主成分分析公式推導(dǎo)

主成分分析公式推導(dǎo)

主成分分析的基本概念與原理01主成分分析（PCA）是一種統(tǒng)計方法用于將高維數(shù)據(jù)集降維到低維數(shù)據(jù)集保留數(shù)據(jù)集中的主要信息背景：在高維數(shù)據(jù)集中，往往存在高度相關(guān)的變量導(dǎo)致數(shù)據(jù)分析的復(fù)雜度和計算成本增加主成分分析通過降維，提高數(shù)據(jù)分析的效率主成分分析的定義與背景基本原理：數(shù)據(jù)投影到一個新的坐標(biāo)系新坐標(biāo)系的基向量是數(shù)據(jù)集的主成分主成分是數(shù)據(jù)集中方差最大的方向主成分分析的目標(biāo)：找到數(shù)據(jù)集的主成分使得數(shù)據(jù)在新坐標(biāo)系下的方差最大化減少數(shù)據(jù)的維度，同時保留主要信息主成分分析的基本原理主成分分析的應(yīng)用領(lǐng)域應(yīng)用領(lǐng)域：主成分分析廣泛應(yīng)用于各個領(lǐng)域數(shù)據(jù)降維數(shù)據(jù)壓縮噪聲消除特征提取市場調(diào)查生物信息學(xué)主成分分析的數(shù)學(xué)原理02協(xié)方差矩陣與特征值分解協(xié)方差矩陣：用于描述數(shù)據(jù)集中變量之間的關(guān)系協(xié)方差矩陣是一個n×n的對稱矩陣矩陣的元素表示兩個變量之間的協(xié)方差01特征值分解：將協(xié)方差矩陣分解為特征向量和特征值的乘積特征向量表示數(shù)據(jù)在新坐標(biāo)系下的方向特征值表示數(shù)據(jù)在新坐標(biāo)系下的方差02主成分的求解：通過特征值分解得到特征向量特征向量對應(yīng)的特征值最大的幾個成分作為主成分主成分是數(shù)據(jù)集中方差最大的方向主成分的性質(zhì)：主成分之間線性無關(guān)主成分的方差之和等于原始數(shù)據(jù)的方差主成分可以表示為原始數(shù)據(jù)的線性組合主成分的求解與性質(zhì)貢獻(xiàn)度越高，主成分解釋的數(shù)據(jù)信息越多主成分的貢獻(xiàn)度：表示主成分解釋原始數(shù)據(jù)方差的比例主成分可以表示為原始數(shù)據(jù)的線性組合通過主成分得分，可以對新數(shù)據(jù)進(jìn)行分類和聚類主成分的解釋：通過主成分的線性組合，解釋原始數(shù)據(jù)中的信息主成分的貢獻(xiàn)度與解釋主成分分析的步驟與方法03數(shù)據(jù)預(yù)處理：在進(jìn)行主成分分析之前，需要對數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理數(shù)據(jù)清洗：去除缺失值和異常值數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換：將數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換為統(tǒng)一的量綱數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化：將數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換為均值為0，方差為1的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布消除變量之間的量綱影響使得主成分分析的結(jié)果更加穩(wěn)定和可靠數(shù)據(jù)預(yù)處理與標(biāo)準(zhǔn)化計算協(xié)方差矩陣：根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化后的數(shù)據(jù)計算協(xié)方差矩陣協(xié)方差矩陣表示數(shù)據(jù)集中變量之間的關(guān)系計算特征值和特征向量：對協(xié)方差矩陣進(jìn)行特征值分解特征向量表示數(shù)據(jù)在新坐標(biāo)系下的方向特征值表示數(shù)據(jù)在新坐標(biāo)系下的方差計算協(xié)方差矩陣與特征值選擇主成分：根據(jù)特征值的大小，選擇前k個主成分k個主成分可以解釋數(shù)據(jù)的主要信息構(gòu)建新變量：將原始數(shù)據(jù)投影到由主成分組成的新的坐標(biāo)系新變量是原始數(shù)據(jù)的線性組合新變量之間相互獨立，且方差最大選擇主成分與構(gòu)建新變量主成分分析的結(jié)果解釋與評價04主成分的解釋與命名主成分的解釋：根據(jù)主成分的線性組合，解釋原始數(shù)據(jù)中的信息主成分可以表示為原始數(shù)據(jù)的線性組合01主成分的命名：根據(jù)主成分的解釋，對主成分進(jìn)行命名主成分的命名應(yīng)該簡潔明了，易于理解02主成分得分：計算原始數(shù)據(jù)在新坐標(biāo)系下的得分主成分得分可以表示原始數(shù)據(jù)在新坐標(biāo)系下的位置主成分排名：根據(jù)主成分得分，對數(shù)據(jù)進(jìn)行排名主成分排名可以用于數(shù)據(jù)分類和聚類主成分得分與排名主成分分析的效果評價：通過主成分解釋的數(shù)據(jù)信息，評價主成分分析的效果主成分解釋的數(shù)據(jù)信息越多，主成分分析的效果越好主成分分析的效果評價：通過主成分得分和排名，評價主成分分析的效果主成分得分和排名越準(zhǔn)確，主成分分析的效果越好主成分分析的效果評價主成分分析的實際應(yīng)用案例05主成分分析在數(shù)據(jù)降維中的應(yīng)用數(shù)據(jù)降維：主成分分析可以將高維數(shù)據(jù)降維到低維數(shù)據(jù)減少數(shù)據(jù)的維度，提高數(shù)據(jù)分析的效率保留數(shù)據(jù)集中的主要信息主成分分析在市場調(diào)查中的應(yīng)用市場調(diào)查：主成分分析可以用于市場調(diào)查中的數(shù)據(jù)分析和處理通過主成分分析，找出影響市場的主要因素通過主成分得分和排名，對市場進(jìn)行聚類和分類主成分分析在生物信息學(xué)中的應(yīng)用生物信息學(xué)：主成分分析可以用于生物信息學(xué)中的基