2024年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)（全國版）專題02 整式與因式分解【十大題型】（舉一反三）（解析版）

專題02整式與因式分解【十大題型】TOC\o"1-3"\h\u【題型1實際問題中的代數(shù)式】 3【題型2求代數(shù)式的值】 5【題型3整式的加減與冪的運算】 6【題型4整式的乘除】 8【題型5乘法公式的應(yīng)用】 9【題型6整式的化簡求值】 12【題型7提公因式法分解因式】 14【題型8運用公式法分解因式】 15【題型9數(shù)式規(guī)律探究】 16【題型10數(shù)式中的新定義問題探究】 19【知識點整式與因式分解】1.定義(1)代數(shù)式：用運算符號把數(shù)或表示數(shù)的字母連接而成的式子叫做代數(shù)式。單獨的一個數(shù)或一個字母也是代數(shù)式。(2)單項式：用數(shù)或字母的乘積表示的式子叫做單項式。單獨的一個數(shù)或一個字母也是單項式。單項式中的數(shù)字因數(shù)叫做這個單項式的系數(shù)。一個單項式中，所有字母的指數(shù)的和叫做這個單項式的次數(shù)。注意：單項式是由系數(shù)、字母、字母的指數(shù)構(gòu)成的，其中系數(shù)不能用帶分數(shù)表示；一個單項式中，所有字母的指數(shù)的和叫做這個單項式的次數(shù)。(3)多項式：幾個單項式的和叫做多項式。其中，每個單項式叫做多項式的項，不含字母的項叫做常數(shù)項。多項式里，次數(shù)最高項的次數(shù)，叫做這個多項式的次數(shù)。單項式與多項式統(tǒng)稱整式。(4)同類項：所含字母相同，并且相同字母的指數(shù)也相同的項叫做同類項。(5)合并同類項：把多項式中的同類項合并成一項，叫做合并同類項。合并同類項后，所得項的系數(shù)是合并前各同類項的系數(shù)的和，且字母連同它的指數(shù)不變。2.整式的運算(1)整式的加減：幾個整式相加減，如有括號就先去括號，然后再合并同類項。去括號法則：同號得正，異號得負。即括號外的因數(shù)的符號決定了括號內(nèi)的符號是否改變：如果括號外的因數(shù)是正數(shù)，去括號后原括號內(nèi)各項的符號與原來的符號相同；如果括號外的因數(shù)是負數(shù)，去括號后原括號內(nèi)各項的符號與原來的符號相反。(2)整式的乘除運算①同底數(shù)冪的乘法：am·an=am+n。同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加。②冪的乘方：(am)n=amn。冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘。③積的乘方：(ab)n=anbn。積的乘方，等于把積的每一個因式分別乘方，再把所得的冪相乘。④單項式與單項式的乘法：單項式與單項式相乘，把它們的系數(shù)、同底數(shù)冪分別相乘，對于只在一個單項式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個因式。⑤單項式與多項式的乘法：p(a+b+c)=pa+pb+pc。單項式與多項式相乘，就是用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加。⑥多項式與多項式的乘法：(a+b)(p+q)=ap+aq+bp+bq。多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項乘另一個多項式的每一項，再把所得的積相加。平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2。兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積，等于這兩個數(shù)的平方差。這個公式叫做平方差公式。完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2，(a-b)2=a2-2ab+b2。兩個數(shù)的和(或差)的平方，等于它們的平方和，加上(或減去)它們積的2倍。這兩個公式叫做完全平方公式。⑦同底數(shù)冪的除法：am÷an=am-n。同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減。任何不等于0的數(shù)的0次冪都等于1。⑧單項式與單項式的除法：單項式相除，把系數(shù)與同底數(shù)冪分別相除作為商的因式，對于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為商的一個因式。⑨多項式除以單項式：多項式除以單項式，先把這個多項式的每一項除以這個單項式，再把所得的商相加。注：以上公式及法則在分式和二次根式的運算中同樣適用。(3)添括號法則同號得正，異號得負。即括號前的符號決定了括號內(nèi)各項的符號是否改變：如果括號前面是正號，括到括號里的各項都不變符號；如果括號前面是負號，括到括號里的各項都改變符號。3.因式分解定義：把一個多項式化成了幾個整式的積的形式，這樣的式子變形叫做這個多項式的因式分解，也叫做把這個多項式分解因式。以上公式都可以用來對多項式進行因式分解，因式分解的常用方法：①提公因式法：pa+pb+pc=p(a+b+c)；②公式法：a2-b2=(a+b)(a-b)；a2+2ab+b2=(a+b)2；a2-2ab+b2=(a-b)2。③分組分解法：ac+ad+bc+cd=a(c+d)+b(c+d)=(a+b)(c+d)④十字相乘法：a2+(p+q)a+pq=(a+p)(a+q)因式分解的一般步驟：（1）如果多項式的各項有公因式，那么先提取公因式。（2）在各項提出公因式以后或各項沒有公因式的情況下，觀察多項式的項數(shù)：2項式可以嘗試運用公式法分解因式；3項式可以嘗試運用公式法、十字相乘法分解因式；4項式及4項式以上的可以嘗試分組分解法分解因式（3）分解因式必須分解到每一個因式都不能再分解為止?！绢}型1實際問題中的代數(shù)式】【例1】（2023·湖南長沙·統(tǒng)考中考真題）為落實“雙減”政策，某校利用課后服務(wù)開展了主題為“書香滿校園”的讀書活動．現(xiàn)需購買甲，乙兩種讀本共100本供學(xué)生閱讀，其中甲種讀本的單價為10元/本，乙種讀本的單價為8元/本，設(shè)購買甲種讀本x本，則購買乙種讀本的費用為（

）A．8x元 B．10(100?x)元 C．8(100?x)元 D．(100?8x)元【答案】C【分析】根據(jù)題意列求得購買乙種讀本100?x本，根據(jù)單價乘以數(shù)量即可求解．【詳解】解：設(shè)購買甲種讀本x本，則購買乙種讀本100?x本，乙種讀本的單價為8元/本，則則購買乙種讀本的費用為8(100?x)元故選C【點睛】本題考查了列代數(shù)式，理解題意是解題的關(guān)鍵．【變式1-1】（2023·吉林長春·統(tǒng)考中考真題）2023長春馬拉松于5月21日在南嶺體育場鳴槍開跑，某同學(xué)參加了7.5公里健康跑項目，他從起點開始以平均每分鐘x公里的速度跑了10分鐘，此時他離健康跑終點的路程為公里．（用含x的代數(shù)式表示）【答案】7.5?10x【分析】根據(jù)題意列出代數(shù)式即可．【詳解】根據(jù)題意可得，他離健康跑終點的路程為7.5?10x．故答案為：7.5?10x．【點睛】此題考查了列代數(shù)式，解題的關(guān)鍵是讀懂題意．【變式1-2】（2023·四川德陽·統(tǒng)考中考真題）在初中數(shù)學(xué)文化節(jié)游園活動中，被稱為“數(shù)學(xué)小王子”的王小明參加了“智取九宮格”游戲比賽，活動規(guī)則是：在九宮格中，除了已經(jīng)填寫的三個數(shù)之外的每一個方格中，填入一個數(shù)，使每一橫行、每一豎列以及兩條對角線上的3個數(shù)之和分別相等，且均為m．王小明抽取到的題目如圖所示，他運用初中所學(xué)的數(shù)學(xué)知識，很快就完成了這個游戲，則m=．1674【答案】39【分析】設(shè)第一列中間的數(shù)為x，則三個數(shù)之和為16+4+x=20+x，再一次把表格的每一個數(shù)據(jù)填好，從而可得答案．【詳解】解：如圖，設(shè)第一列中間的數(shù)為x，則三個數(shù)之和為16+4+x=20+x，可得：1613+xx13746+x10∴m=16+13+10=39，故答案為：39【點睛】本題考查的是列代數(shù)式，整式的加減運算的應(yīng)用，理解題意，設(shè)出合適的未知數(shù)是解本題的關(guān)鍵．【變式1-3】（2023·湖北宜昌·統(tǒng)考中考真題）從前，古希臘一位莊園主把一塊邊長為a米（a>6）的正方形土地租給租戶張老漢．第二年，他對張老漢說：“我把這塊地的一邊增加6米，相鄰的另一邊減少6米，變成矩形土地繼續(xù)租給你，租金不變，你也沒有吃虧，你看如何？”如果這樣，你覺得張老漢的租地面積會（

）A．沒有變化 B．變大了 C．變小了 D．無法確定【答案】C【分析】分別求出2次的面積，比較大小即可．【詳解】原來的土地面積為a2平方米，第二年的面積為(a+6)(a?6)=∵(∴所以面積變小了，故選C．【點睛】本題考查了列代數(shù)式，整式的運算，平方差公式，代數(shù)式大小的比較，正確理解題意列出代數(shù)式并計算是解題的關(guān)鍵．【題型2求代數(shù)式的值】【規(guī)律方法】求代數(shù)式的一般方法：已知字母或代數(shù)式的值，直接代入數(shù)式求解。已知幾個字母之間的關(guān)系，將代數(shù)式配湊成關(guān)于那幾個字母之間的關(guān)系的式子，再整體代換。當字母的取值不明確時，需將字母的值化簡或求解出來，再代入代數(shù)式解題?！纠?】（2023·江蘇南通·統(tǒng)考中考真題）若a2?4a?12=0，則2aA．24 B．20 C．18 D．16【答案】D【分析】根據(jù)a2?4a?12=0得到a2【詳解】解：a2得a22a2?8a?8原式=2×12?8=16．故選：D．【點睛】本題考查代數(shù)式求值，將2a2?8a?8【變式2-1】（2023·四川樂山·統(tǒng)考中考真題）若m、n滿足3m?n?4=0，則8m÷【答案】16【分析】先將已知3m?n?4=0變形為3m?n=4，再將8m÷2【詳解】解：∵3m?n?4=0∴3m?n=4∴8故答案為：16．【點睛】本題考查代數(shù)式值，冪的乘方和同底數(shù)冪除法，熟練掌握冪的乘方和同底數(shù)冪除法法則是解題的關(guān)鍵．【變式2-2】（2023·廣東深圳·統(tǒng)考中考真題）已知實數(shù)a，b，滿足a+b=6，ab=7，則a2b+ab【答案】42【分析】首先提取公因式，將已知整體代入求出即可．【詳解】a=ab=7×6=42．故答案為：42．【點睛】此題考查了求代數(shù)式的值，提公因式法因式分解，整體思想的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握以上知識點．【變式2-3】（2023·山東·統(tǒng)考中考真題）已知實數(shù)m滿足m2?m?1=0，則2【答案】8【分析】由題意易得m2【詳解】解：∵m2∴m2∴2=2m=2m?=m?=?=?1+9=8；故答案為8．【點睛】本題主要考查因式分解及整體思想，熟練掌握利用整體思維及因式分解求解整式的值．【題型3整式的加減與冪的運算】【例3】（2023·湖北襄陽·統(tǒng)考中考真題）下列各式中，計算結(jié)果等于a2的是（

A．a(chǎn)2?a3 B．a(chǎn)5÷【答案】B【分析】分別利用合并同類項法則以及同底數(shù)冪的乘法運算法則和冪的乘方運算法則分別計算即可．【詳解】解：a2a5a2a5故選B．【點睛】本題主要考查合并同類項法則以及同底數(shù)冪的乘法運算法則和冪的乘方運算法則，熟練掌握運算法則是解題的關(guān)鍵．【變式3-1】（2023·湖南永州·統(tǒng)考中考真題）若x，y均為實數(shù)，43x=2021，47y=2021，則43xy?【答案】20211【分析】根據(jù)同底數(shù)冪乘法、積的乘方、冪的乘方等計算法則進行等量代換即可．【詳解】解：∵43x=2021∴(43x)43xy故答案為：2021；∵43xy即2021xy∴xy=x+y，∴1x故答案為：1．【點睛】本題主要考查同底數(shù)冪乘法、積的乘方、冪的乘方等知識點，熟練掌握以上知識點的運算法則是解決本題的關(guān)鍵．【變式3-2】（2023·內(nèi)蒙古包頭·中考真題）若一個多項式加上3xy+2y2?8，結(jié)果得2xy+3【答案】y【分析】設(shè)這個多項式為A，由題意得：A+(3xy+2y【詳解】設(shè)這個多項式為A，由題意得：A+(3xy+2y∴A=(2xy+3y故答案為：y2【點睛】本題考查了整式的加減，準確理解題意，列出方程是解題的關(guān)鍵．【變式3-3】（2023·遼寧沈陽·統(tǒng)考中考真題）當a+b=3時，代數(shù)式2(a+2b)?(3a+5b)+5的值為．【答案】2【分析】先將原式去括號，然后合并同類項可得?a?b+5，再把前兩項提取?1，然后把a+b=3的值代入可得結(jié)果.【詳解】解：2(a+2b)?(3a+5b)+5=2a+4b?3a?5b+5=?a?b+5=?(a+b)+5當a+b=3時，原式=?3+5=2，故答案為：2．【點睛】此題主要是考查了整式的化簡求值，能夠熟練運用去括號法則，合并同類項法則化簡是解題的關(guān)鍵.【題型4整式的乘除】【例4】（2023·臺灣·統(tǒng)考中考真題）計算2x﹣33x+4A．?7x+4 B．?7x?12 C．6x2?12【答案】D【分析】由多項式乘法運算法則：兩多項式相乘時，用一個多項式的各項去乘另一個多項式的每一項，再把所得的積相加，合并同類項后所得的式子就是它們的積．【詳解】解：由多項式乘法運算法則得2x?33x+4故選D．【點睛】本題考查多項式乘法運算法則，牢記法則，不要漏項是解答本題的關(guān)鍵．【變式4-1】（2023·江蘇·統(tǒng)考中考真題）計算(x+y)(x【答案】x【分析】根據(jù)多項式乘以多項式的法則，可表示為（a＋b）（m＋n）＝am＋an＋bm＋bn，計算即可．【詳解】解：x+y==x【點睛】本題主要考查多項式乘以多項式的法則．注意不要漏項，漏字母，有同類項的合并同類項．【變式4-2】（2023·海南省直轄縣級單位·統(tǒng)考一模）已知長方形的面積為18x3yA．2x2yC．2x2y【答案】D【分析】根據(jù)長方形的寬=長方形的面積÷長方形的長，結(jié)合多項式除以單項式法則計算即可．【詳解】由題意得：長方形的寬==9xy=2故選D．【點睛】本題考查多項式除以單項式的實際應(yīng)用．掌握多項式除以單項式法則是解題關(guān)鍵．【變式4-3】（2023·江蘇·統(tǒng)考中考真題）若x+4x?2=x2+px+q，則pA．2，?8 B．?2，?8 C．?2，8 D．2，8【答案】A【分析】首先把x+4x?2根據(jù)多項式乘法法則展開，然后根據(jù)多項式的各項系數(shù)即可確定p、q【詳解】解：∵x+4x?2而x+4x?2∴p=2，q=?8．故選：A．【點睛】此題主要考查了多項式的乘法法則和多項式各項系數(shù)的定義，解題關(guān)鍵就是利用它們確定p、q的值．【題型5乘法公式的應(yīng)用】【例5】（2023·四川瀘州·統(tǒng)考中考真題）若一個菱形的兩條對角線長分別是關(guān)于x的一元二次方程x2A．3 B．23 C．14 D．【答案】C【分析】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得到a+b=10，根據(jù)菱形的面積得到ab=22，利用勾股定理以及完全平方公式計算可得答案．【詳解】解：設(shè)方程x2?10x+m=0的兩根分別為a，∴a+b=10，∵a，b分別是一個菱形的兩條對角線長，已知菱形的面積為11，∴12ab=11，即∵菱形對角線垂直且互相平分，∴該菱形的邊長為a=1故選：C．【點睛】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系以及菱形的性質(zhì)，完全平方公式，利用根與系數(shù)的關(guān)系得出a+b=10是解題的關(guān)鍵．【變式5-1】（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）已知y2?my+1是完全平方式，則m的值是【答案】±2【分析】根據(jù)a±b2【詳解】解：∵y2∴?m=±2，解得m=±2，故答案為：±2．【點睛】本題考查了完全平方公式．解題的關(guān)鍵在于熟練掌握：a±b2【變式5-2】（2023·江蘇宿遷·統(tǒng)考中考真題）若實數(shù)m滿足m?20232+2024?m2【答案】?1012【分析】根據(jù)完全平方公式得2m?2023【詳解】解：∵m?2023∴2=1?2025=?2024∴故答案為：?1012．【點睛】本題考查完全平方公式的應(yīng)用，求代數(shù)式值，掌握完全平方公式(a±b)2【變式5-3】（2023·浙江·統(tǒng)考中考真題）如圖，分別以a,b,m,n為邊長作正方形，已知m>n且滿足am?bn=2，an+bm=4．

（1）若a=3,b=4，則圖1陰影部分的面積是；（2）若圖1陰影部分的面積為3，圖2四邊形ABCD的面積為5，則圖2陰影部分的面積是．【答案】255【分析】（1）根據(jù)正方形的面積公式進行計算即可求解；（2）根據(jù)題意，解方程組得出m=2a+4b3n=4a?2b3，根據(jù)題意得出m+n=【詳解】解：（1）a=3,b=4，圖1陰影部分的面積是a2故答案為：25．（2）∵圖1陰影部分的面積為3，圖2四邊形ABCD的面積為5，∴a2+b2∴m+n=10∵am?bn=2，an+bm=4．解得：m=∵a2∴m=2a+4b∴m+n=6a+2b∴2a+2聯(lián)立①②解得：a=30+91020∴2a+4b=30+3圖2陰影部分的面積是1mn===故答案為：53【點睛】本題考查了整式的乘方與圖形的面積，正方形的性質(zhì)，勾股定理，二元一次方程組，解一元二次方程，正確的計算是解題的關(guān)鍵．【題型6整式的化簡求值】【例6】（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）先化簡，再求值：2?a2+a?2aa+3【答案】4?6a，6【分析】先去括號、再合并同類項將原式進行化簡，然后將a=?1【詳解】解：2?a2+a=4?a=4?6a；當a=?13時，原式【點睛】本題考查了整式的混合運算、化簡求值等知識點，正確利用整式混合運算法則化簡成為解題的關(guān)鍵．【變式6-1】（2023·廣西玉林·統(tǒng)考中考真題）已知ab=a+b+1，則（a﹣1）（b﹣1）=．【答案】2【分析】將（a﹣1）（b﹣1）利用多項式乘多項式法則展開，然后將ab=a+b+1代入合并即可得．【詳解】（a﹣1）（b﹣1）=ab﹣a﹣b+1，當ab=a+b+1時，原式=ab﹣a﹣b+1=a+b+1﹣a﹣b+1=2，故答案為2．【點睛】本題考查了多項式乘多項式，解題的關(guān)鍵是掌握多項式乘多項式的運算法則及整體代入思想的運用．【變式6-2】（2023·北京·中考真題）已知x2?4x?1=0，求代數(shù)式【答案】12【分析】將代數(shù)式應(yīng)用完全平方公式和平方差公式展開后合并同類項，將x2【詳解】解：∵x2?4x?1=0，∴∴(2x?3)=4=3=3=3×1+9=12．【變式6-3】（2023·湖北隨州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）先化簡，再求值：(a?2b)2+(a?2b)(2b+a)?2a(2a?b)，其中，a=2【答案】?2a【詳解】原式利用完全平方公式，平方差公式，以及單項式乘多項式法則計算，去括號合并得到最簡結(jié)果，把a與b的值代入計算即可求出值．【解答】解：原式==?2a當a=2，b=62【點睛】此題考查了整式的混合運算?化簡求值，熟練掌握運算法則及公式是解本題的關(guān)鍵．【題型7提公因式法分解因式】【規(guī)律方法】確定公因式的方法：若各項系數(shù)都是整數(shù)，取各項系數(shù)的最大公因數(shù)作為公因式的系數(shù)。取各項相同的字母（或多項式因式）作為公因式的字母（或多項式因式），相同字母（或多項式因式）取最低次冪?！纠?】（2023·湖南·中考真題）因式分解：x2+x=．【答案】x【分析】要將一個多項式分解因式的一般步驟是首先看各項有沒有公因式，若有公因式，則把它提取出來，之后再觀察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考慮用公式法繼續(xù)分解因式．因此，直接提取公因式x即可．【詳解】解：x【變式7-1】（2023·湖南永州·統(tǒng)考中考真題）2a2與4ab的公因式為【答案】2a【分析】根據(jù)確定公因式的確定方法：系數(shù)取最大公約數(shù)；字母取公共字母；字母指數(shù)取最低次的，即可解答．【詳解】解：根據(jù)確定公因式的方法，可得2a2與4ab的公因式為故答案為：2a．【點睛】本題考查了公因式的確定，掌握確定公因式的方法是解題的關(guān)鍵．【變式7-2】（2023·湖北黃石·統(tǒng)考中考真題）因式分解：xy?1+4【答案】(y?1)(x?4)【分析】將整式x(y?1)+4(1?y)變形含有公因式(y?1)，提取即可．【詳解】解：x(y?1)+4(1?y)=x(y?1)?4(y?1)=(y?1)(x?4)故答案為：(y?1)(x?4)．【點睛】本題考查了整式中的分解因式，提取公因式是常用的分解因式的方法，解題的關(guān)鍵是找到公因式．【變式7-3】（2023·黑龍江綏化·統(tǒng)考中考真題）因式分解：x2+xy?xz?yz=【答案】(x+y)(x?z)【分析】先分組，然后根據(jù)提公因式法，因式分解即可求解．【詳解】解：x2+xy?xz?yz=故答案為：x+yx?z【點睛】本題考查了因式分解，熟練掌握因式分解的方法是解題的關(guān)鍵．【題型8運用公式法分解因式】【規(guī)律方法】因式分解的三個步驟：先看有無公因式，有公因式的先提取公因式。提公因式后再看多項式的項數(shù)①若多項式為兩項，則考慮用平方差公式因式分解；②若多項式為三項，則考慮用完全平方公式因式分解；③若多項式有四項或四項以上，則考慮綜合運用上面的方法；（3）若上面方法都不能分解，則考慮把多項式重新整理、變形，再按上面步驟進行因式分解?！纠?】（2023·湖南益陽·統(tǒng)考中考真題）下列因式分解正確的是（

）A．2a2?4a+2=2C．4a2?【答案】A【分析】利用提公因式法，公式法對各項進行因式分解，即可求解．【詳解】解：A、2aB、a2C、4aD、a3故選：A【點睛】本題主要考查了多項式的因式分解，熟練掌握多項式的因式分解方法——提公因式法、公式法、十字相乘法、分組分解法，并會結(jié)合多項式的特征，靈活選用合適的方法是解題的關(guān)鍵．【變式8-1】（2023·浙江寧波·統(tǒng)考一模）分解因式：4+4m+m2【答案】2+m【分析】直接利用完全平方公式即可求解．【詳解】解：4+4m+m故答案為：2+m2【點睛】本題考查因式分解．熟練掌握完全平方公式法因式分解，是解題的關(guān)鍵．【變式8-2】（2023江蘇南京·統(tǒng)考中考模擬）因式分解：xx?2+1=【答案】x?12/【分析】利用完全平方公式進行因式分解即可．【詳解】解：xx?2故答案為：x?12【點睛】本題考查因式分解．熟練掌握完全平方公式是解題的關(guān)鍵．【變式8-3】（2023·河北·統(tǒng)考中考真題）若k為任意整數(shù)，則(2k+3)2?4kA．被2整除 B．被3整除 C．被5整除 D．被7整除【答案】B【分析】用平方差公式進行因式分解，得到乘積的形式，然后直接可以找到能被整除的數(shù)或式．【詳解】解：(2k+3)=(2k+3+2k)(2k+3?2k)=3(4k+3)，3(4k+3)能被3整除，∴(2k+3)2故選：B．【點睛】本題考查了平方差公式的應(yīng)用，平方差公式為a2【題型9數(shù)式規(guī)律探究】【規(guī)律方法】以規(guī)律探索為背景，經(jīng)過邏輯推理求解數(shù)學(xué)問題，要求具有更高的抽象思維能力和推理能力，對思維的嚴謹性要求更高?！纠?】（2023·四川德陽·統(tǒng)考中考真題）在“點燃我的夢想，數(shù)學(xué)皆有可衡”數(shù)學(xué)創(chuàng)新設(shè)計活動中，“智多星”小強設(shè)計了一個數(shù)學(xué)探究活動：對依次排列的兩個整式m，n按如下規(guī)律進行操作：第1次操作后得到整式串m，n，n?m；第2次操作后得到整式串m，n，n?m，?m；第3次操作后…其操作規(guī)則為：每次操作增加的項，都是用上一次操作得到的最末項減去其前一項的差，小強將這個活動命名為“回頭差”游戲．則該“回頭差”游戲第2023次操作后得到的整式中各項之和是（

）A．m+n B．m C．n?m D．2n【答案】D【分析】先逐步分析前面5次操作，可得整式串每四次一循環(huán)，再求解第四次操作后所有的整式之和為：m+n+n?m?m?n?n+m=0，結(jié)合2023÷4=505???3，從而可得答案．【詳解】解：第1次操作后得到整式串m，n，n?m；第2次操作后得到整式串m，n，n?m，?m；第3次操作后得到整式串m，n，n?m，?m，?n；第4次操作后得到整式串m，n，n?m，?m，?n，?n+m；第5次操作后得到整式串m，n，n?m，?m，?n，?n+m，m；??????歸納可得：以上整式串每六次一循環(huán)，∵2023÷6=337???1，∴第2023次操作后得到的整式中各項之和與第1次操作后得到整式串之和相等，∴這個和為m+n+n?m=2n，故選D【點睛】本題考查的是整式的加減運算，代數(shù)式的規(guī)律探究，掌握探究的方法，并總結(jié)概括規(guī)律并靈活運用是解本題的關(guān)鍵．【變式9-1】（2023·四川巴中·統(tǒng)考中考真題）我國南宋時期數(shù)學(xué)家楊輝于1261年寫下的《詳解九章算法》，書中記載的圖表給出了(a+b)n1

(a+b)1

1

(a+b)1

2

1

(a+b)1

3

3

1

(a+b)當代數(shù)式x4?12x3+54A．2 B．?4 C．2或4 D．2或?4【答案】C【分析】由規(guī)律可得：a+b4=a4+4a3【詳解】解：由規(guī)律可得：a+b4令a=x，b=?3，∴x?34∵x4∴x?34∴x?3=±1，∴x=4或x=2，故選：C．【點睛】本題考查的是從題干信息中總結(jié)規(guī)律，一元二次方程的解法，靈活的應(yīng)用規(guī)律解題是關(guān)鍵．【變式9-2】（2023·浙江·統(tǒng)考中考真題）觀察下面的等式：32?12=8×1，5(1)嘗試：132(2)歸納：2n+12?2n?12=8×(3)推理：運用所學(xué)知識，推理說明你歸納的結(jié)論是正確的．【答案】(1)6(2)n(3)見解析【分析】（1）根據(jù)題目中的例子，可以直接得到結(jié)果；（2）根據(jù)題目中給出的式子,可以直接得到答案；（3）將（2）中等號左邊用平方差公式計算即可．【詳解】（1）解：∵32?12=8×1，5∴112?9故答案為：6；（2）由題意得：2n+12故答案為：n；（3）2n+1==4n×2=8n．【點睛】此題考查了數(shù)字類的變化規(guī)律，有理數(shù)的混合運算，列代數(shù)式，平方差公式，正確理解題意，發(fā)現(xiàn)式子的變化特點是解題的關(guān)鍵．【變式9-3】（2023·甘肅·統(tǒng)考中考真題）觀察等式：2+22=23?2；2+22+A．2S2?S B．2S2+S【答案】A【分析】由題意得出2100【詳解】解：由題意得：這組數(shù)據(jù)的和為：2=2===∵2100∴原式=S(S×2?1)=2S故選：A．【點睛】本題考查規(guī)律型問題：數(shù)字變化，列代數(shù)式，整體代入思想，同底數(shù)冪的乘法的逆用，解題的關(guān)鍵是正確找到本題的規(guī)律：2+2【題型10數(shù)式中的新定義問題探究】【例10】（2023·四川成都·統(tǒng)考中考真題）定義：如果一個正整數(shù)能表示為兩個正整數(shù)m，n的平方差，且m?n>1，則稱這個正整數(shù)為“智慧優(yōu)數(shù)”．例如，16=52?32，16就是一個智慧優(yōu)數(shù)，可以利用m【答案】1557【分析】根據(jù)新定義，列舉出前幾個智慧優(yōu)數(shù)，找到規(guī)律，進而即可求解．【詳解】解：依題意，當m=3，n=1，則第1個一個智慧優(yōu)數(shù)為3當m=4，n=2，則第2個智慧優(yōu)數(shù)為4當m=4，n=1，則第3個智慧優(yōu)數(shù)為42當m=5，n=3，則第4個智慧優(yōu)數(shù)為52當m=6，n=4，則第5個智慧優(yōu)數(shù)為6當m=5，n=2，則第6個智慧優(yōu)數(shù)為5當m=5，n=1，則第7個智慧優(yōu)數(shù)為5……m=6時有4個智慧優(yōu)數(shù)，同理m=7時有5個，m=8時有6個，列表如下，1234567891238415125242116635322720748454033248636055483928980777265564532109996918475645136111201171121059685725740觀察表格可知當m=12時，n=10時，智慧數(shù)為44，m=13,n=11時，智慧數(shù)為48，m=14，n=12時，智慧數(shù)為52，m=15，n=13時，智慧數(shù)為56，第1至第10個智慧優(yōu)數(shù)分別