2023年全國中學(xué)生數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽（預(yù)賽）暨全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽一試及加試試題（A卷）含答案

2023年全國中學(xué)生數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽（預(yù)賽）

暨2023年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽

一試（A卷）

說明：

1.評(píng)閱試卷時(shí)，請(qǐng)依據(jù)本評(píng)分標(biāo)準(zhǔn).填空題只設(shè)8分和0分兩檔；其他各題的評(píng)閱，請(qǐng)嚴(yán)格按

照本評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)的評(píng)分檔次給分，不得增加其他中間檔次.

2.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步驟正確，在評(píng)卷時(shí)可參考本評(píng)分標(biāo)

準(zhǔn)適當(dāng)劃分檔次評(píng)分，解答題中第9小題4分為一個(gè)檔次，第10、11小題5分為一個(gè)檔次，

不得增加其他中間檔次.

一、填空題：本大題共8小題，每小題8分，滿分64分.

1.設(shè)復(fù)數(shù)z=9+10i（i為虛數(shù)單位），若正整數(shù)〃滿足P142023,則"的最大值為

2.若正實(shí)數(shù)“，人滿足心=2,a'sa-b'&b=5,則（劭）的值為.

3.將一枚均勻的骰子獨(dú)立投擲三次，所得的點(diǎn)數(shù)依次記為x,y,z,則事件發(fā)生的概率

為.

4.若平面上非零向量a,4，7滿足a”,尸7=2卜|,廣。二麗，則”最小值為

5.方程sinx=cos2x的最小的20個(gè)正實(shí)數(shù)解之和為.

6.設(shè)“，b,c為正數(shù)，茗a,。為一元二次方程g?—灰+c=°的兩個(gè)根，且“，b,c是一個(gè)

三角形的三邊長(zhǎng)，則a+b-c的取值范圍是.

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c「:—=1（a>〃>0）

7.平面直角坐標(biāo)系中，已知圓Q與x軸、y軸均相切，圓心在橢圓礦力內(nèi)，且

Q與r有唯一的公共點(diǎn)（&9）.則r的焦距為.

8.八張標(biāo)有A,B,c,D,E,F,G,H正方形卡片構(gòu)成下圖.現(xiàn)逐一取走這些卡片，要求每次

取走一張卡片時(shí)，該卡片與剩下的卡片中至多一張有公共邊（例如可按。，A,B,E,c,F,G,

”的次序取走卡片，但不可按。，B,A,E,C,F,G,H的次序取走卡片），則取走這八張卡片

的不同次序的數(shù)目為.

二、解答題：本大題共3小題，滿分56分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

9.平面直角坐標(biāo)系宜?中，拋物線F為「的焦點(diǎn)，A,8為「上的兩個(gè)不重合的動(dòng)點(diǎn)，使

得線段48的一個(gè)三等分點(diǎn)P位于線段O尸上(含端點(diǎn))，記。為線段的另一個(gè)三等分點(diǎn).求點(diǎn)。的軌

跡方程.

10.已知三棱柱O：A8C—A4cl的9條棱長(zhǎng)均相等.記底面ABC所在平面為a.若c的另外四個(gè)面(即

面44G,ABB.A,ACGA,8CG%在a上投影的面積從小到大重排后依次為2e3G

4百，5百，求C的體積.

11.求出所有滿足下面要求的不小于1的實(shí)數(shù)乙對(duì)任意"，”,[-1刁，總存在,,"目一1川，使得

(a+c)(Z?+d)=l

2023年全國中學(xué)生數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽（預(yù)賽）

暨2023年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽

加試（A卷）

說明：

L評(píng)閱試卷時(shí)，請(qǐng)嚴(yán)格按照本評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)的評(píng)分檔次給分.

2.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步驟正確，在評(píng)卷時(shí)可參考本評(píng)分標(biāo)

準(zhǔn)適當(dāng)劃分檔次評(píng)分，10分為一個(gè)檔次，不得增加其他中間檔次.

12.如圖，。是以為直徑的固定的半圓弧，①是經(jīng)過點(diǎn)A及Q上另一個(gè)定點(diǎn)T的定圓，且。的圓心

位于ABT內(nèi).設(shè)P是C的?。ú缓它c(diǎn)）上的動(dòng)點(diǎn)，C,。是①上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足：C在線段

/3上，C,。位于直線AB的異側(cè)，且CD記△COP的外心為K.證明：

（1）點(diǎn)K在?TDP外接圓上;

（2）K為定點(diǎn).

13.正整數(shù)〃稱為“好數(shù)”，如果對(duì)任意不同于〃正整數(shù)〃？，均有2《"二4/2《"=’卜，這里，｛x｝表示實(shí)數(shù)X

nJ

的小數(shù)部分.證明：存在無窮多個(gè)兩兩互素的合數(shù)均為好數(shù).

14.求具有下述性質(zhì)的最小正整數(shù)旌若將1,2,，左中的每個(gè)數(shù)任意染為紅色或者藍(lán)色，則或者存在9個(gè)

互不相同的紅色的數(shù)％,馬，，/滿足玉+/++/</，或者存在1。個(gè)互不相同的藍(lán)色的數(shù)

如為，，即滿足y+%++%<%）?

15.設(shè)a=l+l（T*.在2023x2023方格表的每個(gè)小方格中填入?yún)^(qū)間口,句中的一個(gè)實(shí)數(shù).設(shè)第i行的總和為

士，第i列的總和為必，1WiW2023.求X”…2儂,的最大值（答案用含”的式子表示）.

X\X2',"2023

參考答案

一、填空題：本大題共8小題，每小題8分，滿分64分.

[1題答案】2【2題答案】20【3題答案】—[4題答案】2百

27

(6-1

【5題答案】13（玩【6題答案】

【7題答案】10【8題答案】392

二、解答題：本大題共3小題，滿分56分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

3

【9題答案】丁

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