【概率論在中學數(shù)學的應用探究7700字（論文）】

概率論在中學數(shù)學的應用研究摘要：在中考和高考的考試大綱中，都有著概率的身影，概率與許多知識點都有交匯。因此對于概率在中學的應用將會從探究概率在中學數(shù)學的分布、概率中的事件分類以及概率的考向等方面進行分析。概率在考試當中的難度水平處于中等，但是遇到結合考察時也有很大難度，故而掌握概率在中學數(shù)學的應用不可或缺。關鍵字：概率計算；概率問題；數(shù)學應用；學習意義目錄一、 中學概率論的概述 41.1 概率論的起源與發(fā)展 41.1.1概率論的起源 41.1.2 概率論的發(fā)展 41.2概率論在中學數(shù)學的地位 41.3概率在中學數(shù)學的分布 4二、 概率的儲備知識 52.1 概率中事件的分類 52.3.1互斥事件 52.3.2對立事件 52.3.3 獨立事件 62.2 概率中的隨機事件 62.2.1 頻率與概率的聯(lián)系 62.2.2 生活中的概率 7三、 概率在中學數(shù)學的應用 73.1概率在初中數(shù)學的求取方法 73.1.1直接列舉法求概率 73.1.2列表法求概率 73.1.3樹狀圖法求概率 83.2 概率在高中數(shù)學的應用 93.2.1條件概率的考察 93.2.2 正態(tài)分布的考察 103.2.3離散型隨機變量的考察 103.2.3 均值與方差的考察 10四、 中學概率論的存在意義 114.1概率的考情 11五、 結束語 11參考文獻： 12中學概率論的概述概率論的起源與發(fā)展1.1.1概率論的起源關于概率論這門學科的研究是起源于賭博中出現(xiàn)的各種問題，在其中聯(lián)系緊密的問題之一是“分賭注問題”：在賭局中如何更合理的分配賭本。這個問題困惑了人們近兩個世紀，直到帕斯卡和費馬共同合作，二人從兩方面著手：一邊進行賭博試驗；一邊計算賭博中會出現(xiàn)各種概率。最終解決了這一問題，并且由特殊到一般情況推進。后續(xù)經荷蘭科學家惠更新的多年鉆研，終成《輪骰子游戲中的計算》一書，且成功解決了許多數(shù)學問題。隨著這本專著的誕生，概率論這門學科已然成為一個富有生命力的數(shù)學分支。概率論的發(fā)展在早期概率論的提出創(chuàng)立之后，緊接著是瑞士數(shù)學家貝努利等在前人的研究理論上分析解決問題，并得到了“大數(shù)定律”這一定理，這一定理的證明花費了大量的時間和精力，經歷了重重困難后方得到。隨著近幾個世紀的科學發(fā)展，人們也開始慢慢注意到了概率論的范圍不斷擴展、應用逐漸增多而且其功能不斷滲透到日常生活中。概率論的方法及理論不僅僅應用于自然科學中，在現(xiàn)代的企業(yè)管理中也得到了充分發(fā)揮，帶來了經濟效益?，F(xiàn)在的我們生活在一個擁有風險和挑戰(zhàn)的時間節(jié)點，那么如何減少將要面對的風險，以更好的姿態(tài)面對挑戰(zhàn)，就要掌握和理解概率論的知識。1.2概率論在中學數(shù)學的地位在初中的數(shù)學課本中開始初步學習概率的相關知識，到了高中以后關于概率的學習更加重要，也是高考的一個重點。初中教學過程中只是簡單的認識概率的基本概念，初中學習的概率也是為了高中再次接觸奠定基礎，只是因為在初中數(shù)學中占比重過少，也不著重安排課程，因此不僅教師沒有很好的掌握一些基本知識，學生也不能為以后高中的學習做好準備。在高中的教學中可以知道概率的學習是關于數(shù)學學科的重要知識點之一，是運用數(shù)學知識解決實際問題的關鍵。關于概率的題目也是高考的?？碱}型，在新課標的要求中，有關概率的教學不僅要注重培養(yǎng)學生的知識技能發(fā)展，也要讓學生體會到數(shù)學和生活的聯(lián)系。1.3概率在中學數(shù)學的分布在初中時期，第一次開始學習有關概率的知識是在七年級課本下冊中數(shù)據與統(tǒng)計圖表，更深入一些學習是在九年級時學習的簡單事件概率。在高中時期學習的概率知識是在必修三課本的第三章接觸隨機事件概率、古典概型和初步的概率應用，接著就是在選修課本中深層學習。概率的儲備知識概率中事件的分類2.3.1互斥事件定義：在一個隨機試驗中，存在兩個不能同時發(fā)生的事件1和事件2，那么我們稱這兩個事件為互斥事件。如果用字母A和字母B來表示這兩個事件，那么AB是一個不可能事件，由此可以得到加法公式：PA+B例題1：從工廠發(fā)來的漢服打版樣品中隨機選取一件漢服，令事件a=“版型完美的漢服”，事件b=“版型普通的漢服”，事件c=“版型劣質的漢服”，假設P(a)=0.2，P(b)=0.5，P(c)=0.25，試問：抽到版型完美或者版型劣質的漢服的概率是多少？抽到版型普通或者版型劣質的漢服的概率又是多少？解：記第一問的事件為e，第二問的事件為f。已知的互斥事件加法公式為：P(A+B)=P(A)+P(B)。根據題目給出的條件，事件e就是事件a+c，又因為這兩個事件為互斥事件，所以可選用互斥事件的加法公式得出答案，即P(e)=P(a+c)=P(a)+P(c)=0.45。事件f表示的是事件b+c，并且b事件和c事件為互斥事件，則與上述表達同理可得：P(f)=P(b+c)=P(b)+P(c)=0.75。2.3.2對立事件定義：基于互斥事件的學習，若有一個一定會發(fā)生，那么就稱之為對立事件。在每一次的試驗過程中，兩個事件不存在同時發(fā)生的情況。對立事件也被稱為逆時間，若兩個事件對立，記這兩個事件為A和B，那么一定會有：PA對立事件和互斥事件的關系：對立事件不適用多個事件，而互斥事件適用于大于等于兩個事件；對立事件和互斥事件是被包含和包含關系；從集合的角度看，幾個事件是互斥事件只需這幾個事件交集為空即可，但是對立事件不僅要求交集為空，而且事件的并集要是全集。如果一些事件是互斥事件，那么這些事件有兩種情況，一是可以都不發(fā)生，二是至多發(fā)生一個；如果一些事件是對立事件，那么這些事件只會有一種結果，就是只能發(fā)生一個。例題2：在一次漢服盲盒售賣中，甲抽中紅色漢服的概率是1/2，乙抽中紅色漢服的概率是1/3，丙抽中紅色漢服的概率是1/2，盲盒到貨后，若這三個人同時都中了紅色漢服，那么抽中紅色漢服的概率是多少？解：這個題目考查的是概率的相關知識。在做題時，我們可以先假設三人都沒抽中紅色漢服，此時都沒抽中的概率是：（1-1/2）*（1-1/3）*（1-1/2）=1/6；此時題目就轉換為兩個事件：一個是抽中紅色漢服事件，一個是未抽中紅色漢服事件，顯然這兩個事件是對立事件，知道了未抽中事件的概率，則可根據概率公式知道抽中的概率為P=1-1/6=5/6。因此抽中紅色漢服的概率為5/6。獨立事件定義：一般情況下，在兩個事件E，F(xiàn)中，如果E事件在發(fā)生對F事件沒有影響，并且E事件不發(fā)生時對F事件也沒有影響，顯然可以得到這兩個事件之間存在“獨立性”，那么此時可以得到這兩個事件互為獨立事件，公式為：PEF拓展：獨立重復事件的概率定義：在一次試驗中，A事件的發(fā)生概率為P；在N次獨立重復試驗中，設該事件發(fā)生的次數(shù)共有ξ（ξ=0,1,2，…，N），那么事件發(fā)生k次時的概率公式可以寫為Pξ=k例題3：在一次活動中，通過調查發(fā)現(xiàn)，穿著漢服參加活動的人的概率是0.3，現(xiàn)在隨機選中兩個參加活動的人，求出他們穿著漢服的概率。解：根據題目給出的條件，我們可以知道，穿漢服參加活動的事件和穿其他類型衣服參加活動的事件是相互獨立的，因此可以使用獨立事件的公式求出概率。設Ei(i=1,2)表示選取的第i個人穿漢服，則P(E1)=P(E2)=0.3，P(E1E2)=P(E1)P(E2)=0.09。概率中的隨機事件在初中時期，已經初步了解幾種基本事件的基本概念，到了高中將會進一步學習。首先要學習的是隨機事件，這是一種不確定的事件，只是并非所有的不確定事件都包括在內。例如“誰能幫助哈利夫婦重返皇室”，這只是一個簡單的不確定事件，不能被劃分為隨機事件中。在高中時期學習的隨機事件是需要一個不確定事件經過大量重復實驗得到。頻率與概率的聯(lián)系在高中數(shù)學教學過程中，初步了解概率知識是在課本的必修三第三章，基于初中學過的幾種事件進一步學習頻率與概率的聯(lián)系與區(qū)分。頻率的相關知識也是我們要掌握的相關概念。在日常生活中，我們常常聽到人們說一些事件發(fā)生的概率，但是他們卻不能很好的表達出事件概率的具體意義，雖不了解卻可以使用，因為生活中的一些難以預估的事件其實就是學生在數(shù)學所要學習的關于概率的基本事件，數(shù)學來源于生活服務于生活。根據課本知識的總結，在等可能條件下，在大量重復實驗后，可發(fā)現(xiàn)頻率會在一個“常數(shù)”附近，也可以說是事件的頻率具有穩(wěn)定性。隨機事件的頻率是隨機的不確定的，但是可以大致反映出這個事件出現(xiàn)的頻繁程度；隨機事件概率是確定的，且這個值在一個“常數(shù)”附近，這個“常數(shù)”的取值范圍是0<=P<=1。在做題時，假若隨機事件概率無法直接得到，可選用的方法是經過大量重復實驗，用頻率出現(xiàn)附近“的常數(shù)”，當做概率的一個約值。例題4：在兩個小正方體六個面上分別寫上數(shù)字1、2、3、4、5、6，在同等條件下，第一個小正方體拋擲700次，在此過程中向上一面上的數(shù)字為“5”的次數(shù)出現(xiàn)了70次，第二個小正方體拋擲500次，此時向上次數(shù)為“5”的次數(shù)出現(xiàn)了100次。倘若我們拋擲小正方體時希望得到“向上一面數(shù)字為5”，那么選擇哪一個小正方體會更好？解：根據題目中給出的條件，為了能夠清晰看出對比，可以列一個表格，如下所示：第一個小正方體第二個小正方體總拋擲次數(shù)700500向上數(shù)字為5次數(shù)70100頻率0.10.5由表格可以知道小正方體向上拋擲時在“向上數(shù)字為5”的頻率，在做題過程中，當我們無法直接得到事件的概率，則可選用以頻率估計概率，因此根據實際需要，生活中的概率在日常生活中人們會遇到許多機遇也會有很多風險，這些都是不確定的，在我們學習過概率的相關知識后，就會發(fā)現(xiàn)這些不確定的事件就是我們學習過的概率基本概念。人們在平時的交流中也會不自覺地用到概率這個詞語，比如：鄰居家的狗要生了，有人會說小狗的毛色有4/5的概率像狗爸爸，1/5的概率像狗媽媽；也有人說小狗的毛色像父親的概率占1/2，像母親的毛色占1/2；后來經過遺傳學家證明出的答案和第一個人的說法是相吻合的。由此可見，人們知道概率但是不能準確地表達具體含義。因此在學習時，培養(yǎng)學生形成正確的數(shù)學思想，教師教學時從身邊實際與概率相關問題為例開展學習。概率在中學數(shù)學的應用3.1概率在初中數(shù)學的求取方法3.1.1直接列舉法求概率定義：當對象涉及比較單一的情況下使用，并且等可能結果出現(xiàn)數(shù)目較少的情況下使用。3.1.2列表法求概率定義：為了不重不漏的表現(xiàn)出所有可能會出現(xiàn)的結果時選取列表法，當且僅當涉及到事件中有兩個因素，以及事件會出現(xiàn)的結果數(shù)目較大時使用。列表法的一般步驟：將事件可能出現(xiàn)的所有結果一一列舉，要求做到不重不漏，并且在列舉完以后要將結果有規(guī)律的填入表格中；將我們所要求的事件發(fā)生時的結果一一找出；將這些結果事件代入已知的概率計算公式。例題5：將一個質地均勻的小正方體的六個面分別寫上1、2、3、4、5、6幾個數(shù)字，然后連續(xù)拋起來兩次，問正面朝上的點數(shù)之和是11的概率是多少？解：由題設條件可知，該事件涉及到了兩個因素，并且出現(xiàn)的結果數(shù)目較大，因此可選用列表法。1235612346723457834568945679105678101167891112從上述表格可以看出，兩點之和為11的結果有兩種，事件共會出現(xiàn)的結果有36種，那么點數(shù)之和為11的事件會出現(xiàn)的概率為PA3.1.3樹狀圖法求概率定義：當面臨兩個以上因素的事件時，為了能夠更好地表示出事件的所有結果，選用樹狀圖的方法可以做到不重復、不遺漏。樹狀圖法的一般步驟：（1）將事件的所有可能會發(fā)生的結果用樹狀圖表示出來；（2）然后根據樹狀圖找出事件發(fā)生時所有出現(xiàn)的結果；（3）最后可根據公式：P例題6：A、B、C三名學生為了參加學校組織的體育測試能夠獲得一個好的名次，在老師的指導下進行了足球傳球訓練。已知傳球訓練需要一個人將球送到另一個人腳下，并且每個人傳給另外兩人球的機會是均等的，若果現(xiàn)在從A同學開始，傳球的場次一共三場。那么我們可以用什么方法來表示出這三次傳球的所有可能情況？第二次傳球后球在C同學腳下的概率是什么？足球經歷三次傳遞后，在哪位同學腳下的概率大？解：題干當中涉及到事件的因素超過了兩個，一般情況下，事件因素超過兩個時選用樹狀圖方法更為簡易。用樹狀圖表示三次傳球的所有可能情況如下所示：開始A第一次BC第二次ACAB第三次BCABBCAC根據上面所畫樹狀圖，若要求第二次傳球后球在C同學腳下的概率，則可選用樹狀圖的公式，即PC=1除上述三種方法可解決初中概率題目外，還有一種方法叫做用頻率估計概率，這種計算方式是針對要做大量重復實驗的時候選用的，并不適用于一般解題。此外，在做題過程中，以上三種方法要擇優(yōu)選用，比如當題目中事件涉及兩個因素時，選用列表法則結果清晰可見。面對例題2中的題目如若選用列表法，那么我們就不能很快得到答案，與此相對應的就是樹狀圖法，適用范圍廣，面臨有多因素事件時可幫助學生快速解題。概率在高中數(shù)學的應用在高中學習概率，要能夠掌握基礎概念。概率在高考中的題目類型屬于中等難度，做起來并不是十分難，但是一般情況下題目會很長，比較耗費時間。又因為時間緊等因素不能仔細看題，同時又因為對知識點的掌握不牢靠，易混淆，所以容易出錯。接下來就介紹一下概率的相關考查方式。在高中數(shù)學的學習中會學到很多知識點，同時又有很多知識點是交叉的。其中以概率為例：不等式、排列組合等知識點在考試時都與概率一起出現(xiàn)過。面對知識融合的復雜題型，首先要做到的就是能夠將各個知識點在學習的時候就學扎實，當后來學習的愈加深入時，由老師引導學生去發(fā)現(xiàn)知識與知識之間的聯(lián)系，感受數(shù)學知識學習的魅力。概率是數(shù)學中的一大重點，在初中只是簡單了解，高中時作為高考的必考點，到了大學時更深入的學習概率的知識地位，更加具體感受概率的分布，以及與知識點的交匯貫通。3.2.1條件概率的考察在高考試卷中，條件概率的考察大都出現(xiàn)在客觀題中。若要求出條件概率，則必須要知道其計算方法，也就是條件概率的公式。公式為：P(A∣B)=P(AB)/P(B)。其中P(A∣B)所表示的含義是：A事件的發(fā)生概率，是一定要在B事件發(fā)生的前提下得到的；P(AB)中的AB并不是一個事件，而是事件A和事件B，當兩個事件同時發(fā)生時，才可以寫成P(AB)。例7：根據安徽某一段時間的天氣數(shù)據，可以知道，某一天的天氣晴朗的概率為0.6。假設接著的兩天天氣晴朗的概率為0.45，若已知一天的天氣晴朗，那么它后邊一天的天氣跟它一樣的概率是多少？解：由題設條件可設，天氣晴朗的事件為A，記P(A)=0.6；接著兩天天氣晴朗事件為B，記P(AB)=0.45。在知道第一天天氣的狀況下，想知道第二天天氣一樣的事件可以根據條件概率公式知道，這種事件概率可用P(B∣A)，接著利用公式可得到：P(B∣A)=P(AB)/P(A)=0.45/0.6=0.75。正態(tài)分布的考察正態(tài)分布在高考中是一個重點考察對象，在全國卷中分別考察過填空題、選擇題和解答題。?？嫉姆较蛴腥N，為圖像、面積和標準正態(tài)分布。通過正態(tài)分布求取概率時，要切記兩大原則。為：3σ和數(shù)形結合原則。例8：對于正態(tài)分布N(2,σ2)，若存在一個隨機變量ξ對其是服從的，所以當P(ξ﹤4)=0.6時，問P(0﹤ξ﹤2)的值為多少？解：由題設條件可知，ξ對于N(2,σ2)是服從的，所以所表示曲線的對稱軸是μ=2，又因P(0﹤ξ﹤2)=P(2﹤ξ﹤4)=P(ξ﹤4)-1/2=0.1。3.2.3離散型隨機變量的考察定義：對于隨機變量所有可能會取到的值，并且可以將這些值用一定的順序列出，則可稱為離散型隨機變量。分布列定義：當離散型隨機變量ξ的取值為x1，x2，…，xi，…，xn時，可以得到的是：對于ξ的每一個取值，都有Pξ=隨機變量的分布列可表示為：ζx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn離散型隨機變量的性質：（1）0≤pi≤1，i∈(0,n)。（2）p1+p2+…+pn=1。例題9：流煙昔泠漢服店為了回饋顧客，推出一款漢服盲盒活動，價位一樣，盲盒內的衣服放置一件到六件不等，如果選用ξ表示抽中漢服的件數(shù)，那么顧客購買時開出件數(shù)為偶數(shù)的概率是多少？開出件數(shù)大于3件又不大于5件的概率是多少？解：根據題目給出的條件，可以得到ξ的分布列為：P(ξ=i)=1/6（i=1,2，…，6）。第一問開出衣服件數(shù)為偶數(shù)是指{ξ=2}、{ξ=4}、{ξ=6}這三個事件，因此可以寫為P({ξ=2}∪{ξ=4}∪{ξ=6})=P(ξ=2)+P(ξ=4)+P(ξ=6)=1/2。第二問開出衣服件數(shù)比3件多又不大于5件發(fā)生的概率為：P(3＜ξ≤5)=P(ξ=4)+P(ξ=5)=1/3。均值與方差的考察均值公式：Eξ方差公式：Dξ均值反映數(shù)據的平均水平。通過方差可以看出數(shù)據的穩(wěn)定性。例10：某次漢服活動中招募兩組服務人員，其中活動場內30人，場外60人，現(xiàn)要登記服務人員穿漢服情況，已知場內穿漢服人員20人，場外40人，那么該活動服務人員平均穿漢服的情況是？解：x=(30*20+60*40)/(20+40)=50。所以場內人員和場外人員平均五十人穿著漢服。例11：在一次漢服模特才藝比賽中，其中某位參賽選手的評分依次是：90、89、92、90、95、94。問：若去除最高和最低分數(shù)，那么這位選手成績的方差為多少？解：根據題目要求，去除后的數(shù)據為90、90、92、94。x=(90+90+92+94)/4=91.5，S2=[(90-91.5)2+(90-91.5)2+(92-91.5)2+(94-91.5)2]/4=2.75。中學概率論的存在意義4.1概率的考情在歷年高考試卷中，考察概率知識是不可或缺的。以下表格羅列了從2015-2019年高考理科數(shù)學考察概率的題目和分值：地區(qū)考查題型20152016201720182019理科全國一卷小題12332+3理科全國二卷小題無312無理科全國三卷小題無無無22理科全國一卷計算無3444理科全國二卷計算12無無2理科全國三卷計算無無3無無相比較理科數(shù)學考察的增多，文科高考數(shù)學關于概率的考察逐漸減少，考試題型多為小題，分值兩分。雖然比重小，可是統(tǒng)計與概率在往往會在高考中結合考察固定題型，有些老師會說這種題型考的簡單是送分題，但是對比過近幾年的高考試卷就會發(fā)現(xiàn)統(tǒng)計概率大題難到第一問都做不出。一個典型代表就是大前年高考理科數(shù)學卷統(tǒng)計概率大題甚至成為倒數(shù)第二難度的題目。雖然考察的題目少，但是在做題的時候，有固定模式答題的題目一定要拿分，難度增加的題目則需要老師投入精力鉆研，并教會學生掌握。結束語在初中階段，關于概率這個知識點的課時少，中考時考的內容也少，因此沒有得到過多的重視，但是隨著社會的飛速發(fā)展，生活中的許多現(xiàn)象以及數(shù)學學習中有許多門課是以概率為基礎進行的，況且在高中課堂上還是要再次學習概率知識，并且會更加深入以及難以理解，所以在最初學習的時候就應做好知識儲備。概率反映的是一種規(guī)律，表示的是客觀事物存在，概率也很穩(wěn)定。概率的起源是“賭徒”問題，但是隨著概率的不斷發(fā)展，到了今天，已經與我們的生活密切相關，我們可以通過對