2023-2024學(xué)年天津市高一年級(jí)下冊(cè)冊(cè)期中數(shù)學(xué)模擬試題

2023-2024學(xué)年天津市高一下冊(cè)期中數(shù)學(xué)模擬試題

一、單選題

1.若復(fù)數(shù)Z滿足2z+N=3-2i,其中i為虛數(shù)單位，則Z=

A.l+2iB.l-2iC.-l+2iD.-l-2i

【正確答案】B

【詳解】試題分析：設(shè)z=α+bi,則2z+彳=3α+bi=3-2i,故。二：）二一二，則z=l-2i,選B.

注意共貌復(fù)數(shù)的概念

【名師點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算及復(fù)數(shù)的概念，是一道基礎(chǔ)題目.從歷年高考題目看，復(fù)數(shù)題

目往往不難，有時(shí)對(duì)復(fù)數(shù)的運(yùn)算與概念、復(fù)數(shù)的幾何意義等進(jìn)行綜合考查，也是考生必定得分的題目

之一.

2.在平行四邊形/8Cl）中，DA+DC-CB=（）

A.DBB.BCC.CDD.DC

【正確答案】D

【分析】由平行四邊形的性質(zhì)可得刀=而，從而可求得答案

【詳解】解：因?yàn)樗倪呅?88為平行四邊形，

所以方=而，

所以總+比一赤=方心，

故選：D

3.下列說法中，正確的是（）.

A.三點(diǎn)確定一個(gè)平面B.過一條直線的平面有無數(shù)多個(gè)

C.兩條直線確定一個(gè)平面D.三條兩兩相交的直線確定三個(gè)平面

【正確答案】B

【分析】A選項(xiàng)，若三點(diǎn)共線，則此三點(diǎn)不能確定一個(gè)平面；B選項(xiàng)，過一條直線的平面有無數(shù)多個(gè);

C選項(xiàng)，兩條直線若異面，則兩條直線無法確定一個(gè)平面；D選項(xiàng)，三條兩兩相交的直線若過同一個(gè)

點(diǎn)，則三條兩兩相交的直線確定三個(gè)平面或一個(gè)平面.

【詳解】若三點(diǎn)共線，則此三點(diǎn)不能確定一個(gè)平面，A錯(cuò)誤；

過一條直線的平面有無數(shù)多個(gè)，B正確；

兩條直線若異面，則兩條直線無法確定一個(gè)平面，C錯(cuò)誤；

三條兩兩相交的直線若過同一個(gè)點(diǎn)，則三條兩兩相交的直線確定三個(gè)平面或一個(gè)平面，D錯(cuò)誤.

故選：B

4.已知點(diǎn)/(1,3),β(4,-l),則與在同方向的單位向量為()

B.(3,-4)D.(-3,4)

【正確答案】A

【分析】列方程即可求得與方同方向的單位向量.

【詳解】在=(3,-4),設(shè)與在同方向的單位向量為(XJ)

33

X——X=——

5

則解之得或，

4

3

X=—

時(shí)，所求向量為3_434

當(dāng)5,,向量方=(3,-4)=5,符合題意:

45,~5Γ~5

3

X=——

/時(shí)，所求向量為3434

當(dāng),向量方=(3,-4)=-5,不符合題意，舍去.

45,55,5

故選：A

5.在Z8C中，已知α=2,?=2√3.A=-,貝∣J8=()

6

TiC兀?nf5πCπ一2Tt

A.-B.—C.一或?-D.一或-ξ-

636633

【正確答案】D

【分析】直接利用正弦定理求解即可.

【詳解】在《BC中，由正弦定理，得三=工，

sinAsinB

所以0.R6sin∕2y^x2√3,又8e(0,m,所以8=1或8=芍.

sinB---------=----------=—3ι

a22t

故選：D

6.已知/8C中，角A,B,C所對(duì)的邊分別是“，b,C,若(α+6+c)(Hc-α)=3兒，且

SinZ=2sin8cosC,那么ABC是()

A.直角三角形B.等邊三角形C.等腰三角形D.等腰直角三角形

【正確答案】B

【分析】將(4+b+c)(6+c-α)=3bc化筒并結(jié)合余弦定理可得A的值，再對(duì)sin/=2sin8cosC結(jié)合正、

余弦定理化簡(jiǎn)可得邊長關(guān)系，進(jìn)行判定三角形形狀.

【詳解】由(α+6+c)(6+c-a)=36c,得(b+c>"=3bc,

整理得6?+c2-Ol=be,則CoS/='~—=^-,

2bc2

因?yàn)楱M∈(0,7t),所以/=

又由sin∕=2sin8cosC及正弦定理，得“=26"——J,化簡(jiǎn)得6=c,

Iab

所以ABC為等邊三角形,

故選：B

7.設(shè)x,yeR向量Z=(χ,l),B=(Ly),"=(2,-4),且則x+y=()

A.0B.1C.2D.3

【正確答案】A

【分析】根據(jù)2，"的垂直關(guān)系，可求出x=2；根據(jù)詞匯的平行關(guān)系，可求出片-2,進(jìn)而求出χ+y

的值.

【詳解】因?yàn)椤阓L",所以2X-4=0

因?yàn)锽//3所以-4-2N=O

fx=2

所以C,所以x+N=0

卜=-2

故選：A.

8.若一個(gè)圓錐的高和底面直徑相等，且它的體積為2士萬，則此圓錐的側(cè)面積為()

3

A.yf5πB.y∣3πC.√2πD.2>∣5π

【正確答案】A

【分析】由已知求得圓錐的高和底面直徑，再求得母線長可得側(cè)面積.

112

【詳解】設(shè)底面半徑為，?，由高為〃=2r,所以夕=一萬產(chǎn)〃=—萬產(chǎn)χ2z.=—］，廠=1,h=2,

333

所以母線長為/=JTTF=逐，

所以側(cè)面積為S=πrl=π×l×y∣5=>∣5π.

故選：A.

9.已知m,n表示兩條不同直線，《表示平面，下列說法正確的是

A.若用/∕ɑ,”//ɑ,則機(jī)〃"B.若機(jī)_Lc,〃ua,則機(jī)_L〃

C.若ZH_La,mln,則"http://αD.若〃〃/cr,mLn,則〃_La

【正確答案】B

【詳解】試題分析：線面垂直，則有該直線和平面內(nèi)所有的直線都垂直，故B正確.

空間點(diǎn)線面位置關(guān)系.

10.如圖，正方體/88-44CQ的棱長為2,E是棱Cq的中點(diǎn)，則點(diǎn)G到平面E8。的距離為（）

A.—B.—C.—D.—

2333

【正確答案】D

【分析】注意到七一CW=%-BDE，利用等體積法可得答案.

【詳解】VfBE=gSgDC,

Scbe=??C,￡?SC=?×1×2=1,DC=2,則LBE=I-

C]OC?I?i√-C∣DCc?

在BED中,由題意及圖形結(jié)合勾股定理可得BE=OE=√LBD=2五，

則由余弦定理可得c。SNBED=號(hào)慝產(chǎn)=W

.則S.=-BE-DE-sinZBED=√6

則SinNBED=DeUnt.t2

設(shè)c,到,平面EBD的距離為d,則CjV-cDLfE.BDE=?—DSUt,BDE?d.

1226

D-ClBE~C-BDE，則^C-BDE=QSBDEd=

又，xl，三==—3-

J??BDE

故選：D

二、填空題

11?i是虛數(shù)單位，則A=.

1+Z

17

【正確答案】-彳-7，

22

【分析】直接對(duì)復(fù)數(shù)化簡(jiǎn)即可

【詳解】解：A(3-4i)(l-i)_3-3/-4?+4/2__Ti=

1,

l+ι(1+0(1-0i≡7一^1^~J-￡2

防17.

故-T~~z

22

12.已知向量α,B的夾角為5，Ial=J5,∣B∣=1,則∣3α+司=_______.

6

【正確答案】√37

(分析］根據(jù)?3a+b?=√(3α+6)2=√9∣α∣2+6α??+∣ft∣2計(jì)算可得結(jié)果.

【詳解】13?+?l?√(3a+?)2=√9∣α∣2+60?6+∣?∣2=^9×3+6×√3×l×^+1

=√37.

故√F

13.己知一個(gè)正方體的所有頂點(diǎn)在一個(gè)球面上.若球的體積為手，則正方體的棱長為

【正確答案】√3

【分析】根據(jù)正方體的性質(zhì)，結(jié)合球的體積公式進(jìn)行求解即可.

【詳解】因?yàn)檎襟w體的對(duì)角線就是正方體的外接球的直徑，所以由外接球的體積公式得:

49τr3

?■"R'==R=5,即2R=3,則百α=3=>α=0，

故G

本題考查了正方體外接球的性質(zhì)，考查了球的體積公式的應(yīng)用，考查了空間想象能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.

AB

14.已知平面上不共線的四點(diǎn)。，A,B,C,若方-頻+3雙=O，則=

CA

3

【正確答案】-/0.75

4

【分析】由況-4礪+3。？=?？傻脩?yīng)-OB=3δβ-3δC'即可得答案.

【詳解】OA-4δB+3δC=0^>OA-OB=3OB-3OC^BA=3CB.

ABa

則48,C三點(diǎn)共線，且C在84的反向延長線上，如下圖所示，則==：.

CA4

,,3

故二

4

15.已知在a∕8C中，內(nèi)角4B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若/=力+c2-be，a=2,則/3C的

周長的最大值為.

【正確答案】6

【分析】根據(jù)力=/+，_加，利用余弦定理求得角4進(jìn)而得到外接圓半徑，再由/8C的周長為

l=a+b+c=2+2"(SinB+SinC)=2+4Sin(8+看)求解.

【詳解】解：因?yàn)?=/+,2-A,

r∣,b1+c2-α21

所β以rcos4=------------=—,

2bc2

因?yàn)?∈(0,τ),

所以4=3,則2火=，一=逋，

3sin43

所以ZBC的周長為/=a+b+c=2+2R(SinB+sin。)，

2+2∕?sin8+sinf?-B

(3√3

=2+2〃—sinBH-----cosB,

22

\7

=2+4sinl5+?j,

當(dāng)8+g=g,即B=E時(shí)，/8C的周長取得最大值為6,

623

故6

三、雙空題

16.在梯形/BC。中，AB//CD,旦AB=2CD,M,N分別為線段。C和48的中點(diǎn),若而=d,而=在,

用6表示而=-若而上反,則/048余弦值的最小值為.

【正確答案】-a-b復(fù)1

43

【分析】空（1）使用向量線性運(yùn)算求解即可；

空（2）以G與5為基底，用數(shù)量積的形式表示出麗，前，再由基本不等式求解即可.

【詳解】

如圖，由已知，MN=AN-AM=34B-（4D+DM）=34B-4D—■-DC

1—?—?11—?1一一?1-

=—AB-AD——X—AB=-AB-AD=-a-b.

22244

.----1-r

??MN=-^-b.

4

設(shè)∕DAB=Θ,即萬與B的夾角為9，

BC=BA-}-'AD+DC=_荔+而+；刀=-∣∑β+Σ5=-∣5+ft,

若荻1元，貝IJ礪?前i=o,

.,.-?ɑ+?^=-?ɑ2÷^a?b-b2=-?^∣α∣2+^?∣ɑ∣∣ft∣cosθ-二0,

又???同〉0,問〉0,???由基本不等式，

.〃同2+8好同憫8B2√Σ

6∣α∣∣6∣6∣?∣6α舊“6a3

當(dāng)且僅當(dāng)"?=T,即同=2√Ξ∣M時(shí)，等號(hào)成立.

6|/?|6011

i^-a-b,逑.

43

關(guān)鍵點(diǎn)睛：解決本題第2空的關(guān)鍵，是用以∕Z）48為夾角的兩個(gè)向量作為基底，將垂直關(guān)系轉(zhuǎn)化為

數(shù)量積的形式，再借助基本不等式求解.

四、解答題

17.已知/8C的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為。、b、c,且sm,+：in」=.

c-bc-a

(1)求角A的大小;

⑵若α=2√J,且S"c=26,求力8C的周長.

【正確答案】(1”=W

⑵6+26

【分析】(1)利用正弦定理結(jié)合余弦定理可求得COS/的值，結(jié)合角A的取值范圍可求得角A的值:

(2)利用三角形的面積公式可求得加的值，利用余弦定理可求得b+c的值，進(jìn)而可求得/8C的周

長.

sinJ+sinC_sin5

【詳解】(1)解:由

c-bc-a

利用正弦定理可得(α+c)(c-α)=b(c-b),化為c?+/_/=兒,

所以，COS4=c+b——=—>'?'∕e（0,1），A=—.

2bc23

（2）解：?,?a=2√3，且5女=3岳.。=2百，所以，bc=S,

由余弦定理可得12=/=〃+。2-2兒CoSq=^+c2-bc="c『be,

所以，（b+c）2=3bc+I2=3x8+12=36,解得b+c=6,

因此，/5。周長為。+6+。=6+2^/5.

18.如圖，在正方體XBC。一44GA中，點(diǎn)E為棱的中點(diǎn).

(1)求證：BDJ/平面4CE;

(2)求異面直線ZE與8R所成角的余弦值.

【正確答案】(1)證明見解析；(2)叵.

5

【分析】(1)連接8D與ZC交于點(diǎn)。，根據(jù)O,E為為中點(diǎn)，易得OE//8。,再利用線面平行的判定

定理證明；

(2)根據(jù)(1),由OE//8。得到/4E。異面直線4E與8。所成的角，然后證得/C_LOE,得到

△4。E是直角三角形求解.

【詳解】(1)如圖所示：

連接8。與/C交于點(diǎn)0,

因?yàn)?,E為為中點(diǎn)，

所以0E//瓦九又OEU平面NCE,8Aa平面ZC￡,

所以8?！ㄆ矫?CE；

(2)由(1)丸?0EUBD?,則N/E0異面直線ZE與8〃所成的角,

在正方體/88-/EGA中，

因?yàn)镹C_L8Z),/C_Lz)Z)—且BDeDA=D,

所以/C，平面3田。4,又因?yàn)镺EU平面BIBf)R,

所以ZC_LoE,

所以A/。E是直角三角形，

設(shè)正方體的棱長為α,則AO=巨a,OE=2a,

22

所以AE=y∣OE2+AOi=—,

2

6

T近

-

所以cosZAEO==石5

一

2

故正

5

方法點(diǎn)睛：求異面直線所成的角常用方法是平移法，平移方法一般有三種類型：利用圖中已有的平行

線平移；利用特殊點(diǎn)（線段的端點(diǎn)或中點(diǎn)）作平行線平移；補(bǔ)形平移.

19.如圖，已知44∣J.平面”C,BBJ∕AAy,AB=AC=3,BC=2小,AA、=百,BBx?2√7,點(diǎn)E

和尸分別為BC和"C的中點(diǎn).

（1）求證：4E，平面8CA；

（2）求直線4A與平面BCA所成角的大小.

【正確答案】（1）證明見解析

吒

【分析】（1）根據(jù)/4,平面力8C,得到8片，平面/8C,即可得到平面8C8J平面NBC,根據(jù)等

腰三角形三線合一的性質(zhì)得到/EL8C,然后利用面面垂直的性質(zhì)定理即可得到ZEL平面8C8∣；

（2）根據(jù)/4〃84，點(diǎn)M為24中點(diǎn)得到即可將直線/￡與平面BC與所成角轉(zhuǎn)化為直線

與平面8C，所成角，由（1）的結(jié)論可得為直線與平面BCq所成角，然后利用勾股

定理得到EM,/E的長度，即可求直線44與平面8C4所成角.

【詳解】（1）?.?4??L平面Z8C,BBJIAAi,

88∣_L平面ABC,

?.?84匚平面8。片，

.?.平面5C8∣_L平面力8C,

?.?∕I8=NC,點(diǎn)E為BC中點(diǎn)，

，AES.BC,

：平面8CAΓ∣平面∕8C=8C,XEU平面/8C,

.-.AE±平面BCB?.

取8月中點(diǎn)M,連接∕Λ∕,EM,

?：AA1/∕BBt,AA?=布,BB∣=2jj,點(diǎn)、M為BBl中點(diǎn)、,

：.四邊AMBtAi為平行四邊形，.?.AM""、,

/.直線4片與平面BCBl所成角和直線AM與平面BCBl所成角相等,

-

.?AEI平面BCB1,

/.AAME為直線AM與平面BC四所成角，

：點(diǎn)E為5C中點(diǎn)，βC=2√5.

=^5+(√7)2=2√5^，

：.BE=亞,AE=《32-5=2,EM

,

..tanΛAME=」==—,XZyiMfeIO,I,所以=

2√336

所以直線4片與平面5C4所成角為B

6

20.如圖，已知正方形力88的邊長為2,點(diǎn)P為正方形內(nèi)一點(diǎn).

(1)如圖1

(i)APBC+PCBCW<;

(ii)求萬.刀+麗.元+麗?麗+麗?刀的值；

(2)如圖2,若點(diǎn)M,N滿足麗=2必,麗=2而.點(diǎn)P是線段Aw的中點(diǎn)，點(diǎn)。是平面上動(dòng)點(diǎn)，且

^2PQ=λPA+(?-λ]PB,其中2∈R,求兩.斯的最小值.

31

【正確答案】(1)⑴4(ii)8(2)--

36

【分析】(1)(i)由向量的數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)和向量的加法法則可得

APB