兩個兩位數(shù)和是56的解題策略研究

兩個兩位數(shù)和是56的解題策略研究杭州現(xiàn)代小學數(shù)學教育研究中心姜榮富咨詢題的提出《數(shù)學課程標準》（實驗稿）指出，學生在解決咨詢題過程中，要能進行有條理的摸索，能對結(jié)論的合理性作出有講服力的講明，能夠探究出解決咨詢題的有效方法，并從不同的角度查找其它方法。不同年齡段的學生解決同一咨詢題，方法和結(jié)果會有哪些差異？進行鋪墊性訓練會對學生從不同的角度查找方法產(chǎn)生如何樣的阻礙？帶著這些咨詢題，我們就“兩個兩位數(shù)相加和是56”這一數(shù)學咨詢題，在二、三、四年級分不進行了測查，發(fā)覺了不同年級的學生解題能力的傾向，并分析了鋪墊性訓練對查找解題方法的阻礙。二、測試的咨詢題測試的咨詢題是：□□＋□□56兩個兩位數(shù)相加和是56，你能寫出多少個如此算式，請你寫下來。(時刻20分鐘，可提早上交。)如果你認為解題差不多完成，請選擇：你覺得這道題（）①難②比較難③容易你對這道題（）①感愛好②比較感愛好③不感愛好你認為自己是否寫出了所有的答案（）①是②不是③不明白測試的組織在2003年11月15日，我們從一所一般城鎮(zhèn)小學的二、三、四年級分不選擇兩個班級，即二(5)、二(6)、三(5)、三(6)、四(5)、四(6)共6個班的354名學生進行了測試，同年級的兩個班由同一教師任教，三位教師教學水平、教學態(tài)度相仿。我們在每個年級的被試班級中選擇一個班級作為實驗班，即二(6)、三(6)、四(6)三個班，其余班級作為對比班。在測試的前一天，我們對實驗班進行了鋪墊性訓練。訓練的題目有兩道，一是□＋□=13，兩個一位數(shù)相加的，和是13；二是□＋□□=43，即一個一位數(shù)和一個兩位數(shù)相加的和是43。教學的過程簡述如下：1.出示□＋□=13，兩個一位數(shù)相加的和是13，請你寫出如此的算式。先讓學生獨立地寫，然后進行匯報交流。有的沒有按順序?qū)?，有的是按一定的順序?qū)懙?。按順序?qū)懙乃悸芬o有兩種：第一種是先寫下一個算式，如6+7，再分不依次把一個加數(shù)減少1，把另一個加數(shù)增加1，得到另一個算式；第二種是先寫下一個算式，如9+4，再把兩個加數(shù)交換位置，得到另一個算式，如此一對一對地寫。針對第二種思路，教師提咨詢：“什么緣故想到先寫9+4？”學生答：“因為□填的是一位數(shù)，最大能填9，最小能填4?！?.出示□＋□□=43，即一個一位數(shù)和一個兩位數(shù)相加的和是43，請你寫出如此的算式。教學環(huán)節(jié)同上。學生解題的策略除了以上兩種之外，還有把個位、十位分開來考慮的，即先想兩個數(shù)相加等于3或13的有哪幾種情形，再想十位上應該填幾。最后，教師在小結(jié)中指出，解決類似如此的咨詢題，思路可能會有好幾種，不管選擇什么方法，先確定一個算式是專門重要的。訓練終止之后，教師沒有提示將要進行有關的測試。測試時，教師告知學生這只是一次一般的作業(yè)，不是真正的考試，解決這道題的方法可能會有專門多種，能夠自己去查找一些方法。并指出，要在20分鐘內(nèi)完成，如果認為自己差不多完成，能夠提早上交。四、測試的結(jié)果1.寫出題數(shù)的統(tǒng)計年級班級人數(shù)寫出的總題數(shù)平均每人題數(shù)全總寫出來的人數(shù)百分比二年級對比班5761910.900%實驗班60142023.6610%小計117203917.465.1%三年級對比班62126620.469.6%實驗班62182729.52438.7%小計124309324.93024.2%四年級對比班55168430.62138.1%實驗班58198834.33051.7%小計113367232.55145.1%注：不同策略寫出同一算式(兩個加數(shù)相同，位置也相同)不累計題數(shù)；不正確地算式(算式與結(jié)果不符)和不符合要求的算式(兩位數(shù)加一位數(shù))不計題數(shù)。全部寫出來共37題。比較每人寫的平均題數(shù)，同一年級，通過鋪墊訓練的班級和沒有訓練的班級，每人平均寫出的題數(shù)是有差異的，而且，年級越低，差異越大。不同年級平均每人寫出的題數(shù)也有較大的差異。比較各班寫全的人數(shù)所占的百分比，通過鋪墊訓練的班級明顯優(yōu)于沒有訓練的班級，不同年級寫全人數(shù)的百分比差異十分明顯。由此能夠看出，鋪墊訓練對學生答題的效率和完整性有重要的阻礙，這種阻礙隨著年級的升高而逐步降低。2.運用策略統(tǒng)計我們對學生答題的過程進行了分析，發(fā)覺他們在解決那個咨詢題的過程中，有的是按一定的順序來寫的，有的是雜亂無章，沒有順序的。統(tǒng)計如下：年級班級有順序的無順序的有序的寫法比無序的多的題數(shù)人數(shù)寫出的總題數(shù)平均每人寫的題數(shù)人數(shù)寫出的總題數(shù)平均每人寫的題數(shù)二年級對比班3444813.1231717.75.4實驗班3696326.82445719.17.7小計70141120.24752811.29三年級對比班2666225.53660416.78.8實驗班52170732.8712017.115.7小計78236930.44272417.213.2四年級對比班50164232.85428.424.4實驗班54195336.223517.518.7小計104359534.67771123.6從上表中能夠看出：按一定的順序?qū)?，每人寫出的平均題數(shù)比沒有順序的多得多，而且，年級越高，差異越明顯。這講明高年級的學生思維的條理性比低年級好，選擇和運用策略的能力高于低年級學生。通過進一步分析，按順序?qū)懙牟呗砸o有：①增減加數(shù)：如先寫出10+46或46+10，再把一個加數(shù)增加1，另一個加數(shù)減少1，得到11+45或45+11。②交換位置：如先寫出27+29，再交換兩個加數(shù)的位置得,29＋27，按照增減加數(shù)的方法得到另一個算式，如26+30，再交換加數(shù)的位置，以此類推。③數(shù)位搭配：把可能的算式分成進位和不進位兩類，列出個位相加得6和16的分不有哪些情形，再考慮十位上分不應該填幾。④時期有序。要緊有兩種情形：一種是先寫下10+46，再把第一個加數(shù)加10，或先寫下11+45，把第一個加數(shù)加11。第二種情形是一部分算式按照加數(shù)增減的順序?qū)?，其他的算式?jīng)]有用這種規(guī)律。各種策略的使用人數(shù)情形如下表：年級班級增減加數(shù)交換位置數(shù)位搭配時期有序兩種策略二年級對比班15102710實驗班1393115三年級對比班144088實驗班2733189四年級對比班3250138實驗班446125相比之下，加數(shù)增減是多數(shù)學生選用的策略，緣故有二，一是這種策略簡便易行，二是這種策略使用比較頻繁。而數(shù)位搭配的策略使用的學生最少，要緊這種策略要用到排列組合的知識，相對其它幾種方法來講，比較復雜。高年級學生較少選用這種策略，講明高年級學生比低年級學生有更強的策略選擇能力。比較使用了兩種策略的人數(shù)，低年級和高年級并沒有多大的差異，這講明各年級學生運用多種策略解題的意識相差無幾，高年級探究其他方法解題的能力沒有優(yōu)勢。因為在鋪墊訓練中強化了加數(shù)增減的方法，通過鋪墊訓練的班級，選擇使用這種策略的較多，而他們在選用多種策略解題方面并沒有優(yōu)勢。講明鋪墊訓練與多樣化的解題策略并無直截了當?shù)?、必定的?lián)系，而且，還可能使學生受到思維定勢的阻礙，固化學生的解題思路。判定自己的答案是否寫全，統(tǒng)計情形如下：年級班級判定正確的判定錯誤的不清晰的未選人數(shù)人數(shù)百分比人數(shù)百分比人數(shù)百分比二年級對比班1017.52136.82340.43實驗班15253151.61423.30三年級對比班2032.269.63454.82實驗班2743.5002946.86四年級對比班2341.8814.52036.44實驗班2339.71356.51932.83表中能夠看出，高年級判定的準確率明顯高于低年級。這講明，高年級的學生比低年級的學生更能清晰地講明自己的答案。選擇不清晰的人數(shù)四年級和二年級都高于三年級，可能是高年級的同學更加自信，而低年級的同學有些茫然。我們對選擇認為自己寫全答案的人數(shù)進行統(tǒng)計，各班選“是”的人數(shù)分不是二（5）班21人，二（6）班29人，三（5）班6人，三（6）班13人，四（5）班23人，四（6）班28人。這表明，通過鋪墊訓練的學生對自己解題的結(jié)果比較自信。對難易程度和是否感愛好進行統(tǒng)計，結(jié)果如下：年級班級難易興趣比較難百分比容易百分比感愛好百分比較感愛好百分比二年級對比班1424.53968.43663.11424.6實驗班1728.3396530502440三年級對比班23373658.13759.71930.6實驗班711.24877.32952.71219.3四年級對比班610.94683.64378.11221.8實驗班915.54374.14781813.8注：其余為認為是“難”的或是“不感愛好”的。表中能夠看出，低年級認為比較難的比例較高，認為感愛好的比例與中年級差不多；而高年級認為容易的比例比較高，感愛好的比例也相對高一些。這講明，就這一道題來講，難易程度與是否感愛好沒有必定的聯(lián)系，這與通常我們講的具有挑戰(zhàn)性的咨詢題更能激發(fā)學生的愛好是不吻合的。而且，高年級和低年級沒有可比性。我們在調(diào)查中發(fā)覺，不管是低年級依舊高年級學生，摸索的條理性阻礙他們對咨詢題的樂趣感和難易程度的認識。一樣情形下，能有條理摸索的學生，一樣認為題目比較容易，而且感受有味，相反，則認為比較難，或沒有愛好。引發(fā)摸索的咨詢題1.摸索的條理性阻礙專門規(guī)咨詢題的解決。學生能有條理的摸索，往往策略比較多樣，能綜合運用幾種策略解決同一個咨詢題，表現(xiàn)出思維的靈活性和獨創(chuàng)性。不同年級的學生計策略的選擇是有差異的，高年級學生具有更強的策略優(yōu)化意識。選擇和策略的能力水平與學生學習的樂趣感緊密有關