清單05 圓中的范圍與最值問題（7個考點(diǎn)梳理+題型解讀+提升訓(xùn)練）（解析版）

清單05圓中的范圍與最值問題（7個考點(diǎn)梳理+題型解讀+提升訓(xùn)練）【知識導(dǎo)圖】【考點(diǎn)分布圖】【知識清單】涉及與圓有關(guān)的最值，可借助圖形性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合求解．一般地：（1）形如的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動直線斜率的最值問題．（2）形如的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動直線截距的最值問題．（3）形如的最值問題，可轉(zhuǎn)化為曲線上的點(diǎn)到點(diǎn)（a，b）的距離平方的最值問題解決圓中的范圍與最值問題常用的策略：（1）數(shù)形結(jié)合（2）多與圓心聯(lián)系（3）參數(shù)方程（4）代數(shù)角度轉(zhuǎn)化成函數(shù)值域問題【考點(diǎn)精講】考點(diǎn)1：斜率型例1．（2023·河南駐馬店·高二?？茧A段練習(xí)）若實數(shù)x、y滿足條件，則的范圍是.【答案】【解析】的幾何意義即圓上的點(diǎn)到定點(diǎn)的斜率，由圖知斜率的范圍處在圓的兩條切線斜率之間，其中AC斜率不存在，設(shè)AB的斜率為k，則AB的方程為，，解得，故的范圍是故答案為：.例2．（2023·北京西城·高二統(tǒng)考期中）是上的點(diǎn)，則的范圍是．【答案】【解析】因為表示上一點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率，故作圖如下：由圓的方程可知其圓心，半徑為，當(dāng)達(dá)到最大時，此時，且，故，從而，同理可知，，從而的范圍是.故答案為：.例3．（2023·江蘇無錫·高二統(tǒng)考期中）已知點(diǎn)在圓上運(yùn)動，則范圍是．【答案】【解析】如圖所示，設(shè)，可得，即，把看作點(diǎn)與點(diǎn)連線的斜率，當(dāng)連線與圓相切時斜率取得最值，由，解得，所以的取值范圍是.故答案為：.例4．（2023·四川成都·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知點(diǎn)在曲線上運(yùn)動，則的最大值為．【答案】/【解析】變形為，它是以原點(diǎn)為圓心，2為半徑的上半圓，如圖，在上半圓上，表示點(diǎn)與連線的斜率，由題意得，當(dāng)直線與半圓相切時斜率最大，設(shè)直線與半圓相切時直線斜率為，直線方程，即，因此，解得（由圖舍去），所以的最大值為.故答案為：例5．（2023·貴州·校聯(lián)考模擬預(yù)測）若點(diǎn)在曲線：上運(yùn)動，則的最大值為.【答案】/【解析】曲線方程化為，是以為圓心，3為半徑的圓，表示點(diǎn)與點(diǎn)連線的斜率，不妨設(shè)即直線：，又在圓上運(yùn)動，故直線與圓有公共點(diǎn)，則，化簡得解得，故的最大值為.故答案為:.考點(diǎn)2：直線型例6．（2023·安徽·淮南第二中學(xué)高二開學(xué)考試）已知三點(diǎn)，，，的外接圓記為圓.(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若點(diǎn)在圓上運(yùn)動，求的最大值.【解析】(1)設(shè)圓的一般方程為，則，解得∴圓的一般方程為，即標(biāo)準(zhǔn)方程為.(2)設(shè)，則，代入得整理得則，整理得解得，∴的最大值為.例7．（2023·江蘇省蘇州實驗中學(xué)高二階段練習(xí)）已知實數(shù)滿足，則的最大值是（

）A．3 B．2 C． D．【答案】D【解析】可化為：，所以，解得：，即的最大值是4.故選：D例8．（2023·黑龍江·大慶市東風(fēng)中學(xué)高二期中）點(diǎn)在圓上，則的范圍是_______．【答案】【解析】設(shè)，，即，所以，因為，所以.故答案為：例9．（2023·四川·廣安二中高二階段練習(xí)）若滿足關(guān)系式，則的最大值為_________；【答案】4【解析】設(shè)，由得（*），所以，解得．時，由（*）得，代入得，滿足，所以的最大值是4．故答案為：4．例10．（2023·廣東廣州·高二廣州市第十六中學(xué)?？计谥校┮阎?，滿足，則的范圍是．【答案】【解析】因為，所以，表示以為圓心，為半徑的圓，即點(diǎn)為圓上的點(diǎn)，令，即，當(dāng)直線與圓相切時取得最值，所以，即，解得，所以故答案為：考點(diǎn)3：距離型例11．（2023·重慶北碚·高二西南大學(xué)附中?？计谥校┮阎c(diǎn)在曲線上，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】因為整理得，表示以為圓心，半徑的上半圓，設(shè)，則，如圖所示：當(dāng)三點(diǎn)共線時，取到最小值，當(dāng)為半圓的右端點(diǎn)時，取到最大值，即，則，所以的取值范圍是.故選：C.例12．（2023·四川宜賓·高二四川省宜賓市第一中學(xué)校校聯(lián)考期中）已知實數(shù)滿足方程，則的最大值（

）A．2 B．4 C． D．1【答案】B【解析】實數(shù)x，y滿足方程，則點(diǎn)在以為圓心半徑為1的圓上，因為原點(diǎn)到圓心的距離為，所以圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，所以，所以，所以的最大值為4.故選：B例13．（2023·山西大同·高二統(tǒng)考期中）已知滿足，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題知，設(shè)為圓上一動點(diǎn)，設(shè)，因為，所以在圓外，則，其中表示圓上點(diǎn)P與點(diǎn)Q距離的平方，因為，圓半徑，所以，即所以.故選：D考點(diǎn)4：周長面積型例14．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·高二統(tǒng)考期中）直線分別與軸，軸交于兩點(diǎn)，點(diǎn)在圓上，則面積的最大值是（

）A．6 B．8 C． D．【答案】A【解析】圓的圓心為，半徑為，，為點(diǎn)到直線的距離，又點(diǎn)在圓上，，又，，面積的最大值是.故選：A.例15．（2023·天津·高二天津市第一百中學(xué)校聯(lián)考期中）已知點(diǎn)，，點(diǎn)C為圓上一點(diǎn)，則的面積的最大值為（

）A．12 B． C． D．6【答案】D【解析】因為，，所以，又因為圓的方程為，所以圓心為，半徑為，所以圓上點(diǎn)到直線的最大距離為，所以的面積的最大值為，故選：D.例16．（2023·河南開封·高二統(tǒng)考期中）已知圓，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，P是圓C上任意一點(diǎn)，若定點(diǎn)A滿足，則面積的最大值是（

）A．3 B．9 C． D．【答案】A【解析】圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，設(shè)，由得，化簡得，又因為即，所以，因為對于任意恒成立，所以，解得，所以，所以當(dāng)點(diǎn)的縱坐標(biāo)的絕對值最大時的面積最大，此時軸，所以或，所以的面積為.故選：A.例17．（2023·山東濰坊·高二統(tǒng)考期中）已知圓：，直線：，為上的動點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的切線，，切點(diǎn)分別為，，當(dāng)四邊形面積最小時，的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】將化為標(biāo)準(zhǔn)方程為：，所以圓的圓心為，半徑為2，由題意，四邊形面積為，又因為，所以當(dāng)最短時，四邊形面積最小，此時.故選：C例18．（2023·福建莆田·高二校考期中）已知，為圓：的兩條互相垂直的弦，且垂足為，則四邊形ABCD面積的最大值為（

）A．4 B．5 C．8 D．10【答案】B【解析】設(shè)圓心到，的距離分別為，，則.四邊形的面積為：，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.故選：B.例19．（2023·河北邯鄲·高二校聯(lián)考期中）已知圓，點(diǎn)P是圓上的一點(diǎn)，過P作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，則四邊形的面積的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意知四邊形的面積，所以當(dāng)取得最小值時，四邊形的面積取得最小值.又，所以.故選:B.例20．（2023·安徽池州·高二池州市第一中學(xué)?？计谥校┤魣AC的方程為，則圓C的最小周長為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為圓C的方程為，所以圓C的半徑為，所以圓C的最小周長為.故選：D.考點(diǎn)5：長度型例21．（2023·河北唐山·高二唐山市第二中學(xué)校聯(lián)考期中）設(shè)直線l：與圓C：交于兩點(diǎn)，則的取值范圍是．【答案】【解析】直線l：即為，由，解得,可得直線l過定點(diǎn)，當(dāng)時，直線l：；當(dāng)，直線的斜率，圓C：的圓心坐標(biāo)為，半徑，由于,故在圓C：內(nèi)，，則當(dāng)直線時，最小，，的最大值即為圓的直徑，但此時無法取得，∴的取值范圍是故答案為：．例22．（2023·河北石家莊·高二石家莊市第四十一中學(xué)校考期中）已知直線恒過點(diǎn)P，過點(diǎn)P作直線與圓相交于A，B兩點(diǎn)，則的最小值為．【答案】【解析】因為，即，令，得，故直線恒過定點(diǎn)，由圓可知圓心，半徑為5，又因為，故點(diǎn)在圓內(nèi)，當(dāng)時，取得最小，因為所以.故答案為：.例23．（2023·江蘇鹽城·高二鹽城中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在定圓內(nèi)過點(diǎn)作兩條互相垂直的直線與C分別交于A，B和M，N，則的范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】設(shè)，當(dāng)，，，交換位置可得，故，，又，顯然能取到，故，由對勾函數(shù)性質(zhì)可知，當(dāng)或時，，故，故選：D例24．（2023·四川成都·高二成都市錦江區(qū)嘉祥外國語高級中學(xué)校考期中）已知點(diǎn)P是圓上一點(diǎn)，點(diǎn)，則線段長度的最大值為（

）A．3 B．5 C．7 D．9【答案】C【解析】圓，即，則圓心，半徑，由點(diǎn)，則，即點(diǎn)在圓外，則.故選：C.例25．（2023·重慶沙坪壩·高二重慶八中校考期中）已知點(diǎn)M是圓上的動點(diǎn)，點(diǎn)N是圓上的動點(diǎn)，點(diǎn)P在直線上運(yùn)動，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意可知：圓的圓心為，半徑，圓的圓心，半徑，則，即，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線對稱的點(diǎn)為，則，解得，即，因為，則，所以的最小值為.故選：D.例26．（2023·重慶九龍坡·高二重慶實驗外國語學(xué)校?？计谥校┮阎c(diǎn)，，點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)Q是圓上的動點(diǎn)，則的最大值為（

）A．3 B． C． D．4【答案】D【解析】令點(diǎn)，則，于是，即點(diǎn)P的軌跡是直線：，圓的圓心，半徑，而點(diǎn)Q在圓C上，則，因此，令點(diǎn)C關(guān)于直線對稱點(diǎn)，，則有，解得，，即，因此，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)P，O，共線，且點(diǎn)O在線段上時取等號，直線方程為，由，解得，即直線與直線交于點(diǎn)，所以當(dāng)點(diǎn)P與重合時，，.故選：D考點(diǎn)6：坐標(biāo)型例27．（2023·四川省德陽中學(xué)校高二開學(xué)考試）已知直線和圓，點(diǎn)在直線上，若直線與圓至少有一個公共點(diǎn)，且，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)的最大值是（

）A． B．1 C．3 D．4【答案】D【解析】由圓，可得，所以圓心，半徑，設(shè)，由題意知圓心到直線的距離，即，解得，故點(diǎn)的橫坐標(biāo)的最大值為4.故選：D．例28．（2023·山西·長治市上黨區(qū)第一中學(xué)校高二階段練習(xí)）已知圓C：和兩點(diǎn)，，若圓C上存在點(diǎn)P，使得，則m的最大值為（

）A．12 B．11 C．10 D．9【答案】B【解析】，記中點(diǎn)為，則，故點(diǎn)的軌跡是以原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓，又P在圓C上，所以兩圓有交點(diǎn)，則，而，得．故選：B例29．（2023·吉林·東北師大附中高二階段練習(xí)）設(shè)點(diǎn)，若在圓上存在點(diǎn)，使得，則的最大值是（

）A．1 B． C．2 D．4【答案】C【解析】以MP為一邊作正方形MPSQ.若對角線PQ與圓有交點(diǎn),則滿足條件的N存在,此時正方形的中心在圓上或內(nèi),即MH≤1,所以，所以,所以，則其最大值為2.故選：C考點(diǎn)7：阿氏圓距離最值型例30．（2023·湖南益陽·高二統(tǒng)考期末）阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，與歐幾里得?阿基米德并稱為亞歷山大時期數(shù)學(xué)三巨匠，他對圓錐曲線有深刻而系統(tǒng)的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圓錐曲線》一書，阿波羅尼斯圓就是他的研究成果之一.指的是：已知動點(diǎn)與兩定點(diǎn)的距離之比，那么點(diǎn)的軌跡就是阿波羅尼斯圓.已知動點(diǎn)的軌跡是阿波羅尼斯圓，其方程為，其中，定點(diǎn)為軸上一點(diǎn)，定點(diǎn)的坐標(biāo)為，若點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)，，所以，由，所以，因為且，所以，整理可得，又動點(diǎn)M的軌跡是，所以，解得，所以，又，所以，因為，所以的最小值，當(dāng)M在位置或時等號成立.故選：D例31．（2023·福建福州·高二校聯(lián)考期中）阿波羅尼斯是古希臘著名的數(shù)學(xué)家，對圓錐曲線有深刻而系統(tǒng)的研究，阿波羅尼斯圓就是他的研究成果之一，指的是：已知動點(diǎn)與兩定點(diǎn)的距離之比，那么點(diǎn)的軌跡就是阿波羅尼斯圓.已知動點(diǎn)的軌跡是阿波羅尼斯圓，其方程為，定點(diǎn)為軸上一點(diǎn)，且，若點(diǎn)，則的最小值為.【答案】【解析】設(shè)，則，則，得，其即為，則，解得，則，，即共線時取得最小值，則.故答案為：例32．（2023·河北滄州·校考模擬預(yù)測）阿波羅尼斯是古希臘著名的數(shù)學(xué)家，他對圓錐曲線有深刻而系統(tǒng)的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圓錐曲線論》一書，阿波羅尼斯圓是他的研究成果之一，指的是“如果動點(diǎn)與兩定點(diǎn)的距離之比為(，那么點(diǎn)的軌跡就是阿波羅尼斯圓”下面我們來研究與此相關(guān)的一個問題，已知點(diǎn)為圓上的動點(diǎn)，，則的最小值為.【答案】【解析】假設(shè)存在這樣的點(diǎn)，使得，則，設(shè)點(diǎn)，則，即，該圓對照，所以，所以點(diǎn)，所以.故答案為：例33．（2023·福建福州·高二福建省福州第八中學(xué)校考階段練習(xí)）阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，與歐幾里得、阿基米德并稱為亞歷山大時期數(shù)學(xué)三巨匠，他對圓錐曲線有深刻而系統(tǒng)的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圓錐曲線》一書，阿波羅尼斯圓是他的研究成果之一，指的是：已知動點(diǎn)與兩定點(diǎn)、的距離之比，那么點(diǎn)的軌跡就是阿波羅尼斯圓.已知動點(diǎn)的軌跡是阿波羅尼斯圓，其方程為，定點(diǎn)為軸上一點(diǎn)，且，若點(diǎn)，則的最小值為.【答案】【解析】設(shè)，，所以，又，所以．因為且，所以，整理可得，又動點(diǎn)M的軌跡是，所以，解得，所以，又，所以，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時，等號成立，因為，所以直線方程為：即，圓心到直線距離，即直線與圓相交.（如圖中的點(diǎn)均滿足）又因為，所以的最小值為．故答案為：.【提升練習(xí)】一、單選題1．（2023·湖北·高二鄖陽中學(xué)校聯(lián)考期中）若實數(shù)、滿足條件，則的范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】令，可得，則直線與圓有公共點(diǎn)，所以，，解得，即的取值范圍是.故選：B.2．（2023·河南洛陽·高二宜陽縣第一高級中學(xué)校考階段練習(xí)）如果實數(shù)，滿足，則的范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)，則表示經(jīng)過原點(diǎn)的直線，為直線的斜率.如果實數(shù)，滿足和，即直線同時經(jīng)過原點(diǎn)和圓上的點(diǎn).其中圓心，半徑從圖中可知，斜率取最大值時對應(yīng)的直線斜率為正且剛好與圓相切，設(shè)此時切點(diǎn)為則直線的斜率就是其傾斜角的正切值，易得，，可由勾股定理求得，于是可得到為的最大值；同理，的最小值為－1.則的范圍是.故選：B.3．（2023·四川成都·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知圓上存在四個點(diǎn)到直線的距離等于，則實數(shù)范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由知圓心，半徑為3，若圓上存在四個點(diǎn)到直線的距離等于，則點(diǎn)C到直線的距離，∴，∴.故選：D.4．（2023·天津西青·高二天津市西青區(qū)楊柳青第一中學(xué)校考階段練習(xí)）已知圓上存在四個點(diǎn)到直線的距離等于2，則實數(shù)范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由圓可知，圓心，半徑，若圓上存在四個點(diǎn)到直線的距離等于2，則點(diǎn)到直線的距離，即，解得.故選：D5．（2023·四川南充·高二四川省南充高級中學(xué)校考期中）對于圓上任意一點(diǎn)，的值與，無關(guān)，則的范圍為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由點(diǎn)到直線距離公式知點(diǎn)到直線與直線的距離分別為與，所以，即可表示點(diǎn)到直線與直線得距離之和的倍，若其值與，無關(guān)，則圓在平行線與之間，即平行線間距離，解得或，故選：B.6．（2023·江蘇揚(yáng)州·高二揚(yáng)州中學(xué)?？计谥校┮阎c(diǎn)，若過點(diǎn)的直線與圓交于、兩點(diǎn)，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)中點(diǎn)，則，，所以，即，所以點(diǎn)的軌跡為以為圓心，為半徑的圓，所以，，所以，又，所以的最大值為，故選：A.7．（2023·廣東東莞·高二東莞市東華高級中學(xué)?？计谥校㎝點(diǎn)是圓上任意一點(diǎn)，為圓的弦，且，N為的中點(diǎn).則的最小值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為.如圖，由弦長公式知，，解得，所以，點(diǎn)N在以為圓心，1為半徑的圓上，由圖可知，的最小值為.故選：B二、多選題8．（2023·安徽宿州·高二校聯(lián)考期中）已知圓，直線，下列說法正確的是（

）A．直線與圓的位置關(guān)系與有關(guān)B．直線截圓所得弦長最短時，直線的方程是C．圓心到直線距離的最大值為2D．直線截圓所得弦長范圍是【答案】BCD【解析】對于A，因為圓的圓心到直線的距離為，而圓的半徑為，所以，而，所以，即直線與圓的位置關(guān)系一直相交，與無關(guān)，故A錯誤；對于B，由弦長公式可知，若直線截圓所得弦長最短時，圓心到直線的距離應(yīng)該最大，而直線即過定點(diǎn)，所以當(dāng)且僅當(dāng)時，最大，此時，解得，所以此時直線的方程是，故B正確；對于C，由B選項分析可知當(dāng)時，最大，此時，故C正確；對于D，由A選項分析可知，令，即，從而，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)時，，綜上所述，，從而直線截圓所得弦長，故D正確.故選：BCD.9．（2023·四川成都·高二樹德中學(xué)?？计谥校c(diǎn)是圓上的動點(diǎn)，則下面正確的有（

）A．圓的半徑為3B．既沒有最大值，也沒有最小值C．的范圍是D．的最大值為72【答案】BC【解析】圓轉(zhuǎn)化為，則圓的圓心為，半徑為2，選項A錯誤.設(shè)，則直線與圓有交點(diǎn)，即，整理得，解得或.既沒有最大值，也沒有最小值，選項B正確.設(shè)，，則，其中.則的取值范圍為，選項C正確.又，則，因此其中.則的最大值為，選項D錯誤.故選：BC.10．（2023·山東·高二?？计谥校┮阎獙崝?shù)x，y滿足方程，則下列說法正確的是（）A．的最大值為 B．的最大值為C．的最大值為 D．的范圍是【答案】ABD【解析】因為實數(shù)x，y滿足方程，所以，得圓心為，半徑為1，對于AB，設(shè)，則兩直線與圓有公共點(diǎn)，所以，解得，，所以的最大值為，的最大值為，所以AB正確，對于C，因為原點(diǎn)到圓心的距離為，所以圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，所以，所以，所以的最大值為，所以C錯誤，對于D，表示出圓上的點(diǎn)到直線的距離，因為圓心到直線的距離為，所以，即，所以D正確，故選：ABD11．（2023·廣西河池·高二統(tǒng)考期末）已知圓，點(diǎn)為圓上一動點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則下列說法中正確的是（

）A．的最大值為B．的最小值為C．直線的斜率范圍為D．以線段為直徑的圓與圓的公共弦方程為【答案】AC【解析】圓的圓心，半徑，又，所以，即點(diǎn)在圓外，所以，故A正確；，當(dāng)且僅當(dāng)在線段與圓的交點(diǎn)時取等號，故B錯誤；設(shè)直線，根據(jù)題意可得點(diǎn)到直線的距離，解得，故C正確；設(shè)的中點(diǎn)為，則，又，所以以為直徑圓的方程，顯然圓與圓相交，所以公共弦方程為，故D錯誤．故選：AC．12．（2023·安徽合肥·高二合肥一中校聯(lián)考期中）已知、滿足，則（

）A．的最小值為 B．的最大值為C．的最小值為 D．的最小值為【答案】BCD【解析】方程可變形為，則方程表示的曲線是以為圓心，以為半徑的圓，對于A選項，設(shè)點(diǎn)，則表示圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的平方，因為，則原點(diǎn)在圓外，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)為線段與圓的交點(diǎn)時，取最小值，所以，的最小值為，故A錯誤；對于B選項，設(shè)，則，由題意知直線與圓有公共點(diǎn)，則，即，解得，即的最大值為，故B正確；對于C選項，設(shè)，即，由題意知直線與圓有公共點(diǎn)，所以，解得，故的最小值為，故C正確；因為，所以，代數(shù)式表示點(diǎn)到點(diǎn)的距離，因為，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)為線段與圓的交點(diǎn)時，取最小值，所以，的最小值為，故D正確.故選：BCD.13．（2023·河北·高二校聯(lián)考期中）已知曲線的方程是，則下列關(guān)于曲線的說法正確的是（

）A．曲線與軸和軸共有4個公共點(diǎn) B．曲線總長度為C．點(diǎn)、在曲線上，則的最大值為 D．曲線與坐標(biāo)軸圍成的圖形面積為【答案】BCD【解析】根據(jù)題意，曲線的方程是，必有且，故選項A錯誤；當(dāng)，時，方程為，當(dāng)，時，方程為，當(dāng)，時，方程為，當(dāng)，時，方程為，作出圖象如圖所示，設(shè)的圓心為，則可求得，易知，，所以曲線的總長度為，與坐標(biāo)軸圍成的面積為，故BD正確；當(dāng)點(diǎn)P、Q與圓弧所在的圓心共線時，取得最大值，此時，故選項C正確.故選：BCD.14．（2023·遼寧大連·高二大連八中校考期中）已知圓：與圓相交于兩點(diǎn)，直線，點(diǎn)在直線上，點(diǎn)在圓上，則說法正確的是（

）A．直線的方程為 B．線段的長為C．的最小值是2 D．從點(diǎn)向圓引切線，切線長的最小值是．【答案】ACD【解析】圓：，圓心為，半徑，圓，圓心為，半徑，圓心距，，兩圓相交.對選項A：直線的方程為，即，正確；對選項B：圓心到直線的距離為，故，錯誤；對選項C：的最小值為到直線的距離減去，即，正確；對選項D：為圓的切線，連接，，則，當(dāng)最小值時，切線長最小，最小值為到直線的距離為，所以，正確；故選：ACD15．（2023·吉林松原·高二前郭爾羅斯縣第五中學(xué)校考期中）已知圓與直線，點(diǎn)P，Q分別在直線l和圓C上運(yùn)動，則（

）A．的最小值為B．過點(diǎn)的直線被圓C截得的弦長的最小值為C．過P作圓C的切線PA，A為切點(diǎn)，的最小值為D．存在點(diǎn)P使得過P所作圓C的兩條切線互相垂直【答案】AC【解析】圓C的圓心為，半徑，圓心C到直線l的距離，則，A正確；顯然點(diǎn)在圓C內(nèi)，則當(dāng)過點(diǎn)的弦與CM垂直時，弦長最短，而，因此弦長的最小值為，B錯誤；顯然，則當(dāng)最小時，最小，而，因此，C正確；由選項C知，，當(dāng)最小時，最大，此時，有，即，所以不存在點(diǎn)P使得過P所作圓C的兩條切線互相垂直，D錯誤．故選：AC三、填空題16．（2023·四川資陽·高二四川省樂至中學(xué)校考期中）若實數(shù)滿足，則的最大值為．【答案】/【解析】因為點(diǎn)在圓上，所以表示圓上點(diǎn)與點(diǎn)連線的距離，又因為圓心為，半徑為1，故的最大值為.故答案為：17．（2023·湖南常德·高二校考期中）著名數(shù)學(xué)家阿波羅證明過這樣的一個命題：平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之比為常數(shù)的點(diǎn)軌跡是圓，后世將這個圓稱為阿氏圓．若平面內(nèi)兩定點(diǎn)A，B的距離為2，動點(diǎn)P滿足，當(dāng)P，A，B不共線時，求三角形PAB面積的最大值．【答案】/【解析】設(shè)以所在的直線為軸，以線段垂直平分線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)，，，如圖所示，由，則，整理得，所以動點(diǎn)P軌跡為以為圓心，以為半徑的圓，當(dāng)點(diǎn)P到軸距離最大，即最大距離為時，的面積最大，所以面積的最大值為．故答案為：．四、解答題18．（2023·河北保定·高二校聯(lián)考期中）瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直線上，這條直線被后人稱為三角形的“歐拉線”.在平面直角坐標(biāo)系中，滿足，頂點(diǎn)、，且其“歐拉線”與圓相切.(1)求的“歐拉線”方程；(2)若圓M與圓有公共點(diǎn)，求a的范圍；(3)若點(diǎn)在的“歐拉線”上，求的最小值.【解析】（1）因為，所以是等腰三角形，由三線合一得：的外心、重心、垂心均在邊的垂直平分線上，設(shè)的歐拉線為，則過的中點(diǎn)，且與直線垂直，由可得：的中點(diǎn)，即，所以，故的方程為.（2）因為與圓相切，故，圓的圓心坐標(biāo)為，半徑，則要想圓與圓有公共點(diǎn)，只需兩圓圓心的距離小于等于半徑之和，大于等于半徑之差的絕對值，故，所以.（3）因為，所以該式子是表示點(diǎn)到點(diǎn)、點(diǎn)的距離之和，又，所以上述式子表示直線上的點(diǎn)到點(diǎn)、點(diǎn)的距離之和的最小值.設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，則