2024年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)（全國(guó)版）重難點(diǎn)05 二次函數(shù)與幾何的動(dòng)點(diǎn)及最值、存在性問題（解析版）

重難點(diǎn)突破05二次函數(shù)與幾何的動(dòng)點(diǎn)及最值、存在性問題目錄TOC\o"1-3"\n\h\z\u題型01平行y軸動(dòng)線段最大值與最小值問題題型02拋物線上的點(diǎn)到某一直線的距離問題題型03已知點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱點(diǎn)問題題型04特殊角度存在性問題題型05將軍飲馬模型解決存在性問題題型06二次函數(shù)中面積存在性問題題型07二次函數(shù)中等腰三角形存在性問題題型08二次函數(shù)中直角三角形存在性問題題型09二次函數(shù)中全等三角形存在性問題題型10二次函數(shù)中相似三角形存在性問題題型11二次函數(shù)中平行四邊形存在性問題題型12二次函數(shù)中矩形存在性問題題型13二次函數(shù)中菱形存在性問題題型14二次函數(shù)中正方形存在性問題二次函數(shù)常見存在性問題：（1）等線段問題：將動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)用函數(shù)解析式以“一母式”的結(jié)構(gòu)表示出來(lái)，再利用點(diǎn)到點(diǎn)或點(diǎn)到直線的距離公式列出方程或方程組，然后解出參數(shù)的值，即可以將線段表示出來(lái).【說(shuō)明】在平面直角坐標(biāo)系中該點(diǎn)在某一函數(shù)圖像上，設(shè)該點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m，則可用含m字母的函數(shù)解析式來(lái)表示該點(diǎn)的縱坐標(biāo)，簡(jiǎn)稱“設(shè)橫表縱”或“一母式”.（2）平行y軸動(dòng)線段最大值與最小值問題：將動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)用函數(shù)解析式以“一母式”的結(jié)構(gòu)表示出來(lái)，再用縱坐標(biāo)的較大值減去較小值，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出動(dòng)線段的最大值或最小值.（3）求已知點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱點(diǎn)問題：先求出直線解析式，再利用兩直線垂直的性質(zhì)（兩直線垂直，斜率之積等于-1）求出已知點(diǎn)所在直線的斜率及解析式，最后用中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可求出對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo).（4）“拋物線上是否存在一點(diǎn)，使其到某一直線的距離為最值”的問題：常常利用直線方程與二次函數(shù)解析式聯(lián)立方程組，求出切點(diǎn)坐標(biāo)，運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式進(jìn)行求解.（5）二次函數(shù)與一次函數(shù)、特殊圖形、旋轉(zhuǎn)及特殊角度綜合：圖形或一次函數(shù)與x軸的角度特殊化，利用與角度有關(guān)知識(shí)點(diǎn)求解函數(shù)圖像上的點(diǎn)，結(jié)合動(dòng)點(diǎn)的活動(dòng)范圍，求已知點(diǎn)與動(dòng)點(diǎn)是否構(gòu)成新的特殊圖形.2.二次函數(shù)與三角形綜合(1)將軍飲馬問題:本考點(diǎn)主要分為兩類：①在定直線上是否存在點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離之和最小;②三角形周長(zhǎng)最小或最大的問題，主要運(yùn)用的就是二次函數(shù)具有對(duì)稱性.(2)不規(guī)則三角形面積最大或最小值問題:利用割補(bǔ)法將不規(guī)則三角形分割成兩個(gè)或以上的三角形或四邊形，在利用“一母式”將動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)表示出來(lái)，作線段差，用線段差來(lái)表示三角形的底或高，用面積公式求出各部分面積，各部分面積之和就是所求三角形的面積.將三角形的面積用二次函數(shù)的結(jié)構(gòu)表示出來(lái)，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出面積的最值及動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo).(3)與等腰三角形、直角三角形的綜合問題:對(duì)于此類問題，我們可以利用兩圓一線或兩線一圓的基本模型來(lái)進(jìn)行計(jì)算.問題分情況找點(diǎn)畫圖解法等腰三角形已知點(diǎn)A，B和直線l，在l上求點(diǎn)P，使△PAB為等腰三角形以AB為腰分別以點(diǎn)A，B為圓心，以AB長(zhǎng)為半徑畫圓，與已知直線的交點(diǎn)P1，P2，P4，P5即為所求分別表示出點(diǎn)A，B，P的坐標(biāo)，再表示出線段AB，BP，AP的長(zhǎng)度，由①AB＝AP；②AB＝BP；③BP＝AP列方程解出坐標(biāo)以AB為底作線段AB的垂直平分線，與已知直線的交點(diǎn)P3即為所求分別表示出點(diǎn)A，B，P的坐標(biāo)，再表示出線段AB，BP，AP的長(zhǎng)度，由①AB＝AP；②AB＝BP；③BP＝AP列方程解出坐標(biāo)問題分情況找點(diǎn)畫圖解法直角三角形已知點(diǎn)A，B和直線l，在l上求點(diǎn)P，使△PAB為直角三角形以AB為直角邊分別過點(diǎn)A，B作AB的垂線，與已知直線的交點(diǎn)P1，P4即為所求分別表示出點(diǎn)A，B，P的坐標(biāo)，再表示出線段AB，BP，AP的長(zhǎng)度，由①AB2＝BP2＋AP2；②BP2＝AB2＋AP2；③AP2＝AB2＋BP2列方程解出坐標(biāo)以AB為斜邊以AB的中點(diǎn)Q為圓心，QA為半徑作圓，與已知直線的交點(diǎn)P2，P3即為所求注：其他常見解題思路有：①作垂直，構(gòu)造“三垂直”模型，利用相似列比例關(guān)系得方程求解；②平移垂線法：若以AB為直角邊，且AB的一條垂線的解析式易求(通常為過原點(diǎn)O與AB垂直的直線)，可將這條直線分別平移至過點(diǎn)A或點(diǎn)B得到相應(yīng)解析式，再聯(lián)立方程求解．（4)與全等三角形、相似三角形的綜合問題:在沒有指定對(duì)應(yīng)點(diǎn)的情況下，理論上有六種情況需要討論，但在實(shí)際情況中，通常不會(huì)超過四種，要注意邊角關(guān)系，積極分類討論來(lái)進(jìn)行計(jì)算.情況一探究三角形相似的存在性問題的一般思路：解答三角形相似的存在性問題時(shí)，要具備分類討論思想及數(shù)形結(jié)合思想，要先找出三角形相似的分類標(biāo)準(zhǔn)，一般涉及動(dòng)態(tài)問題要以靜制動(dòng)，動(dòng)中求靜，具體如下：①假設(shè)結(jié)論成立，分情況討論．探究三角形相似時(shí)，往往沒有明確指出兩個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)(尤其是以文字形式出現(xiàn)求證兩個(gè)三角形相似的題目)，或者涉及動(dòng)點(diǎn)問題，因動(dòng)點(diǎn)問題中點(diǎn)的位置的不確定，此時(shí)應(yīng)考慮不同的對(duì)應(yīng)關(guān)系，分情況討論；②確定分類標(biāo)準(zhǔn)．在分類時(shí)，先要找出分類的標(biāo)準(zhǔn)，看兩個(gè)相似三角形是否有對(duì)應(yīng)相等的角，若有，找出對(duì)應(yīng)相等的角后，再根據(jù)其他角進(jìn)行分類討論來(lái)確定相似三角形成立的條件；若沒有，則分別按三種角對(duì)應(yīng)來(lái)分類討論；③建立關(guān)系式，并計(jì)算．由相似三角形列出相應(yīng)的比例式，將比例式中的線段用所設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)表示出來(lái)(其長(zhǎng)度多借助勾股定理運(yùn)算)，整理可得一元一次方程或者一元二次方程，解方程可得字母的值，再通過計(jì)算得出相應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)．情況二探究全等三角形的存在性問題的思路與探究相似三角形的存在性問題類似，但是除了要找角相等外，還至少要找一組對(duì)應(yīng)邊相等．3.二次函數(shù)與四邊形的綜合問題特殊四邊形的探究問題解題步驟如下：①先假設(shè)結(jié)論成立；②設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)，求邊長(zhǎng)；③建立關(guān)系式，并計(jì)算．若四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)位置已確定，則直接利用四邊形邊的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算；若四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)位置不確定，需分情況討論：a.探究平行四邊形：①以已知邊為平行四邊形的某條邊，畫出所有的符合條件的圖形后，利用平行四邊形的對(duì)邊相等進(jìn)行計(jì)算；②以已知邊為平行四邊形的對(duì)角線，畫出所有的符合條件的圖形后，利用平行四邊形對(duì)角線互相平分的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算；③若平行四邊形的各頂點(diǎn)位置不確定，需分情況討論，常以已知的一邊作為一邊或?qū)蔷€分情況討論．b.探究菱形：①已知三個(gè)定點(diǎn)去求未知點(diǎn)坐標(biāo)；②已知兩個(gè)定點(diǎn)去求未知點(diǎn)坐標(biāo)，一般會(huì)用到菱形的對(duì)角線互相垂直平分、四邊相等的性質(zhì)列關(guān)系式．c.探究正方形：利用正方形對(duì)角線互相垂直平分且相等的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算，一般是分別計(jì)算出兩條對(duì)角線的長(zhǎng)度，令其相等，得到方程再求解．d.探究矩形：利用矩形對(duì)邊相等、對(duì)角線相等列等量關(guān)系式求解；或根據(jù)鄰邊垂直，利用勾股定理列關(guān)系式求解.題型01平行y軸動(dòng)線段最大值與最小值問題1．（2023·廣東東莞·一模）如圖，拋物線y=x2＋bx＋c與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y(1)求此函數(shù)的關(guān)系式；(2)在AC下方的拋物線上有一點(diǎn)N，過點(diǎn)N作直線l∥y軸，交AC與點(diǎn)M，當(dāng)點(diǎn)N坐標(biāo)為多少時(shí)，線段(3)在對(duì)稱軸上有一點(diǎn)K，在拋物線上有一點(diǎn)L，若使A，B，K，L為頂點(diǎn)形成平行四邊形，求出K，L點(diǎn)的坐標(biāo)．(4)在y軸上是否存在一點(diǎn)E，使△ADE為直角三角形，若存在，直接寫出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．【答案】(1)y=(2)當(dāng)N的坐標(biāo)為?32,?15(3)K?1，4，(4)存在，點(diǎn)E的坐標(biāo)為0,32或0,?72【分析】（1）由OA=OC=3求得A?3,0,C0，?3,再分別代入拋物線解析式y(tǒng)=x2＋（2）求出直線AC的解析式，再設(shè)出M、N的坐標(biāo)，把MN表示成二次函數(shù)，配方即可；（3）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，以AB為邊，以AB為對(duì)角線，分類討論即可；（4）設(shè)出E的坐標(biāo)，分別表示出△ADE的平分，再分每一條都可能為斜邊，分類討論即可．【詳解】（1）∵拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A∴A?3,0∴將其分別代入拋物線解析式，得c=?39?3b+c=0解得b=2c=?3故此拋物線的函數(shù)表達(dá)式為：y=x（2）設(shè)直線AC的解析式為y=kx+t，將A?3,0,C0解得k=?1t=?3∴直線AC的解析式為y=?x?3，設(shè)N的坐標(biāo)為n，n2∴MN=?n?3?n∵?1<0，∴當(dāng)n=?32時(shí)，MN有最大值，為把n=?32代入拋物線得，N的坐標(biāo)為當(dāng)N的坐標(biāo)為?32,?154（3）①當(dāng)以AB為對(duì)角線時(shí)，根據(jù)平行四邊形對(duì)角線互相平分，∴KL必過?1,0，∴L必在拋物線上的頂點(diǎn)D處，∵y=x∴K②當(dāng)以AB為邊時(shí)，AB=KL=4，∵K在對(duì)稱軸上x=∴L的橫坐標(biāo)為3或?5，代入拋物線得L?5,12或L3,12，此時(shí)K都為綜上，K?1，4，L（4）存在，由y=x2∵A?3∴AD設(shè)E0，m，則A①AE為斜邊，由AE2=A解得：m=?7②DE為斜邊，由DE2=A解得：m=3③AD為斜邊，由AD2=E解得：m=?1或?3，∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為0,32或0,?72或【點(diǎn)睛】本題主要考查待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)圖象與性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí)，會(huì)運(yùn)用待定系數(shù)法列方程組，兩點(diǎn)間距離公式求MN的長(zhǎng)，由平行四邊形的性質(zhì)判定邊相等，運(yùn)用勾股定理列方程．2．（2023·河南南陽(yáng)·統(tǒng)考一模）如圖，拋物線與x軸相交于點(diǎn)A、B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸的交于點(diǎn)C0，?4，點(diǎn)P是第三象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，過點(diǎn)P作直線PD⊥x軸于點(diǎn)D，作直線AC交PD于點(diǎn)E

(1)求拋物線的解析式；(2)求點(diǎn)A、B的坐標(biāo)和直線AC的解析式；(3)求當(dāng)線段CP=CE時(shí)m的值；(4)連接BC，過點(diǎn)P作直線l∥BC交y軸于點(diǎn)F，試探究：在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過程中是否存在m，使得CE=DF，若存在直接寫出【答案】(1)y=(2)A?8，(3)?4(4)存在，m=2?25或【分析】（1）運(yùn)用待定系數(shù)法即可求得拋物線的解析式；（2）令y=0，解方程即可求得點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，再運(yùn)用待定系數(shù)法即可求得直線AC的解析式；（3）過點(diǎn)C作CF⊥PE于點(diǎn)F，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得點(diǎn)F是PE的中點(diǎn)，設(shè)Pm,14m2+32（4）過C作CH⊥PD于H，設(shè)Pm,14m2+32m?4，由PF∥BC，可得直線PF解析式為【詳解】（1）解：∵拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為?3∴設(shè)拋物線的解析式為y=ax+3把點(diǎn)C0，?4代入，得：?4=9a?∴y=1∴該拋物線的解析式為y=1（2）解：令y=0，得14x2∴A?8設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b，則?8k+b=0b=?4，解得：k=?∴直線AC的解析式為y=?1（3）解：如圖，過點(diǎn)C作CF⊥PE于點(diǎn)F，

∵CP=CE，∴EF=PF，即點(diǎn)F是PE的中點(diǎn)，設(shè)Pm,1∴Fm∵PE∥y軸，∴CF∥∴18m2+1∴m=?4．（4）解：存在m，使得CE=DF，理由如下：如圖：過C作CH⊥PD于H，

設(shè)Pm由B2，0，C根據(jù)PF∥BC，設(shè)直線PF解析式為y=2x+c，將14∴c=1∴直線PF解析式為y=2x+1令x=0得y=1∴F0∴OF=1∵∠CHD=∠PDO=∠COD=90°，∴四邊形CODH是矩形，∴CH=OD，∵CE=DF，∴Rt△CHE?∴∠HCE=∠FDO，∵∠HCE=∠CAO，∴∠FDO=∠CAO，∴tan∠FDO=∴OFOD=OC∴14m2解得：m=?4或m=4或m=2?25或m=2+2∵P在第三象限，∴m=2?25或m=?4【點(diǎn)睛】本題屬于二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、二次函數(shù)綜合應(yīng)用、等腰三角形性質(zhì)、矩形判定及性質(zhì)、相似三角形判定及性質(zhì)、解直角三角形等知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是用含m的代數(shù)式表示相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)和相關(guān)線段的長(zhǎng)度．3．（2023·山東聊城·統(tǒng)考三模）拋物線y=?x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A3,0，與y軸交于點(diǎn)

(1)求b，c的值；(2)若P為直線AC上方拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，作PH∥x軸交直線AC于點(diǎn)H，求(3)點(diǎn)N為拋物線對(duì)稱軸上的動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)N，使直線AC垂直平分線段PN？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)N的縱坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)b=2，c=3(2)PH取得最大值為9(3)存在，2?2或【分析】（1）將坐標(biāo)代入解析式，構(gòu)建方程求解；（2）設(shè)PH交y軸于點(diǎn)M，Pm,?m2+2m+3，則PM=m；待定系數(shù)法確定直線AC的解析式為y=?x+3，從而確定PH=m?m（3）如圖，設(shè)PN與AC交于點(diǎn)G，可設(shè)直線PN的解析式為y=x+p，設(shè)點(diǎn)N(1,n)，求得y=x+(n?1)；聯(lián)立y=?x+3y=x+(n?1)，解得x=?n2+2y=n2+1，所以點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為【詳解】（1）∵拋物線y=?x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A3,0，與∴?9+3b+c=0c=3，解得：b=2∴b=2，c=3；（2）設(shè)PH交y軸于點(diǎn)M，Pm,?∴PM=m，∵PH∥x軸，∴點(diǎn)H的縱坐標(biāo)為設(shè)直線AC的解析式為y=kx+n，∴3k+n=0n=3，解得：k=?1∴直線AC的解析式為y=?x+3．∴?m∴x=m∴Hm∴PH=m?m∴當(dāng)m=32時(shí)，PH（3）存在點(diǎn)N，使直線AC垂直平分線段PN，點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為2?2或

如圖，設(shè)PN與AC交于點(diǎn)G，∵AC垂直平分PN，直線AC的解析式為y=?x+3∴可設(shè)直線PN的解析式為y=x+p設(shè)點(diǎn)N(1,n)，則n=1+p∴p=n?1，∴y=x+(n?1)聯(lián)立y=?x+3y=x+(n?1)解得x=?∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2×(?n2∴?(?n+3)2∴點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為2?2或2+【點(diǎn)睛】本題考查利用二次函數(shù)解析式及點(diǎn)坐標(biāo)求待定參數(shù)、待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式、二次函數(shù)極值及其它二次函數(shù)綜合問題，利用直線間的位置關(guān)系、點(diǎn)線間的位置關(guān)系，融合方程的知識(shí)求解坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．題型02拋物線上的點(diǎn)到某一直線的距離問題4．（2023·廣東梅州·統(tǒng)考二模）探究求新：已知拋物線G1:y=14x(1)求拋物線G1平移得到拋物線G(2)設(shè)T0,t，直線l：y=?t，是否存在這樣的t，使得拋物線G2上任意一點(diǎn)到T的距離等于到直線(3)設(shè)H0,1，Q1,8，M為拋物線參考公式：若點(diǎn)Mx1,【答案】(1)將G1向左平移?6個(gè)單位，向上平移11(2)存在，1(3)9【分析】（1）設(shè)G1向左平移a個(gè)單位，向上平移b個(gè)單位得到函數(shù)G（2）設(shè)Px0,（3）點(diǎn)H坐標(biāo)與（2）中t=1時(shí)的T點(diǎn)重合，過點(diǎn)M作MA⊥l，垂足為A，如圖所示，則有MH=MA，當(dāng)且僅當(dāng)Q,M,A三點(diǎn)共線時(shí)QM+MA取得最小值．【詳解】（1）.解：設(shè)G1向左平移a個(gè)單位，向上平移b個(gè)單位得到函數(shù)G由平移法則可知14整理可得14可得方程組3+12a=0∴平移路徑為將G1向左平移?6個(gè)單位，向上平移11（2）解：存在這樣的t，且t=1時(shí)滿足條件，設(shè)Px0,則點(diǎn)P到直線l的距離為x024+t，點(diǎn)P到點(diǎn)聯(lián)立可得：x0兩邊同時(shí)平方合并同類項(xiàng)后可得x0解得：t=1；（3）解：點(diǎn)H坐標(biāo)與（2）中t=1時(shí)的T點(diǎn)重合，作直線l：y=?1，過點(diǎn)M作MA⊥直線l，垂足為A，如圖所示，則有

此時(shí)QM+MH=QM+MA，當(dāng)且僅當(dāng)Q,M,A三點(diǎn)共線時(shí)QM+MA取得最小值即QM+MA=QA=8?(?1)=9∴QM+MH的最小值為9；【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)綜合題，涉及到線段最小值、平移性質(zhì)等，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)是關(guān)鍵．5．（2023·湖北宜昌·統(tǒng)考一模）如圖，已知：點(diǎn)P是直線l：y=x?2上的一動(dòng)點(diǎn)，其橫坐標(biāo)為m（m是常數(shù)），點(diǎn)M是拋物線C：y=x(1)求點(diǎn)M的坐標(biāo)；（用含m的式子表示）(2)當(dāng)點(diǎn)P在直線l運(yùn)動(dòng)時(shí)，拋物線C始終經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)N，求點(diǎn)N的坐標(biāo)，并判斷點(diǎn)N是否是點(diǎn)M的最高位置？(3)當(dāng)點(diǎn)P在直線l運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)M也隨之運(yùn)動(dòng)，此時(shí)直線l與拋物線C有兩個(gè)交點(diǎn)A，B（A，B可以重合），A，B兩點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離之和為d．①求m的取值范圍；②求d的最小值．【答案】(1)M(2)N(1,3)，點(diǎn)N是點(diǎn)(3)①m≤?52或m≥32【分析】（1）將拋物線解析式寫成頂點(diǎn)式即可求解；（2）根據(jù)解析式含有m項(xiàng)的系數(shù)為0，得出當(dāng)x=1時(shí)，y=3，即N(1,3)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得出?m2?2m+2=?m+12（3）①根據(jù)直線與拋物線有交點(diǎn)，聯(lián)立方程，根據(jù)一元二次方程根的判別式大于等于0，求得m的范圍，即可求解；②設(shè)A,B的坐標(biāo)分別為x1,y1,x2,y2，其中x1【詳解】（1）解：y=x2+2mx?2m+2∴頂點(diǎn)M?m,?（2）解：∵y=x∴當(dāng)x=1時(shí)，y=3，拋物線C始終經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)1,3，即N(1,3∵M(jìn)?m,?m2∴M的縱坐標(biāo)最大值為3，∴點(diǎn)N是點(diǎn)M的最高位置；（3）解：①聯(lián)立y=x?2y=得x2∵直線l與拋物線C有兩個(gè)交點(diǎn)A，B（A，B可以重合），∴Δ=b2=4m2+4m?15∵4m2+4m?15=0∴當(dāng)4m2+4m?15≥0時(shí)，m≤?②設(shè)A,B的坐標(biāo)分別為x1,y由①可知x1,x∴x1當(dāng)m=?3時(shí)，如圖所示，yA當(dāng)?3≤m≤?52時(shí)，則d=x∵?2<0，∴當(dāng)m=?52時(shí)，d取得最小值為當(dāng)m≥32時(shí)，∴當(dāng)m=32時(shí)，d取得最小值為綜上所述，d取得最小值為2．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，一元二次方程與二次函數(shù)的關(guān)系，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．（2023·云南楚雄·統(tǒng)考一模）拋物線y=x2?2x?3交x軸于A，B兩點(diǎn)（A在B的左邊），C是第一象限拋物線上一點(diǎn)，直線(1)直接寫出A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)如圖①，當(dāng)OP=OA時(shí)，在拋物線上存在點(diǎn)D（異于點(diǎn)B），使B，D兩點(diǎn)到AC的距離相等，求出所有滿足條件的點(diǎn)D的橫坐標(biāo)；(3)如圖②，直線BP交拋物線于另一點(diǎn)E，連接CE交y軸于點(diǎn)F，點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為m，求FPOP的值（用含m【答案】(1)A(?1,0)，B(3,0)(2)0或3?412(3)1【分析】（1）令y=0，解方程可得結(jié)論；（2）分兩種情形：①若點(diǎn)D在AC的下方時(shí)，過點(diǎn)B作AC的平行線與拋物線交點(diǎn)即為D1．②若點(diǎn)D在AC的上方時(shí)，點(diǎn)D1關(guān)于點(diǎn)P的對(duì)稱點(diǎn)G(0,5)，過點(diǎn)G作AC的平行線交拋物線于點(diǎn)D2，D3，（3）設(shè)E點(diǎn)的橫坐標(biāo)為n，過點(diǎn)P的直線的解析式為y=kx+b，由y=kx+by=x2?2x?3，可得x2?(2+k)x?3?b=0，設(shè)x1，x2是方程x2?(2+k)x?3?b=0的兩根，則x1x2=?3?b，推出xA【詳解】（1）解：令y=0，得x2解得：x=3或?1，∴A(?1,0)，B(3,0)；（2）∵OP=OA=1，∴P(0,1)，∴直線AC的解析式為y=x+1．①若點(diǎn)D在AC的下方時(shí)，過點(diǎn)B作AC的平行線與拋物線交點(diǎn)即為D1∵B(3,0)，BD∴直線BD1的解析式為由y=x?3y=x2?2x?3，解得∴D∴D②若點(diǎn)D在AC的上方時(shí)，點(diǎn)D1關(guān)于點(diǎn)P的對(duì)稱點(diǎn)G(0,5)過點(diǎn)G作AC的平行線l交拋物線于點(diǎn)D2，D3，D2直線l的解析式為y=x+5，由y=x+5y=x2解得：x=3?412∴D2，D3的橫坐標(biāo)為3?綜上所述，滿足條件的點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為0，3?412，（3）設(shè)E點(diǎn)的橫坐標(biāo)為n，過點(diǎn)P的直線的解析式為y=kx+b，由y=kx+by=x2設(shè)x1，x2是方程x2∴∵x∴x∴m=3+b，∵x∴x∴n=?1?b設(shè)直線CE的解析式為y=px+q，同法可得mn=?3?q∴q=?mn?3，∴q=?(3+b)(?1?b∴OF=1∴FPOP【點(diǎn)睛】本題屬于二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，一次函數(shù)的性質(zhì)，一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)構(gòu)建一次函數(shù)，構(gòu)建方程組確定交點(diǎn)坐標(biāo)，學(xué)會(huì)利用參數(shù)解決問題，屬于中考?jí)狠S題．題型03已知點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱點(diǎn)問題7．（2023·遼寧阜新·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=?x2+bx?c的圖象與x軸交于點(diǎn)A(?3,0)和點(diǎn)B(1,0)，與y

(1)求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式．(2)如圖1，二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸與直線AC:y=x+3交于點(diǎn)D，若點(diǎn)M是直線AC上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求△MCD面積的最大值．(3)如圖2，點(diǎn)P是直線AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P的直線l與BC平行，則在直線l上是否存在點(diǎn)Q，使點(diǎn)B與點(diǎn)P關(guān)于直線CQ對(duì)稱？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)y=?x(2)S△MCD(3)Q1?5，【分析】（1）根據(jù)拋物線的交點(diǎn)式直接得出結(jié)果；（2）作MQ⊥AC于Q，作ME⊥AB于F，交AC于E，先求出拋物線的對(duì)稱軸，進(jìn)而求得C，D坐標(biāo)及CD的長(zhǎng)，從而得出過M的直線y=x+m與拋物線相切時(shí)，△MCD的面積最大，根據(jù)x+m=?x2?2x+3的△=0求得m的值，進(jìn)而求得M的坐標(biāo)，進(jìn)一步求得CD（3）分兩種情形：當(dāng)點(diǎn)P在線段AC上時(shí)，連接BP，交CQ于R，設(shè)P(t，t+3)，根據(jù)CP=CB求得t的值，可推出四邊形BCPQ是平行四邊形，進(jìn)而求得Q點(diǎn)坐標(biāo)；當(dāng)點(diǎn)P在【詳解】（1）解：由題意得，y=?(x+3)(x?1)=?x（2）解：如圖1，作MQ⊥AC于Q，作ME⊥AB于F，交AC于E，∵OA=OC=3，∠AOC=90∴∠CAO=∠ACO=45°，∴∠MEQ=∠AEF=90°?∠CAO=45°，拋物線的對(duì)稱軸是直線：x=?3+1∴y=x+3=?1+3=2，∴D(1,2)，∵C(0,3)，∴CD=2故只需△MCD的邊CD上的高最大時(shí)，△MCD的面積最大，設(shè)過點(diǎn)M與AC平行的直線的解析式為：y=x+m，當(dāng)直線y=x+m與拋物線相切時(shí)，△MCD的面積最大，由x+m=?xx2由△=0得，32m?3=9∴x∴x∴y=??y=x+3=?3∴ME=15∴MQ=ME?sin∴S（3）解：如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在線段AC上時(shí)，連接BP，交CQ于R，∵點(diǎn)B和點(diǎn)Q關(guān)于CQ對(duì)稱，∴CP=CB，設(shè)P(t，由CP2=C∴t1=?∴P?∵PQ∥∴CRQR∴CR=QR，∴四邊形BCPQ是平行四邊形，∵1+(?5)?0=1?5∴Q1?如圖3，當(dāng)點(diǎn)P在AC的延長(zhǎng)線上時(shí)，由上可知：P5同理可得：Q1+綜上所述：Q1?5，【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)及其圖象的性質(zhì)，一元二次方程的解法，平行四邊形的判定和性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)等知識(shí)，解決問題的關(guān)鍵是分類討論．8．（2023·四川甘孜·統(tǒng)考中考真題）已知拋物線y=x2+bx+c與x軸相交于A?1，0，B兩點(diǎn)，與

(1)求b，c的值；(2)P為第一象限拋物線上一點(diǎn)，△PBC的面積與△ABC的面積相等，求直線AP的解析式；(3)在（2）的條件下，設(shè)E是直線BC上一點(diǎn)，點(diǎn)P關(guān)于AE的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)P'，試探究，是否存在滿足條件的點(diǎn)E，使得點(diǎn)P'恰好落在直線BC上，如果存在，求出點(diǎn)【答案】(1)b=?2,(2)y=x+1(3)存在，點(diǎn)P'的坐標(biāo)為1+21【分析】（1）由待定系數(shù)法即可求解；（2）S△PBC=S（3）由題意的：∠AEP=∠AEP【詳解】（1）由題意，得1?b+c=0,∴（2）由（1）得拋物線的解析式為y=x令y=0，則x2?2x?3=0，得∴B點(diǎn)的坐標(biāo)為3，∵S∴AP∥BC．∵B3∴直線BC的解析式為y=x?3．∵AP∥BC，∴可設(shè)直線AP的解析式為y=x+m．∵A（?1，∴0=?1+m．∴m=1．∴直線AP的解析式為y=x+1．

（3）設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為m，∵點(diǎn)P在直線y=x+1和拋物線y=x∴n=m+1，∴m+1=m解得m1∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為4，

由翻折，得∠AEP=∠AEP∵AP∥BC，∴∠PAE=∠AEP∴∠PAE=∠PEA．∴PE=PA=4+1設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為t，t?3，則∴t=6±21當(dāng)t=6+21時(shí)，點(diǎn)E的坐標(biāo)為6+設(shè)P'由P'E=AP，s?6?21解得：s=1+21則點(diǎn)P'的坐標(biāo)為1+當(dāng)t=6?21時(shí)，同理可得，點(diǎn)P'的坐標(biāo)為綜上所述，點(diǎn)P'的坐標(biāo)為1+21,【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)的綜合題，主要考查了用待定系數(shù)法求一次函數(shù)、二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，此題題型較好，綜合性比較強(qiáng)，用的數(shù)學(xué)思想是分類討論和數(shù)形結(jié)合的思想．9．（2023·江蘇連云港·連云港市新海實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？级＃┤鐖D，“愛心”圖案是由拋物線y=?x2+m的一部分及其關(guān)于直線y=?x的對(duì)稱圖形組成，點(diǎn)E、F是“愛心”圖案與其對(duì)稱軸的兩個(gè)交點(diǎn)，點(diǎn)A、B、C、D是該圖案與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，且點(diǎn)D

(1)求m的值及AC的長(zhǎng)；(2)求EF的長(zhǎng)；(3)若點(diǎn)P是該圖案上的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P、點(diǎn)Q關(guān)于直線y=?x對(duì)稱，連接PQ，求PQ的最大值及此時(shí)Q點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)m=6，AC=6+(2)5(3)2542【分析】（1）用待定系數(shù)法求得m與拋物線的解析式，再求出拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求得A的坐標(biāo)，根據(jù)對(duì)稱性質(zhì)求得B，C的坐標(biāo)，即可求得結(jié)果；（2）將拋物線的解析式與直線EF的解析式聯(lián)立方程組進(jìn)行求解，得到E，F(xiàn)的坐標(biāo)，即可求得結(jié)果；（3）設(shè)P（m,?m2+6），則Q（【詳解】（1）把D6,0代入y=?解得m=6∴拋物線的解析式為：y=?∴A根據(jù)對(duì)稱性可得B?6,0，∴AC=AO+OC=6+（2）聯(lián)立y=?x解得x=3y=?3或∴E?2,2，∴EF=（3）設(shè)P（m,?∴PQ=整理得PQ=∵m?∴當(dāng)m?122=0時(shí)，即m=∴PQ的最大值為25∴1故Q【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，兩點(diǎn)間的距離公式，求拋物線與一次函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)，二次函數(shù)的最值等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握關(guān)于直線y=?x對(duì)稱的點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系．題型04特殊角度存在性問題10．（2023·山西忻州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，拋物線y=18x2+34x?2與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．P是直線AC下方拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作直線l∥BC，交AC于點(diǎn)D，過點(diǎn)P作

(1)直接寫出A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)，并求出直線AC的函數(shù)表達(dá)式；(2)當(dāng)線段PF取最大值時(shí)，求△DPF的面積；(3)試探究在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)Q，使得∠CAQ=45°？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)A?8,0，B2,0，C(2)8(3)存在，?3,3或?3,?【分析】（1）對(duì)于直線y=18x2+34令18x2+34x?2=0，則x=2或?8，則點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（2）設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，則Pm,18m2+34m?2，F(xiàn)m,?14m?2（3）由拋物線的表達(dá)式知，其對(duì)稱軸為x=?3，當(dāng)點(diǎn)Q在x軸上方時(shí)，設(shè)拋物線的對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)N，交AC于H，故點(diǎn)Q作QT⊥AC于點(diǎn)T，在△AQH中,∠CAQ=45°，tan∠QHA=4，用解直角三角形的方法求出QH=174，即可求出Q點(diǎn)坐標(biāo)，當(dāng)點(diǎn)QQ'在x軸上方時(shí)，直線AQ的表達(dá)式為y=【詳解】（1）解：對(duì)于拋物線y=18x2+34令18x2+34x?2=0，則x=2或?8，則點(diǎn)即點(diǎn)A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為?8,0，2,0，0,?2，設(shè)直線AC的表達(dá)式為y=kx+b，則?8k+b=0b=?2解得k=?1∴直線AC的函數(shù)表達(dá)式為y=?1（2）設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，則Pm,18PF=?當(dāng)m=??12×?18此時(shí)，P?4,?3由B2,0，C0,?2，可得直線BC的函數(shù)表達(dá)式為設(shè)直線l的函數(shù)表達(dá)式為y=x+p，將P?4,?3代入可得p=1∴直線l的函數(shù)表達(dá)式為y=x+1，由y=?14x?2∴D?125,?75，點(diǎn)∴S（3）存在，理由：由拋物線的表達(dá)式知，其對(duì)稱軸為x=?3，當(dāng)點(diǎn)Q在x軸上方時(shí)，如下圖：

設(shè)拋物線的對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)N，交AC于H，故點(diǎn)Q作QT⊥AC于點(diǎn)T，則∠ACO=∠QHA，則tan∠ACO=當(dāng)x=3時(shí)，y=?14x?2=?由點(diǎn)A，H的坐標(biāo)得，AH=5在△AQH中，∠CAQ=45°，tan∠QHA=4設(shè)TH=x，則QT=4x，則QH=17則AH=AT+TH=5x=5174則QH=17x=17則點(diǎn)Q?3,3當(dāng)點(diǎn)QQ'在x軸上方時(shí)，直線AQ的表達(dá)式為當(dāng)∠CAQ'=45°則直線AQ'的表達(dá)式為當(dāng)x=?3時(shí)，y=?5即點(diǎn)Q'的坐標(biāo)為?3,?綜上所述點(diǎn)Q的坐標(biāo)為?3,3或?3,?25【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)綜合題，主要考查了一次函數(shù)的性質(zhì)、解直角三角形、面積的計(jì)算等，其中第三小問中要注意分類求解是解答本題的關(guān)鍵．11．（2023·山西運(yùn)城·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）綜合與探究如圖，拋物線y=ax2+bx+3與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，直線l與拋物線交于A?6,0，D?1,5兩點(diǎn)，點(diǎn)P是直線AD上方拋物線上一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，過點(diǎn)P

(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)當(dāng)PE的長(zhǎng)最大時(shí)，求線段PE的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)連接BC，OP，試探究：在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過程中，是否存在點(diǎn)P，使得∠OPE=∠BCO，若存在，請(qǐng)直接寫出m的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)y=?(2)點(diǎn)P的坐標(biāo)為?72,45(3)存在，m=?2或m=?【分析】（1）將點(diǎn)A、D的坐標(biāo)代入求解即可得到答案；（2）過點(diǎn)P作PH⊥x軸于點(diǎn)H，交AD于點(diǎn)N，易得PE=22PN，即可得到PN（3）設(shè)P(m,?12m2?52m+3)，求出OP的解析式，聯(lián)立AD的解析式求出交點(diǎn)坐標(biāo)【詳解】（1）解：由題意得：36a?6b+3=0a?b+3=5解得：a=?1故拋物線的表達(dá)式為：y=?1（2）解：過點(diǎn)P作PH⊥x軸于點(diǎn)H，交AD于點(diǎn)N，

由點(diǎn)A、D的坐標(biāo)得，直線AD的表達(dá)式為：y=x+6，則直線AD和x軸的正半軸的夾角為45°，則∠ANH=∠DAO=45°=∠PNE，則PE=2設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為：m，?1則PN=?1即PN的最大值為258，此時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為：?則PE的最大值為252故點(diǎn)P的坐標(biāo)為：?72，458（3）解：存在，理由如下：設(shè)P(m,?12m2?52m+3)，OP與∴k1m=?1∴y=(?1聯(lián)立得，y=(?解得：x=?12mm2∴F(?12m設(shè)E(t,t+6)∵PE⊥AD，∴PA2=A解得：t=?∴E(?∴FE==2PE==2∵∠OPE=∠BCO，∠OEP=∠BOC=90°，∴△FPE∽△BCO，∴FEPE當(dāng)x=0時(shí)，y=3，當(dāng)y=0時(shí)，?12x2?∴OB=1，OC=3，∴m解得：m=?2，m=?10?2，m=3（不符合意義舍去），∴m=?2或m=?10【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了一次和二次函數(shù)的性質(zhì)、解直角三角形等，有一定的綜合性，難度適中．12．（2023·湖南郴州·統(tǒng)考中考真題）已知拋物線y=ax2+bx+4與x軸相交于點(diǎn)A1,0，B4,0(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)如圖1，點(diǎn)P是拋物線的對(duì)稱軸l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△PAC的周長(zhǎng)最小時(shí)，求PAPC(3)如圖2，取線段OC的中點(diǎn)D，在拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使tan∠QDB=12【答案】(1)y=(2)3(3)Q5+172,2或Q【分析】（1）待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可；（2）根據(jù)△PAC的周長(zhǎng)等于PA+PC+AC，以及AC為定長(zhǎng)，得到當(dāng)PA+PC的值最小時(shí)，△PAC的周長(zhǎng)最小，根據(jù)拋物線的對(duì)稱性，得到A,B關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，則：PA+PC=PB+PC≥BC，得到當(dāng)P,B,C三點(diǎn)共線時(shí)，PA+PC=BC，進(jìn)而求出P點(diǎn)坐標(biāo)，即可得解；（3）求出D點(diǎn)坐標(biāo)為0,2，進(jìn)而得到tan∠OBD=12，得到∠QDB=∠OBD，分點(diǎn)Q【詳解】（1）解：∵拋物線y=ax2+bx+4與x軸相交于點(diǎn)A∴a+b+4=016a+4b+4=0，解得：a=1∴y=x（2）∵y=x2?5x+4，當(dāng)x=0∴C0,4，拋物線的對(duì)稱軸為直線∵△PAC的周長(zhǎng)等于PA+PC+AC，AC為定長(zhǎng)，∴當(dāng)PA+PC的值最小時(shí)，△PAC的周長(zhǎng)最小，∵A,B關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，∴PA+PC=PB+PC≥BC，當(dāng)P,B,C三點(diǎn)共線時(shí)，PA+PC的值最小，為BC的長(zhǎng)，此時(shí)點(diǎn)P為直線BC與對(duì)稱軸的交點(diǎn)，設(shè)直線BC的解析式為：y=mx+n，則：4m+n=0n=4，解得：m=?1∴y=?x+4，當(dāng)x=52時(shí)，∴P5∵A1,0∴PA=52?1∴PAPC（3）解：存在，∵D為OC的中點(diǎn)，∴D0,2∴OD=2，∵B4,0∴OB=4，在Rt△BOD中，tan∵tan∠QDB=∴∠QDB=∠OBD，①當(dāng)Q點(diǎn)在D點(diǎn)上方時(shí)：過點(diǎn)D作DQ∥OB，交拋物線與點(diǎn)Q，則：∠QDB=∠OBD，此時(shí)Q點(diǎn)縱坐標(biāo)為2，設(shè)Q點(diǎn)橫坐標(biāo)為t，則：t2解得：t=5±∴Q5+172②當(dāng)點(diǎn)Q在D點(diǎn)下方時(shí)：設(shè)DQ與x軸交于點(diǎn)E，則：DE=BE，設(shè)Ep,0則：DE2=O∴p2+4=4?p∴E3設(shè)DE的解析式為：y=kx+q，則：q=23k2+q=0∴y=?4聯(lián)立y=?43x+2y=x∴Q3,?2或Q綜上：Q5+172,2或Q5?【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，正確的求出二次函數(shù)解析式，利用數(shù)形結(jié)合，分類討論的思想進(jìn)行求解，是解題的關(guān)鍵．本題的綜合性強(qiáng)，難度較大，屬于中考?jí)狠S題．題型05將軍飲馬模型解決存在性問題13．（2023·廣東湛江·?？家荒＃佄锞€y=ax2+bx+2與x軸交于點(diǎn)A?3,0,B

(1)(2)求拋物線的解析式(3)在拋物線對(duì)稱軸上找一點(diǎn)M，使△MBC的周長(zhǎng)最小，并求出點(diǎn)M的坐標(biāo)和△MBC的周長(zhǎng)(4)若點(diǎn)P是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PQ∥BC交拋物線于點(diǎn)Q，在拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使B、C、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在請(qǐng)求出點(diǎn)【答案】(1)拋物線的解析式為y=?(2)當(dāng)△MBC的周長(zhǎng)最小時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為?1,43，△MBC(3)在拋物線上存在點(diǎn)Q，使B、C、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為?2,2或?1?7,?2【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求出拋物線的解析式；（2）利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可得出點(diǎn)C的坐標(biāo)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得出拋物線對(duì)稱軸為直線x=?1，連接AC，交拋物線對(duì)稱軸于點(diǎn)M，此時(shí)△MBC的周長(zhǎng)取最小值，由點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)可得出BC，AC的長(zhǎng)度及直線AC的解析式，再結(jié)合二次函數(shù)圖象對(duì)稱軸的橫坐標(biāo)和直線AC的解析式可得出點(diǎn)M的坐標(biāo)和△MBC的周長(zhǎng)；（3）由點(diǎn)B，C，P的縱坐標(biāo)可得出點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為2或?2，再利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可得出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．【詳解】（1）解：解：將A?3,0,B1,0代入y=a解得：a=?2∴拋物線的解析式為y=?2（2）解：當(dāng)x=0時(shí)，y=?2∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為0,2．∵拋物線的解析式為y=?2∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x=?1．連接AC，交拋物線對(duì)稱軸于點(diǎn)M，如圖1所示．

∵點(diǎn)A，B關(guān)于直線x=?1對(duì)稱，∴MA=MB，∴MB+MC=MA+MC=AC，∴此時(shí)△MBC的周長(zhǎng)取最小值．∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為?3,0，點(diǎn)B的坐標(biāo)為1,0，點(diǎn)C的坐標(biāo)為0,2，∴AC=13，BC=5，直線AC的解析式為當(dāng)x=?1時(shí)，y=2∴當(dāng)△MBC的周長(zhǎng)最小時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為?1,43，△MBC的周長(zhǎng)為（3）解：∵以B、C、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，點(diǎn)B，P的縱坐標(biāo)為0，點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為2，∴點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為2或?2，如圖2所示．

當(dāng)y=2時(shí)，2=?2解得：x1∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為?2,2；當(dāng)y=?2時(shí)，?2=?2解得：x1∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為?1?7,?2或∴在拋物線上存在點(diǎn)Q，使B、C、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為?2,2或?1?7,?2或【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、二次函數(shù)的性質(zhì)、一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征以及平行四邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出拋物線解析式；（2）利用兩點(diǎn)之間線段最短，找出點(diǎn)M的位置；（3）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，找出點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為2或?2．14．（2023·河南周口·校聯(lián)考三模）如圖，拋物線y=?12x2+bx+c交x軸于點(diǎn)A，B，交y軸于點(diǎn)C，連接AC

(1)求拋物線的表達(dá)式和頂點(diǎn)坐標(biāo)；(2)在直線x=1上找一點(diǎn)P，使PA+PC的和最小，并求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)將線段AC沿x軸向右平移a個(gè)單位長(zhǎng)度，若線段AC與拋物線有唯一交點(diǎn)，請(qǐng)直接寫出a的取值范圍．【答案】(1)拋物線的表達(dá)式為y=?12(2)1,3(3)2≤a≤6【分析】（1）根據(jù)對(duì)稱軸得出b=1，再將點(diǎn)代入確定解析式，即可確定頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）連接BC，交直線x=1于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求，連接AP，利用兩點(diǎn)之間線段最短得出PA+PC的和最小，由待定系數(shù)法確定直線BC的表達(dá)式為y=?x+4，即可確定點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）根據(jù)題意得：點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)軌跡為射線CD，點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)軌跡為射線AB，若線段AC與拋物線有唯一交點(diǎn)，則線段AC在線段m,n間平移（含線段m,n），由拋物線的對(duì)稱性得CD=2×1=2，AB=2×2+1【詳解】（1）解：∵拋物線的對(duì)稱軸為直線x=1，∴?b2×?∴y=?1把點(diǎn)A?2,0代入，得?解得c=4．∴拋物線的表達(dá)式為y=?1把x=1代入y=?12x∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為1,9（2）如圖1，連接BC，交直線x=1于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求．連接AP，由拋物線的對(duì)稱性可知點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于直線x=1對(duì)稱，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為4,0．此時(shí)PA+PC=PB+PC=BC，即PA+PC的和最?。畒=?12x2+x+4∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為0,4．設(shè)直線BC的表達(dá)式為y=kx+d，把點(diǎn)B4,0，C0,4代入可得4∴直線BC的表達(dá)式為y=?x+4．當(dāng)x=1時(shí)，y=?1+4=3．∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為1,3．

（3）2≤a≤6．如圖2，根據(jù)題意得：點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)軌跡為射線CD，點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)軌跡為射線AB，若線段AC與拋物線有唯一交點(diǎn)，則線段AC在線段m,n間平移（含線段m,n），由拋物線的對(duì)稱性得CD=2×1=2，AB=2×2+1∴當(dāng)線段AC與拋物線有唯一交點(diǎn)時(shí)，a的取值范圍為2≤a≤6．

【點(diǎn)睛】題目主要考查待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，線段最短問題及交點(diǎn)問題，理解題意，作出相應(yīng)輔助線是解題關(guān)鍵．15．（2023·黑龍江齊齊哈爾·校聯(lián)考一模）如圖，已知拋物線y＝ax2+bx﹣3的圖象與x軸交于點(diǎn)A（1，0）和點(diǎn)B（3，0），與y軸交于點(diǎn)C，D是拋物線的頂點(diǎn)，對(duì)稱軸與x軸交于E．

（1）求拋物線的解析式；（2）如圖1，在拋物線的對(duì)稱軸DE上求作一點(diǎn)M，使△AMC的周長(zhǎng)最小，并求出點(diǎn)M的坐標(biāo)和周長(zhǎng)的最小值；（3）如圖2，點(diǎn)P是x軸上的動(dòng)點(diǎn)，過P點(diǎn)作x軸的垂線分別交拋物線和直線BC于F、G．設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m．是否存在點(diǎn)P，使△FCG是等腰三角形？若存在，求出m的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）y＝﹣x2+4x﹣3；（2）M（2，﹣1），10+32；（3）存在，m＝5或m＝4或m=3+【分析】（1）把點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入拋物線解析式，用待定系數(shù)法求出解析式；（2）連接BC交DE于點(diǎn)M，此時(shí)MA+MC最小，可以根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)證明此時(shí)線段和最小，再利用幾何的性質(zhì)求出此時(shí)的周長(zhǎng)最小值和點(diǎn)M的坐標(biāo)；（3）設(shè)點(diǎn)F（m，﹣m2+4m﹣3），點(diǎn)G（m，m﹣3），然后用m表示出FG2、CF2、【詳解】解：（1）將點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式得：a+b?3=09a+3b?3=0解得a=?1b=4∴拋物線的解析式為：y＝﹣x2+4x﹣3；（2）如下圖，連接BC交DE于點(diǎn)M，此時(shí)MA+MC最小，

又因?yàn)锳C是定值，所以此時(shí)△AMC的周長(zhǎng)最?。深}意可知OB＝OC＝3，OA＝1，∴BC=CO2∵DE是拋物線的對(duì)稱軸，與x軸交點(diǎn)A（1，0）和點(diǎn)B（3，0），∴AE＝BE＝1，對(duì)稱軸為x＝2，由OB＝OC，∠BOC＝90°得∠OBC＝45°，∴EB＝EM＝1，又∵點(diǎn)M在第四象限，在拋物線的對(duì)稱軸上，∴M（2，﹣1），∴此時(shí)△AMC的周長(zhǎng)的最小值＝AC+AM+MC＝AC+BC＝10+3（3）存在這樣的點(diǎn)P，使△FCG是等腰三角形，∵點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，故點(diǎn)F（m，﹣m2+4m﹣3），點(diǎn)G（m，m﹣3），則FG2＝（﹣m2+4m﹣3+3﹣m）2，CF2＝（m2﹣3m）2，GC2＝2m2，當(dāng)FG＝FC時(shí)，則（﹣m2+4m﹣3+3﹣m）2＝（m2﹣3m）2，解得m＝0（舍去）或4；當(dāng)GF＝GC時(shí)，同理可得m＝0（舍去）或3±2當(dāng)FC＝GC時(shí)，同理可得m＝0（舍去）或5，綜上，m＝5或m＝4或m=3+2或3?【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的綜合題，解題的關(guān)鍵是掌握求二次函數(shù)解析式的方法，利用軸對(duì)稱解決線段和最小值的方法和等腰三角形存在性問題的解決方法．題型06二次函數(shù)中面積存在性問題16．（2023·黑龍江雞西·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx+8交x軸于A、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，連接AC、BC，AB=AC

(1)求拋物線的解析式；(2)在拋物線上是否存在一點(diǎn)G，使直線BG將△ABC的面積分成1:2的兩部分，若存在，求點(diǎn)G的橫坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)y=?(2)G的坐標(biāo)為?5，3【分析】（1）求出C0，8，則OC=8，由tan∠ABC=2得OB=4，B4，0（2）設(shè)直線BG交AC于點(diǎn)M，過點(diǎn)M作MN⊥x軸于點(diǎn)N，過點(diǎn)G作GQ⊥x軸于點(diǎn)Q，設(shè)Gt，?13t2?23t+8，則GQ=?13【詳解】（1）解：在y=ax2+bx+8中，令x=0∴C0∴OC=8，∵tan∠ABC=∴OB=4，∴B4設(shè)OA=m，則AC=AB=4+m，在Rt△AOC中，OA2解得：m=6，∴A?6∴設(shè)拋物線解析式為y=ax+6將點(diǎn)C0，8∴拋物線解析式為y=?1（2）解：設(shè)直線BG交AC于點(diǎn)M，過點(diǎn)M作MN⊥x軸于點(diǎn)N，過點(diǎn)G作GQ⊥x軸于點(diǎn)Q，，設(shè)Gt，?13∴BQ=4?t，當(dāng)S△ABM:S△CBM=1:2時(shí)，即S∴MN=1∵tan∠BAC=∴AN=2，∴BN=AB?AN=8，∵tan∠GBQ=GQBQ解得t=?5或t=4（與A重合，舍去），∴G?5當(dāng)S△CBM:S同理可得MN=2∵tan∠BAC=∴AN=4，∴BN=AB?AN=6，∵tan∠GBQ=GQBQ解得t=?103或∴G?綜上所述，G的坐標(biāo)為?5，3或【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，設(shè)計(jì)待定系數(shù)法，三角形面積的計(jì)算，銳角三角函數(shù)等，解題的關(guān)鍵是分類討論思想的應(yīng)用．17．（2023·廣東汕頭·統(tǒng)考二模）如圖，在直角坐標(biāo)系中有一直角三角形AOB，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA=1，tan∠BAO=3，將此三角形繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△DOC，拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A、

(1)求拋物線的解析式；(2)若點(diǎn)P是第二象限內(nèi)拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，其橫坐標(biāo)為t，①是否存在一點(diǎn)P，使△PCD的面積最大？若存在，求出△PCD的面積的最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．②設(shè)拋物線對(duì)稱軸l與x軸交于一點(diǎn)E，連接PE，交CD于F，直接寫出當(dāng)△CEF與△COD相似時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)；【答案】(1)y=?(2)①存在，最大值為12124；②P?1,4【分析】（1）根據(jù)正切函數(shù)，可得OB，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可得（2）①可求得直線CD的解析式，過P作PN⊥x軸于點(diǎn)N，交CD于點(diǎn)M，可用t表示出PM的長(zhǎng)，當(dāng)PM取最大值時(shí)，則②根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，可得PM與ME的關(guān)系，根據(jù)解方程，可得t的值，根據(jù)自變量與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可得答案．【詳解】（1）解：在Rt△AOB中，OA=1，tan∴OB=3OA=3，∵△DOC是由△AOB繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°而得到的，∴△DOC≌△AOBSSS∴OC=OB=3，OD=OA=1．∴A，B，C的坐標(biāo)分別為1,0，0,3，?3,0，代入解析式得：a+b+c=09a?3b+c=0解得：a=?1b=?2∴拋物線的解析式為y=?x（2）①存在點(diǎn)P使△PCD的面積最大，△PCD的面積有最大值為121理由如下：設(shè)直線CD解析式為y=kx+m，把C、D兩點(diǎn)坐標(biāo)代入可得：?3k+m=0m=1解得：k=1∴直線CD解析式為y=1如圖2，過P作PN⊥x軸，交x軸于點(diǎn)N，交直線CD于點(diǎn)M，

∵P點(diǎn)橫坐標(biāo)為t，∴PN=?t2?2t+3∵P點(diǎn)在第二象限，∴P點(diǎn)在M點(diǎn)上方，∴PM=PN?MN=?t∴當(dāng)t=?76時(shí)，PM有最大值，最大值為∵S∴當(dāng)PM有最大值時(shí)，△PCD的面積有最大值，∴S綜上可知，存在點(diǎn)P使△PCD的面積最大，△PCD的面積有最大值為12124②當(dāng)∠CFE=90°時(shí)，△CFE∽△COD，過點(diǎn)P作PM⊥x軸于M點(diǎn)，△EFC∽△EMP，

∴EM∴MP=3ME，∵點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，∴Pt,?∵P在第二象限，∴PM=?t2?2t+3∴?t解得t1=?2，t2=3，與當(dāng)t=?2時(shí)，y=??2∴P?2,3當(dāng)∠CEF=90°時(shí)，△CEF∽△COD，此時(shí)，PE⊥x軸，∴P∴當(dāng)△CEF與△COD相似時(shí)，P點(diǎn)的坐標(biāo)為?1,4或?2,3．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)綜合題，解（1）的關(guān)鍵是利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出OC，OD的長(zhǎng)，又利用了待定系數(shù)法；解（218．（2023·遼寧盤錦·校聯(lián)考二模）如圖，拋物線y=ax2+bx+3經(jīng)過A?1，0、B3，0兩點(diǎn)，交y軸于C，對(duì)稱軸與拋物線相交于點(diǎn)P

(1)求該拋物線的解析式；(2)拋物線上是否存在一點(diǎn)Q，使△QPB與△EPB的面積相等，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．(3)拋物線上存在一點(diǎn)G，使∠GBA+∠PBE=45°，請(qǐng)求出點(diǎn)G的坐標(biāo)．【答案】(1)y=?(2)存在，(2?3,2(3)?32【分析】（1）將A?1，0、B（2）根據(jù)二次函數(shù)圖像的性質(zhì)可得PH=4，BH=2，然后再求出直線BC解析式為y=?x+3可得E1，2；如圖：如圖，過點(diǎn)E作EQ∥BC，交拋物線于Q，此時(shí)△QPB與△PEB的面積相等；再求出直線QE的表達(dá)式為：y=?2x?1+2（3）先說(shuō)明∠CBO=45°，再分點(diǎn)G在直線AB的上方和下方兩種情況，分別運(yùn)用正切函數(shù)和拋物線的對(duì)稱性即可解答．【詳解】（1）解：把A?1，0a?b+c=09a+3b+c=0，解得a=?1∴該拋物線的解析式為y=?x（2）解：存在，求解如下：由y=?x則頂點(diǎn)P1，4∴H1∴PH=4，BH=2，∵B∴由待定系數(shù)法可得：直線BC解析式為y=?x+3，∴點(diǎn)E1如圖，過點(diǎn)E作EQ∥BC，交拋物線于Q，此時(shí)△QPB與

由點(diǎn)P、B的坐標(biāo)得，直線PB的表達(dá)式為：y=?2x?3則直線QE的表達(dá)式為：y=?2x?1聯(lián)立①②并整理得：x2?4x+1=0，解得：則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(2?3,23對(duì)于直線QE，設(shè)QE交x軸于點(diǎn)R，令y=?2x?1解得：x=2，即點(diǎn)R（2，0），則BR=3?2=1，取點(diǎn)R′使BR=BR'，過點(diǎn)R′作PB的平行線l，如上圖，則點(diǎn)R′（4，0），則直線l的表達(dá)式為：y=?2x?4聯(lián)立y=?x2+2x+3和y=?2則Δ=16?20故在點(diǎn)B的右側(cè)不存在點(diǎn)Q，綜上，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(2?3,23（3）解：∵B3∴OB=OC，∴∠CBO=45°，若點(diǎn)G在直線AB的上方時(shí)，

∵PH⊥AB，∠CBO=45°，∴∠HEB=45°，∴∠PBE+∠BPE=45°，∵∠GBA+∠PBE=45°，∴∠BPE=∠GBA，∴tan∠BPH=tan∠GBA=∴OF=3∴點(diǎn)F∴直線BF解析式為y=?1聯(lián)立①③（得：?x解得x=3y=0或∴點(diǎn)G的坐標(biāo)為?1若點(diǎn)G在直線AB的下方時(shí)，由對(duì)稱性可得：點(diǎn)F'∴直線BF解析式為y=1聯(lián)立①④得：?x解得：x=?32y=∴點(diǎn)G的坐標(biāo)為?綜上所述：點(diǎn)G的坐標(biāo)為：?32,?【點(diǎn)睛】本題主要考查了求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)圖像的性質(zhì)、二次函數(shù)與幾何的綜合等知識(shí)點(diǎn)，掌握數(shù)形結(jié)合和分類討論思想是解答本題的關(guān)鍵．19．（2023·湖北荊州·統(tǒng)考中考真題）已知：y關(guān)于x的函數(shù)y=a?2

(1)若函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸有兩個(gè)公共點(diǎn)，且a=4b，則a的值是___________；(2)如圖，若函數(shù)的圖象為拋物線，與x軸有兩個(gè)公共點(diǎn)A?2,0，B4,0，并與動(dòng)直線l:x=m(0<m<4)交于點(diǎn)P，連接PA，PB，PC，BC，其中PA交y軸于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E．設(shè)△PBE的面積為S1，△CDE①當(dāng)點(diǎn)P為拋物線頂點(diǎn)時(shí)，求△PBC②探究直線l在運(yùn)動(dòng)過程中，S1【答案】(1)0或2或?(2)①6，②存在，16【分析】（1）根據(jù)函數(shù)與坐標(biāo)軸交點(diǎn)情況，分情況討論函數(shù)為一次函數(shù)和二次函數(shù)的時(shí)候，按照?qǐng)D像的性質(zhì)以及與坐標(biāo)軸交點(diǎn)的情況即可求出a值．（2）①根據(jù)A和B的坐標(biāo)點(diǎn)即可求出拋物線的解析式，即可求出頂點(diǎn)坐標(biāo)P，從而求出PH長(zhǎng)度，再利用A和B的坐標(biāo)點(diǎn)即可求出BC的直線解析式，結(jié)合xF=xP即可求出F點(diǎn)坐標(biāo)，從而求出②觀察圖形，用m值表示出點(diǎn)P坐標(biāo)，再根據(jù)平行線分線段成比例求出OD長(zhǎng)度，利用割補(bǔ)法表示出S1和S2，將二者相減轉(zhuǎn)化成關(guān)于m的二次函數(shù)的頂點(diǎn)式，利用m取值范圍即可求出【詳解】（1）解：∵函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸有兩個(gè)公共點(diǎn)，∴a?2∵a=4b，∴a?2當(dāng)函數(shù)為一次函數(shù)時(shí)，a?2=0，∴a=2．當(dāng)函數(shù)為二次函數(shù)時(shí)，a?2x若函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸有兩個(gè)公共點(diǎn)，即與x軸，y軸分別只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，∴Δ∴a=?1當(dāng)函數(shù)為二次函數(shù)時(shí)，函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸有兩個(gè)公共點(diǎn)，即其中一點(diǎn)經(jīng)過原點(diǎn)，∴b=0，∵a=4b，∴a=0．綜上所述，a=2或0．故答案為：0或2或?1（2）解：①如圖所示，設(shè)直線l與BC交于點(diǎn)F，直線l與AB交于點(diǎn)H．

依題意得：2a+b=1020a+b=28，解得：∴拋物線的解析式為：y=?x∵點(diǎn)P為拋物線頂點(diǎn)時(shí)，P(1,9)，C(0,8)，∴PH=9，xP由B4,0，C0,8得直線BC的解析式為∵F在直線BC上，且在直線l上，則F的橫坐標(biāo)等于P的橫坐標(biāo)，∴F1,6∴FH=6，OH=1，∴PF=PH?FH=9?6=3，BH=OB?OH=4?1=3∴S故答案為：6．②S1如圖，設(shè)直線x=m交x軸于H．由①得：OB=4，AO=2，AB=6，OC=8，AH=2+m，P∴PH=?m∵OD⊥x，PH⊥AB，∴OD∥∴AO即22+m∴OD=8?2m∵S1=∴S∴S∵?3<0，0<m<4，∴當(dāng)m=43時(shí)，S1故答案為：163【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及到函數(shù)與坐標(biāo)軸交點(diǎn)問題，二次函數(shù)與面積問題，平行線分線段成比例，解題的關(guān)鍵在于分情況討論函數(shù)與坐標(biāo)軸交點(diǎn)問題，以及二次函數(shù)最值問題．題型07二次函數(shù)中等腰三角形存在性問題20．（2023·廣東湛江·統(tǒng)考三模）如圖，直線y=x+3與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線y=?x2?2x+3與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y(1)如圖①，連接BC，在y軸上存在一點(diǎn)D，使得△BCD是以BC為底的等腰三角形，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；(2)如圖②，在拋物線上是否存在點(diǎn)E，使△EAC是以AC為底的等腰三角形？若存在，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)如圖③，連接BC，在直線AC上是否存在點(diǎn)F，使△BCF是以BC為腰的等腰三角形？若存在，求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；(4)如圖④，若拋物線的頂點(diǎn)為H，連接AH，在x軸上是否存在一點(diǎn)K，使△AHK是等腰三角形？若存在，求出點(diǎn)K的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；(5)如圖⑤，在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)G，使△ACG是等腰三角形？若存在，求出點(diǎn)G的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)D(0，43(2)存在點(diǎn)E，使△EAC是以AC為底的等腰三角形，E(?1+132，1?132)或(?1?(3)存在點(diǎn)F，使△BCF是以BC為腰的等腰三角形，滿足條件的點(diǎn)F(?2，1)或(5，5+3)或(?5，3?5)(4)存在點(diǎn)K，使△AHK是等腰三角形，K點(diǎn)坐標(biāo)為(1，0)或(25?3，0)或(?25?3，0)或(2，0)(5)存在點(diǎn)G，使△ACG是等腰三角形，G點(diǎn)坐標(biāo)為(?1，1)或(?1，14)或(?1，?14)或(?1，3+17)或(?1，3?17)【分析】（1）設(shè)D(0，t)，由DC=BD，則|3?t|=1+t2，求出t即可求D(0，43（2）點(diǎn)E在線段AC的垂直平分線上，再由△AOC是等腰直角三角形可得AC垂直的直線為y=?x，聯(lián)立方程組y=?xy=?x2（3）設(shè)F(t，t+3)，由BC=BF和BC=CF，建立方程求出t的值，即可求出答案；（4）求出頂點(diǎn)H(?1，4)，設(shè)K(m，0)，分三種情況討論：①當(dāng)AH=HK時(shí)，可得K(1，0)；②當(dāng)AH=AK時(shí)，可得．K(25?3，0)或(?25?3，0)；③當(dāng)HK=AK時(shí)，可得K(2，0)；（5）設(shè)G(?1，t)，分三種情況討論∶①當(dāng)AG=CG時(shí)，可得G(?1，1)；②當(dāng)AG=AC時(shí)，可得G(?1，14)或(?1，?14)；③當(dāng)AC=CG時(shí)，可得G(?1，3+17)或(?1，3?17)．【詳解】（1）解：令x=0，則y=3，∴C(0，3)，令y=0，則x=?3，∴A(?3，0)，令y=0，則?x解得x=?3或x=1，∴B(1，0)，設(shè)D(0，t)，∴DC=BD，∴|3?t|=1+t解得t=43∴D(0，43)（2）解：存在點(diǎn)E，使△EAC是以AC為底的等腰三角形，理由如下：∵A(?3，0)，C(0，3)，∴AC的中點(diǎn)為(?32，32∵OC=OA，∴△AOC是等腰直角三角形，∴過AC的中點(diǎn)與AC垂直的直線為y=?x，聯(lián)立方程組y=?xy=?解得x=?1+132∴E(?1+132，1?132)或(?1?13（3）解：存在點(diǎn)F，使△BCF是以BC為腰的等腰三角形，理由如下：設(shè)F(t，t+3)，當(dāng)BC=BF時(shí)，∴(t?1)2解得t=0(舍去)或t=?2，∴F(?2，1)；當(dāng)BC=CF時(shí)，t2∴t=±5，∴F(5，5+3)或(?5，3?5)，即滿足條件的點(diǎn)F(?2，1)或(5，5+3)或(?5，3?5)；（4）解：存在點(diǎn)K，使△AHK是等腰三角形，理由如下：∵y=?x∴頂點(diǎn)H(?1，4)，設(shè)K(m，0)，①當(dāng)AH=HK時(shí)，4+16=(m+1)解得m=1或m=?3(舍)，∴K(1，0)；②當(dāng)AH=AK時(shí)，4+16=(m+3)解得m=25?3或m=?25?3，∴K(25?3，0)或(?25?3，0)；③當(dāng)HK=AK時(shí)，(m+1)2解得m=2，∴K(2，0)；綜上所述：K點(diǎn)坐標(biāo)為(1，0)或(25?3，0)或(?25?3，0)或(2，0)；（5）解：存在點(diǎn)G，使△ACG是等腰三角形，理由如下：∵拋物線的對(duì)稱軸為直線x=?1，設(shè)G(?1，t)，①當(dāng)AG=CG時(shí)，4+t解得t=1，∴G(?1，1)；②當(dāng)AG=AC時(shí)，4+t解得t=±14∴G(?1，14)或(?1，?14)；③當(dāng)AC=CG時(shí)，1+(t?3)解得t=3+17或t=3?17，∴G(?1，3+17)或(?1，3?17)；綜上所述：G點(diǎn)坐標(biāo)為(?1，1)或(?1，14)或(?1，?14)或(?1，3+17)或(?1，3?17)．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，分類討論是解題的關(guān)鍵．21．（2023·遼寧阜新·阜新實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考二模）如圖，拋物線y=x2+bx+c（b、c是常數(shù)）的頂點(diǎn)為C，與x軸交于A、B兩點(diǎn)，其中A1，0，B?3,0，點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，在線段AB上以1單位長(zhǎng)度/秒的速度向B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒0<t<4，過P

(1)求該拋物線的解析式；(2)當(dāng)t為何值時(shí)，△CPQ的面積最大？并求出△CPQ面積的最大值；(3)點(diǎn)P出發(fā)的同一時(shí)刻，點(diǎn)M從B點(diǎn)出發(fā)，在線段BC上以52單位長(zhǎng)度/秒的速度向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)，在運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在某一時(shí)刻t，使△BMP為等腰三角形，若存在，直接寫出P【答案】(1)y=(2)t=2，面積最大值2；(3)?79,0或【分析】（1）用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式即可；（2）求出直線BC的解析式為y=?2x?6，根據(jù)平行求出直線PQ的解析式為y=?2x?2t+2，同理可得直線AC的解析式為y=2x?2，通過建立方程求出點(diǎn)Q1?12t,?t，由PQ∥BC，則S△CPQ=S（3）根據(jù)銳角三角函數(shù)和勾股定理的知識(shí)分別表示出BP2、BM2、MP【詳解】（1）解：將A1，0，B∴1+b+c=09?3b+c=0解得：b=2c=?3∴拋物線的解析式為y=x（2）解：如圖：

∵y=x∴C?1,?4設(shè)直線BC的解析式為y=kx+m，∴?3k+m=0?k+m=?4解得：k=?2b=?6∴直線BC的解析式為y=?2x?6，∵P1?t,0，PQ∥BC∴直線PQ的解析式為y=?2x?2t+2，同理可得直線AC的解析式為y=2x?2，當(dāng)?2x?2t+2=2x?2時(shí)，x=1?1∴Q1?∵PQ∥BC，∴S△CPQ∴當(dāng)t=2時(shí)，△CPQ面積的最大值為2；（3）解：存在t，使△BMP為等腰三角形，理由如下：如圖，

由（2）可知，P1?t,0過M點(diǎn)作MG⊥x軸交于G點(diǎn)，過C點(diǎn)作CH⊥x軸交于H點(diǎn)，∵C?1,?4∴CH=4，OH=1，∵B?3,0∴OB=3，∴BH=2，∴BC=4∴sin∠ABC=CHBC∴42∴GM=t，∴GB=1∴OG=OB?BG=3?1∴M?3+當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)G右側(cè)時(shí)，BPMPBM由題意可得：①當(dāng)MP=BP，則4?t2=134t2?12t+16②當(dāng)BP=BM時(shí)，則4?t2=54t2，解得③當(dāng)MP=BM時(shí)，則134t2?12t+16=5當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)G左側(cè)時(shí)，MP①當(dāng)MP=BP，則54t2+2t+4=4?t②當(dāng)BP=BM時(shí)，則4?t2=54t③當(dāng)MP=BM時(shí)，則54t2綜上所述當(dāng)t=169或t=85?2或∴點(diǎn)P坐標(biāo)為：?79,0或17?8【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，求一次函數(shù)解析式，求兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，二次函數(shù)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，勾股定理，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)、勾股定理是解題的關(guān)鍵．22．（2023·海南?？凇ず煾街行？既＃┤鐖D，拋物線y=ax2+3x+ca≠0與x軸交于點(diǎn)A?2,0和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C0,8，頂點(diǎn)為D，連接AC，CD，

(1)求拋物線的解析式；(2)當(dāng)t為何值時(shí)，△PBC的面積最大？并求出最大面積；(3)M為直線BC上一點(diǎn)，求MO+MA的最小值；(4)過P點(diǎn)作PE⊥x軸，交BC于E點(diǎn)．是否存在點(diǎn)P，使得△PEC為等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)拋物線的解析式為：y=?(2)當(dāng)t=4時(shí)，△PBC(3)2(4)存在，P點(diǎn)的坐標(biāo)為P6,8，P4,12【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解析式；（2）利用拋物線的解析式求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，得到直線BC的解析式，過點(diǎn)P作PG⊥x軸，交x軸于點(diǎn)F，交BC于點(diǎn)G，利用S△PBC（3）作O關(guān)于直線BC的對(duì)稱點(diǎn)為O'，得到四邊形COBO'為正方形，則O'8,8，則MO+MA=MO'+MA，當(dāng)A、M、（4）分三種情況：當(dāng)CE=PE時(shí)，當(dāng)PE=PC時(shí)，當(dāng)CE=CP時(shí)，分別求出點(diǎn)P的坐標(biāo)【詳解】（1）解：由題意得：4a?6+c=0c=8，解得：a=?∴拋物線的解析式為：y=?1（2）當(dāng)?12x2+3x+8=0∴B8,0設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，則8k+b=0b=8解得k=?1∴直線BC的解析式為y=?x+8．如圖，過點(diǎn)P作PG⊥x軸，交x軸于點(diǎn)F，交BC于點(diǎn)G．

設(shè)點(diǎn)Pt,?12∴PG=?1∴S△PBC∴當(dāng)t=4時(shí)，△PBC（3）作O關(guān)于直線BC的對(duì)稱點(diǎn)為O'，連接O

∵∠CBO=45°，OB=OC，∴四邊形COBO'為正方形，則則MO+MA=MO當(dāng)A、M、O'三點(diǎn)共線時(shí)，MO+MA最小，即為線段A∴MO+MA最小值為O'（4）∵Pt,?∴Et,?t+8

∵OB=OC=8，∴BC=2OB=8∵BF=EF=8?t∴BE=2∴CE=CB?BE=82PE=?1PC當(dāng)CE=PE時(shí)，?12t2+4t=∴P8?2當(dāng)PE=PC時(shí)，則PE∴?1解得t=0（舍去）或t=6，∴P6,8當(dāng)CE=CP時(shí)，則CE∴2t解得t=4或t=8（舍去），∴P4,12綜上，P點(diǎn)的坐標(biāo)為P6,8，P4,12，【點(diǎn)睛】此題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，勾股定理，軸對(duì)稱問題，等腰三角形的性質(zhì)，圖形面積問題，綜合掌握各知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．23．（2023·廣東東莞·東莞市東莞中學(xué)松山湖學(xué)校?？级＃┤鐖D，二次函數(shù)y=12x2+bx?32的圖象與x軸交于點(diǎn)A(?3,0)和點(diǎn)B，以AB為邊在x軸上方作正方形ABCD，點(diǎn)P是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，連接DP，過點(diǎn)P

(1)b=___；點(diǎn)D的坐標(biāo)：___；(2)線段AO上是否存在點(diǎn)P（點(diǎn)P不與A、O重合），使得OE的長(zhǎng)為12？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P(3)在x軸負(fù)半軸上是否存在這樣的點(diǎn)P，使△PED是等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)及此時(shí)△PED與正方形ABCD重疊部分的面積；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)1；(?3,4)．(2)線段AO上存在點(diǎn)P（點(diǎn)P不與A、O重合），使得OE的長(zhǎng)為12．此時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo)為P?1,0或(3)存在這樣的點(diǎn)P，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(?4,0)，此時(shí)ΔPED與正方形ABCD重疊部分的面積為24【分析】（1）利用點(diǎn)在二次函數(shù)圖象上，代入即可求得b，將二次函數(shù)換成交點(diǎn)式，即能得出B點(diǎn)的坐標(biāo)，由AD=AB可算出D點(diǎn)坐標(biāo)；（2）假設(shè)存在，由DP⊥AE，找出∠EPO=∠PDA，利用等角的正切相等，可得出一個(gè)關(guān)于OP長(zhǎng)度的一元二次方程，再求解即可；（3）利用角和邊的關(guān)系，找到全等，再利用三角形相似，借助相似比即可求得AM，求出△ADM的面積即是所求．【詳解】（1）∵點(diǎn)A(?3,0)在二次函數(shù)y=1∴0=92?3b?∴二次函數(shù)解析式為y=1∴點(diǎn)B(1,0)，AB=1?(?3)=4，∵四邊形ABCD為正方形，∴AD=AB=4，∴點(diǎn)D(?3,4)，故答案為：1；(?3,4)．（2）直線PE交y軸于點(diǎn)E，如圖1，

假設(shè)存在點(diǎn)P，使得OE的長(zhǎng)為12，設(shè)OP=a，則AP=3?a∵DP⊥AE，∠APD+∠DPE+∠EPO=180°，∴∠EPO=90°?∠APD=∠ADP，tan∠ADP=APAD∴3?a4=1解得：a1∴P?1,0或?2,0故線段AO上存在點(diǎn)P（點(diǎn)P不與A、O重合），使得OE的長(zhǎng)為12．此時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo)為P?1,0或（3）假設(shè)存在這樣的點(diǎn)P，DE交x軸于點(diǎn)M，如圖2，

∵△PED是等腰三角形，∴DP=PE，∵DP⊥PE，四邊形ABCD為正方形∴∠EPO+∠APD=90°，∠DAP=90°，∠PAD+∠APD=90°，∴∠EPO=∠PDA，∠PEO=∠DPA，在△PEO和△DAP中，∠EPO=∠PDADP=PE∴△PEO≌△DAP，∴PO=DA=4，OE=AP=PO?AO=4?3=1，∴點(diǎn)P坐標(biāo)為(?4,0)．∵DA⊥x軸，∴DA∥EO，∴∠ADM=∠OEM，又∵∠AMD=∠OME，∴△DAM∽△EOM，∴OMMA∵OM+MA=OA=3，∴MA=4△PED與正方形ABCD重疊部分△ADM面積為12答：存在這樣的點(diǎn)P，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(?4,0)，此時(shí)△PED與正方形ABCD重疊部分的面積為245【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的交點(diǎn)式、全等三角形的判定、相似三角形的相似比等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是注重?cái)?shù)形結(jié)合，找準(zhǔn)等量關(guān)系．題型08二次函數(shù)中直角三角形存在性問題24．（2023·遼寧營(yíng)口·校聯(lián)考一模）已知直線l與x軸、y軸分別相交于A(1,0)、B(0,3)兩點(diǎn)，拋物線y=ax2?2ax+a+4(a<0)經(jīng)過點(diǎn)B，交x

(1)求直線l的函數(shù)解析式和拋物線的函數(shù)解析式；(2)在第一象限內(nèi)拋物線上取點(diǎn)M，連接AM、BM，求△AMB面積的最大值及點(diǎn)M的坐標(biāo)．(3)拋物線上是否存在點(diǎn)P使△CBP為直角三角形，如果存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)一次函數(shù)解析式為：y=?3x+3，二次函數(shù)解析式為：y=?(2)258，(3)存在，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(?2，?5)或(1，4)或【分析】（1）先利用待定系數(shù)法求得直線l的函數(shù)解析式，求得點(diǎn)B的坐標(biāo)，從而可以求得拋物線的解析式；（2）根據(jù)題意可以求得點(diǎn)A的坐標(biāo)，然后根據(jù)題意和圖形可以用含m的代數(shù)式表示出S，然后將其化為頂點(diǎn)式，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可解答本題；（3）分三種情況討論，分別當(dāng)BC、PC、PB為斜邊時(shí)，利用勾股定理列方程即可求解．【詳解】（1）解：設(shè)y=kx+b，把A(1,0)，B(0,3)代入得：k+b=00+b=3∴k=?3，b=3，∴一次函數(shù)解析式為：y=?3x+3，把B(0,3)代入y=ax∴3=a+4，∴a=?1，∴二次函數(shù)解析式為：y=?x（2）解：連接OM，

把y=0代入y=?x2+2x+3∴x=?1或3，∴拋物線與x軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為?1和3，設(shè)點(diǎn)M(m,?m∵M(jìn)在拋物線上，且在第一象限內(nèi)，∴0<m<3，∵A的坐標(biāo)為(1,0)，∴S==12×m×3+∴當(dāng)m=52時(shí)，S取得最大值此時(shí)M的坐標(biāo)為52（3）解：設(shè)點(diǎn)P(n，則BC2=32當(dāng)PC為斜邊時(shí)，則n2解得n=0（舍去）或n=1，∴點(diǎn)P(1，當(dāng)PB為斜邊時(shí)，則n?32解得n=3（舍去）或n=?2，∴點(diǎn)P(?2，當(dāng)BC為斜邊時(shí)，則n?32解得n=3（舍去）或n=0（舍去）或n=1+52∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為1+52，綜上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(?2，?5)或(1，4)或【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合題，主要考查二次函數(shù)的最值、勾股定理，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，作出合適的輔助線，利用數(shù)形結(jié)合的思想和轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想解答．25．（2023·江蘇連云港·校聯(lián)考三模）如圖，二次函數(shù)y=ax2+4x+c的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)與y軸交于點(diǎn)C，B點(diǎn)坐標(biāo)?1,0，C

(1)求拋物線的函數(shù)關(guān)系式和點(diǎn)A坐標(biāo)；(2)在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得△ACP是以AC為直角邊的直角三角形？若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由；(3)過拋物線上的