2019版高中全程練習方略配套資料：二項分布、隨機變量的均值和方差

第五節(jié)二項分布、隨機變量的均值和方差…………三年2考高考指數(shù):★★★內(nèi)容要求ABCn次獨立重復試驗的模型及二項分布√離散型隨機變量的均值與方差√1.n次獨立重復試驗由n次試驗構(gòu)成，且每次試驗相互獨立完成，每次試驗的結(jié)果僅有兩種對立的狀態(tài)，即A與，每次試驗中P(A)=p>0,這樣的試驗稱為n次獨立重復試驗，也稱為伯努利試驗，n次獨立重復試驗中,事件A恰好發(fā)生k(0≤k≤n)次的概率為Pn(k)=________________________.2.二項分布若隨機變量X的分布列為P(X=k)=________,其中0<p<1,p+q=1,k=0,1,2,…,n,則稱X服從參數(shù)為n，p的二項分布，記作_________.X～B(n,p)【即時應(yīng)用】(1)思考：二項分布的計算公式與二項式定理的公式有何聯(lián)系？提示：如果把p看成b，1－p看成a，則就是二項式定理中的通項.(2)已知隨機變量X～B(6，)，則P(X＝2)等于_________.【解析】答案：(3)一批花生種子，如果每1粒發(fā)芽的概率為那么播下3粒種子恰有2粒發(fā)芽的概率是_________.【解析】由n次獨立重復試驗恰有k次發(fā)生的概率公式得：答案：3.離散型隨機變量的均值與方差(1)離散型隨機變量X的概率分布Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn(2)離散型隨機變量X的均值與方差均值(數(shù)學期望)方差計算公式作用標準差反映了離散型隨機變量取值的________刻畫了隨機變量X與其均值E(X)的_____________方差的算術(shù)平方根為隨機變量X的標準差.平均水平平均偏離程度【即時應(yīng)用】(1)思考：隨機變量的均值、方差與樣本均值、方差的關(guān)系是怎樣的？提示：隨機變量的均值、方差是一個常數(shù).樣本的均值、方差是一個變量.隨著樣本容量的增加，樣本的均值、方差趨于隨機變量的均值、方差.(2)隨機變量X的概率分布如表，則X的數(shù)學期望是______.【解析】由題知：0.2＋0.5＋m＝1，∴m＝0.3，∴E(X)＝1×0.2＋2×0.5＋3×0.3＝2.1.答案：2.1X123P0.20.5m(3)有一批產(chǎn)品，其中有12件正品和4件次品，從中任取3件，若X表示取到次品的件數(shù)，則E(X)＝________.【解析】X的取值為0,1,2,3，則答案：(4)甲、乙兩工人在一天生產(chǎn)中出現(xiàn)廢品數(shù)分別是兩個隨機變量X、Y，其概率分布分別為：若甲、乙兩人的日產(chǎn)量相等，則甲、乙兩人中技術(shù)較好的是________.X0123P0.40.30.20.1Y012P0.30.50.2【解析】甲、乙一天中出現(xiàn)廢品數(shù)的均值分別為E(X)＝0×0.4＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.1＝1，E(Y)＝0×0.3＋1×0.5＋2×0.2＝0.9，所以E(X)>E(Y)，故乙的技術(shù)較好.答案：乙4.兩點分布與二項分布的均值、方差均值方差隨機變量X服從兩點分布X～B(n,p)E（X）=____V（X）=______E(X)=____V(X)=_______pp(1-p)npnp(1-p)【即時應(yīng)用】(1)設(shè)15000件產(chǎn)品中有1000件次品，有放回地從中抽取150件進行檢查，則查得次品數(shù)的數(shù)學期望為_______.(2)設(shè)隨機變量ξ～B(n，p)，又E(ξ)＝15，V(ξ)＝則n的值為________,p的值為_________.【解析】(1)設(shè)查得次品數(shù)為隨機變量ξ，由題意得ξ～B(150，)，所以E(ξ)=150×=10.(2)由ξ～B(n，p)，有E(ξ)＝np＝15，V(ξ)＝np(1－p)＝∴p＝，n＝60.答案：(1)10(2)60獨立重復試驗與二項分布【方法點睛】

1.獨立重復試驗的特點(1)每一次試驗只有兩種結(jié)果，即某事件要么發(fā)生，要么不發(fā)生.(2)任何一次試驗中事件發(fā)生的概率都是一樣的.2.二項分布滿足的條件(1)每次試驗中，事件發(fā)生的概率是相同的.(2)各次試驗中的事件是相互獨立的.(3)每次試驗只有兩種結(jié)果：事件要么發(fā)生，要么不發(fā)生.(4)隨機變量是這n次獨立重復試驗中事件發(fā)生的次數(shù).【例1】(2012·泰州模擬)甲、乙兩人各進行3次射擊，甲每次擊中目標的概率為乙每次擊中目標的概率為求：(1)甲恰好擊中目標2次的概率；(2)乙至少擊中目標2次的概率；(3)乙恰好比甲多擊中目標2次的概率.【解題指南】(1)(2)直接利用二項分布求解；(3)事件“乙恰好比甲多擊中目標2次”包括：“乙恰好擊中目標2次且甲恰好擊中目標0次”；“乙恰好擊中目標3次且甲恰好擊中目標1次”兩種情況.【規(guī)范解答】(1)設(shè)X為甲擊中目標的次數(shù)，則X～B(3，)，故甲恰好擊中目標2次的概率為

(2)設(shè)Y為乙擊中目標的次數(shù)，則Y～B(3,)，故乙至少擊中目標2次的概率為P(Y≥2)=P(Y=2)+P(Y=3)=(3)設(shè)“乙恰好比甲多擊中目標2次”為事件A，包含以下2個互斥事件，設(shè)B1為事件“乙恰好擊中目標2次且甲恰好擊中目標0次”，則P(B1)=設(shè)B2為事件“乙恰好擊中目標3次且甲恰好擊中目標1次”，則于是即乙恰好比甲多擊中目標2次的概率為.【反思·感悟】1.在n次獨立重復試驗中，事件A恰好發(fā)生k次的概率為在利用該公式時一定要審清公式中的n,k各是多少.2.獨立重復試驗是相互獨立事件的特例.一般情況下，有“恰好”字樣的用獨立重復試驗的概率公式計算更簡單，含有“至少”或“至多”字樣的題用對立事件的概率公式計算更簡單.【變式訓練】為提高學生的素質(zhì)，某校決定開設(shè)一批選修課程，分別為文學、藝術(shù)、競賽三類，這三類課程所含科目的個數(shù)分別占總數(shù)的現(xiàn)在3名學生獨立地從中任選一個科目參加學習.(1)求他們選擇的科目所屬類別互不相同的概率；(2)記ξ為3人中選擇的科目屬于文學或競賽的人數(shù)，求ξ的概率分布.【解析】記第i名學生選擇的科目屬于文學、藝術(shù)、競賽分別為事件Ai、Bi、Ci，i=1，2，3.由題意知A1、A2、A3相互獨立，B1、B2、B3相互獨立，C1、C2、C3相互獨立，Ai、Bj、Ck(i，j，k=1，2，3，且i，j，k互不相同)相互獨立，且P(Ai)=，P(Bj)=，P(Ck)=.(1)他們選擇的科目所屬類別互不相同的概率為：(2)設(shè)3名學生中選擇的科目屬于藝術(shù)的人數(shù)為η，由已知，η～B(3，)，且ξ=3-η.所以故ξ的概率分布是ξ0123P【變式備選】甲、乙兩人各射擊一次，擊中目標的概率分別是假設(shè)兩人射擊是否擊中目標相互之間沒有影響；每人各次射擊是否擊中目標相互之間也沒有影響.(1)求甲射擊4次，至少有1次未擊中目標的概率；(2)求兩人各射擊4次，甲恰好擊中目標2次且乙恰好擊中目標3次的概率；(3)假設(shè)某人連續(xù)2次未擊中目標，則中止其射擊.問：乙恰好射擊5次后，被中止射擊的概率是多少？【解析】(1)記“甲連續(xù)射擊4次至少有1次未擊中目標”為事件A1.由題意，射擊4次，相當于做4次獨立重復試驗.故所以甲連續(xù)射擊4次至少有一次未擊中目標的概率為.(2)記“甲射擊4次，恰有2次擊中目標”為事件A2，“乙射擊4次，恰有3次擊中目標”為事件B2，則由于甲、乙射擊相互獨立，故所以兩人各射擊4次，甲恰有2次擊中目標且乙恰有3次擊中目標的概率為.(3)記“乙恰好射擊5次后被中止射擊”為事件A3，“乙第i次射擊未擊中”為事件Di(i＝1,2,3,4,5)，則由于各事件相互獨立，故所以乙恰好射擊5次后被中止射擊的概率為.離散型隨機變量的均值與方差【方法點睛】求離散型隨機變量ξ的均值與方差的方法(1)理解ξ的意義，寫出ξ可能取的全部值；(2)求ξ取每個值的概率；(3)寫出ξ的概率分布；(4)由均值的定義求E(ξ)；(5)由方差的定義求V(ξ).【例2】(2011·福建高考)某產(chǎn)品按行業(yè)生產(chǎn)標準分成8個等級，等級系數(shù)X依次為1,2，…，8，其中X≥5為標準A，X≥3為標準B，已知甲廠執(zhí)行標準A生產(chǎn)該產(chǎn)品，產(chǎn)品的零售價為6元/件；乙廠執(zhí)行標準B生產(chǎn)該產(chǎn)品，產(chǎn)品的零售價為4元/件，假定甲、乙兩廠的產(chǎn)品都符合相應(yīng)的執(zhí)行標準(1)已知甲廠產(chǎn)品的等級系數(shù)X1的概率分布列如下所示：且X1的數(shù)學期望E(X1)=6，求a，b的值；X15678P0.4ab0.1(2)為分析乙廠產(chǎn)品的等級系數(shù)X2，從該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機抽取30件，相應(yīng)的等級系數(shù)組成一個樣本，數(shù)據(jù)如下：353385563463475348538343447567用這個樣本的頻率分布估計總體分布，將頻率視為概率，求等級系數(shù)X2的數(shù)學期望.(3)在(1)、(2)的條件下，若以“性價比”為判斷標準，則哪個工廠的產(chǎn)品更具可購買性？說明理由.注：(1)產(chǎn)品的“性價比”=(2)“性價比”大的產(chǎn)品更具可購買性.【解題指南】(1)利用期望公式和E(X1)=6以及分布列中的所有概率和為1，聯(lián)立關(guān)于a,b的方程組，解方程組求得a,b的值；(2)根據(jù)題中提供的數(shù)據(jù)，列等級系數(shù)X2的概率分布列，再利用期望公式求期望；(3)根據(jù)“性價比”公式求兩工廠的產(chǎn)品的性價比，“性價比”大的產(chǎn)品更具可購買性.【規(guī)范解答】(1)因為E(X1)＝6,所以5×0.4+6a+7b+8×0.1=6,即6a+7b=3.2，又由X1的概率分布列得0.4+a+b+0.1=1即a+b=0.5.由(2)由已知得，樣本的頻率分布表如下：用這個樣本的頻率分布估計總體分布，將頻率視為概率，可得等級系數(shù)X2的概率分布如下：所以E(X2)=3×0.3+4×0.2+5×0.2+6×0.1+7×0.1+8×0.1=4.8,即乙廠產(chǎn)品的等級系數(shù)的數(shù)學期望等于4.8.X2345678f0.30.20.20.10.10.1X2345678P0.30.20.20.10.10.1(3)乙廠的產(chǎn)品更具有可購買性，理由如下：因為甲廠產(chǎn)品的等級系數(shù)的數(shù)學期望等于6,價格為6元/件，所以其性價比為=1.因為乙廠產(chǎn)品的等級系數(shù)的數(shù)學期望等于4.8,價格為4元/件，所以其性價比為=1.2.所以乙廠的產(chǎn)品更具可購買性.【反思·感悟】求離散型隨機變量的均值與方差時，關(guān)鍵是先求出隨機變量的概率分布.求離散型隨機變量的概率分布時要注意兩個問題：一是求出隨機變量所有可能的值；二是求出取每一個值時的概率.求概率時，要注意概率類型的確定與轉(zhuǎn)化，如古典概型、互斥事件的概率、相互獨立事件同時發(fā)生的概率、n次獨立重復試驗有k次發(fā)生的概率等.【變式訓練】在一次電視節(jié)目的搶答中，題型為判斷題，只有“對”和“錯”兩種結(jié)果，其中某明星判斷正確的概率為p，判斷錯誤的概率為q，若判斷正確則加1分，判斷錯誤則減1分，現(xiàn)記“該明星答完n題后總得分為Sn”.(1)當p=q=時，記ξ=|S3|，求ξ的概率分布及數(shù)學期望及方差；(2)當時，求S8=2且Si≥0(i=1,2,3,4)的概率.【解析】(1)∵ξ=|S3|的取值為1，3，又p=q=；所以ξ的概率分布為：ξ13P(2)當S8=2時，即答完8題后，回答正確的題數(shù)為5個題，回答錯誤的題數(shù)是3個題，又已知Si≥0(i=1,2,3,4)，若第一題和第二題回答正確，則其余6題可任意答對3題；若第一題和第三題回答正確，第二題回答錯誤，則后5題可任意答對3題.此時的概率為【變式備選】如圖，一個小球從M處投入，通過管道自上而下落入A或B或C.已知小球從每個叉口落入左右兩個管道的可能性是相等的.某商家按上述投球方式進行促銷活動，若投入的小球落到A，B，C，則分別設(shè)為1,2,3等獎.(1)已知獲得1,2,3等獎的折扣率分別為50%,70%,90%.記隨機變量ξ為獲得k(k＝1,2,3)等獎的折扣率，求隨機變量ξ的概率分布及期望E(ξ)；(2)若有3人次(投入1球為1人次)參加促銷活動，記隨機變量η為獲得1等獎或2等獎的人次，求P(η＝2).【解析】(1)由題意得ξ的概率分布為則

(2)由(1)可知，獲得1等獎或2等獎的概率為由題意得η～B(3，)，則ξ50%70%90%P與二項分布有關(guān)的期望與方差【方法點睛】與二項分布有關(guān)的期望與方差的求法(1)求隨機變量ξ的期望與方差時，可首先分析ξ是否服從二項分布，如果服從ξ～B(n,p)，則用公式E(ξ)=np,V(ξ)=np(1-p)求解，可大大減少計算量.(2)有些隨機變量雖不服從二項分布，但與之具有線性關(guān)系的另一隨機變量服從二項分布，這時，可以綜合應(yīng)用E(aξ+b)=aE(ξ)+b以及E(ξ)=np求出E(aξ+b)，同樣還可求出V(aξ+b)=a2V(ξ).【提醒】E(aξ+b)=aE(ξ)+b，但注意V(aξ+b)≠aV(ξ)+b，V(aξ+b)≠aV(ξ).【例3】(1)某同學參加科普知識競賽，需回答4個問題，每一道題能否正確回答是相互獨立的，且回答正確的概率是若回答錯誤的題數(shù)為ξ，則E(ξ)=_______，V(ξ)=______.(2)罐中有6個紅球，4個白球，從中任取1球，記住顏色后再放回，連續(xù)取4次，設(shè)ξ為取得紅球的次數(shù)，則E(ξ)=_______.【解題指南】兩題中的ξ都服從二項分布，故可直接套用公式求解.【規(guī)范解答】(1)∵回答正確的概率是∴回答錯誤的概率是故ξ～B(4，)，∴E(ξ)=4×＝1，V(ξ)=4××(1-)=.答案：1(2)因為是有放回地摸球，所以每次摸球(試驗)摸得紅球(成功)的概率為連續(xù)摸4次(做4次試驗)，ξ為取得紅球(成功)的次數(shù)，則ξ～B(4，)，所以E(ξ)=答案：【互動探究】在本例(1)中，若競賽規(guī)定：答對1題得10分，否則扣1分，其他條件不變，求該同學得分η的期望與方差.【解析】由題意知：η=10(4-ξ)-ξ=40-11ξ，故由均值與方差的性質(zhì)得E(η)=E(40-11ξ)=40-11E(ξ)=40-11×1=29，V(η)=V(40-11ξ)=112V(ξ)=【反思·感悟】ξ是隨機變量,則η=f(ξ)一般也是隨機變量,在求η的均值和方差時,熟練應(yīng)用均值和方差的性質(zhì),可以避免再求η的概率分布帶來的繁瑣運算.【變式訓練】(2012·蘇州模擬)某學生在上學路上要經(jīng)過4個路口，假設(shè)在各個路口是否遇到紅燈是相互獨立的.第一個路口遇到紅燈的概率是，其余每個路口遇到紅燈的概率都是(1)求這名學生在上學路上到第二個路口時首次遇到紅燈的概率；(2)假定這名學生在第二個路口遇到紅燈，求這名學生在上學路上遇到紅燈的次數(shù)X的概率分布及期望.【解析】(1)設(shè)“這名學生在上學路上到第二個路口時首次遇到紅燈”為事件A，則所求概率為P(A)(2)因為由假定知道這名學生在第二個路口一定遇到紅燈，所以上學路上遇到紅燈的次數(shù)X的所有可能取值為1，2，3，4，對應(yīng)的概率分別為：∴X的概率分布為X1234P均值與方差的實際應(yīng)用【方法點睛】均值與方差的實際應(yīng)用(1)V(X)表示隨機變量X對E(X)的平均偏離程度，V(X)越大表明平均偏離程度越大，說明X的取值越分散；反之，V(X)越小，X的取值越集中在E(X)附近，統(tǒng)計中常用來描述X的分散程度.(2)隨機變量的均值反映了隨機變量取值的平均水平，方差反映了隨機變量穩(wěn)定于均值的程度，它們從整體和全局上刻畫了隨機變量，是生產(chǎn)實際中用于方案取舍的重要的理論依據(jù)，一般先比較均值，若均值相同，再用方差來決定.【例4】為了評估天氣對大運會的影響，制定相應(yīng)預(yù)案，深圳市氣象局通過對最近50多年的氣象數(shù)據(jù)資料的統(tǒng)計分析，發(fā)現(xiàn)8月份是深圳市雷電天氣高峰期，在31天中平均發(fā)生雷電14.57天(如圖)，如果用頻率作為概率的估計值，并假定每一天發(fā)生雷電的概率均相等，且相互獨立.(1)求在大運會開幕(8月12日)后的前3天比賽中，恰好有2天發(fā)生雷電天氣的概率(精確到0.01)；(2)設(shè)大運會期間(8月12日至23日，共12天)，發(fā)生雷電天氣的天數(shù)為X，求X的數(shù)學期望和方差.【解題指南】利用獨立重復試驗求(1)；借助二項分布的期望、方差公式求(2).【規(guī)范解答】(1)設(shè)8月份一天中發(fā)生雷電的概率為P，由已知因為每一天發(fā)生雷電的概率均相等，且相互獨立，所以，在大運會開幕后的前3天比賽中，恰好有2天發(fā)生雷電天氣的概率P=×(1-0.47)=0.351231≈0.35.(2)由已知X～B(12，0.47)，所以，X的數(shù)學期望E(X)=12×0.47=5.64，X的方差V(X)=12×0.47×(1-0.47)=2.9892.【反思·感悟】解決此類題目的關(guān)鍵是正確理解隨機變量取每一個值所表示的具體事件，求得該事件發(fā)生的概率.對于實際問題要通過分析題意抽象出具體的數(shù)學模型來求解.【變式訓練】某俱樂部舉行迎圣誕活動，每位會員交50元活動費，可享受20元的消費，并參加一次游戲：擲兩顆正方體骰子，點數(shù)之和為12點獲一等獎，獎價值為a元的獎品；點數(shù)之和為11或10點獲二等獎，獎價值為100元的獎品；點數(shù)之和為9或8點獲三等獎，獎價值為30元的獎品；點數(shù)之和小于8點的不得獎.求：(1)同行的三位會員一人獲一等獎、兩人獲二等獎的概率；(2)如該俱樂部在游戲環(huán)節(jié)不虧也不贏利，求a的值.【解析】(1)設(shè)擲兩顆正方體骰子所得的點數(shù)記為(x，y)，其中1≤x≤6,1≤y≤6，則獲一等獎只有(6，6)