化工工程師-公共基礎(chǔ)-高等數(shù)學(xué)-積分學(xué)

化工工程師-公共基礎(chǔ)-高等數(shù)學(xué)-積分學(xué)

［單選題］1.設(shè)函數(shù)

/(工)二廣加衣也

L則f'(1)等于()。［2017年真題］

A.2-卡

B.2+&

C.加

D.-卡

正確答案：D

參考解析：由

/(-V)=「\/Wd/

Jx得

歷7dr

(x)=-卜xJ5+X2-2rx5/5+2」\

=-\5+x2即有

/'(I)=-y/6注：若f(x)在g,b］上連續(xù)，且g(x)可導(dǎo)，則

［/⑺"=f［g(x)卜g'G)

［單選題］2.若Jf(x)dx=F(x)+C,則/xf(1—x2)dx=()。［2018年真題］

A.F(l-x2)+C

B.(-1/2)F(l-x2)+C

C.(1/2)F(l-x2)+C

D.(-1/2)F(x)+C

正確答案：B

參考解析：計(jì)算得/xf(1—x2)dx=(—1/2)ff(1—x2)d(1—x2)=

(-1/2)F(l-x2)+C,這里C均表示常數(shù)。

［單選題］3.1f(x)dx=lnx+C,則/cosxf(cosx)dx等于()。［2017年真題］

A.cosx+C

B.x+C

C.sinx+C

D.In(cosx)+C

正確答案：B

參考解析：由If(x)dx=lnx+C,可得f(x)—1/x,則Jcosxf(cosx)dx

=fcosx(1/cosx)dx=x+Co

［單選題］4.已知6(x)可導(dǎo)，則(卜?一等于()。［2018年真題］

A刈一2工0’(./)

B.產(chǎn)獷-e“)子

c“(》)>到-

D(p\x)e0{x}-2x(p(xz)ec

正確答案：A

參考解析：由題意，計(jì)算得

d廣如)>

—I、edr

dx,哄x)

=e［1cp(x)-eL」—--------

dx

=0a）e?’"一2工夕’（入二）/V）」

【說明】如果。（x）、中（x）可

導(dǎo),則:

①

g［⑴f。）山=/［。（切”（x）

axJa②

W："'油='［夕（切。'（力-丹必刈"（X）

［單選題］5.等于()。［2014年真題］

-4X2

A.6

O-4xA

B.2e

C7/

c.一2e

-2x*

D.c

正確答案：C

參考解析：若f(x)在［a,b］上連續(xù)，且u=g(x)可導(dǎo)，則:

「、)⑺山/3>g'(K)

二/［gS)］g'(x)所以

八，d產(chǎn)_產(chǎn)

dr=----Iedr

凱dxJ。

=-20e-4/

［單選題］6.f'(x)連續(xù)，則If'(2x+l)dx等于()。［2012年真題］

A.f(2x+l)+C

B.(1/2)f(2x+l)+C

C.2f(2x+l)+C

D.f(x)+C

正確答案：B

參考解析：Jf'(2x+l)dx=(1/2)/f'(2x+l)d(2x+l)=(1/2)f

(2x+1)+Co

［單選題］7,若

-^dv=1

-X-

1+x則常數(shù)A等于()°［2016年真題］

A.1/Jt

B.2/JI

C.Ji/2

D.n

正確答案：A

參考解析：反常積分上下限均為無窮，在0處分開求，即：

fA=f且、出+jX

JYl+kJ-xl+x-J01+x"

x

=^arctanx|lx+Jarctanx|；

二=1解得：A=l/oro

.1

2sin—

［單選題］8.定積分"等于()。［2017年真題］

A.0

B.-1

C.1

D.2

正確答案：C

參考解析：換元法，令t=l/x得

「sinjmf-J

—d-=-sintat

JI\tJJ

=cosr+C

=cos—+C

X代入已知定積分得，原式為

11］

cos—+C;=cos--COS71-1

c為常數(shù)。

!i+x

dv

［單選題］9.定積分°717’

等于()。［2012年真題］

正確答案：C

°7T7Jo7T72Jo

=arcsin系-

參考解析：62

［單選題］10.若sec2x是f(x)的一個(gè)原函數(shù)，則/xf(x)dx等于()。［2016

年真題］

A.tanx+C

B.xtanx-InIcosxI+C

C.xsec2x+tanx+C

D.xsec2x—tanx+C

正確答案：D

參考解析：由于sec2x是f(x)的一個(gè)原函數(shù)，令F(x)=sec2x+C,貝！J：f

xf(x)dx=Jxd［F(x)］=xF(x)—J"F(x)dx=xsec2x+Cx—(tanx+Cx

—C)=xsec2x—tanx+Co

［單選題］11.下列廣義積分中發(fā)散的是()。［2013年真題］

T

e~xdx

A.JO

B.1

正確答案：c

f**Inx,1八、？工

I——ch*=-(lnx)*°=+oo

參考解析：九x2故c項(xiàng)積分發(fā)散。

［單選題］12.若正方形區(qū)域D：|x|Wl,|y|Wl,則二重積分

jJ(W+、2世+，

D等于()。［2018年真題］

A.4

B.8/3

C.2

D.2/3

正確答案：B

參考解析：根據(jù)積分區(qū)域及被積函數(shù)x2+y2,利用積分對(duì)稱性，得

|J(x2+y:1dvcjr=4,dv|(x2+y2加

D

8

3

［單選題］13.若圓域D：x2+y2Wl,則二重積分D【十、十】等于()。［2017

年真題］

A.n/2

B.n

C.2nln2

D.兀ln2

正確答案：D

參考解析：將此二重積分在極坐標(biāo)下進(jìn)行積分可得

四小-、=f-^—rrdr

1

x，+?y~JoJo1+r

二2/rx|ln（l+r2）-j|^

=/rln2

［單選題］14.二次積分*1：'（：J）"交換積分次序后的二次積分是（）。

［2013年真題］

「虱/（?"）&

A.

B.

C.

W.6&3油

D.

正確答案：D

參考解析：1艮據(jù)原積分上下限，積分區(qū)域?yàn)榍€y=x2和直線y=x包圍的區(qū)

域，交換積分次序后，y范圍應(yīng)為0?1,X范圍應(yīng)為故D項(xiàng)正確。

［單選題］15.若D是由y=x,x=l,y=0所圍成的三角形區(qū)域，則二重積分

jJ/（x5j）dxd）-

D在極坐標(biāo)下的二次積分是。。［2012年真題］

?cos^.

f(rcos仇rsin^)rdr

「deCOM/(rcosO.rsin6)rdr

B.Jh

產(chǎn)d8儼環(huán)dr

c.'Jo

J')rdr

D.

正確答案：B

參考解析：畫出區(qū)域D的圖形，在極坐標(biāo)下，區(qū)域D可表為：OWBWn/4,0

WrWl/cos。。變量可表示為：x=rcos。，y=rsin0,dxdy=rdrd。。故

1

ff/(x,y)dx由,=「djj3y(rcos0,rsin0)rdr

D

［單選題］16.設(shè)L是從點(diǎn)A（0,1）到點(diǎn)B（1,0）的直線段，則對(duì)弧長(zhǎng)的曲線

積分fLeos（x+y）ds等于0。［2018年真題］

A.cosl

B.2cosl

C.\''2cos1

D.Tasini

正確答案：C

參考解析：L是連接AB兩點(diǎn)的直線，則直線的方程為：y=l—x(OWxWl),

則

Jcos(x+>*)ds=Jcos[x+(l-x)]^l+(-l)2dr

=10cosldv=V2cos1

【總結(jié)】如果曲線

弧L由方程y=6(x)(xOVxVxl)給出，則

工/（工力）由二J:/卜必切］+@"（工）&（%<演）

［單選題］17.設(shè)L是橢圓周

x=acos?

（67>>0）

V=bsin6

的上半橢圓周，取順時(shí)針方向，則曲線積分/

Ly2dx等于()。[2017年真題]

A.5ab2/3

B.4ab2/3

C.2ab2/3

D.ab2/3

正確答案：B

參考解析：由題意可得：x2/a2+y2/b2=l,即y2=b2—(b2/a2)x2,則有:

fv2dr=f(62—匕/)去

JLJ-an~

4L2

=-ab

3

［單選題］18.設(shè)L為從點(diǎn)A(0,-2)到點(diǎn)B(2,0)的有向直線段，則對(duì)坐標(biāo)

f1,,

I------ax+yd\f

的曲線積分?二丫一】‘.,等于()。［2014年真題］

1

AR.

-1

C3

D.-3

正確答案：B

f-----dv+vdv-

參考解析：AB直線的方程為：y=x—2,曲線積分.工工一丁一化成x的

積分為：

［------dr+vdv=|-------------dr+(x-2)dv

hx-yJox-(.r-2)

=J/-v-1)dY=-l

［單選題］19.設(shè)L是連接點(diǎn)A(1,0)及點(diǎn)B(0,-1)的直線段，則對(duì)弧長(zhǎng)的

曲線積分/L(y-x)ds等于0。［2013年真題］

A.—1

B.1

C.41

正確答案：D

參考解析：直線L的方程為：y=x—1,則

J.(y-x)ds=r(.r-1-x)^l+(yf)2dx

JL<0

=-V2

［單選題］20.設(shè)L為連接(0,2)和(1,0)的直線段，則對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分/

L(x2+y2)ds=()o［2011年真題］

在

A.2

B.2

3石

C.2

5乖

D.3

正確答案：D

參考解析：直線L方程為：y=—2x+2,故：

，(丁+y2)#=j^[x2+(-2x+2>]Jl+(-2尸dr

二更

［單選題］21.拋物線y2=4x與直線x=3所圍成的平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周形成

的旋轉(zhuǎn)體體積是()。［2014年真題］

?3

4AX1X

A.0

f\4x2)dr

7t

B.jo

、

7T4xdx

C.JO

1jjyf4^dx

D.

正確答案：c

參考解析：根據(jù)定積分的運(yùn)用，拋物線y2=4x與直線x=3所圍成的平面圖形

繞x軸旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)體體積為：

V-7T\『dv=；r［4工dv

JaJ。JO

［單選題］22.曲線y=(sinx)3/2(OWxW皿)與x軸圍成的平面圖形繞x軸旋

轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)體體積等于()。［2012年真題］

A.4/3

B.4Ji/3

C.2n/3

D.2n2/3

正確答案：B

參考解析：旋轉(zhuǎn)體體積為：

3

K=J^(sinx)2］2dx=sin'xdx

=sin2xd(-cosx)

Jo

=-7T\(1-COSx)d(cosx)

Jo

4

=-7t

3

［單選題］23.若D是由x=0,y=0,x2+y2=l所圍成在第一象限的區(qū)域，則二

jjx2rd.vdy

重積分。等于()。［2016年真題］

A.-1/15

B.1/15

C.-1/12

D.1/12

正確答案：B

參考解析：采用極坐標(biāo)法求二重積分，具體計(jì)算如下：

￡1

[j.vvdxdy=[2deJ/cos2OpsinOp^p

D

1

2cos'dsindd，

o

1

15

［單選題］24.設(shè)D是由y=x,y=0及

y~八--『(工2°)所圍成的第一象限區(qū)域，則二重積分D

等

于0。［2014年真題］

A.na2/8

B.Jia2/4

C3na2/8

D.Jia2/2

正確答案：A

參考解析：直線y=x,y=0及曲線

y~J/一廠(x-0)所圍成的是一個(gè)處于第一象限內(nèi)的以a為半徑的

ffdvdi,

1/8的圓的區(qū)域，而二重積分D表示上述區(qū)域的面積，所以二重積分

D

［單選題］25.由曲線y=lnx,y軸與直線y=lna,y=lnb(b>a>0)所圍成的

平面圖形的面積等于()。［2018年真題］

A.Inb—Ina

B.b-a

C.eb-ea

D.eb+ea

正確答案：B

參考解析：由y=lnx得，x=eyo由題意，得圍成的平面圖形的面積

sedInb

=Ly=Ina

［單選題］26.圓周P=cos0,P=2cos0及射線0=0,0=耳/4所圍的圖形的

面積S等于()。［2010年真題］

A.3(n+2)/8

B.(Ji+2)/16

C.3(n+2)/16

D.7n/8

正確答案：C

參考解析：根據(jù)積分區(qū)域可得

「廣,二i?2cos^

S叩dsRd嘰.pdp

V

=3(i+2)

16

［單選題］27.設(shè)L是拋物線y=x2上從點(diǎn)A(1,1)到點(diǎn)0(0,0)的有向弧

線，則對(duì)坐標(biāo)的曲線積分/Lxdx+ydy等于()。［2016年真題］

A.0

B.1

C.-1

D.2

正確答案：C

參考解析：選擇x的積分路線，有：

Jxdx+ydy=［(x+2x')dv

=-1

J3/3dx

［單選題］28.不定積分?+等于()。［2014年真題］

A.(1/4)(l+x3)4/3+C

B.(l+x3)1/3+C

C.(3/2)(l+x3)2/3+C

D.(1/2)(l+x3)2/3+C

正確答案：D

參考解析：原式等于

J君雨)叫d(l+/

1.I

=彳(1+短/+C

］j一

［單選題］29."(1+X)()。［2011年真題］

A.arctan

B.2arctanVv-C

C.tan(1+x)

D.(1/2)arctanx+C

正確答案：B

參考解析：因?yàn)?/p>

(arctan4)'=----!一^尸

2(l+x)正故

rdr

JVx(l+x)=2arctan>/x+C

［單選題］30.若f(x)的一個(gè)原函數(shù)是Inx/x,則/xf'(x)dx=()。

A.Inx/x+C

B.(1+lnx)/x+C

C.1/x+C

D.(l-21nx)/x+C

正確答案：D

參考解析：由f(x)=(lnx/x)'=(1—Inx)/x2,則：

fxff(x)dx=Jxdf(x)=xf(x)—/f(x)dx=x(1—Inx)/x2—lnx/x

+C=(l-21nx)/x+C

［單選題］31.廣義積分

-——7dx=]

2+A「則c等于（）。

A.n

B.0

述

C.丁

D.-2/n

正確答案：C

=匹=]

2母因此,

2退

6=------

[單選謚32.下列廣義積分中發(fā)散的是0。

A『烹也

fIn—dr

B.'1-X

■X

D.,2+JT

正確答案：A

參考解析：A項(xiàng),

1

dv=j(hix)d(hiA*)

J，kJink

發(fā)散。

B項(xiàng)，

=1收斂。

C項(xiàng)，令*=56(21；,則

1j；dr=jsecd=In|secr+tanr|+C

=In.v+y/x2-1+C

代入已知定積分,

Inx+y/x2-1；=ln3

」收斂。

D項(xiàng)，

一

2收斂。

［單選題］33.設(shè)D是xOy平面上以(1,1)、(-1,1)和(-1,-1)為頂點(diǎn)

|T(ri,+cosxsinv)drdi)

的三角形區(qū)域，D1是D在第一象限的部分，則m"'"等于

()。

2jTcosxsinidrdv

A.A

2jjxi,dr(iv

B.A

4g+cosxsinj)dx4y

VV

c.n

D.0

正確答案：A

參考解析：三角形D可進(jìn)一步分割為兩個(gè)分別關(guān)于x軸和y軸對(duì)稱的三角形，

從而根據(jù)被積函數(shù)關(guān)于x或y的奇偶性即可得出結(jié)論。設(shè)IT是xOy平面上以

(0,0),(1,1),(-1,1)為頂點(diǎn)的三角形區(qū)域，D"是xOy平面上以

(0,0),(-1,1),(-1,-1)為頂點(diǎn)的三角形區(qū)域，則D'關(guān)于y軸對(duì)

稱,D〃關(guān)于x軸對(duì)稱。

于是

||(xx'+cos.Vsiny)dvdy=JJ.ndvdv+cos.vsinvdvdv

DD'-。'D-D"由于

xy關(guān)于x和y均為奇函數(shù)，因此

Jj=0

DR而

ifcosxsinyrLvdi,

D'*DT

=jjcosxsinjdxdy-+fjcosxsinjdrdi、

D'D'

2JJcosxsinjxtv4y

A

JJ3+cos.rsiny)dxdy=2jJcosxsinidrdA1

D4

［單選題］34.設(shè)函數(shù)f(u)連續(xù)，.區(qū)域D={(x,y)|x2+y2<2y},則

Ep2sin8.

口［ddj/（r'sin8cose）rdr

正確答案：D

參考解析：先畫出積分區(qū)域的示意圖，再選擇直角坐標(biāo)系和極坐標(biāo)系，并在兩

種坐標(biāo)系下化為累次積分，即得正確選項(xiàng)。積分區(qū)域（見圖1-3-1）,在直角坐

標(biāo)系下_____

g/3）g=觸j翌"（個(gè)）&

=fdrf

LiJi-,一^7?7■■因?yàn)椴淮_定被積函數(shù)的奇偶性，

故不能用對(duì)稱條件，B項(xiàng)錯(cuò)誤。

在極坐標(biāo)系下，

fx=rcos^

L』sine所以

JJ/（V）&仃=f.do\/卜飛in8cos6）rdr

D

［單選題］35.設(shè)

jjyja2-x2-y2dxdv=竺；r

D3D：x2+y2Wa2,則a為0。

A.近

B.追

C.1

D.2

正確答案：D

參考解析：將方程用極坐標(biāo)表示，

30

,3

3由題設(shè),(2/3)na3=

(16/3)n,得a=2。

［單選題］36.設(shè)

其中。是由

和Z=1所圍成的，則1=()。

A.JI/6

—-h

B.瞼

C.6

三

D.6"

正確答案：B

參考解析：設(shè)圓錐側(cè)面，球面所圍區(qū)域?yàn)椤?,球面與平面z1,圓錐面所圍區(qū)

域?yàn)镼2(見圖1-3-2),則

I=|[[(1-yjx2+y2+z2jdr4-[[[(yjx1+1,;+z2-11dv

富X

=jd“jsin兇夕((1-r)/dr+fde|；sin唱夕—

=7(V2-1)

[單選題]37.設(shè)曲線積分Jl[f(x)—ex]sinydx—f(x)cosydy與路徑無關(guān),

其中f(x)具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且f(0)=0,則f(x)等于()。

A.(e—X—ex)/2

B.(ex—e—x)/2

C.(ex+e—x)/2—1

D.1—(ex+e—x)/2

正確答案：B

參考解析：曲線積分/IP(x,y)dx+Q(x,y)dy與路徑無關(guān)，即聲(x,y)

(x,y)/8

P(x,y)=[f(x)—ex]siny,Q(x,y)=—f(x)cosy,則由題設(shè)有

(x,y)/的=dQ(x,y)?

即f'(x)+f(x)—ex=0。由一階微分方程通解公式知

/（￡）=

又由f(0)=0得，C=—l/2,故有f

(x)——(ex-e—x)/2

［單選題］38.設(shè)平面曲線1：x2/4+y2/9=L11：x2/4+y2/9=l,yNO,其所

圍成的區(qū)域分別記為D和DI,則有()。

f(x~+y)d5=2[(x~+y)ds

B.￡

jj(.v4-y')dvdA,=2

C.°2

ff(x2+》)(1訕，=2[J(x2+y)drdr

D.°A

正確答案：A

參考解析：由對(duì)稱性知

J(x+力ds=jy2ds=2Jy2ds

且

J(x+y2)ds=jxds+jy2ds=[y^ds

故有/1(x+y2)ds=2/1(x+

y2)ds

B項(xiàng)，

j(x2+y)ds=ds=2jx2ds

但

[vds>0

〃一因此

f(.v2+v)ds(v+vids

'J.''C項(xiàng)，左端為O,但右端為2//y3dxdy>

0,不相等。

D項(xiàng)，左端為

jj/dx4V=21|.v;dxdv

DA但

Jjyd.rdy>0

A因此左、右兩端也不相等。

［單選題］39.曲線r=aeb。(a>0,b>0)從。=0至I」9=a(a>0)的一段

弧長(zhǎng)為()。

5=[oe"J1+Zrde

A.J。

5=|Jl+(%k)dg

cs=+(〃*)[de

s-[4兒"Jl+(q6e")'de

D.J。v

正確答案：A

參考解析：利用極坐標(biāo)方程表示曲線的弧長(zhǎng)公式，有：

S=Jid6>

打胃3嚇+3叫訕

=「a—Jl+6「de

Jo

[單選題]40.設(shè)函數(shù)f(X)連續(xù)，由曲線y=f(x)在X軸圍成的三塊面積為

SKS2、S3(SKS2、S3均大于0),如圖1-3-3所示，已知S2+S3=p,Sl=

rb