河南省焦作市2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題

焦作市普通高中2022—2023學(xué)年(下)高一年級期中考試數(shù)學(xué)考生注意：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號填寫在試卷和答題卡上，并將考生號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則=（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先求出集合和集合，再由交集定義求解即可.【詳解】由已知，，由不等式得，∴，即，∴，∴.故選：D.2.若向量的夾角為銳角，則實數(shù)的范圍是（）A. B.(，4)C. D.(，1)【答案】A【解析】【分析】由題且不共線，據(jù)此可得答案.【詳解】因向量的夾角為銳角，則，且不共線，即.綜上可知，或.故選：A3.已知則=（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用誘導(dǎo)公式求解.【詳解】解：因為，所以，故選：C4.已知函數(shù)，為了得到函數(shù)的圖象，只需把的圖象（）A.向左平移個單位長度 B.向右平移個單位長度C.向右平移個單位長度 D.向左平移個單位長度【答案】D【解析】【分析】根據(jù)圖象平移變換知識對各選項進(jìn)行辨析即可.【詳解】對于A，把的圖象向左平移個單位長度，可以得到，故選項A不正確；對于B，把的圖象向右平移個單位長度，可以得到，故選項B不正確；對于C，把的圖象向右平移個單位長度，可以得到，故選項C不正確；對于D，把的圖象向左平移個單位長度，可以得到，故選項D正確.故選：D.5.如圖，在中，為邊上的中線，，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由平面向量基本定理，用基底表示所求向量，根據(jù)向量的線性運算求解即可.【詳解】由已知，∵中，為邊上的中線，∴，又∵，∴，∴.故選：A.6.若，則的最小值為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】將化為，后利用基本不等式可得答案.【詳解】，因，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以的最小值為.故選：B.7.如圖是位于河南省焦作市的“騰飛”銅馬雕塑，建于1985年，寓意焦作人民奮發(fā)昂揚的精神風(fēng)貌.某同學(xué)為測量雕塑的高度CD，選取了與雕塑底部在同一條水平直線上的點A，B，并測得米，則雕塑的高度CD為（）參考數(shù)據(jù)：A.米 B.米 C.米 D.米【答案】C【解析】【分析】設(shè)，在中，得到，在中，利用正弦定理求解.【詳解】解：設(shè)，在中，，在中，由正弦定理得，即，所以，故選：C8.已知則（）A B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)條件得到，則，后由函數(shù)的單調(diào)性比較大小即可.【詳解】因為.注意到，因為在上單調(diào)遞減，所以，所以.因為均在上單調(diào)遞減，所以.又在上單調(diào)遞增，所以.綜上可知，.故選：B.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.若則（）A. B.事件A與B不互斥C.事件A與B相互獨立 D.事件A與B不一定相互獨立【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)互斥與獨立事件的定義判斷即可.【詳解】因為，所以與能同時發(fā)生，不是互斥事件，故B正確；，所以，故A不正確；又，故成立，故事件A與B相互獨立，故C正確，D錯誤故選：BC.10.已知向量，則（）A∥ B.C. D.與的夾角為【答案】BD【解析】【分析】利用向量平行，向量模，向量垂直，向量夾角的坐標(biāo)表示驗證各選項正誤即可得答案.【詳解】A選項，，因，則與不共線，故A錯誤；B選項，，又，則，故B正確；C選項，因，則與不垂直，故C錯誤；D選項，，又，則，即與的夾角為，故D正確.故選：BD11.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（）A.B.直線是的圖象的一條對稱軸C.函數(shù)是偶函數(shù)D.函數(shù)在上單調(diào)遞減【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)的圖象，先求得，然后求得，根據(jù)三角函數(shù)的對稱性、單調(diào)性確定正確答案.【詳解】因為，所以，所以，即，又，由于，所以，所以，即，所以，根據(jù)誘導(dǎo)公式得，所以，故A選項正確；令得，不存在，使得，所以直線不是的圖象的一條對稱軸，B選項錯誤；因為，所以，易知函數(shù)的定義域為R，且，所以函數(shù)是奇函數(shù)，C選項錯誤；令得，當(dāng)時，得在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以D選項正確.故選：AD12.已知的內(nèi)角、、的對邊分別為、、，則下列說法正確的是（）A.若，，，則有兩解B.若，，，則C.若，，是角的平分線，且點在邊上，則的長度可能為D.若，，則面積的最大值為【答案】ACD【解析】【分析】利用正弦定理可判斷A選項；利用二倍角的正弦公式、正弦定理以及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可判斷B選項；利用等面積法求出的取值范圍，可判斷C選項；利用余弦定理、基本不等式結(jié)合三角形的面積公式可判斷D選項.【詳解】對于A選項，因為，，，由正弦定理可得，所以，，故有兩解，A對；對于B選項，因為，，，可得，所以，，則為銳角，故，B錯；對于C選項，設(shè)，其中，則，因為，即，即，所以，，而，C對；對于D選項，由余弦定理可得，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故，D對.故選：ACD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.2023年3月1日，“中國日報視覺”學(xué)習(xí)強(qiáng)國號上線.某黨支部理論學(xué)習(xí)小組抽取了10位黨員在該學(xué)習(xí)平臺的學(xué)習(xí)成績?nèi)缦?83，85，88，90，91，91，92，93，96，97，則這10名黨員學(xué)習(xí)成績的75%分位數(shù)為___________.【答案】【解析】【分析】由百分位數(shù)定義可得答案.【詳解】因，則從小到大第8個成績?yōu)閷W(xué)習(xí)成績的75%分位數(shù)，即.故答案為：14.已知向量的夾角為60°，且，則在方向上的投影數(shù)量為___________.【答案】1【解析】【分析】先求出向量與向量的夾角，再根據(jù)投影的定義求解.【詳解】設(shè)向量，與的夾角為，則，，，在方向上投影的數(shù)量為，故答案為：1.15.若函數(shù)有且僅有一個零點，則實數(shù)的取值范圍為__________.【答案】【解析】【分析】求出函數(shù)在上的零點，分析可知，直線與函數(shù)在上的圖象無交點，數(shù)形結(jié)合可得出實數(shù)的取值范圍.【詳解】當(dāng)時，令可得；當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減，因為函數(shù)有且只有一個零點，所以，函數(shù)在上無零點，由可得，所以，直線與函數(shù)在上的圖象無交點，如下圖所示：且當(dāng)時，，由圖可知，當(dāng)或時，直線與函數(shù)在上的圖象無交點.因此，實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.16.已知在中，為邊上的中線，且=4，則的取值范圍為_________.【答案】【解析】【分析】分別在和中，利用余弦定理得到，，根據(jù)，兩式相加得到，然后利用余弦定理結(jié)合基本不等式求解.【詳解】解：如圖所示：在中，由余弦定理得，，在中，由余弦定理得，，因為，所以，兩式相加得，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以，因為，所以，故答案為：四、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.17.已知向量滿足||=2，||=1，且與的夾角為120°.（1）求||;（2）求與的夾角.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由向量模的計算公式可得答案；（2）利用向量夾角計算公式可得答案.小問1詳解】；【小問2詳解】，，，則，又，則與的夾角為.18.已知函數(shù)（1）求的最小正周期及單調(diào)遞減區(qū)間；（2）求在區(qū)間上的最大值與最小值.【答案】（1）；；（2）在區(qū)間上的最大值為2，最小值為1.【解析】【分析】（1）由周期計算公式及單調(diào)遞減區(qū)間可得答案；（2）由題可得，后由在上的單調(diào)性可得答案.【小問1詳解】因，則最小正周期為；因在上單調(diào)遞減，則，即的單調(diào)遞減區(qū)間為：；【小問2詳解】因，則，又在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，.則當(dāng)，即時，取最大值，為；當(dāng)，即時，取最小值，為；即在區(qū)間上的最大值為2，最小值為1.19.已知的內(nèi)角，，所對的邊分別為，且向量與

平行.（1）求;（2）若，，求的面積.【答案】（1）.（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)向量平行的坐標(biāo)表示得，在根據(jù)正弦定理進(jìn)行邊角互化即可求得角；（2）根據(jù)余弦定理，及，，，配方可求解出，再利用三角形的面積公式求解即可.【小問1詳解】由題意得：，所以，由正弦定理得：，又因為，則有，又，所以.【小問2詳解】由余弦定理得：，又，，，所以，解得，則的面積.20.全國愛衛(wèi)辦組織開展“地級市創(chuàng)衛(wèi)工作”滿意度調(diào)查工作,2023年2月14日24日在網(wǎng)上進(jìn)行問卷調(diào)查,該調(diào)查是國家衛(wèi)生城市評審的重要依據(jù),居民可根據(jù)自身實際感受,對所在市創(chuàng)衛(wèi)工作作出客觀、公正的評價.現(xiàn)隨機(jī)抽取了100名居民的問卷進(jìn)行評分統(tǒng)計,評分的頻率分布直方圖如圖所示,數(shù)據(jù)分組依次為:（1）求的值以及這100名居民問卷評分的中位數(shù)；（2）若根據(jù)各組的頻率的比例采用分層隨機(jī)抽樣的方法,從評分在[65,70)和[70,75)內(nèi)的居民中共抽取6人,查閱他們的答卷情況,再從這6人中選取2人進(jìn)行專項調(diào)查,求這2人中恰有1人的評分在內(nèi)的概率.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由各組數(shù)據(jù)頻率之和為1可得a,由頻率分布直方圖計算中位數(shù)公式可得答案；（2）由（1）結(jié)合頻率分布直方圖可知6人中,[65,70)中的有2人,[70,75)中的有4人,后利用列舉法可知總情況數(shù)與2人中恰有1人的評分在[70,75)內(nèi)的情況數(shù),即可得答案.【小問1詳解】由頻率分布直方圖,；注意到前3個矩形對應(yīng)頻率之和為：,前4個矩形對應(yīng)頻率之和為：,則中位數(shù)在之間,設(shè)為x,則,即中位數(shù)為.【小問2詳解】評分在[65,70),[70,75)對應(yīng)頻率為：,則抽取6人中,[65,70)中的有2人,設(shè)為,[70,75)中的有4人,設(shè)為.則從6人中選取2人的情況為：,共15種,恰有1人在[70,75)中的有8種情況,故相應(yīng)概率為：.21.如圖，在中，，，是邊的中點，（1）求邊的長;（2）若點在邊上，且△的面積為，求邊的長.【答案】（1）4（2）【解析】【分析】（1）在中利用余弦定理可求的長，利用為中點可得答案；（2）先利用余弦定理求出的長，再求出，利用面積公式可求答案.【小問1詳解】因為，，，所以，解得，因為是邊的中點，所以.【小問2詳解】在中，;,,因為△的面積為，所以,即，解得.22.已知函數(shù)（1）判斷的奇偶性;（2）判斷的單調(diào)性，并用單調(diào)性的定義證明；（3）若方程在區(qū)間上恰有1個實根，求實數(shù)λ的取值范圍.【答案】（1）奇函數(shù)（2）單調(diào)遞增，證明見解析；（3）【解析】【分析】(1)根據(jù)