2023-2024學年上海市寶山區(qū)顧村中學高二（下）段考數(shù)學試卷（3月份）（含解析）

2023-2024學年上海市寶山區(qū)顧村中學高二（下）段考數(shù)學試卷（3月份）一、填空題（本大題滿分54分）本大題共有12題，1-6每題4分，7-12每題5分.1．將循環(huán)小數(shù)化為分數(shù)：＝．2．在等差數(shù)列{an}中，若a3＝4，a7＝16，則{an}的通項公式為．3．log64與log69的等差中項為．4．在等比數(shù)列{an}中，a1＝3，q＝2，則S6＝．5．等差數(shù)列{an}滿足a1+a5＝4，a3+a7＝12，則＝．6．數(shù)列{an}的前n項和Sn＝2n2﹣3n，則an＝．7．等比數(shù)列{an}前n項和，則r＝．8．已知等差數(shù)列{an}中，a1＝25，a10＝7，則Sn的最大值為．9．已知數(shù)列{an}滿足，則an＝．10．已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，，n∈N*，則an＝．11．數(shù)列{an}滿足，則數(shù)列的第2023項為．12．某數(shù)學興趣小組在閱讀了《選擇性必修第一冊》中數(shù)列的課后閱讀之后，對斐波那契數(shù)列產(chǎn)生了濃厚的興趣．書上說，斐波那契數(shù)列{Fn}滿足：F1＝F2＝1，F(xiàn)n＝Fn﹣1+Fn﹣2（n≥3）；{Fn}的通項公式為；在自然界，兔子的數(shù)量，樹木枝條的數(shù)量等都符合斐波那契數(shù)列．該學習興趣小組成員也提出了一些結(jié)論：①數(shù)列{Fn+1﹣Fn}是嚴格增數(shù)列②數(shù)列{Fn}的前n項和Sn滿足Sn＝Fn+2﹣1；③；④．那么以上結(jié)論正確的是（填序號）．二、選擇題（本大題滿分24分）本大題共4題，每題6分13．“b是與的等差中項”是“b是與的等比中項”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件14．已知數(shù)列an＝1++…+，則ak+1﹣ak共有（）A．1項 B．k項 C．2k項 D．2k+1項15．我國古代數(shù)學名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題：“遠望巍巍塔七層，紅光點點倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈．”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，問塔的頂層燈的盞數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．416．已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，下面的數(shù)列中必為等差數(shù)列的個數(shù)是（）①{a2n}②{an+an+1}③{3an+1}④{|an|}A．1 B．2 C．3 D．4三、解答題（本大題滿分72分）本大題共有5題，解答下列各題必須寫出必要的步驟.17．在等差數(shù)列{an}中，a2+a5＝24，a17＝66．（1）求a2021的值；（2）2022是否為數(shù)列{an}中的項？若是，則為第幾項？18．已知數(shù)列{an}滿足：．（1）求證：{an﹣4}是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列{an}的通項公式．19．已知數(shù)列{an}滿足．（1）求出a2，a3，a4項，并由此猜想{an}的通項公式；（2）用數(shù)學歸納法證明{an}的通項公式．20．（16分）森林資源是全人類共有的寶貴財富，其在改善環(huán)境，保護生態(tài)可持續(xù)發(fā)展方面發(fā)揮重要的作用．為了實現(xiàn)“到2030年，中國的森林蓄積量比2005年增加60億立方米”的目標，A地林業(yè)管理部門著手制定本地的森林蓄積量規(guī)劃．經(jīng)統(tǒng)計，A地2020年底的森林蓄積量為120萬立方米，森林每年以25%的增長率自然生長，而為了保證森林通風和發(fā)展經(jīng)濟的需要，每年冬天都要砍伐掉t（10＜t＜30）萬立方米的森林．設an為自2021年開始，第n年末的森林蓄積量（例如a1＝150﹣t）．（1）試寫出數(shù)列{an}的一個遞推公式；（2）設bn＝an﹣4t（n∈N，n≥1），證明：數(shù)列{bn}是等比數(shù)列；（3）若到2030年末，A地要實現(xiàn)“森林蓄積量要超過640萬立方米”這一目標，那么每年的砍伐量t最多是多少萬立方米？（精確到1萬立方米）21．（16分）設k∈R，數(shù)列{an}滿足an＝2n+k，數(shù)列{bn}的通項公式為．（1）已知a1+a2+a3+a4+a5＝25，求k的值；（2）若k＝﹣113，以，求數(shù)列{cn}最大項及相應n的值；（3）設Sn為數(shù)列{bn}其前n項和，令，數(shù)列{dn}的前n項和為Tn.證明：．

參考答案一、填空題（本大題滿分54分）本大題共有12題，1-6每題4分，7-12每題5分.1．將循環(huán)小數(shù)化為分數(shù)：＝．【分析】借助于無窮等比數(shù)列的前n項和公式，即可求解．解：．．．，所以可以看成以0.36為首項，0.01為公比的無窮等比數(shù)列的前n項的和，即．故答案為：．【點評】本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．2．在等差數(shù)列{an}中，若a3＝4，a7＝16，則{an}的通項公式為an＝3n﹣5．【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)，即可求解．解：設等差數(shù)列{an}的公差為d，a3＝4，a7＝16，則4d＝a7﹣a3＝16﹣4＝12，解得d＝3，故an＝a3+（n﹣3）×d＝4+（n﹣3）×3＝3n﹣5．故答案為：an＝3n﹣5．【點評】本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)，屬于基礎題．3．log64與log69的等差中項為1．【分析】根據(jù)題意，設log64與log69的等差中項為m，由等差中項的定義可得2m＝log64+log69，由對數(shù)的運算性質(zhì)可得m的值，即可得答案．解：根據(jù)題意，設log64與log69的等差中項為m，則2m＝log64+log69＝log636＝2，故m＝1，即log64與log69的等差中項為1；故答案為1．【點評】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)，涉及對數(shù)的運算性質(zhì)，解題的關鍵是掌握等差中項的定義．4．在等比數(shù)列{an}中，a1＝3，q＝2，則S6＝189．【分析】利用等比數(shù)列的求和公式可得答案．解：因為等比數(shù)列{an}中，a1＝3，q＝2由等比數(shù)列的求和公式，可得S6＝＝189，故答案為：189．【點評】本題考查等比數(shù)列的求和公式，屬基礎題．5．等差數(shù)列{an}滿足a1+a5＝4，a3+a7＝12，則＝28．【分析】借助于等差數(shù)列的性質(zhì)以及前n項和公式求解即可．解：因為等差數(shù)列{an}滿足a1+a5＝4，a3+a7＝12，所以a3+a7＝2a5＝12，a1+a5＝2a3＝4，解得a5＝6，a3＝2，所以．故答案為：28．【點評】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．6．數(shù)列{an}的前n項和Sn＝2n2﹣3n，則an＝4n﹣5．【分析】由Sn可表示出數(shù)列{an}的前n﹣1項和Sn﹣1，兩式相減即可求出此數(shù)列的通項公式，然后把n＝1代入驗證是否滿足即可．解：當n＝1時，a1＝S1＝﹣1，當n≥2時，an＝Sn﹣Sn﹣1＝2n2﹣3n﹣2（n﹣1）2﹣3（n﹣1）＝4n﹣5，經(jīng)驗證當n＝1時，上式也符合，故通項公式為an＝4n﹣5，故答案為：4n﹣5．【點評】本題考查等差數(shù)列的通項公式，當n≥2時，an＝Sn﹣Sn﹣1是解決問題的關鍵，屬基礎題．7．等比數(shù)列{an}前n項和，則r＝﹣1．【分析】可根據(jù)an＝Sn﹣Sn﹣1求得數(shù)列的通項公式，進而求得a1，再根據(jù)a1＝S1求得r．解：∵Sn＝3n+r，∴Sn﹣1＝3n﹣1+r，（n≥2，n∈N+），∴an＝Sn﹣Sn﹣1＝2?3n﹣1，又a1＝S1＝3+r，由通項得：a2＝6，公比為3，∴a1＝2，∴r＝﹣1．故答案為：﹣1【點評】本題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)，以及等比數(shù)列的前n項和公式．解題的關鍵是求出數(shù)列的通項公式．8．已知等差數(shù)列{an}中，a1＝25，a10＝7，則Sn的最大值為169．【分析】利用等差數(shù)列通項公式求出d＝﹣2，從而Sn＝25n+d＝25n﹣n2+n＝﹣（n﹣13）2+169．由此能求出Sn的最大值．解：等差數(shù)列{an}中，a1＝25，a10＝7，∴25+9d＝7，解得d＝﹣2，∴Sn＝25n+d＝25n﹣n2+n＝﹣（n﹣13）2+169．則n＝13時，Sn的最大值為169．故答案為：169．【點評】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．9．已知數(shù)列{an}滿足，則an＝n2+n．【分析】由已知遞推關系，利用累加法即可求解．解：因為數(shù)列{an}滿足，所以a2﹣a1＝4，a3﹣a2＝6，…an﹣an﹣1＝2n，以上n﹣1各式子相加得，an﹣a1＝4+6+…+2n＝＝（n+2）（n﹣1），則an＝n2+n．故答案為：n2+n．【點評】本題主要考查了累加法在數(shù)列通項公式求解中的應用，屬于中檔題．10．已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，，n∈N*，則an＝．【分析】依題意可得（n+1）an+1＝nan，即可得到{nan}為常數(shù)數(shù)列，從而求出數(shù)列的通項公式．解：因為a1＝1，，所以（n+1）an+1＝nan，所以{nan}為常數(shù)數(shù)列，且nan＝1，所以．故答案為：．【點評】本題考查數(shù)列遞推公式的應用，屬基礎題．11．數(shù)列{an}滿足，則數(shù)列的第2023項為．【分析】根據(jù)遞推關系可通過計算前面，發(fā)現(xiàn)數(shù)列是周期為4的周期數(shù)列，進而由周期性即可求解．解：由已知可得，所以數(shù)列{an}為周期數(shù)列，且T＝4，所以．故答案為：．【點評】本題主要考查數(shù)列遞推關系式的應用，考查計算能力，屬于中檔題．12．某數(shù)學興趣小組在閱讀了《選擇性必修第一冊》中數(shù)列的課后閱讀之后，對斐波那契數(shù)列產(chǎn)生了濃厚的興趣．書上說，斐波那契數(shù)列{Fn}滿足：F1＝F2＝1，F(xiàn)n＝Fn﹣1+Fn﹣2（n≥3）；{Fn}的通項公式為；在自然界，兔子的數(shù)量，樹木枝條的數(shù)量等都符合斐波那契數(shù)列．該學習興趣小組成員也提出了一些結(jié)論：①數(shù)列{Fn+1﹣Fn}是嚴格增數(shù)列②數(shù)列{Fn}的前n項和Sn滿足Sn＝Fn+2﹣1；③；④．那么以上結(jié)論正確的是②③（填序號）．【分析】列出前幾項觀察規(guī)律，然后利用數(shù)學歸納法進行證明．解：由數(shù)列通項公式可知，數(shù)列每一項都為正，當n≥3，（Fn+2﹣Fn+1）﹣（Fn+1﹣Fn）＝Fn﹣Fn﹣1＝Fn﹣2＞0，而F2﹣F1＝0，F(xiàn)3﹣F2＝1，F(xiàn)4﹣F3＝1，不滿足嚴格遞增，所以數(shù)列{Fn+1﹣Fn}不是嚴格增數(shù)列，①錯誤，對于②，S1＝F3﹣1＝1，滿足等式，假設n＝k﹣1（k≥2，k∈Z）時等式成立，即Sk﹣1＝Fk+1﹣1，則Sk＝Fk+1﹣1+Fk＝Fk+2+1，等式成立，②正確，對于③＝1＝F1F2，等式成立，假設n＝k﹣1（k≥2，k∈Z）時等式成立，即++…+＝Fk﹣1Fk，則++…++＝Fk﹣1Fk+＝FkFk+1，等式成立，③正確，對于④，當n＝1，F(xiàn)1F2＝1，而＝32＝9，顯然不滿足等式，④錯誤，故答案為：②③．【點評】本題主要考查數(shù)學歸納法證明數(shù)列規(guī)律，列出前幾項驗證規(guī)律是解決本題的突破點，屬中檔題．二、選擇題（本大題滿分24分）本大題共4題，每題6分13．“b是與的等差中項”是“b是與的等比中項”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【分析】根據(jù)等差中項和等比中項的定義結(jié)合充分條件和必要條件的定義進行判斷即可．解：若b是與的等差中項，則b＝＝1，若b是與的等比中項，則b＝±＝±1，則“b是與的等差中項”是“b是與的等比中項”的充分不必要條件，故選：A．【點評】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，結(jié)合等差中項和等比中項的定義求出b的值是解決本題的關鍵．14．已知數(shù)列an＝1++…+，則ak+1﹣ak共有（）A．1項 B．k項 C．2k項 D．2k+1項【分析】由ak＝+…+，ak+1＝+…+++…+，可得ak+1﹣ak，即可得出．解：∵ak＝+…+，ak+1＝+…+++…+，∴ak+1﹣ak＝+…+＝，∴共有k2+2k+1﹣（k2+1）+1＝2k+1項．故選：D．【點評】本題考查了數(shù)列的通項公式，屬于基礎題．15．我國古代數(shù)學名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題：“遠望巍巍塔七層，紅光點點倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈．”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，問塔的頂層燈的盞數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】可知每一層燈數(shù)形成以2為公比的等比數(shù)列{an}，根據(jù)S7＝381即可求出．解：設頂層的燈數(shù)是a1，則每一層燈數(shù)形成以2為公比的等比數(shù)列{an}，由題可得，解得a1＝3，所以塔的頂層的燈數(shù)是3．故選：C．【點評】本題主要考查等比數(shù)列的前n項和公式，屬于基礎題．16．已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，下面的數(shù)列中必為等差數(shù)列的個數(shù)是（）①{a2n}②{an+an+1}③{3an+1}④{|an|}A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根據(jù)等差數(shù)列的定義判斷．解：設{an}的公差為d，對于①，a2（n+1）﹣a2n＝a2n+2﹣a2n＝2d，{a2n}是等差數(shù)列，故①正確；對于②，（an+an+1）﹣（an﹣1+an）＝an+1﹣an﹣1＝2d，{an+an+1}是等差數(shù)列，故②正確；對于③，3an+1﹣（3an﹣1+1）＝3（an﹣an﹣1）＝3d，{3an+1}是等差數(shù)列，故③正確；對于④，若an＝n﹣5，則|an|＝|n﹣5|不是等差數(shù)列，故④錯誤．故選：C．【點評】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．三、解答題（本大題滿分72分）本大題共有5題，解答下列各題必須寫出必要的步驟.17．在等差數(shù)列{an}中，a2+a5＝24，a17＝66．（1）求a2021的值；（2）2022是否為數(shù)列{an}中的項？若是，則為第幾項？【分析】（1）由已知結(jié)合等差數(shù)列的通項公式先求出首項及公差，進而可求；（2）結(jié)合等差數(shù)列的通項公式即可求解．解：（1）因為等差數(shù)列{an}中，a2+a5＝2a1+5d＝24，a17＝a1+16d＝66，解得d＝4，a1＝2，所以a2021＝2+2020×4＝8082；（2）由（1）得an＝2+4（n﹣1）＝4n﹣2，令4n﹣2＝2022，則n＝506，故2022是為數(shù)列{an}中的第506項．【點評】本題主要考查了等差數(shù)列的通項公式的應用，屬于基礎題．18．已知數(shù)列{an}滿足：．（1）求證：{an﹣4}是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列{an}的通項公式．【分析】（1）由已知遞推關系，結(jié)合等比數(shù)列的定義即可證明；（2）結(jié)合等比數(shù)列的通項公式即可求解．【解答】（1）證明：因為數(shù)列{an}滿足：，所以an+1﹣4＝（an﹣4），因為a1﹣4＝﹣2，所以數(shù)列{an﹣4}是以﹣2為首項，以為公比的等比數(shù)列；（2）解：由（1）得，an﹣4＝﹣2×，故an＝4﹣（）n﹣2．【點評】本題主要考查了等比數(shù)列的判斷及等比數(shù)列的通項公式的應用，屬于中檔題．19．已知數(shù)列{an}滿足．（1）求出a2，a3，a4項，并由此猜想{an}的通項公式；（2）用數(shù)學歸納法證明{an}的通項公式．【分析】（1）根據(jù)已知條件求得a2，a3，a4，由此猜想，（2）結(jié)合數(shù)學歸納法的證明步驟，證得猜想通項公式正確即可．解：（1）依題意，所以，由此猜想．（2）證明：當n＝1時，a1＝1，成立．假設當n＝k時成立，即成立．則當n＝k+1時，，成立．綜上所述，對任意正整數(shù)n都成立．【點評】本題主要考查數(shù)列歸納法，數(shù)列遞推式，考查運算求解能力，屬于中檔題．20．（16分）森林資源是全人類共有的寶貴財富，其在改善環(huán)境，保護生態(tài)可持續(xù)發(fā)展方面發(fā)揮重要的作用．為了實現(xiàn)“到2030年，中國的森林蓄積量比2005年增加60億立方米”的目標，A地林業(yè)管理部門著手制定本地的森林蓄積量規(guī)劃．經(jīng)統(tǒng)計，A地2020年底的森林蓄積量為120萬立方米，森林每年以25%的增長率自然生長，而為了保證森林通風和發(fā)展經(jīng)濟的需要，每年冬天都要砍伐掉t（10＜t＜30）萬立方米的森林．設an為自2021年開始，第n年末的森林蓄積量（例如a1＝150﹣t）．（1）試寫出數(shù)列{an}的一個遞推公式；（2）設bn＝an﹣4t（n∈N，n≥1），證明：數(shù)列{bn}是等比數(shù)列；（3）若到2030年末，A地要實現(xiàn)“森林蓄積量要超過640萬立方米”這一目標，那么每年的砍伐量t最多是多少萬立方米？（精確到1萬立方米）【分析】（1）根據(jù)題意得an+1＝an×（1+25%）﹣t，化簡求解；（2）證明為常數(shù)即可；（3）由（2）知＝，則{an﹣4t}是等比數(shù)列，求得其通項公式，再由a10≥640求解．解：（1）由題意得：a1＝120×（1+25%）﹣t＝150﹣t，an+1＝an×（1+25%）﹣t＝an﹣t；（2）因為an+1＝an﹣t，所以an+1﹣4t＝（an﹣4t），當n＝1時，b1＝a1﹣4t＝150﹣5t，即＝，故{bn}是以150﹣5t為首項，為公比的等比數(shù)列．（3）由（2）知：{an﹣4t}是以150﹣5t為首項，為公比的等比數(shù)列，所以其通