階段性檢測(cè)4.2（中）（范圍：高考全部?jī)?nèi)容）（解析版）

階段性檢測(cè)4.2（中）（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知集合，則（

）A． B．C．或 D．或【答案】D【分析】解不等式確定集合,然后由并集定義計(jì)算.【詳解】由題意或，，所以或，故選：D．2．已知復(fù)數(shù)，，當(dāng)時(shí)，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的概念及四則運(yùn)算法則計(jì)算即可.【詳解】由得.故選：A3．不等式“”是“”成立的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】解對(duì)數(shù)不等式和指數(shù)不等式，求出解集，進(jìn)而判斷出答案.【詳解】，解得，，解得，因?yàn)?，但，故“”是“”成立的充分不必要條件.故選：A4．已知，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用換元法，結(jié)合同角的三角函數(shù)關(guān)系式、兩角差的正弦公式進(jìn)行求解即可.【詳解】由，設(shè)，①，又②，所以聯(lián)立①②，解得，故．故選：D5．“校本課程”是現(xiàn)代高中多樣化課程的典型代表，自在進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的人文底蘊(yùn)和科學(xué)精神，為繼續(xù)滿足同學(xué)們不同興趣愛(ài)好，藝術(shù)科組準(zhǔn)備了學(xué)生喜愛(ài)的中華文化傳承系列的校本活動(dòng)課：創(chuàng)意陶盆，拓印，扎染，壁掛，的紙五個(gè)項(xiàng)目供同學(xué)們選學(xué)，每位同學(xué)選擇1個(gè)項(xiàng)目．則甲、乙、丙、丁這4名學(xué)生至少有3名學(xué)生所選的課全不相同的方法共有（

）A．360種 B．480種 C．720種 D．1080種【答案】B【分析】分為恰有2名學(xué)生所選的課相同，以及4名學(xué)生所選的課全不相同兩種情況，分別計(jì)算求解得出，相加即可得出答案.【詳解】①恰有2名學(xué)生選課相同，第一步，先將選課相同的2名學(xué)生選出，有種可能；第二步，從5個(gè)項(xiàng)目中選出3個(gè)排序，有．根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理可得，方法有種；②4名學(xué)生所選的課全不相同的方法有種．根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理可得，甲、乙、丙、丁這4名學(xué)生至少有3名學(xué)生所選的課全不相同的方法共有種．故選：B.6．（2023·江西景德鎮(zhèn)·統(tǒng)考三模）首鋼滑雪大跳臺(tái)是冬奧史上第一座與工業(yè)舊址結(jié)合再利用的競(jìng)賽場(chǎng)館，它的設(shè)計(jì)創(chuàng)造性地融入了敦煌壁畫(huà)中飛天的元素，建筑外形優(yōu)美流暢，飄逸靈動(dòng)，被形象地稱為雪飛天.中國(guó)選手谷愛(ài)凌和蘇翊鳴分別在此摘得女子自由式滑雪大跳臺(tái)和男子單板滑雪大跳臺(tái)比賽的金牌.雪飛天的助滑道可以看成一個(gè)線段和一段圓弧組成，如圖所示.在適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系下圓弧所在圓的方程為，若某運(yùn)動(dòng)員在起跳點(diǎn)以傾斜角為且與圓相切的直線方向起跳，起跳后的飛行軌跡是一個(gè)對(duì)稱軸在軸上的拋物線的一部分，如下圖所示，則該拋物線的軌跡方程為（

）

A． B．C． D．【答案】A【分析】將直線方程與圓的方程聯(lián)立可求得點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)在點(diǎn)的切線斜率和點(diǎn)坐標(biāo)可求得拋物線方程中的，整理可得拋物線方程.【詳解】由題意知：，又，直線方程為：，即；由得：或，即或，為靠近軸的切點(diǎn)，；設(shè)飛行軌跡的拋物線方程為：，則，在點(diǎn)處的切線斜率為，，解得：，，解得：，，即拋物線方程為：.故選：A.7．（2023·湖南永州·統(tǒng)考一模）若數(shù)列的前項(xiàng)和為，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)之間的關(guān)系可求出，進(jìn)而求得，由此結(jié)合熟的大小比較可判斷A，B，C，利用放縮法，當(dāng)時(shí)，可推出，累加即可判斷D.【詳解】令，則，即，由，的；當(dāng)時(shí)，，即，又，故為首項(xiàng)是1，公差為1的等差數(shù)列，則，故，所以當(dāng)時(shí)，，也適合該式，故，對(duì)于A，，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，故，D正確，故選：D8．如圖，在正方體中，P為棱AD上的動(dòng)點(diǎn)．給出以下四個(gè)命題：①；②異面直線與所成角的取值范圍為；③有且僅有一個(gè)點(diǎn)P，使得平面；④三棱錐的體積是定值．其中真命題的個(gè)數(shù)為（

）

A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，則，其中，由，可判定①正確；由向量的夾角公式求得，進(jìn)而可判定以②正確；由平面，得到，結(jié)合向量的垂直的坐標(biāo)表示，列出方程，可判定③不正確；結(jié)合，可判定④正確．【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，則，其中，則，．因?yàn)?，所以，所以①正確；因?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，，此時(shí)異面直線與所成的角為；當(dāng)時(shí)，，令，其中，則，所以，所以異面直線與所成角的取值范圍為，綜上可知異面直線與所成角的取值范圍為，所以②正確；若平面，則，因?yàn)?，，所以．，因?yàn)榉匠虩o(wú)實(shí)數(shù)解，所以不成立，所以③不正確；在正方體中，點(diǎn)在上，且平面，所以點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離，因?yàn)槠矫妫匀忮F的高為，因?yàn)椋寓苷_．故選：C.

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。9．設(shè)拋物線：的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線上，點(diǎn)，若，且，則拋物線的方程可以為（

）A． B． C． D．【答案】BC【分析】利用拋物線的定義、以及幾何性質(zhì)求解.【詳解】

設(shè)，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，即，所以，所以，解得，所以，解得或，所以拋物線的方程為或．故選:BC.10．下列命題中正確的是（

）A．?dāng)?shù)據(jù)的第25百分位數(shù)是1B．若事件的概率滿足且，則相互獨(dú)立C．已知隨機(jī)變量，若，則D．若隨機(jī)變量，則【答案】BCD【分析】對(duì)于A：根據(jù)百分位數(shù)分析運(yùn)算；對(duì)于B：根據(jù)條件概率和獨(dú)立事件分析判斷；對(duì)于C：根據(jù)二項(xiàng)分布的方差以及方差的性質(zhì)分析判斷；對(duì)于D：根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)分析判斷.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)：8個(gè)數(shù)據(jù)從小到大排列，由于，所以第25百分位數(shù)應(yīng)該是第二個(gè)與第三個(gè)的平均數(shù)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)：由，可得，即，可得，所以相互獨(dú)立，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)椋瑒t，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)殡S機(jī)變量，由正態(tài)曲線的對(duì)稱性可得：，則，所以，故D正確；故選：BCD.11．已知三棱柱的六個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，.若點(diǎn)O到三棱柱的所有面的距離都相等，則（

）A．平面B．C．平面截球O所得截面圓的周長(zhǎng)為D．球O的表面積為【答案】AC【分析】根據(jù)球的性質(zhì)可判斷為直棱柱，即可判斷A，由內(nèi)切球的性質(zhì)，結(jié)合三棱柱的特征即可判斷B，由勾股定理以及等邊三角形的性質(zhì)可判斷CD.【詳解】選項(xiàng)A，三棱柱的六個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，根據(jù)球的對(duì)稱性可知三棱柱為直棱柱，所以平面，因此A正確.選項(xiàng)B：因?yàn)椋?因?yàn)辄c(diǎn)O到三棱柱的所有面的距離都相等，所以三棱柱的內(nèi)切球與外接球的球心重合.設(shè)該三棱柱的內(nèi)切球的半徑為r，與底面以及側(cè)面相切于,則,由于為矩形的對(duì)角線交點(diǎn)，所以，而三角形為等邊三角形，所以,所以，所以，因此B錯(cuò)誤.

選項(xiàng)C：由，可知，解得（負(fù)值已舍去），則.易得的外接圓的半徑，所以平面截球O所得截面圓的周長(zhǎng)為，因此C正確.選項(xiàng)D：三棱柱外接球的半徑，所以球O的表面積，因此D錯(cuò)誤.故選：AC12．已知函數(shù)的最小值為2，則（

）A． B． C． D．【答案】BD【分析】由指數(shù)函數(shù)單調(diào)性判斷A是錯(cuò)誤，利用導(dǎo)數(shù)求最小值判斷CD，由不等式性質(zhì)得出B的真假．【詳解】選項(xiàng)A，若，則，是上的增函數(shù)，無(wú)最小值，A錯(cuò)；，由得，記，，，由選項(xiàng)A分析及已知得，時(shí)，，遞減，時(shí)，，遞增，所以時(shí)，取得極小值也是最小值，若，則，，，D正確，此時(shí)由于得，B也正確；若，則，，，從而，，不合題意（同理可證也是錯(cuò)誤的），C錯(cuò)．故選：BD．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知雙曲線C：的漸近線方程為，則C的離心率為.【答案】【分析】由題意可得，然后由可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)殡p曲線C：的漸近線方程為，所以，所以離心率，故答案為：14．若直線與曲線相切，則．【答案】【分析】設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，結(jié)合已知切線列式求解即可.【詳解】依題意，設(shè)切點(diǎn)為，則，由，求導(dǎo)得，于是，解得，從而，則.故答案為：15．在平面直角坐標(biāo)系中，圓和外切形成一個(gè)8字形狀，若，為圓M上兩點(diǎn)，B為兩圓圓周上任一點(diǎn)（不同于點(diǎn)A，P），則的最大值為．【答案】/【分析】利用已知條件求解，，即可得到圓的方程，設(shè)出的坐標(biāo)，化簡(jiǎn)向量的數(shù)量積，求解最值即可．【詳解】圓，，為圓上兩點(diǎn)，可得，解得，，所以，圓，滿足圓和外切，為兩圓圓周上任一點(diǎn)（不同于點(diǎn)，，如果取得最大值，可知在上，設(shè)，則,,，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得最大值．故答案為：

16．已知函數(shù)，若從集合中隨機(jī)選取一個(gè)元素，則函數(shù)恰有7個(gè)零點(diǎn)的概率是．【答案】【分析】由，得，由，得，畫(huà)出的圖象結(jié)合，且，分情況求解即可.【詳解】由，得，當(dāng)時(shí)，的最小值為．由，得，即，因?yàn)?，所以．而，?dāng)時(shí)，方程的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)分別為3，3，2；當(dāng)時(shí)，方程的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)分別為3，2，2；當(dāng)時(shí)，方程，的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)均為2．所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)恰有7個(gè)零點(diǎn)，故所求概率為．故答案為：

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用，考查分段函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是畫(huà)出函數(shù)圖象，結(jié)合圖象求解即可，考查數(shù)形結(jié)合的思想，屬于較難題.四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步棸。17．設(shè)等差數(shù)列前項(xiàng)和，，滿足，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)記，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證.【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式進(jìn)行求解即可；（2）利用等差數(shù)列前項(xiàng)和公式，結(jié)合裂項(xiàng)相消法進(jìn)行求解即可.【詳解】（1）依題意有，，，又為等差數(shù)列，設(shè)公差為，，.（2）由（1）可得，，，，，，.18．如圖，在四棱錐中，平面平面，底面是矩形，分別是的中點(diǎn)，平面經(jīng)過(guò)點(diǎn)與棱交于點(diǎn)．

(1)試用所學(xué)知識(shí)確定在棱上的位置；(2)若，求與平面所成角的正弦值．【答案】(1)靠近的三等分點(diǎn)處(2)【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)，結(jié)合平行線的性質(zhì)進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量夾角公式進(jìn)行求解即可.【詳解】（1）過(guò)作直線與平行，延長(zhǎng)與交于點(diǎn)，連接與的交點(diǎn)即為點(diǎn)．因?yàn)榈酌媸蔷匦?，是的中點(diǎn)，所以，且．又，所以，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，可得，則，所以．故在棱的靠近的三等分點(diǎn)處．

（2）因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面．取中點(diǎn)，連接，易知兩兩相互垂直，如圖，分別以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，．

設(shè)平面的法向量為，則即令，則，所以．．設(shè)與平面所成角為，則，所以與平面所成角的正弦值為．19．從條件①；②中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，并加以解答.在中：內(nèi)角的對(duì)邊分別為，______.(1)求角的大??；(2)設(shè)為邊的中點(diǎn)，求的最大值.【答案】(1)(2)【分析】（1）若選①，利用正弦定理邊化角，結(jié)合輔助角公式可整理得到，由角的范圍可求得；若選②，利用二倍角和輔助角公式可化簡(jiǎn)求得，由角的范圍可求得；（2）由，平方后可用表示出，結(jié)合基本不等式可求得最大值.【詳解】（1）若選條件①：由正弦定理得：，，，，，即，，又，，，解得：；若選條件②：，，，，，，解得：.（2），，即，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），的最大值為.20．已知函數(shù)，.(1)討論的單調(diào)性并求極值.(2)設(shè)函數(shù)（為的導(dǎo)函數(shù)），若函數(shù)在內(nèi)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，的極小值為，無(wú)極大值；(2).【分析】（1）求出，然后可得單調(diào)性和極值；（2），然后求出當(dāng)時(shí)的單調(diào)性，要使函數(shù)在內(nèi)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則有，解出，然后證明即可.【詳解】（1）因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以的極小值為，無(wú)極大值.（2）因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，，所以當(dāng)或時(shí)，在上單調(diào)，至多只有一個(gè)零點(diǎn)，不滿足題意，當(dāng)時(shí)，由可得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以要使函數(shù)在內(nèi)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則有，由可得，下面證明當(dāng)時(shí)，令，則，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以，所以當(dāng)時(shí)，綜上：實(shí)數(shù)的取值范圍為.21．某校組織“青春心向黨，喜迎二十大”主題知識(shí)競(jìng)賽，每題答對(duì)得3分，答錯(cuò)得1分，已知小明答對(duì)每道題的概率是，且每次回答問(wèn)題是相互獨(dú)立的.(1)記小明答3題累計(jì)得分為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)若小明連續(xù)答題獲得的分?jǐn)?shù)的平均值大于2分，即可獲得優(yōu)秀獎(jiǎng).現(xiàn)有答和道題兩種選擇，要想獲獎(jiǎng)概率最大，小明應(yīng)該如何選擇？請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)分布列見(jiàn)解析，數(shù)學(xué)期望：(2)小明選擇答道題時(shí)，獲獎(jiǎng)的概率更大，理由見(jiàn)解析【分析】（1）由X的取值為3，5，7，9，再利用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)求得概率，然后列出分布列進(jìn)而求得數(shù)學(xué)期望；（2）分別求出小明選擇答道題與道題獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的概率，再進(jìn)行比較即可.【詳解】（1）由題意知，，，，所以的分布列為3579；（2）由題意可知甲同學(xué)答一題得3分的概率為，得1分的概率為，若選擇答道題，此時(shí)要能獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)，則需次游戲的總得分大于，設(shè)答道題中，得3分的題數(shù)為，則，則，易知，故此時(shí)獲優(yōu)秀獎(jiǎng)的概率：，，，同理可以求出當(dāng)選擇答道題，獲優(yōu)秀獎(jiǎng)的概率為，因?yàn)?，所以，則，所以小明選擇答道題時(shí)，獲獎(jiǎng)的概率更大.22．已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為短軸長(zhǎng)的2倍，點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)，且面積的最大值為8．(1)求的方程；(2)若直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，交于兩