí)，有種；數(shù)字為1，3，5時(shí)，有種；數(shù)字為2，3，4時(shí)，有種；數(shù)字為3，4，5時(shí)，有種；共24種.所以該三位數(shù)能被3整除的概率為.故選：D題型二：條件概率、事件相互獨(dú)立【典例例題】例1.（2023春·廣東省東莞市實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三模擬）（多選）甲罐中有5個(gè)紅球，2個(gè)白球和3個(gè)黑球，乙罐中有4個(gè)紅球，3個(gè)白球和3個(gè)黑球．先從甲罐中隨機(jī)取出一球放入乙罐，分別以，和表示從甲罐取出的球是紅球、白球、黑球，再?gòu)囊夜拗须S機(jī)取出一球，以B表示從乙罐取出的球是紅球．則下列結(jié)論中正確的是（

）A． B．C．事件B與事件相互獨(dú)立 D．，，兩兩互斥【答案】AD【分析】根據(jù)互斥事件的定義判斷D，再根據(jù)條件概率及相互獨(dú)立事件的概率公式計(jì)算即可判斷其他選項(xiàng)．【詳解】因?yàn)槭录?，和任意兩個(gè)都不能同時(shí)發(fā)生，所以，，是兩兩互斥的事件，故D正確；因?yàn)?，，，，故A正確；，，，因?yàn)?，，所以，所以與不是相互獨(dú)立事件，故B，C不正確．故選：AD．【變式訓(xùn)練】1.（2023春·廣東省江門(mén)市高三一模）衣柜里有灰色，白色，黑色，藍(lán)色四雙不同顏色的襪子，從中隨機(jī)選4只，已知取出兩只是同一雙，則取出另外兩只不是同一雙的概率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】記“取出的襪子至少有兩只是同一雙”為事件A，記“取出的襪子恰好有兩只不是同一雙”為事件B，求出，，根據(jù)條件概率公式求解即可．【詳解】從四雙不同顏色的襪子中隨機(jī)選4只，記“取出的襪子至少有兩只是同一雙”為事件A，記“取出的襪子恰好有兩只不是同一雙”為事件B，事件A包含兩種情況：“取出的襪子恰好有兩只是同一雙”，“取出的襪子恰好四只是兩雙”，則，又，則，即隨機(jī)選4只，已知取出兩只是同一雙，則取出另外兩只不是同一雙的概率為．故選：D．2.（2023春·廣東省潮州市高三二模）（多選）對(duì)于一個(gè)事件E，用表示事件E中樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)．在一個(gè)古典概型的樣本空間和事件A，B，C，D中，，，則（）A.A與D不互斥 B.A與B互為對(duì)立 C.A與C相互獨(dú)立 D.B與C相互獨(dú)立【答案】BCD【解析】【分析】利用古典概型相關(guān)知識(shí)，以及互斥事件，對(duì)立事件概率計(jì)算公式即可求解.【詳解】對(duì)于A：，，，與互斥，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：A與B互為對(duì)立，故B正確；對(duì)于C：，，，，A與C相互獨(dú)立，故C正確；對(duì)于D：,，，又，，，B與C相互獨(dú)立，故D正確；故選：BCD.3.（2023春·廣東省大灣區(qū)高三大聯(lián)考）一堆蘋(píng)果中大果與小果的比例為，現(xiàn)用一臺(tái)水果分選機(jī)進(jìn)行篩選．已知這臺(tái)分選機(jī)把大果篩選為小果的概率為，把小果篩選為大果的概率為．經(jīng)過(guò)一輪篩選后，現(xiàn)在從這臺(tái)分選機(jī)篩選出來(lái)的“大果”里面隨機(jī)抽取一個(gè)，則這個(gè)“大果”是真的大果的概率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】記事件放入水果分選機(jī)的蘋(píng)果為大果，事件放入水果分選機(jī)的蘋(píng)果為小果，記事件水果分選機(jī)篩選的蘋(píng)果為“大果”，利用全概率公式計(jì)算出的值，再利用貝葉斯公式可求得所求事件的概率.【詳解】記事件放入水果分選機(jī)的蘋(píng)果為大果，事件放入水果分選機(jī)的蘋(píng)果為小果，記事件水果分選機(jī)篩選的蘋(píng)果為“大果”，則，，，，由全概率公式可得，，因此，.故選：A.4.（2023春·廣東省惠州市高三一模）為了避免就餐聚集和減少排隊(duì)時(shí)間，某校開(kāi)學(xué)后，食堂從開(kāi)學(xué)第一天起，每餐只推出即點(diǎn)即取的米飯?zhí)撞秃兔媸程撞停阎惩瑢W(xué)每天中午會(huì)在食堂提供的兩種套餐中選擇，已知他第一天選擇米飯?zhí)撞偷母怕蕿?，而前一天選擇了米飯?zhí)撞秃笠惶炖^續(xù)選擇米飯?zhí)撞偷母怕蕿?，前一天選擇面食套餐后一天繼續(xù)選擇面食套餐的概率為，如此往復(fù)．（1）求該同學(xué)第二天中午選擇米飯?zhí)撞偷母怕?；?）記該同學(xué)第天選擇米飯?zhí)撞偷母怕蕿椋╥）證明：為等比數(shù)列；（ii）證明：當(dāng)時(shí)，．【答案】（1）；（2）（i）證明見(jiàn)解析；（ii）證明見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1）設(shè)“第天選擇米飯?zhí)撞汀?，“第天選擇米飯?zhí)撞汀?，“第天不選擇米飯?zhí)撞汀保扇怕使接?，?jì)算可得；（2）（i）設(shè)“第天選擇米飯?zhí)撞汀?，則，依照（1）可得與的關(guān)系，然后根據(jù)等比數(shù)列定義證明；（ii）求出通項(xiàng)公式，然后分類討論證明結(jié)論．【詳解】解：（1）設(shè)“第天選擇米飯?zhí)撞汀保暗谔爝x擇米飯?zhí)撞汀?，則“第天不選擇米飯?zhí)撞汀保鶕?jù)題意，，，．由全概率公式，得．（2）（i）設(shè)“第天選擇米飯?zhí)撞汀?，則，，根據(jù)題意，．由全概率公式，得．因此．因?yàn)?，所以是以為首?xiàng)，為公比的等比數(shù)列．（ii）由（i）可得．當(dāng)為大于奇數(shù)時(shí)，．當(dāng)為正偶數(shù)時(shí)，．因此當(dāng)時(shí)，5.（2023春·廣東省深圳市高三一模）某企業(yè)因技術(shù)升級(jí)，決定從2023年起實(shí)現(xiàn)新的績(jī)效方案．方案起草后，為了解員工對(duì)新績(jī)效方案是否滿意，決定采取如下“隨機(jī)化回答技術(shù)”進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查：一個(gè)袋子中裝有三個(gè)大小相同的小球，其中1個(gè)黑球，2個(gè)白球．企業(yè)所有員工從袋子中有放回的隨機(jī)摸兩次球，每次摸出一球．約定“若兩次摸到的球的顏色不同，則按方式Ⅰ回答問(wèn)卷，否則按方式Ⅱ回答問(wèn)卷”．方式Ⅰ：若第一次摸到的是白球，則在問(wèn)卷中畫(huà)“○”，否則畫(huà)“×”；方式Ⅱ：若你對(duì)新績(jī)效方案滿意，則在問(wèn)卷中畫(huà)“○”，否則畫(huà)“×”．當(dāng)所有員工完成問(wèn)卷調(diào)查后，統(tǒng)計(jì)畫(huà)○，畫(huà)×的比例．用頻率估計(jì)概率，由所學(xué)概率知識(shí)即可求得該企業(yè)員工對(duì)新績(jī)效方案的滿意度的估計(jì)值．其中滿意度．（1）若該企業(yè)某部門(mén)有9名員工，用X表示其中按方式Ⅰ回答問(wèn)卷的人數(shù)，求X的數(shù)學(xué)期望；（2）若該企業(yè)的所有調(diào)查問(wèn)卷中，畫(huà)“○”與畫(huà)“×”的比例為4：5，試估計(jì)該企業(yè)員工對(duì)新績(jī)效方案的滿意度．【答案】（1）4（2）40%．【解析】【分析】（1）根據(jù)題意分析可得方式Ⅰ回答問(wèn)卷的人數(shù)，利用二項(xiàng)分布的期望的公式運(yùn)算求解；（2）根據(jù)題意結(jié)合條件概率公式和全概率公式運(yùn)算求解【小問(wèn)1詳解】每次摸到白球的概率，摸到黑球的概率為，每名員工兩次摸到的球的顏色不同的概率，由題意可得：該部門(mén)9名員工中按方式Ⅰ回答問(wèn)卷的人數(shù)，所以X的數(shù)學(xué)期望．【小問(wèn)2詳解】記事件A為“按方式Ⅰ回答問(wèn)卷”，事件B為“按方式Ⅱ回答問(wèn)卷”，事件C為“在問(wèn)卷中畫(huà)○”．由（1）知，，．∵，由全概率公式，則，解得，故根據(jù)調(diào)查問(wèn)卷估計(jì)，該企業(yè)員工對(duì)新績(jī)效方案的滿意度為40%．題型三：隨機(jī)變量分布列【典例例題】例1.（2023春·廣東省東莞市實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三模擬）2022年全國(guó)羽毛球錦標(biāo)賽于12月16日在廈門(mén)舉辦，受此鼓舞，由一名羽毛球?qū)I(yè)運(yùn)動(dòng)員甲組成的專業(yè)隊(duì)，與羽毛球業(yè)余愛(ài)好者乙、丙組成的業(yè)余隊(duì)進(jìn)行友誼比賽，約定賽制如下：業(yè)余隊(duì)中的兩名隊(duì)員輪流與甲進(jìn)行比賽，若甲連續(xù)贏兩場(chǎng)，則專業(yè)隊(duì)獲勝；若甲連續(xù)輸兩場(chǎng)，則業(yè)余隊(duì)獲勝；若比賽三場(chǎng)還沒(méi)有決出勝負(fù)，則視為平局，比賽結(jié)束．已知各場(chǎng)比賽相互獨(dú)立，每場(chǎng)比賽都分出勝負(fù)，且甲與乙比賽，甲贏的概率為；甲與丙比賽，甲贏的概率為，其中.(1)若第一場(chǎng)比賽，業(yè)余隊(duì)可以安排乙與甲進(jìn)行比賽，也可以安排丙與甲進(jìn)行比賽．請(qǐng)分別計(jì)算兩種安排下業(yè)余隊(duì)獲勝的概率；若以獲勝概率大為最優(yōu)決策，問(wèn)：第一場(chǎng)業(yè)余隊(duì)?wèi)?yīng)該安排乙還是丙與甲進(jìn)行比賽？(2)為了激勵(lì)專業(yè)隊(duì)和業(yè)余隊(duì)，賽事組織規(guī)定：比賽結(jié)束時(shí)，勝隊(duì)獲獎(jiǎng)金13萬(wàn)元，負(fù)隊(duì)獲獎(jiǎng)金3萬(wàn)元；若平局，兩隊(duì)各獲獎(jiǎng)金4萬(wàn)元，在比賽前，已知業(yè)余隊(duì)采用了(1)中的最優(yōu)決策與甲進(jìn)行比賽，設(shè)賽事組織預(yù)備支付的獎(jiǎng)金金額共計(jì)X萬(wàn)元，求X的數(shù)學(xué)期望E(X)的取值范圍．解：(1)第一場(chǎng)比賽，業(yè)余隊(duì)安排乙與甲進(jìn)行比賽，則業(yè)余隊(duì)獲勝的概率為；第一場(chǎng)比賽，業(yè)余隊(duì)安排丙與甲進(jìn)行比賽，則業(yè)余隊(duì)獲勝的概率為.當(dāng)時(shí)，，即，所以第一場(chǎng)業(yè)余隊(duì)?wèi)?yīng)該安排乙與甲進(jìn)行比賽．(2)由題意知X的可能取值為8或16．由(1)知第一場(chǎng)業(yè)余隊(duì)?wèi)?yīng)該安排乙與甲進(jìn)行比賽，此時(shí)業(yè)余隊(duì)獲勝的概率專業(yè)隊(duì)獲勝的概率，所以非平局的概率平局的概率，所以.因?yàn)?，所以，即的?shù)學(xué)期望的取值范圍是. 【變式訓(xùn)練】1.（2023春·廣東省廣州市高三一模）為了拓展學(xué)生的知識(shí)面，提高學(xué)生對(duì)航空航天科技的興趣，培養(yǎng)學(xué)生良好的科學(xué)素養(yǎng)，某校組織學(xué)生參加航空航天科普知識(shí)答題競(jìng)賽，每位參賽學(xué)生答題若干次，答題賦分方法如下：第1次答題，答對(duì)得20分，答錯(cuò)得10分：從第2次答題開(kāi)始，答對(duì)則獲得上一次答題得分的兩倍，答錯(cuò)得10分.學(xué)生甲參加答題競(jìng)賽，每次答對(duì)的概率為，各次答題結(jié)果互不影響.（1）求甲前3次答題得分之和為40分的概率；（2）記甲第i次答題所得分?jǐn)?shù)的數(shù)學(xué)期望為.①寫(xiě)出與滿足的等量關(guān)系式（直接寫(xiě)出結(jié)果，不必證明）：②若，求i的最小值.【答案】（1）；（2）①，，且；②5.【解析】【分析】（1）甲甲前3次答題得分之和為40分的事件是甲前3次答題中恰答對(duì)一次的事件，再利用相互獨(dú)立事件概率的乘法公式計(jì)算作答.（2）①求出，再分析、寫(xiě)出與滿足的等量關(guān)系式作答；②利用構(gòu)造法求出的通項(xiàng)，列出不等式并結(jié)合單調(diào)性作答.【小問(wèn)1詳解】甲前3次答題得分之和為40分的事件是：甲前3次答題中僅只答對(duì)一次的事件，所以甲前3次答題得分之和為40分的概率.【小問(wèn)2詳解】①甲第1次答題得20分、10分的概率分別為，則，甲第2次答題得40分、20分、10分的概率分別為，則，顯然，，甲第次答題所得分?jǐn)?shù)的數(shù)學(xué)期望為，因此第次答對(duì)題所得分?jǐn)?shù)為，答錯(cuò)題所得分?jǐn)?shù)為10分，其概率分別為，于是甲第i次答題所得分?jǐn)?shù)的數(shù)學(xué)期望為，所以與滿足等量關(guān)系式是：，，且；②由①知，，當(dāng)時(shí)，，而，因此數(shù)列以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，，于是，由得：，顯然數(shù)列是遞增數(shù)列，而，則有正整數(shù)，所以i的最小值是5.2.（2023春·廣東省高三二模）甲、乙兩名圍棋學(xué)員進(jìn)行圍棋比賽，規(guī)定每局比賽勝者得1分，負(fù)者得0分，平局雙方均得0分，比賽一直進(jìn)行到一方比另一方多兩分為止，多得兩分的一方贏得比賽．已知每局比賽中，甲獲勝的概率為α，乙獲勝的概率為β，兩人平局的概率為，且每局比賽結(jié)果相互獨(dú)立．（1）若，，，求進(jìn)行4局比賽后甲學(xué)員贏得比賽的概率；（2）當(dāng)時(shí)，（i）若比賽最多進(jìn)行5局，求比賽結(jié)束時(shí)比賽局?jǐn)?shù)X的分布列及期望E（X）的最大值；（ii）若比賽不限制局?jǐn)?shù)，寫(xiě)出“甲學(xué)員贏得比賽”的概率（用α，β表示），無(wú)需寫(xiě)出過(guò)程．【答案】（1）（2）（i）分布列見(jiàn)解析，期望最大值為；（ii）.【解析】【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合獨(dú)立事件的概率乘法公式分析運(yùn)算；（2）（i）根據(jù)題意求分布列，進(jìn)而可得期望；（ii）根據(jù)題意結(jié)合條件概率分析運(yùn)算.【小問(wèn)1詳解】用事件A，B，C分別表示每局比賽“甲獲勝”“乙獲勝”或“平局”，則，，，記“進(jìn)行4局比賽后甲學(xué)員贏得比賽”為事件N，則事件N包括事件ABAA，BAAA，ACCA，CACA，CCAA共5種，所以．【小問(wèn)2詳解】（i）因?yàn)?，所以每局比賽結(jié)果僅有“甲獲勝”和“乙獲勝”，即，由題意得X的所有可能取值為2，4，5，則，，．所以X的分布列為X245P所以X的期望，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，所以，故的最大值為．（ii）記“甲學(xué)員贏得比賽”為事件M，則．由（1）得前兩局比賽結(jié)果可能有AA，BB，AB，BA，其中事件AA表示“甲學(xué)員贏得比賽”，事件BB表示“乙學(xué)員贏得比賽”，事件AB，BA表示“甲、乙兩名學(xué)員各得1分”，當(dāng)甲、乙兩名學(xué)員得分總數(shù)相同時(shí)，甲學(xué)員贏得比賽的概率與比賽一開(kāi)始甲學(xué)員贏得比賽的概率相同．所以所以，即，因?yàn)?，所以?.（2023春·廣東省高州市高三二模）春節(jié)過(guò)后，文化和旅游業(yè)逐漸復(fù)蘇，有意跨省游、出境游的旅客逐漸增多.某旅游景區(qū)為吸引更多游客，計(jì)劃在社交媒體平臺(tái)和短視頻平臺(tái)同時(shí)投放宣傳廣告并進(jìn)行線上售票，通過(guò)近些年的廣告數(shù)據(jù)分析知，一輪廣告后，在短視頻平臺(tái)宣傳推廣后，目標(biāo)用戶購(gòu)買(mǎi)門(mén)票的概率為，在社交媒體平臺(tái)宣傳推廣后，目標(biāo)用戶購(gòu)買(mǎi)門(mén)票的概率為；二輪廣告精準(zhǔn)投放后，目標(biāo)用戶在短視頻平臺(tái)進(jìn)行復(fù)購(gòu)的概率為，在社交媒體平臺(tái)復(fù)購(gòu)的概率為.（1）記在短視頻平臺(tái)購(gòu)票的4人中，復(fù)購(gòu)的人數(shù)為，若，試求的分布列和期望；（2）記在社交媒體平臺(tái)的3名目標(biāo)用戶中，恰有1名用戶購(gòu)票并復(fù)購(gòu)的概率為，當(dāng)取得最大值時(shí)，為何值？（3）為優(yōu)化成本，該景區(qū)決定綜合渠道投放效果的優(yōu)劣，進(jìn)行廣告投放戰(zhàn)略的調(diào)整.已知景區(qū)門(mén)票100元/人，在短視頻平臺(tái)和社交媒體平臺(tái)的目標(biāo)用戶分別在90萬(wàn)人和17萬(wàn)人左右，短視頻平臺(tái)和社交媒體平臺(tái)上的廣告投放費(fèi)用分別為4元/100人和5元/100人，不計(jì)宣傳成本的景區(qū)門(mén)票利潤(rùn)率分別是2%和5%，在第（2）問(wèn)所得值的基礎(chǔ)上，試分析第一次廣告投放后，景區(qū)在兩個(gè)平臺(tái)上的目標(biāo)用戶身上可獲得的凈利潤(rùn)總額.【答案】（1）分布列見(jiàn)解析；當(dāng)時(shí)，期望為1；當(dāng)時(shí)，期望為3；（2）（3）805500元【解析】【分析】（1）復(fù)購(gòu)的人數(shù)滿足，故通過(guò)可求得或，然后分兩種情況進(jìn)行求分布列和期望即可；（2）設(shè)在社交媒體平臺(tái)的目標(biāo)用戶購(gòu)票并復(fù)購(gòu)的概率為，由題得,，故可計(jì)算得，通過(guò)導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性即可求得最大值，求得此時(shí)的值；（3）根據(jù)題意，分兩個(gè)平臺(tái)進(jìn)行計(jì)算凈利潤(rùn)，最后進(jìn)行求和即可【小問(wèn)1詳解】由題意得,在短視頻平臺(tái)購(gòu)票的人中,復(fù)購(gòu)概率為，復(fù)購(gòu)的人數(shù)滿足二項(xiàng)分布，即，故,故或.又知所有可能取值為0，1，2，3，4，①當(dāng)時(shí),的分布列為01234此時(shí)期望為，②時(shí),，所以的分布列為01234此時(shí)期望為【小問(wèn)2詳解】設(shè)在社交媒體平臺(tái)的目標(biāo)用戶購(gòu)票并復(fù)購(gòu)的概率為，由題得,.,,令,得或1，所以時(shí),，函數(shù)單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí),，函數(shù)單調(diào)遞減.故當(dāng)取得最大值.由可得，此時(shí).【小問(wèn)3詳解】短視頻平臺(tái):(元),社交媒體平臺(tái):(元),凈利潤(rùn)總額:(元).故景區(qū)在兩個(gè)平臺(tái)上的目標(biāo)用戶身上可獲得的凈利潤(rùn)總額為805500元.題型四：二項(xiàng)分布【典例例題】例1.（2023春·廣東省大灣區(qū)高三聯(lián)考）某工廠車(chē)間有臺(tái)相同型號(hào)的機(jī)器，各臺(tái)機(jī)器相互獨(dú)立工作，工作時(shí)發(fā)生故障的概率都是，且一臺(tái)機(jī)器的故障能由一個(gè)維修工處理．已知此廠共有甲、乙、丙名維修工，現(xiàn)有兩種配備方案，方案一：由甲、乙、丙三人維護(hù)，每人負(fù)責(zé)臺(tái)機(jī)器；方案二：由甲乙兩人共同維護(hù)臺(tái)機(jī)器．（1）對(duì)于方案一，設(shè)為甲維護(hù)的機(jī)器同一時(shí)刻發(fā)生故障的臺(tái)數(shù)，求的分布列與數(shù)學(xué)期望；（2）在兩種方案下，分別計(jì)算機(jī)器發(fā)生故障時(shí)不能得到及時(shí)維修的概率，并以此為依據(jù)來(lái)判斷，哪種方案能使工廠的生產(chǎn)效率更高?【答案】（1）分布列答案見(jiàn)解析，（2）方案二，理由見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）分析可知，利用二項(xiàng)分布可得出隨機(jī)變量的分布列，進(jìn)而可求得的值；（2）計(jì)算出兩種方案下故障機(jī)器得到維修的概率，比較大小后可得出結(jié)論.【小問(wèn)1詳解】解：由題意可知，，則，，，所以，隨機(jī)變量的分布列如下表所示：所以，.【小問(wèn)2詳解】解：對(duì)于方案一：“機(jī)器發(fā)生故障時(shí)不能及時(shí)維修”等價(jià)于“甲、乙、丙三人中，至少有一人負(fù)責(zé)的臺(tái)機(jī)器同時(shí)發(fā)生故障”，考查反面處理這個(gè)問(wèn)題.其概率為.對(duì)于方案二：機(jī)器發(fā)生故障時(shí)不能及時(shí)維修的概率為，所以，，即方案二能讓故障機(jī)器更大概率得到及時(shí)維修，使得工廠的生產(chǎn)效率更高.【變式訓(xùn)練】1.（2024春·廣東省東莞市高三模擬）某運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行射擊訓(xùn)練?射中10環(huán)的概率為，射不中10環(huán)的概率為，每次射擊相互獨(dú)立.射中10環(huán)得2分，射不中10環(huán)得分.運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行了三次射擊訓(xùn)練，用隨機(jī)變量表示3次所得分?jǐn)?shù)之和，求：（1）3次射擊全部射中10環(huán)的概率；（2）隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望.【答案】（1）（2）分布列見(jiàn)詳解，【解析】【分析】（1）根據(jù)獨(dú)立事件改了乘法公式運(yùn)算求解；（2）設(shè)三次射擊射中10環(huán)次數(shù)為，則，可得，利用二項(xiàng)分布求分布列，進(jìn)而可得期望.【小問(wèn)1詳解】由題意可知：3次射擊全部射中10環(huán)的概率.【小問(wèn)2詳解】設(shè)三次射擊射中10環(huán)的次數(shù)為，則，可得，可知的可能取值有，則，，，，所以隨機(jī)變量的分布列為036P可得.2.（2024春·廣東省佛山市高三模擬）2025年四川省將實(shí)行3＋1＋2的高考模式，其中，“3”為語(yǔ)文、數(shù)學(xué)，外語(yǔ)3門(mén)參加全國(guó)統(tǒng)一考試，選擇性考試科目為政治、歷史、地理、物理、化學(xué)，生物6門(mén)，由考生根據(jù)報(bào)考高校以及專業(yè)要求，結(jié)合自身實(shí)際，首先在物理，歷史中2選1，再?gòu)恼?、地理、化學(xué)、生物中4選2，形成自己的高考選考組合.（1）若某小組共6名同學(xué)根據(jù)方案進(jìn)行隨機(jī)選科，求恰好選到“物化生”組合的人數(shù)的期望；（2）由于物理和歷史兩科必須選擇1科，某校想了解高一新生選科的需求.隨機(jī)選取100名高一新生進(jìn)行調(diào)查，得到如下統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，寫(xiě)出下列聯(lián)表中a，d的值，并判斷是否有95％的把握認(rèn)為“選科與性別有關(guān)”？選擇物理選擇歷史合計(jì)男生a10女生30d合計(jì)30附：.0.100.050.0250.010.0052.7063.8415.0246.6357.879【答案】（1）（2）40，20，有95％的把握認(rèn)為“選科與性別有關(guān)【解析】【分析】（1）根據(jù)列舉法求出一個(gè)學(xué)生恰好選到“物化生”組合的概率，確定6名同學(xué)根據(jù)方案進(jìn)行隨機(jī)選科，符合二項(xiàng)分布，即可求得答案；（2）由題意確定的值，計(jì)算的值，與臨界值表比較，即得結(jié)論.【小問(wèn)1詳解】設(shè)物理、歷史2門(mén)科目為，政治、地理、化學(xué)、生物科目為，則根據(jù)高考選考組合要求共有組合為，，共12種，所以一個(gè)學(xué)生恰好選到“物化生”組合的概率為，則6名同學(xué)根據(jù)方案進(jìn)行隨機(jī)選科，符合二項(xiàng)分布，故恰好選到“物化生”組合的人數(shù)的期望為；【小問(wèn)2詳解】由題意可得；則，所以有95％的把握認(rèn)為“選科與性別有關(guān)”.3.（2024春·廣東省廣州市高三模擬）“大地”漁業(yè)公司從、兩不同設(shè)備生產(chǎn)廠商處共購(gòu)買(mǎi)了80臺(tái)同類型的設(shè)備.（1）若這80臺(tái)設(shè)備的購(gòu)買(mǎi)渠道和一段時(shí)間后故障的記錄如下表：從處購(gòu)買(mǎi)（臺(tái)）從處購(gòu)買(mǎi)（臺(tái)）運(yùn)行良好（臺(tái)）4614出現(xiàn)故障（臺(tái)）146試根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析設(shè)備故障情況是否與購(gòu)買(mǎi)渠道有關(guān)；（2）若每臺(tái)設(shè)備發(fā)生故障的概率都是0.01，且發(fā)生故障時(shí)由一個(gè)人獨(dú)立完成維修.現(xiàn)有兩種配備維修工人的方案，甲方案是由4個(gè)人維修，每個(gè)人各自獨(dú)立負(fù)責(zé)20臺(tái)；乙方案是由3個(gè)人共同維護(hù)這80臺(tái).請(qǐng)判斷在這兩種方案下設(shè)備發(fā)生故障時(shí)不能及時(shí)維修的概率的大小關(guān)系？并從公司經(jīng)營(yíng)者的角度給出方案選擇的建議.附：0.10.050.010.0052.7063.8416.6357.879【答案】（1）否（2）甲方案下設(shè)備發(fā)生故障時(shí)不能及時(shí)維修的概率大，選擇乙方案【解析】【分析】（1）根據(jù)計(jì)算公式運(yùn)算，對(duì)比臨界值即可求解；（2）根據(jù)題意，分別求得甲方案和乙方案，結(jié)合對(duì)立事件和獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率計(jì)算公式，分別求得設(shè)備發(fā)生故障時(shí)不能及時(shí)維修的概率，根據(jù)大小關(guān)系，即可得到結(jié)論.【小問(wèn)1詳解】假設(shè)設(shè)備故障情況與購(gòu)買(mǎi)渠道無(wú)關(guān)聯(lián)，由題意，，依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可推斷假設(shè)成立，即認(rèn)為設(shè)備故障情況與購(gòu)買(mǎi)渠道無(wú)關(guān)聯(lián).【小問(wèn)2詳解】對(duì)于甲方案：以X記“第1人維護(hù)的20臺(tái)設(shè)備中同一時(shí)刻發(fā)生故障的臺(tái)數(shù)”，以表示事件“第人維護(hù)的20臺(tái)設(shè)備發(fā)生故障時(shí)不能及時(shí)維修”，則知80臺(tái)設(shè)備發(fā)生故障時(shí)不能及時(shí)維修的概率為：，而，故有，所以；對(duì)于乙方案：以Y記“80臺(tái)設(shè)備中同一時(shí)刻發(fā)生故障的臺(tái)數(shù)”，此時(shí)，則80臺(tái)設(shè)備發(fā)生故障時(shí)不能及時(shí)維修的概率為，可得，故選擇乙方案能讓故障設(shè)備更大概率得到及時(shí)維修，使得公司的生產(chǎn)效率更高.題型五：超幾何分布【典例例題】例1.（2024春·廣東省惠州市高三聯(lián)考）為了調(diào)查某蘋(píng)果園中蘋(píng)果的生長(zhǎng)情況，在蘋(píng)果園中隨機(jī)采摘了個(gè)蘋(píng)果.經(jīng)整理分析后發(fā)現(xiàn)，蘋(píng)果的重量（單位：）近似服從正態(tài)分布，如圖所示，已知，.（1）若從蘋(píng)果園中隨機(jī)采摘個(gè)蘋(píng)果，求該蘋(píng)果的重量在內(nèi)的概率；（2）從這個(gè)蘋(píng)果中隨機(jī)挑出個(gè)，這個(gè)蘋(píng)果的重量情況如下.重量范圍（單位：）個(gè)數(shù)為進(jìn)一步了解蘋(píng)果的甜度，從這個(gè)蘋(píng)果中隨機(jī)選出個(gè)，記隨機(jī)選出的個(gè)蘋(píng)果中重量在內(nèi)的個(gè)數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.【答案】（1）；（2）分布列答案見(jiàn)解析，數(shù)學(xué)期望為.【解析】【分析】（1）利用正態(tài)密度曲線的對(duì)稱性結(jié)合已知條件可求得的值；（2）分析可知，隨機(jī)變量的所有可能取值為、、，計(jì)算出隨機(jī)變量在不同取值下的概率，可得出隨機(jī)變量的分布列，進(jìn)一步可求得的值.【小問(wèn)1詳解】解：已知蘋(píng)果的重量（單位：）近似服從正態(tài)分布，由正態(tài)分布的對(duì)稱性可知，，所以從蘋(píng)果園中隨機(jī)采摘個(gè)蘋(píng)果，該蘋(píng)果的重量在內(nèi)的概率為.【小問(wèn)2詳解】解：由題意可知，隨機(jī)變量的所有可能取值為、、，，；，所以，隨機(jī)變量的分布列為：所以.【變式訓(xùn)練】1.（2024春·廣東省佛山市高三聯(lián)考）2019年4月，江蘇省發(fā)布了高考綜合改革實(shí)施方案，試行“”高考新模式.為調(diào)研新高考模式下，某校學(xué)生選擇物理或歷史與性別是否有關(guān)，統(tǒng)計(jì)了該校高三年級(jí)800名學(xué)生的選科情況，部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表：性別科目男生女生合計(jì)物理300歷史150合計(jì)400800（1）根據(jù)所給數(shù)據(jù)完成上述表格，并判斷是否有99.9%的把握認(rèn)為該校學(xué)生選擇物理或歷史與性別有關(guān)；（2）該校為了提高選擇歷史科目學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，用分層抽樣的方法從該類學(xué)生中抽取5人，組成數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)小組.一段時(shí)間后，從該小組中抽取3人匯報(bào)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心得.記3人中男生人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.附：0.0500.0100.001k3.8416.63510828【答案】（1）表格答案見(jiàn)解析，有99.9%的把握認(rèn)為該校學(xué)生選擇物理或歷史與性別有關(guān)；（2）分布列答案見(jiàn)解析，數(shù)學(xué)期望：.【解析】分析】（1）補(bǔ)全列聯(lián)表，計(jì)算出后可得結(jié)論；（2）由分層抽樣得抽取男生2人，女生3人，隨機(jī)變量X的所有可能取值為0，1，2.，計(jì)算出概率的分布列，由分布列計(jì)算期望．【詳解】（1）性別科目男生女生合計(jì)物理300250550歷史100150250合計(jì)400400800因?yàn)椋杂?9.9%的把握認(rèn)為該校學(xué)生選擇物理或歷史與性別有關(guān).（2）按照分層抽樣的方法，抽取男生2人，女生3人.隨機(jī)變量X的所有可能取值為0，1，2.所以，，.所以X的分布列為X012P所以.答：x的數(shù)學(xué)期望為.2.（2024春·廣東省中山市高三聯(lián)考）多巴胺是一種神經(jīng)傳導(dǎo)物質(zhì)，能夠傳遞興奮及開(kāi)心的信息.近期很火的多巴胺穿搭是指通過(guò)服裝搭配來(lái)營(yíng)造愉悅感的著裝風(fēng)格，通過(guò)色彩艷麗的時(shí)裝調(diào)動(dòng)正面的情緒，是一種“積極化的聯(lián)想”.小李同學(xué)緊跟潮流，她選擇搭配的顏色規(guī)則如下：從紅色和藍(lán)色兩種顏色中選擇，用“抽小球”的方式?jīng)Q定衣物顏色，現(xiàn)有一個(gè)箱子，里面裝有質(zhì)地、大小一樣的4個(gè)紅球和2個(gè)白球，從中任取4個(gè)小球，若取出的紅球比白球多，則當(dāng)天穿紅色，否則穿藍(lán)色.每種顏色的衣物包括連衣裙和套裝，若小李同學(xué)選擇了紅色，再選連衣裙的可能性為0.6，而選擇了藍(lán)色后，再選連衣裙的可能性為0.5.（1）寫(xiě)出小李同學(xué)抽到紅球個(gè)數(shù)的分布列及期望；（2）求小李同學(xué)當(dāng)天穿連衣裙的概率.【答案】（1）分布列見(jiàn)解析，（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)超幾何分布求出的概率，列出分布列，求出數(shù)學(xué)期望即可；（2）設(shè)A表示穿紅色衣物，則表示穿藍(lán)色衣物，B表示穿連衣裙，則表示穿套裝.求出，結(jié)合條件概率和計(jì)算即可求解.【小問(wèn)1詳解】設(shè)抽到紅球的個(gè)數(shù)為X，則X的取值可能為4，3，2，，，，所以X的分布列為：X432P故.【小問(wèn)2詳解】設(shè)A表示穿紅色衣物，則表示穿藍(lán)色衣物，B表示穿連衣裙，則表示穿套裝.因?yàn)榇┘t色衣物的概率為，則穿藍(lán)色衣物的概率為，穿紅色連衣裙的概率為，穿藍(lán)色連衣裙的概率為，則當(dāng)天穿連衣裙的概率為.所以小李同學(xué)當(dāng)天穿連衣裙的概率為.題型六：正態(tài)分布【典例例題】例1.（2023春·廣東省佛山市高三二模）佛山被譽(yù)為“南國(guó)陶都”，擁有上千年的制陶史，佛山瓷磚享譽(yù)海內(nèi)外．某企業(yè)瓷磚生產(chǎn)線上生產(chǎn)的瓷磚某項(xiàng)指標(biāo)，且，現(xiàn)從該生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取10片瓷磚，記表示的瓷磚片數(shù)，則______．【答案】1【解析】【分析】利用正態(tài)分布的對(duì)稱性可得，結(jié)合條件可得，然后利用二項(xiàng)分布的期望公式即得.【詳解】因?yàn)?，均值為，且，所以，由題可得，所以．故答案為：1．【變式訓(xùn)練】1.（2023春·廣東省廣州市高三二模）某班有48名學(xué)生，一次考試的數(shù)學(xué)成績(jī)X（單位：分）服從正態(tài)分布，且成績(jī)?cè)谏系膶W(xué)生人數(shù)為16，則成績(jī)?cè)?0分以上的學(xué)生人數(shù)為_(kāi)___________.【答案】8【解析】【分析】根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性即可求解.【詳解】由X（單位：分）服從正態(tài)分布，知正態(tài)密度曲線的對(duì)稱軸為，成績(jī)?cè)谏系膶W(xué)生人數(shù)為16，由對(duì)稱性知成績(jī)?cè)?0分上的學(xué)生人數(shù)為24人，所以90分以上的學(xué)生人數(shù)為.故答案為：82.（2023春·廣東省揭陽(yáng)市高三二模）某校高三年級(jí)進(jìn)行了一次高考模擬測(cè)試，這次測(cè)試的數(shù)學(xué)成績(jī)，且，規(guī)定這次測(cè)試的數(shù)學(xué)成績(jī)高于120分為優(yōu)秀．若該校有1200名高三學(xué)生參加測(cè)試，則數(shù)學(xué)成績(jī)?yōu)閮?yōu)秀的人數(shù)是______．【答案】120【解析】【分析】由已知結(jié)合正態(tài)分布曲線的對(duì)稱性得，乘以總?cè)藬?shù)即可得出答案．【詳解】由，得正態(tài)分布曲線的對(duì)稱軸為，因?yàn)?，所以，則數(shù)學(xué)成績(jī)?yōu)閮?yōu)秀的人數(shù)是，故答案為：．1.（新課標(biāo)全國(guó)Ⅱ卷）（多選）在信道內(nèi)傳輸0，1信號(hào)，信號(hào)的傳輸相互獨(dú)立．發(fā)送0時(shí)，收到1的概率為，收到0的概率為；發(fā)送1時(shí)，收到0的概率為，收到1的概率為.考慮兩種傳輸方案：?jiǎn)未蝹鬏敽腿蝹鬏敚畣未蝹鬏斒侵该總€(gè)信號(hào)只發(fā)送1次，三次傳輸是指每個(gè)信號(hào)重復(fù)發(fā)送3次．收到的信號(hào)需要譯碼，譯碼規(guī)則如下：?jiǎn)未蝹鬏敃r(shí)，收到的信號(hào)即為譯碼；三次傳輸時(shí)，收到的信號(hào)中出現(xiàn)次數(shù)多的即為譯碼（例如，若依次收到1，0，1，則譯碼為1）.A．采用單次傳輸方案，若依次發(fā)送1，0，1，則依次收到l，0，1的概率為B．采用三次傳輸方案，若發(fā)送1，則依次收到1，0，1的概率為C．采用三次傳輸方案，若發(fā)送1，則譯碼為1的概率為D．當(dāng)時(shí)，若發(fā)送0，則采用三次傳輸方案譯碼為0的概率大于采用單次傳輸方案譯碼為0的概率【答案】ABD【詳解】對(duì)于A，依次發(fā)送1，0，1，則依次收到l，0，1的事件是發(fā)送1接收1、發(fā)送0接收0、發(fā)送1接收1的3個(gè)事件的積，它們相互獨(dú)立，所以所求概率為，A正確；對(duì)于B，三次傳輸，發(fā)送1，相當(dāng)于依次發(fā)送1，1，1，則依次收到l，0，1的事件，是發(fā)送1接收1、發(fā)送1接收0、發(fā)送1接收1的3個(gè)事件的積，它們相互獨(dú)立，所以所求概率為，B正確；對(duì)于C，三次傳輸，發(fā)送1，則譯碼為1的事件是依次收到1，1，0、1，0，1、0，1，1和1，1，1的事件和，它們互斥，由選項(xiàng)B知，所以所求的概率為，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由選項(xiàng)C知，三次傳輸，發(fā)送0，則譯碼為0的概率，單次傳輸發(fā)送0，則譯碼為0的概率，而，因此，即，D正確.故選：ABD2.（全國(guó)乙卷數(shù)學(xué)(理)（文））設(shè)O為平面坐標(biāo)系的坐標(biāo)原點(diǎn)，在區(qū)域內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，記該點(diǎn)為A，則直線OA的傾斜角不大于的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】因?yàn)閰^(qū)域表示以圓心，外圓半徑，內(nèi)圓半徑的圓環(huán)，則直線的傾斜角不大于的部分如陰影所示，在第一象限部分對(duì)應(yīng)的圓心角，結(jié)合對(duì)稱性可得所求概率.故選：C.3.（全國(guó)乙卷數(shù)學(xué)（文））某學(xué)校舉辦作文比賽，共6個(gè)主題，每位參賽同學(xué)從中隨機(jī)抽取一個(gè)主題準(zhǔn)備作文，則甲、乙兩位參賽同學(xué)抽到不同主題概率為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】甲有6種選擇，乙也有6種選擇，故總數(shù)共有種，若甲、乙抽到的主題不同，則共有種，則其概率為，故選：A.4.（全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)（文））某校文藝部有4名學(xué)生，其中高一、高二年級(jí)各2名．從這4名學(xué)生中隨機(jī)選2名組織校文藝匯演，則這2名學(xué)生來(lái)自不同年級(jí)的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】依題意，從這4名學(xué)生中隨機(jī)選2名組織校文藝匯演，總的基本事件有件，其中這2名學(xué)生來(lái)自不同年級(jí)的基本事件有，所以這2名學(xué)生來(lái)自不同年級(jí)的概率為.故選：D.5.（全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)（理））有50人報(bào)名足球俱樂(lè)部，60人報(bào)名乒乓球俱樂(lè)部，70人報(bào)名足球或乒乓球俱樂(lè)部，若已知某人報(bào)足球俱樂(lè)部，則其報(bào)乒乓球俱樂(lè)部的概率為（

）A．0.8 B．0.4 C．0.2 D．0.1【答案】A【詳解】報(bào)名兩個(gè)俱樂(lè)部的人數(shù)為，記“某人報(bào)足球俱樂(lè)部”為事件,記“某人報(bào)兵乓球俱樂(lè)部”為事件，則，所以.故選:.6.（新高考天津卷）甲乙丙三個(gè)盒子中裝有一定數(shù)量的黑球和白球，其總數(shù)之比為．這三個(gè)盒子中黑球占總數(shù)的比例分別為．現(xiàn)從三個(gè)盒子中各取一個(gè)球，取到的三個(gè)球都是黑球的概率為_(kāi)________；將三個(gè)盒子混合后任取一個(gè)球，是白球的概率為_(kāi)________．【答案】【詳解】設(shè)甲、乙、丙三個(gè)盒子中的球的個(gè)數(shù)分別為，所以總數(shù)為，所以甲盒中黑球個(gè)數(shù)為，白球個(gè)數(shù)為；甲盒中黑球個(gè)數(shù)為，白球個(gè)數(shù)為；甲盒中黑球個(gè)數(shù)為，白球個(gè)數(shù)為；記“從三個(gè)盒子中各取一個(gè)球，取到的球都是黑球”為事件，所以，；記“將三個(gè)盒子混合后取出一個(gè)球，是白球”為事件，黑球總共有個(gè)，白球共有個(gè)，所以，．故答案為：；．7.（新課標(biāo)全國(guó)Ⅱ卷）某研究小組經(jīng)過(guò)研究發(fā)現(xiàn)某種疾病的患病者與未患病者的某項(xiàng)醫(yī)學(xué)指標(biāo)有明顯差異，經(jīng)過(guò)大量調(diào)查，得到如下的患病者和未患病者該指標(biāo)的頻率分布直方圖：利用該指標(biāo)制定一個(gè)檢測(cè)標(biāo)準(zhǔn)，需要確定臨界值c，將該指標(biāo)大于c的人判定為陽(yáng)性，小于或等于c的人判定為陰性．此檢測(cè)標(biāo)準(zhǔn)的漏診率是將患病者判定為陰性的概率，記為；誤診率是將未患病者判定為陽(yáng)性的概率，記為．假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率．(1)當(dāng)漏診率％時(shí)，求臨界值c和誤診率；(2)設(shè)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，求的解析式，并求在區(qū)間的最小值．【答案】(1)，；(2)，最小值為．【詳解】（1）依題可知，左邊圖形第一個(gè)小矩形的面積為，所以，所以，解得：，．（2）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，,故，所以在區(qū)間的最小值為．8.（新課標(biāo)全國(guó)Ⅰ卷）甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若命中則此人繼續(xù)投籃，若末命中則換為對(duì)方投籃．無(wú)論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6，乙每次投籃的命中率均為0.8．由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5．(1)求第2次投籃的人是乙的概率；(2)求第次投籃的人是甲的概率；(3)已知：若隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，且，則．記前次（即從第1次到第次投籃）中甲投籃的次數(shù)為，求．【答案】(1)(2)(3)【詳解】（1）記“第次投籃的人是甲”為事件，“第次投籃的人是乙”為事件，所以，.（2）設(shè)，依題可知，，則，即，構(gòu)造等比數(shù)列，設(shè)，解得，則，又，所以是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，即．（3）因?yàn)?，，所以?dāng)時(shí)，，故．1.（2023春·廣東省高州市高三二模）（多選）2023年2月28日，國(guó)家統(tǒng)計(jì)局發(fā)布中華人民共和國(guó)2022年國(guó)民經(jīng)濟(jì)和社會(huì)發(fā)展統(tǒng)計(jì)公報(bào)，如圖是該公報(bào)中關(guān)于2018年~2022年國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值及其增長(zhǎng)速度的統(tǒng)計(jì)圖，下列說(shuō)法正確的是（）A.近五年的國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值逐年遞增，近三年均已超過(guò)1000000億元B.2017年的國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值低于800000億元C.近五年的國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值增長(zhǎng)速度的平均數(shù)為5.26%D.近五年的國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值的極差為290926億元【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖進(jìn)行分析計(jì)算即可【詳解】由統(tǒng)計(jì)圖可得2018年~2022年國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值分別為919281,986515,1013567,1149237,1210207，增長(zhǎng)速度為6.7%，6.0%，2.2%，8.4%，3.0%，對(duì)于A，通過(guò)數(shù)據(jù)可得近五年的國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值逐年遞增，且近三年均已超過(guò)1000000億元，故正確；對(duì)于B，2017年的國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值為億元，故不正確；對(duì)于C，近五年的國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值增長(zhǎng)速度的平均數(shù)為，故正確；對(duì)于D，近五年的國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值的極差為億元，故正確；故選：ACD2.（2023春·廣東省深圳市高三二模）從1，2，3，4，5中隨機(jī)選取三個(gè)不同的數(shù)，若這三個(gè)數(shù)之積為偶數(shù)，則它們之和大于8的概率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先列基本事件，再列滿足條件的基本事件，最后根據(jù)古典概型求解.

【詳解】從1，2，3，4，5中隨機(jī)選取三個(gè)不同的數(shù)可得基本事件為，10種情況，若這三個(gè)數(shù)之積為偶數(shù)有，9種情況，它們之和大于8共有，5種情況，從1，2，3，4，5中隨機(jī)選取三個(gè)不同的數(shù)，若這三個(gè)數(shù)之積為偶數(shù)，則它們之和大于8的概率為.故選:D.3.（2024春·廣東省惠州市高三模擬）“仁義禮智信”為儒家“五常”，由孔子提出“仁、義、禮”，孟子延伸為“仁、義、禮、智”，董仲舒擴(kuò)充為“仁、義、禮、智、信”，將“仁義禮智信”排成一排，“仁”排在第一位，且“智信”相鄰的概率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用特殊元素及捆綁法得“仁”排在第一位，且“智信”相鄰的排法有種排法，然后利用古典概型求解即可.【詳解】“仁義禮智信”排成一排，任意排有種排法，其中“仁”排在第一位，且“智信”相鄰的排法有種排法，故概率故選：A4.（2024春·廣東省佛山市順德區(qū)高三模擬）我國(guó)數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果，哥德巴赫猜想如下：每個(gè)大于2的偶數(shù)都可以表示為兩個(gè)素?cái)?shù)的和，如30=7+23，在不超過(guò)25的素?cái)?shù)中，隨機(jī)選取2個(gè)不同的數(shù)，則這2個(gè)數(shù)恰好含有這組數(shù)的中位數(shù)的概率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先確定不超過(guò)25的素?cái)?shù)，再確定中位數(shù)，最后根據(jù)古典概型概率公式求概率．【詳解】因?yàn)椴怀^(guò)25的素?cái)?shù)有2，3，5，7，11，13，17，19，23共9個(gè)，這組數(shù)的中位數(shù)為11，所以所求概率．故選：C5.（2024春·廣東省佛山市高三模擬）若隨機(jī)事件A，B滿足，，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先由題意計(jì)算出，再根據(jù)條件概率求出即可.【詳解】由題意知：，可得，故.故選：D.6.（2023春·廣東省中山市高三二模）某班學(xué)生的一次的數(shù)學(xué)考試成績(jī)（滿分：100分）服從正態(tài)分布：，且，，（）A.0.14 B.0.18 C.0.23 D.0.26【答案】C【解析】【分析】根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)?，，所以，又，所?故選：C.7.（2023春·廣東省深圳市龍崗區(qū)高三聯(lián)考）已知編號(hào)為1，2，3的三個(gè)盒子，其中1號(hào)盒子內(nèi)裝有兩個(gè)1號(hào)球，一個(gè)2號(hào)球和一個(gè)3號(hào)球；2號(hào)盒子內(nèi)裝有兩個(gè)1號(hào)球，一個(gè)3號(hào)球；3號(hào)盒子內(nèi)裝有三個(gè)1號(hào)球，兩個(gè)2號(hào)球.若第一次先從1號(hào)盒子內(nèi)隨機(jī)抽取1個(gè)球，將取出的球放入與球同編號(hào)的盒子中，第二次從放入球的盒子中任取一個(gè)球，設(shè)事件為第一次取出的球?yàn)閕號(hào)，事件為第二次取出的球?yàn)閕號(hào)，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用條件概率及全概率公式即可對(duì)每個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行分析【詳解】由題意可得，故B正確；對(duì)于A，表示在第一次取出的球?yàn)?號(hào)的前提下，第二次取出的球?yàn)?號(hào)的概率，所以，故A正確；對(duì)于C，表示在第一次取出的球?yàn)?號(hào)的前提下，第二次取出的球?yàn)?號(hào)的概率，所以表示在第一次取出的球?yàn)?號(hào)的前提下，第二次取出的球?yàn)?號(hào)的概率，所以，應(yīng)用全概率公式,有，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，利用條件概率可得，解得，故D正確故選：C8.（2024春·廣東省廣州市高三模擬）（多選）對(duì)自然人群進(jìn)行普查，發(fā)現(xiàn)患某病的概率.為簡(jiǎn)化確診手段，研究人員設(shè)計(jì)了一個(gè)簡(jiǎn)化方案，并進(jìn)行了初步試驗(yàn)研究，該試驗(yàn)具有以下的效果：若以表示事件“試驗(yàn)反應(yīng)為陽(yáng)性”，以表示事件“被確診為患病”，則有.根據(jù)以上信息，下列判斷正確的是（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)對(duì)立事件概率公式判斷AC，根據(jù)條件概率和全概率公式判斷BD.【詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤，C正確；因?yàn)?，故選項(xiàng)B正確；由全概率公式可得，則由條件概率公式知，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：BC9.（2024春·廣東省廣州市高三聯(lián)考）現(xiàn)隨機(jī)安排甲、乙等4位同學(xué)參加校運(yùn)會(huì)跳高、跳遠(yuǎn)、投鉛球比賽，要求每位同學(xué)參加一項(xiàng)比賽，每項(xiàng)比賽至少一位同學(xué)參加，事件“甲參加跳高比賽”，事件“乙參加跳高比賽”，事件“乙參加跳遠(yuǎn)比賽”，則（）A.事件A與B相互獨(dú)立 B.事件A與C為互斥事件C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)條件求出，由互斥事件的定義、相互獨(dú)立事件的判定和條件概率公式進(jìn)行逐一判斷即可【詳解】對(duì)于A，每項(xiàng)比賽至少一位同學(xué)參加，則有不同的安排方法，事件“甲參加跳高比賽”，若跳高比賽安排2人，則有種方法；若跳高比賽安排1人，則有種方法，所以安排甲參加跳高比賽的不同安排方法共有種，則，同理，若安排甲、乙同時(shí)參加跳高比賽，則跳高比賽安排2人為甲和乙，跳遠(yuǎn)、投鉛球比賽各安排1人，有種不同的安排方法，所以，因?yàn)?，事件A與B不相互獨(dú)立故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，在一次試驗(yàn)中，不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件稱為互斥事件，事件A與C可以同時(shí)發(fā)生，故事件A與C不是互斥事件，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，在安排甲參加跳高比賽的同時(shí)安排乙參加跳遠(yuǎn)比賽的不同安排方法有種，所以，所以，故C正確；對(duì)于D，，故D錯(cuò)誤.故選：C10.（2023春·廣東省廣州市高三二模）（多選）有3臺(tái)車(chē)床加工同一型號(hào)的零件，第1臺(tái)加工的次品率為8%，第2臺(tái)加工的次品率為3%，第3臺(tái)加工的次品率為2%，加工出來(lái)的零件混放在一起．已知第1，2，3臺(tái)車(chē)床加工的零件數(shù)分別占總數(shù)的10%，40%，50%，從混放的零件中任取一個(gè)零件，則下列結(jié)論正確的是（）A.該零件是第1臺(tái)車(chē)床加工出來(lái)的次品的概率為0.08B.該零件是次品的概率為0.03C.如果該零件是第3臺(tái)車(chē)床加工出來(lái)的，那么它不是次品的概率為0.98D.如果該零件是次品，那么它不是第3臺(tái)車(chē)床加工出來(lái)的概率為【答案】BC【解析】【分析】利用乘法公式、互斥事件加法求概率即可判斷A，B；利用條件概率公式、對(duì)立事件即可判斷C，D．【詳解】記事件：車(chē)床加工的零件為次品，記事件：第臺(tái)車(chē)床加工的零件，則，，，，，，對(duì)于，任取一個(gè)零件是第1臺(tái)生產(chǎn)出來(lái)的次品概率為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于，任取一個(gè)零件是次品的概率為，故B正確；對(duì)于，如果該零件是第3臺(tái)車(chē)床加工出來(lái)的，那么它不是次品的概率為，故C正確；對(duì)于，如果該零件是次品，那么它不是第3臺(tái)車(chē)床加工出來(lái)的概率為，故D錯(cuò)誤．故選：BC．11.（2023春·廣東省揭陽(yáng)市高三二模）（多選）設(shè)A，B為兩個(gè)隨機(jī)事件，若，，則下列結(jié)論中正確的是（）A.若，則 B.若，則A，B相互獨(dú)立C.若A與B相互獨(dú)立，則 D.若A與B相互獨(dú)立，則【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)并事件的概率的計(jì)算公式即可判斷A；根據(jù)相互獨(dú)立事件及對(duì)立事件的交事件的概率公式即可判斷BD；根據(jù)相互獨(dú)立事件的并事件的概率公式即可判斷C.【詳解】對(duì)于A，若，則，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)?，，所以，所以A，B相互獨(dú)立，故B正確；對(duì)于C，A與B相互獨(dú)立，則也相互獨(dú)立，則，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，A與B相互獨(dú)立，則也相互獨(dú)立，所以，故D正確.故選：BD.12.（2023春·廣東省汕頭市潮陽(yáng)區(qū)高三聯(lián)考）（多選）已知，則（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)條件概率公式、全概率公式、和事件公式可以判斷答案.【詳解】B選項(xiàng)：，對(duì)；C選項(xiàng)：,C對(duì)；A選項(xiàng)：由全概率公式得：,,A錯(cuò)；D選項(xiàng)：D對(duì)；故選：BCD13.（2023春·廣東省韶關(guān)市高三二模）（多選）下列命題中，正確的是（）A.已知隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，若，則B.已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，若，則C.已知，，，則D.已知，，，則【答案】ACD【解析】【分析】利用二項(xiàng)分布期望公式及性質(zhì)計(jì)算判斷A；利用正態(tài)分布的對(duì)稱性計(jì)算判斷B；利用條件概率公式推理判斷C；利用全概率公式計(jì)算判斷D作答.【詳解】對(duì)于，由二項(xiàng)分布的期望公式，，由期望的性質(zhì)得，則，正確；對(duì)于，由正態(tài)分布曲線的性質(zhì)知，，根據(jù)對(duì)稱性知，，于是，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由，得，所以，C正確；對(duì)于D，由，得，又，由全概率公式得，，D正確.故選：ACD14.（2024春·廣東省東莞市東莞中學(xué)高三模擬）長(zhǎng)郡中學(xué)體育節(jié)中，羽毛球單打12強(qiáng)中有3個(gè)種子選手，將這12人任意分成3個(gè)組（每組4個(gè)人），則3個(gè)種子選手恰好被分在同一組的概率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用均勻分組的原理，再結(jié)合古典概型的概率公式求解即可.【詳解】由已知條件得將12人任意分成3組，不同的分組方法有種，3個(gè)種子選手分在同一組的方法有種，故3個(gè)種子選手恰好被分在同一組的概率為，故選：.15.（2024春·廣東省汕頭市高三模擬）（多選）設(shè)為兩個(gè)互斥的事件，且，則（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)互斥事件的含義及概率計(jì)算公式逐項(xiàng)判定即可.【詳解】因?yàn)闉閮蓚€(gè)互斥的事件，且，所以,即，故A正確，B錯(cuò)誤；因?yàn)闉閮蓚€(gè)互斥的事件，所以，故C正確；因?yàn)闉閮蓚€(gè)互斥的事件，所以，故D正確，故選：ACD.16.（2024春·廣東省韶關(guān)市高三模擬）在長(zhǎng)郡中學(xué)文體活動(dòng)時(shí)間，舉辦高三年級(jí)繩子打結(jié)計(jì)時(shí)賽，現(xiàn)有根繩子，共有10個(gè)繩頭，每個(gè)繩頭只打一次結(jié)，且每個(gè)結(jié)僅含兩個(gè)繩頭，所有繩頭打結(jié)完畢視為結(jié)束.則這5根繩子恰好能?chē)梢粋€(gè)圈的概率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用分步計(jì)數(shù)原理，結(jié)合數(shù)列的累乘法與古典概型的概率公式即可得解.【詳解】不妨令繩頭編號(hào)為，可以與繩頭1打結(jié)形成一個(gè)圓的繩頭除了1，2外有種可能，假設(shè)繩頭1與繩頭3打結(jié)，那么相當(dāng)于對(duì)剩下根繩子進(jìn)行打結(jié)，令根繩子打結(jié)后可成圓的種數(shù)為，那么經(jīng)過(guò)一次打結(jié)后，剩下根繩子打結(jié)后可成圓的種數(shù)為，由此可得，，所以，所以，顯然，故；另一方面，對(duì)個(gè)繩頭進(jìn)行任意2個(gè)繩頭打結(jié)，總共有；所以，所以當(dāng)時(shí)，.故選：.17.（2023春·廣東省韶關(guān)市高三二模）已知甲、乙、丙、丁四位高三學(xué)生拍畢業(yè)照，這四位同學(xué)排在同一行，則甲、乙兩位學(xué)生相鄰的概率為_(kāi)_____.【答案】【解析】【分析】利用捆綁法，先將甲、乙兩位學(xué)生看成一個(gè)整體，再與剩余學(xué)生排列，結(jié)合古典概型運(yùn)算求解.【詳解】四位同學(xué)排列，共用種不同排法，若甲、乙兩位學(xué)生相鄰，共用種不同排法，所以甲、乙兩位學(xué)生相鄰的概率.故答案為：.18.（2023春·廣東省深圳市高三二模）若，則__________(精確到0.01).參考數(shù)據(jù)：若，則，.【答案】0.82【解析】【分析】根據(jù)正態(tài)分布的均值和標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算概率.【詳解】因?yàn)?，根?jù)參考數(shù)據(jù)，.故答案為：.19.（2024春·廣東省中山市高三模擬）1889年7月由恩格斯領(lǐng)導(dǎo)的第二國(guó)際在巴黎舉行代表大會(huì)，會(huì)議上宣布將五月一日定為國(guó)際勞動(dòng)節(jié).五一勞動(dòng)節(jié)某單位安排甲、乙、丙3人在5天假期值班，每天只需1人值班，且每人至少值班1天，已知甲在五一假期期間值班2天，則甲連續(xù)值班的概率是________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)條件概率公式可求出結(jié)果.【詳解】記“甲在五一假期期間值班2天”為事件，“甲連續(xù)值班”為事件，則種，種，所以，所以已知甲在五一假期期間值班2天，則甲連續(xù)值班的概率為.故答案為：.20.（2023春·廣東省汕頭市高三二模）某單位有10000名職工，想通過(guò)驗(yàn)血的方法篩查乙肝病毒攜帶者，假設(shè)攜帶病毒的人占，如果對(duì)每個(gè)人的血樣逐一化驗(yàn)，就需要化驗(yàn)10000次.統(tǒng)計(jì)專家提出了一種化驗(yàn)方法：隨機(jī)地按5人一組分組，然后將各組5個(gè)人的血樣混合再化驗(yàn)，如果混合血樣呈陰性，說(shuō)明這5個(gè)人全部陰性；如果混合血樣呈陽(yáng)性，說(shuō)明其中至少有一人的血樣呈陽(yáng)性，就需要對(duì)每個(gè)人再分別化驗(yàn)一次.按照這種化驗(yàn)方法，平均每個(gè)人需要化驗(yàn)______次.（結(jié)果保留四位有效數(shù)字）（，，）.【答案】0.4262【解析】【分析】設(shè)每個(gè)人需要的化驗(yàn)次數(shù)為X，結(jié)合獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概率計(jì)算公式、對(duì)立事件概率計(jì)算公式求得，從而確定正確答案.【詳解】設(shè)每個(gè)人需要的化驗(yàn)次數(shù)為X，若混合血樣呈陰性，則；若混合血樣呈陽(yáng)性，則；因此，X的分布列為，，，說(shuō)明每5個(gè)人一組，平均每個(gè)人需要化驗(yàn)0.4262次.故答案為：0.4262.21.（2023春·廣東省高州市高三二模）閱讀不僅可以開(kāi)闊視野，還可以提升語(yǔ)言表達(dá)和寫(xiě)作能力.某校全體學(xué)生參加的期末過(guò)程性評(píng)價(jià)中大約有20%的學(xué)生寫(xiě)作能力被評(píng)為優(yōu)秀等級(jí).經(jīng)調(diào)查知，該校大約有30%的學(xué)生每天閱讀時(shí)間超過(guò)1小時(shí)，這些學(xué)生中寫(xiě)作能力被評(píng)為優(yōu)秀等級(jí)的占60%.現(xiàn)從每天閱讀時(shí)間不超過(guò)1小時(shí)的學(xué)生中隨機(jī)抽查一名，該生寫(xiě)作能力被評(píng)為優(yōu)秀等級(jí)的概率為_(kāi)_________.【答案】【解析】【分析】利用全概率公式可構(gòu)造方程求得所求概率.【詳解】設(shè)寫(xiě)作能力被評(píng)為優(yōu)秀等級(jí)為事件A，每天閱讀時(shí)間超過(guò)小時(shí)為事件，則，，；，，即從每天閱讀時(shí)間不超過(guò)小時(shí)的學(xué)生中隨機(jī)抽查一名，該生寫(xiě)作能力被評(píng)為優(yōu)秀等級(jí)的概率為.故答案為：22.（2023春·廣東省梅州市高三二模）有一批同規(guī)格的產(chǎn)品，由甲、乙、丙三家工廠生產(chǎn)，其中甲、乙、丙工廠分別生產(chǎn)3000件、3000件、4000件，而且甲、乙、丙工廠的次品率依次為6%、5%、5%，現(xiàn)從這批產(chǎn)品中任取一件，則（1）取到次品的概率為_(kāi)___________；（2）若取到的是次品，則其來(lái)自甲廠的概率為_(kāi)___________．【答案】①.②.【解析】【分析】設(shè)任取一件產(chǎn)品來(lái)自甲廠為事件、來(lái)自乙廠為事件、來(lái)自丙廠為事件，根據(jù)題意求出各自的概率，然后利用全概率公式可求出從中任取一件，取到次品的概率，利用條件概率公式可求出取得零件是次品，則它是來(lái)自甲廠生產(chǎn)的概率.【詳解】設(shè)任取一件產(chǎn)品來(lái)自甲廠為事件、來(lái)自乙廠為事件、來(lái)自丙廠為事件，則彼此互斥，且,，，，設(shè)任取一件產(chǎn)品，取到的是次品為事件，則如果取得零件是次品，那么它是來(lái)自甲廠生產(chǎn)的概率為,故答案為：，23.（2023春·廣東省佛山市高三二模）有個(gè)編號(hào)分別為1，2，…，n的盒子，第1個(gè)盒子中有2個(gè)白球1個(gè)黑球，其余盒子中均為1個(gè)白球1個(gè)黑球，現(xiàn)從第1個(gè)盒子中任取一球放入第2個(gè)盒子，再?gòu)牡?個(gè)盒子中任取一球放入第3個(gè)盒子，以此類推，則從第2個(gè)盒子中取到白球的概率是______，從第個(gè)盒子中取到白球的概率是______．【答案】①.②.【解析】【分析】記事件表示從第i個(gè)盒子里取出白球，利用全概率公式可得，進(jìn)而可得，然后構(gòu)造等比數(shù)列，求通項(xiàng)公式即得.【詳解】記事件表示從第個(gè)盒子里取出白球，則，，所以，，，進(jìn)而可得，，又，，，所以是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以，即，故答案為：；.24.（2024春·廣東省潮州市高三聯(lián)考）甲乙兩人進(jìn)行象棋比賽，先勝三局的人晉級(jí)，假設(shè)甲每局獲勝的概率為（不考慮平局），（1）若比賽三局后結(jié)束，求甲晉級(jí)的概率；（2）若已知晉級(jí)的是甲，求比賽三局后結(jié)束的概率.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式求解,（2）利用條件概率公式求解.【小問(wèn)1詳解】比賽三局后結(jié)束，甲晉級(jí)，表示三局甲全獲勝，設(shè)比賽三局后甲晉級(jí)為事件,則甲晉級(jí)的概率為;【小問(wèn)2詳解】設(shè)甲晉級(jí)為事件,有三種情況，可能比賽三場(chǎng)且這三場(chǎng)比賽甲都獲勝，其概率為，可能比賽四場(chǎng)前三場(chǎng)甲勝兩場(chǎng)第四場(chǎng)比賽甲獲勝，其概率,可能比賽五場(chǎng)前四場(chǎng)比賽甲勝兩場(chǎng)，第五場(chǎng)比賽甲獲勝，其概率為，所以,設(shè)比賽三局后結(jié)束為事件,則,由條件概率公式可知.25.（2023春·廣東省潮州市高三二模）新冠病毒引發(fā)的肺炎疫情在全球發(fā)生，為了解新冠肺炎傳播途徑，采取有效防控措施，某醫(yī)院組織專家統(tǒng)計(jì)了該地區(qū)名患者新冠病毒潛伏期的相關(guān)信息，數(shù)據(jù)經(jīng)過(guò)匯總整理得到如圖所示的頻率分布直方圖.潛伏期不高于天的患者，稱“短潛伏者”，潛伏期高于天的患者，稱“長(zhǎng)潛伏者”.（1）求這名患者中“長(zhǎng)潛伏者”的人數(shù)，并估計(jì)樣本的分位數(shù)（精確到）；（2）研究發(fā)現(xiàn)，有種藥物對(duì)新冠病毒有一定的抑制作用，其中有種特別有效，現(xiàn)在要通過(guò)逐一試驗(yàn)直到把這種特別有效的藥物找出來(lái)為止，每一次試驗(yàn)花費(fèi)的費(fèi)用是元，設(shè)所需要的試驗(yàn)費(fèi)用為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望.【答案】（1）這名患者中“長(zhǎng)潛伏者”的人數(shù)為人，樣本的分位數(shù)為（2）分布列答案見(jiàn)解析，【解析】【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖可計(jì)算出“長(zhǎng)潛伏者”的人數(shù)，然后利用百分位數(shù)的概率可求得樣本的分位數(shù)；（2）分析可知所有可能的取值為、、，計(jì)算出隨機(jī)變量在不同取值下的概率，可得出隨機(jī)變量的分布列，進(jìn)而可求得的值.【小問(wèn)1詳解】解：這名患者中“長(zhǎng)潛伏者”的頻率為，所以，“長(zhǎng)潛伏者”的人數(shù)為人，由頻率分布直方圖可知，潛伏期不高于天的患者所占的比例為，潛伏期不高于天的患者所占的比例為，因此，分位數(shù)一定位于內(nèi)，由，所以可估計(jì)樣本的分位數(shù)約為.【小問(wèn)2詳解】解：所有可能的取值為、、，，，，所以，隨機(jī)變量的分布列如下表所示：所以，.26.（2024春·廣東省河源市高三聯(lián)考）為了豐富在校學(xué)生的課余生活，某校舉辦了一次趣味運(yùn)動(dòng)會(huì)活動(dòng)，學(xué)校設(shè)置項(xiàng)目A“毛毛蟲(chóng)旱地龍舟”和項(xiàng)目B“袋鼠接力跳”.甲、乙兩班每班分成兩組，每組參加一個(gè)項(xiàng)目，進(jìn)行班級(jí)對(duì)抗賽.第一個(gè)比賽項(xiàng)目A采取五局三勝制（即有一方先勝3局即獲勝，比賽結(jié)束）；第二個(gè)比賽項(xiàng)目B采取領(lǐng)先3局者獲勝。每局不存在平局.假設(shè)在項(xiàng)目A中甲班每一局獲勝的概率為，在項(xiàng)目B中甲班每一局獲勝的概率為，且每一局之間沒(méi)有影響.（1）求甲班在項(xiàng)目A中獲勝的概率；（2）若第二個(gè)比賽項(xiàng)目B進(jìn)行了7局，仍然沒(méi)有人領(lǐng)先3局，比賽結(jié)束，領(lǐng)先者也獲勝.現(xiàn)比賽已經(jīng)進(jìn)行了2局，甲班2局全輸.設(shè)甲班在第二個(gè)比賽項(xiàng)目B中參加總局?jǐn)?shù)為X、求隨機(jī)變量X的分布列及期望.【答案】（1）（2）分布列見(jiàn)解析，【解析】【分析】（1）根據(jù)甲班在項(xiàng)目A中獲勝對(duì)應(yīng)的事件，利用互斥事件的加法公式和獨(dú)立事件的乘法公式計(jì)算即可；（2）由總局?jǐn)?shù)X可能的取值，計(jì)算相應(yīng)的概率，列出分布列，計(jì)算期望.【小問(wèn)1詳解】記“甲班在項(xiàng)目A中獲勝”為事件A，比分有，，三種情況，則，所以甲班在項(xiàng)目A中獲勝的概率為.【小問(wèn)2詳解】甲班在第二個(gè)比賽項(xiàng)目B中參加比賽總局?jǐn)?shù)，表示乙班獲勝，表示乙班獲勝，表示甲班獲勝或乙班獲勝或沒(méi)有人領(lǐng)先3局，，，，所以X的分布列如下：X357所以.27.（2024春·廣東省惠州市高三聯(lián)考）某中學(xué)的風(fēng)箏興趣小組決定舉行一次盲盒風(fēng)箏比賽，比賽采取得分制度評(píng)選優(yōu)勝者，可選擇的風(fēng)箏為硬翅風(fēng)箏?軟翅風(fēng)箏?串式風(fēng)箏?板式風(fēng)箏?立體風(fēng)箏，共有5種風(fēng)箏，將風(fēng)箏裝入盲盒中摸取風(fēng)箏，每位參賽選手摸取硬翅風(fēng)箏或軟翅風(fēng)箏均得1分并放飛風(fēng)箏，摸取串式風(fēng)箏?板式風(fēng)箏?立體風(fēng)箏均得2分并放飛風(fēng)箏，每次摸取風(fēng)箏的結(jié)果相互獨(dú)立，且每次只能摸取1只風(fēng)箏，每位選手每次摸取硬翅風(fēng)箏或軟翅風(fēng)箏的概率為，摸取其余3種風(fēng)箏的概率為.（1）若選手甲連續(xù)摸了2次盲盒，其總得分為分，求的分布列與期望；（2）假設(shè)選手乙可持續(xù)摸取盲盒，即摸取盲盒的次數(shù)可以為中的任意一個(gè)數(shù)，記乙累計(jì)得分的概率為，當(dāng)時(shí)，求.【答案】（1）分布列見(jiàn)解析，（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)相互獨(dú)立事件乘法公式求得分布列并求得數(shù)學(xué)期望.（2）根據(jù)已知條件列出遞推關(guān)系，利用構(gòu)造等比數(shù)列、累加法等知識(shí)求得.【小問(wèn)1詳解】的可能取值為，則：，則的分布列為234故.【小問(wèn)2詳解】當(dāng)時(shí)，得分累計(jì)分，即在得到分后再得1分，或在得到分后再得2分，所以，則.因?yàn)?，所以，所以為等比?shù)列，且首項(xiàng)為，公比為，則，則，故當(dāng)時(shí)，.28.（2024春·廣東省佛山市高三模擬）某梯級(jí)共20級(jí)，某人上梯級(jí)（從0級(jí)梯級(jí)開(kāi)始向上走）每步可跨一級(jí)或兩級(jí)，每步上一級(jí)的概率為，上兩級(jí)的概率為，設(shè)他上到第n級(jí)的概率為．（1）求他上到第10級(jí)概率（結(jié)果用指數(shù)形式表示）；（2）若他上到第5級(jí)時(shí)，求他所用的步數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望．【答案】（1）（2）分布列見(jiàn)解析；期望為【解析】【分析】（1）求出，且（），從而變形后得到通項(xiàng)公式，求出答案；（2）先在（1）的基礎(chǔ)上求出此人上到第5級(jí)的概率，再求出X的可能取值及相應(yīng)的概率，得到分布列，求出數(shù)學(xué)期望.【小問(wèn)1詳解】由條件知，，且（）．所以，設(shè)，故，令，解得，所以，又，∴，∴．∴．【小問(wèn)2詳解】由（1）知此人上到第5級(jí)的概率為，X的可能取值為3，4，5，其中時(shí)，此人1次選擇跨一級(jí)，2次選擇跨兩級(jí)，由條件概率可得，，時(shí)，此人1次選擇跨兩級(jí)，3次選擇跨一級(jí)，由條件概率可得，，時(shí)，此人5次選擇跨一級(jí)，由條件概率可得，，所以X的分布列為X345P所以．29.（2024春·廣東省東莞市高三模擬）某種疾病歷史資料顯示，這種疾病的自然痊愈率為.為試驗(yàn)一種新藥，在有關(guān)部門(mén)批準(zhǔn)后，某醫(yī)院把此藥給10個(gè)病人服用，試驗(yàn)方案為：若這10個(gè)病人中至少有5人痊愈，則認(rèn)為這種藥有效，提高了治愈率；否則認(rèn)為這種藥無(wú)效.假設(shè)每個(gè)病人是否痊愈是相互獨(dú)立的.（1）如果新藥有效，把治愈率提高到了，求經(jīng)試驗(yàn)認(rèn)定該藥無(wú)效的概率；（精確到0.001，參考數(shù)據(jù)：）（2）根據(jù)（1）中值的大小解釋試驗(yàn)方案是否合理.【答案】20.試驗(yàn)方案合理【解析】【分析】（1）先分析新藥無(wú)效的情況：10中0人或1人或2人或3人或4人痊愈，由此求解出無(wú)效的概率；（2）結(jié)合（1）該藥無(wú)效的概率分析試驗(yàn)方案的合理性得解.【小問(wèn)1詳解】設(shè)通過(guò)試驗(yàn)痊愈的人數(shù)為變量，則，所以經(jīng)試驗(yàn)認(rèn)定該藥無(wú)效的概率為：.【小問(wèn)2詳解】由題意，新藥是有效的，由（1）得經(jīng)試驗(yàn)認(rèn)定該藥無(wú)效的概率為，概率很小是小概率事件，故試驗(yàn)方案合理.30.（2023春·廣東省深圳市龍崗區(qū)高三聯(lián)考）某人玩一項(xiàng)有獎(jiǎng)游戲活動(dòng)，其規(guī)則是：有一個(gè)質(zhì)地均勻的正四面體（每個(gè)面均為全等的正三角形的三棱錐），四個(gè)面上分別刻著1，2，3，4，拋擲該正四面體5次，記錄下每次與地面接觸的面上的數(shù)字.（1）求接觸面上5個(gè)數(shù)的乘積能被4整除的概率；（2）若每次拋擲到接觸地面的數(shù)字為3時(shí)獎(jiǎng)勵(lì)200元，否則倒罰100元，①設(shè)甲出門(mén)帶了1000元來(lái)參加該游戲，記游戲后甲身上的錢(qián)為X元，求；②若在游戲過(guò)程中，甲決定當(dāng)自己贏了錢(qián)一旦不低于300元時(shí)立即結(jié)束游戲，求甲不超過(guò)三次就結(jié)束游戲的概率.【答案】（1）（2）①②【解析】【分析】（1）正難則反，采用間接法，先求不能被4整除的概率，再根據(jù)對(duì)立事件求解；（2）①先記為地面接觸的面上的數(shù)字為3的次數(shù)，找出與的關(guān)系，根據(jù)二項(xiàng)分布求解期望；②先明確甲不超過(guò)三次就結(jié)束游戲的情況，再求解概率.【小問(wèn)1詳解】設(shè)事件A=“接觸面上的5個(gè)數(shù)的乘積能被4整除”，不能被4整除的有兩種情況：（i）5個(gè)數(shù)均為奇數(shù)（1或者3），概率為，（ii）5個(gè)數(shù)中4個(gè)為奇數(shù)，另一個(gè)為2，概率為，所以.【小問(wèn)2詳解】①可能的取值為500,800,1100,1400,1700,2000.記為地面接觸的面上的數(shù)字為3的次數(shù)，則，且，，，故.②設(shè)事件B=“甲不超過(guò)三次就結(jié)束游戲”，分為兩種情況：兩次結(jié)束游戲和三次結(jié)束游戲..31.（2023春·廣東省揭陽(yáng)市高三二模）已知有一道有四個(gè)選項(xiàng)的單項(xiàng)選擇題和一道有四個(gè)選項(xiàng)的多項(xiàng)選擇題，小明知道每道多項(xiàng)選擇題均有兩個(gè)或三個(gè)正確選項(xiàng)．但根據(jù)得分規(guī)則：全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．這樣，小明在做多項(xiàng)選擇題時(shí)，可能選擇一個(gè)選項(xiàng)，也可能選擇兩個(gè)或三個(gè)選項(xiàng)，但不會(huì)選擇四個(gè)選項(xiàng)．（1）如果小明不知道單項(xiàng)選擇題的正確答案，就作隨機(jī)猜測(cè)．已知小明知道單項(xiàng)選擇題的正確答案和隨機(jī)概率都是，在他做完單項(xiàng)選擇題后，從卷面上看，在題答對(duì)的情況下，求他知道單項(xiàng)選擇題正確答案的概率；（2）假設(shè)小明在做該道多項(xiàng)選擇題時(shí)，基于已有的解題經(jīng)驗(yàn)，他選擇一個(gè)選項(xiàng)的概率為，選擇兩個(gè)選項(xiàng)的概率為，選擇三個(gè)選項(xiàng)的概率為．已知該道多項(xiàng)選擇題只有兩個(gè)正確選項(xiàng)，小明完全不知道四個(gè)選項(xiàng)的正誤，只好根據(jù)自己的經(jīng)驗(yàn)隨機(jī)選擇．記表示小明做完該道多項(xiàng)選擇題后所得的分?jǐn)?shù)．求：（i）；（ii）的分布列及數(shù)學(xué)期望．【答案】（1）（2）（i）；（ii）答案見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）根據(jù)已