2024年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)（全國版）專題25 三角形綜合測試卷（解析版）

專題25三角形綜合測試卷參考答案與試題解析選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）1．（3分）（2023·江蘇·統(tǒng)考中考真題）將直角三角板和直尺按照如圖位置擺放，若∠1=56°，則∠2的度數(shù)是（

）．

A．26° B．30° C．36° D．56°【答案】A【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠3=∠1=56°，進(jìn)而根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)，即可求解．【詳解】解：如圖所示，

∵直尺的兩邊平行，∴∠3=∠1=56°，又∵∠3=30°+∠2，∴∠2=∠3-30°=56°-30°=26°，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，三角形的外交的性質(zhì)，熟練掌握三角形的外角的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（3分）（2023·四川涼山·統(tǒng)考中考真題）如圖，點(diǎn)E、F在BC上，BE=CF，

A．∠A=∠D B．∠AFB=∠DEC【答案】D【分析】本題考查了全等三角形的判定定理，能熟記全等三角形的判定定理是解此題的關(guān)鍵，全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，兩直角三角形全等還有【詳解】解：∵BE=∴BE+EF=∵∠B∴當(dāng)∠A=∠D時，利用AAS當(dāng)∠AFB=∠DEC時，利用ASA當(dāng)AB=DC時，利用SAS可得當(dāng)AF=DE時，無法證明故選：D．3．（3分）（2023·山東·統(tǒng)考中考真題）△ABC的三邊長a，b，c滿足(a-b)A．等腰三角形 B．直角三角形 C．銳角三角形 D．等腰直角三角形【答案】D【分析】由等式可分別得到關(guān)于a、b、c的等式，從而分別計(jì)算得到a、b、c的值，再由a2+b【詳解】解∵(又∵a-∴a-∴a解得a=3b∴a2+b∴△ABC故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了非負(fù)性和勾股定理逆定理的知識，求解的關(guān)鍵是熟練掌握非負(fù)數(shù)的和為0，每一個非負(fù)數(shù)均為0，和勾股定理逆定理．4．（3分）（2023·內(nèi)蒙古呼和浩特·統(tǒng)考中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，AC=42，點(diǎn)P為AC邊上的中點(diǎn)，PM交AB的延長線于點(diǎn)M，PN交BC的延長線于點(diǎn)N，且

A．13 B．13 C．8 D．13【答案】D【分析】依據(jù)題意，連接BP，然后先證明△BMP≌△CNP，從而CN=BP=1，又由等腰Rt△ABC可得BC=4【詳解】解：如圖，連接BP．

在Rt△ABC中，∵AB=BC，點(diǎn)P∴BP⊥AC，∠CBP=∠∴∠MBP∵BP⊥AC∴∠BPM+∠MPC∴∠BPM又BP=CP，∴△BMP∴BM=CN在Rt△BPC中，∴在Rt△MBN中，又在Rt△MPN中，∴M∴MP∴S故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)，解題時要熟練掌握并靈活運(yùn)用是關(guān)鍵．5．（3分）（2023·河北·統(tǒng)考中考真題）如圖，直線l1∥l2，菱形ABCD和等邊△EFG在l1，l2之間，點(diǎn)A，F(xiàn)分別在l1，l2上，點(diǎn)B，D，E，G

A．42° B．43° C．44° D．45°【答案】C【分析】如圖，由平角的定義求得∠ADB=180°-∠ADE=34°，由外角定理求得，∠AHD【詳解】如圖，∵∠∴∠∵∠∴∠∵l∴∠∵∠∴∠β故選：C．

【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)，平角的定義，等邊三角形的性質(zhì)，三角形外角定理，根據(jù)相關(guān)定理確定角之間的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．6．（3分）（2023·四川德陽·統(tǒng)考中考真題）如圖．在△ABC中，∠CAD=90°，AD=3，AC=4，BD=DE=EC

A．54 B．52 C．2 D【答案】A【分析】根據(jù)勾股定理可先求得CD的長度，根據(jù)直角三角形的斜邊上的中線與斜邊的數(shù)量關(guān)系，可求得AE的長度，根據(jù)三角形的中位線定理可求得答案．【詳解】∵∠CAD∴△CAD∴CD=∵點(diǎn)E為Rt△CAD的斜邊∴AE=∵BD=DE，∴DF=故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查勾股定理、直角三角形的性質(zhì)、三角形的中位線定理，牢記勾股定理、直角三角形的性質(zhì)（直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半）、三角形的中位線定理（三角形的中位線平行于三角形的第三邊，并且等于第三邊的一半）是解題的關(guān)鍵．7．（3分）（2023·北京·統(tǒng)考中考真題）如圖，點(diǎn)A、B、C在同一條線上，點(diǎn)B在點(diǎn)A，C之間，點(diǎn)D，E在直線AC同側(cè)，AB<BC，∠A=∠C=90°，△EAB≌△BCD，連接DE，設(shè)AB=a，BC

上述結(jié)論中，所有正確結(jié)論的序號是（

）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【答案】D【分析】如圖，過D作DF⊥AE于F，則四邊形ACDF是矩形，則DF=AC=a+b，由DF<DE，可得a+b<c，進(jìn)而可判斷①的正誤；由△EAB≌△BCD，可得BE=BD，CD=AB=a，【詳解】解：如圖，過D作DF⊥AE于F，則四邊形

∴DF=∵DF<∴a+b<∵△EAB∴BE=BD，CD=AB=∵∠CBD∴∠CBD+∠ABE∴△BDE由勾股定理得，BE=∵AB+∴a+b>由勾股定理得DE2=∴c=2×故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的判定，不等式的性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系等知識．解題的關(guān)鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運(yùn)用．8．（3分）（2023·浙江嘉興·統(tǒng)考中考真題）如圖，點(diǎn)P是△ABC的重心，點(diǎn)D是邊AC的中點(diǎn)，PE∥AC交BC于點(diǎn)E，DF∥BC交EP于點(diǎn)F，若四邊形CDFE

A．12 B．14 C．18 D．24【答案】C【分析】連接BD，由點(diǎn)P是△ABC的重心，點(diǎn)D是邊AC的中點(diǎn)，可得點(diǎn)B、P、D在一條直線上，且BP:PD=2:1，S△BCD=12S△ABC，通過△BEP【詳解】解：如圖所示，連接BD，

，∵點(diǎn)P是△ABC的重心，點(diǎn)D是邊AC∴點(diǎn)B、P、D在一條直線上，且∵PE∥∴△BEP∵BP:∴BP∴S∴S∴S∵DF∥∴△BEP∵BP:∴S△∴S∵S∴S∴S故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的重心的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)三角形的中線求面積，熟練掌握三角形的重心的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，添加適當(dāng)?shù)妮o助線，是解題的關(guān)鍵．9．（3分）（2023·四川宜賓·統(tǒng)考中考真題）如圖，△ABC和△ADE是以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，把△ADE以A為中心順時針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)M為射線BD、CE的交點(diǎn)．若AB①BD=CE；②③當(dāng)點(diǎn)E在BA的延長線上時，MC=④在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)線段MB最短時，△MBC的面積為1其中正確結(jié)論有（）

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】D【分析】證明△BAD≌△CAE即可判斷①，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)得出②，證明∠DCM∽∠ECA得出MC3=3-12，即可判斷③；以A為圓心，AD為半徑畫圓，當(dāng)CE在⊙A的下方與⊙【詳解】解：∵△ABC和△ADE是以點(diǎn)∴BA=∴∠BAD∴△BAD∴∠ABD=∠ACE，BD設(shè)∠ABD∴∠DBC∴∠EMB∴BD⊥CE，故當(dāng)點(diǎn)E在BA的延長線上時，如圖所示

∵∠DCM=∠ECA∴∠∴MC∵AB=3，∴CD=AC∴MC∴MC=3-3④如圖所示，以A為圓心，AD為半徑畫圓，

∵∠BMC=90°∴當(dāng)CE在⊙A的下方與⊙A相切時，MB的值最小，∴四邊形AEMD是矩形，又AE=∴四邊形AEMD是正方形，∴MD=∵BD=∴MB=在Rt△MBC∴PB取得最小值時，MC=A∴S故④正確，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)，勾股定理，切線的性質(zhì)，垂線段最短，全等三角形的性質(zhì)與判定，正方形的性質(zhì)，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．二．填空題（共6小題，滿分18分，每小題3分）10．（3分）（2023·四川樂山·統(tǒng)考中考真題）如圖，點(diǎn)O在直線AB上，OD是∠BOC的平分線，若∠AOC=140°，則∠

【答案】20°/20度【分析】根據(jù)鄰補(bǔ)角得出∠BOC【詳解】解：∵∠AOC∴∠BOC∵OD是∠BOC∴∠BOD故答案為：20°．【點(diǎn)睛】題目注意考查鄰補(bǔ)角及角平分線的計(jì)算，找準(zhǔn)各角之間的關(guān)系是解題關(guān)鍵．11．（3分）（2023·遼寧錦州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在△ABC中，BC的垂直平分線交BC于點(diǎn)D．交AB于點(diǎn)E．連接CE．若CE=CA，∠ACE=40°

【答案】35°/35度【分析】先在△ACE中利用等邊對等角求出∠AEC的度數(shù)，然后根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得BE=【詳解】解：∵CE=CA，∴∠A∵DE是BC的垂直平分線，∴BE=∴∠B又∠AEC∴∠B故答案為：35°．【點(diǎn)睛】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)等知識，掌握等腰三角形的等邊對等角是解題的關(guān)鍵．12．（3分）（2023·遼寧·統(tǒng)考中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，過點(diǎn)C作CE∥AB交AD的延長線于點(diǎn)E，若AC=4

【答案】32/1【分析】先根據(jù)AAS證明△BDA≌△CDE，推出BA=CE【詳解】解：∵CE∥∴∠BAD∵點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，∴BD=又∵∠BDA∴△BDA≌△CDE∴BA=∵Rt△ABC中，∠ACB∴BC=∴CD=故答案為：32【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，平行線的性質(zhì)等，證明△BDA13．（3分）（2023·江蘇泰州·統(tǒng)考中考真題）如圖，△ABC中，AB=AC，∠A=30°，射線CP從射線CA開始繞點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)α角0°<α<75°，與射線AB相交于點(diǎn)D，將△ACD沿射線CP翻折至△A'CD處，射線C

【答案】22.5°或45°或67.5°【分析】分情況討論，利用折疊的性質(zhì)知∠A=∠A【詳解】解：由折疊的性質(zhì)知∠A=∠A當(dāng)A'D=

由三角形的外角性質(zhì)得∠DEA'此情況不存在；當(dāng)A'

∠A'=30°由三角形的外角性質(zhì)得75°=30°+2α解得α=22.5°當(dāng)EA'=

∴∠DE由三角形的外角性質(zhì)得120°=30°+2α解得α=45°當(dāng)A'D=

∴∠ADC∴α=∠綜上，∠α的度數(shù)為22.5°或45°或67.5°故答案為：22.5°或45°或67.5°．【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，畫出圖形，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．14．（3分）（2023·遼寧·統(tǒng)考中考真題）如圖，線段AB=8，點(diǎn)C是線段AB上的動點(diǎn)，將線段BC繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)120°得到線段BD，連接CD，在AB的上方作RtΔDCE，使∠DCE=90°,∠E=30°，點(diǎn)

【答案】3【分析】連接CF，BF，BF，CD交于點(diǎn)P，由直角三角形的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)可得BF垂直平分CF，∠ABF=60°為定角，可得點(diǎn)F在射線BF上運(yùn)動，當(dāng)【詳解】解：連接CF，BF，BF，∵∠DCE=90°，點(diǎn)∴FC=∵∠E∴∠FDC∴△FCD∴∠DFC∵線段BC繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)120°得到線段BD∴BC=∵FC=∴BF垂直平分CF，∠ABF∴點(diǎn)F在射線BF上運(yùn)動，∴當(dāng)AF⊥BF時，此時∠FAB∴BF=∵∠BFC∴∠FCB∴BC=∵PB=∴由勾股定理得PC=∴CD=2∴S△

故答案為：3．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形性質(zhì)，含30度直角三角形的性質(zhì)，斜邊中線性質(zhì)，勾股定理，線段垂直平分線的判定，勾股定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，確定點(diǎn)F的運(yùn)動路徑是關(guān)鍵與難點(diǎn)．15．（3分）（2023·江蘇·統(tǒng)考中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=4，D是AC延長線上的一點(diǎn)，CD=2．M是邊BC上的一點(diǎn)（點(diǎn)M與點(diǎn)B、C不重合），以CD、CM為鄰邊作?CMND．連接AN

【答案】2【分析】過點(diǎn)B作BN'∥CD交CD的延長線于點(diǎn)N'，連接AN'，過點(diǎn)P作BC的平行線交AN'于點(diǎn)P'，交AD于點(diǎn)P″，連接BP'【詳解】解：過點(diǎn)B作BN'∥CD交CD的延長線于點(diǎn)N'，連接AN'，過點(diǎn)P作BC的平行線交AN'于點(diǎn)P'，交

由題意得：點(diǎn)N在線段N'N″上運(yùn)動（不與點(diǎn)N',N″故：BP'為PM的最大值，P″∵∠∴∠∵B∴∠∵?CMND且∴B∵P為AN的中點(diǎn)∴B∵P為AN的中點(diǎn)∴P″為A∴A∵∠∴P故P∵點(diǎn)M與點(diǎn)B、C不重合∴PM的取值范圍是2故答案為：2【點(diǎn)睛】本題綜合考查了勾股定理、動點(diǎn)軌跡問題．根據(jù)題意確定動點(diǎn)軌跡是解題關(guān)鍵．16．（3分）（2023·四川德陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，在底面為正三角形的直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=23,AA1

【答案】19【分析】：如圖，連接B1M，由題意可得：底面為正三角形的直三棱柱ABC-A1B1C1，AB=23,AA1=2，點(diǎn)M為AC的中點(diǎn)，當(dāng)B1在右側(cè)處時，可得MB1=22+332=31，當(dāng)B1在下方時，由等邊三角形的性質(zhì)可得：B1K=232【詳解】解：如圖，連接B1M，由題意可得：底面為正三角形的直三棱柱ABC-A1B1

當(dāng)B1∴BB1=∴MB當(dāng)B1在下方時，由等邊三角形的性質(zhì)可得：B此時B1如圖，當(dāng)按下圖方式展開時，延長AC，過C1作C1N⊥AC于N，作B1T⊥AC于T∴C1N=

則∠C∴∠B∵B1C1∴C1N=1，CN=3∴此時C,∴B1T=3+1=4∴B1∵31>5>∴小蟲爬行的最短路程等于19．故答案為：19．【點(diǎn)睛】本題考查的是三棱柱的展開圖，矩形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，等邊三角形的性質(zhì)，含30°的直角三角形的性質(zhì)，最短路徑的理解，清晰的分類討論是解本題的關(guān)鍵．三．解答題（共7小題，滿分52分）17．（6分）（2023·四川樂山·統(tǒng)考中考真題）如圖，AB和CD相交于點(diǎn)O，AC∥BD，點(diǎn)O為

【答案】證明見解析【分析】先根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠A=∠B，∠【詳解】證明：∵AC∥∴∠A∵點(diǎn)O為AB的中點(diǎn)，∴OA=在△AOC和△∠A∴△AOC∴AC=【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，平行線的性質(zhì)，熟知全等三角形的性質(zhì)與判定定理是解題的關(guān)鍵．18．（6分）（2023·湖南益陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，AB∥CD，直線MN與AB,CD分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，CD上有一點(diǎn)G且GE=

【答案】64°【分析】根據(jù)AB∥CD，可得∠DFE=∠1=122°，從而得到∠EFG【詳解】解：∵AB∥CD∴∠DFE∴∠EFG∵GE=∴∠FEG∴∠2=180°-∠FEG【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握平行線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．19．（8分）（2023·黑龍江牡丹江·統(tǒng)考中考真題）在△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，BC=2，D為AB的中點(diǎn)，以CD為直角邊作含30°角的Rt△CDE，∠【答案】作圖見解析，線段AE的長為AE=23【分析】先根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)得到AB=2BC=4，AC=3BC=23，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)和等邊三角形的判定證明△BCD為等邊三角形，可得【詳解】解：如圖，當(dāng)∠CED

∵在△ABC中，∠C=90°∴∠BAC=90°-∠B∴AB=2BC=4，∵D為AB的中點(diǎn)，∴CD=∴△BCD∴∠BCD=∠BDC∵∠DCE=90°，∴∠ACE=90°-∠ACD∴△ACE∴AE=如圖，當(dāng)∠CDE

∵∠BDC∴∠在Rt△DCE中，DC=2在Rt△ADE中，AD=2綜上，滿足條件的線段AE的長為AE=23或【點(diǎn)睛】本題考查含30度角的直角三角形的性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、銳角三角函數(shù)以及勾股定理等知識，熟練掌握等邊三角形和直角三角形的相關(guān)性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．20．（8分）（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）如圖，在等邊三角形ABC中，D為AB上的一點(diǎn)，過點(diǎn)D作BC的平行線DE交AC于點(diǎn)E，點(diǎn)P是線段DE上的動點(diǎn)（點(diǎn)P不與D、E重合）．將△ABP繞點(diǎn)A逆時針方向旋轉(zhuǎn)60°，得到△ACQ，連接EQ、

(1)證明：在點(diǎn)P的運(yùn)動過程中，總有∠PEQ(2)當(dāng)APDP為何值時，△【答案】(1)見解析(2)3【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，利用四點(diǎn)共圓知識解答即可．（2）只有∠AFQ=90°，【詳解】（1）∵等邊三角形ABC，∴AB=BC=∵DE∥∴∠AEP∵△ABP繞點(diǎn)A逆時針方向旋轉(zhuǎn)60°，得到△∴∠PAQ∴△APQ∴∠AQP∴∠AQP∴A、∴∠APQ∴∠PEQ（2）如圖，根據(jù)題意，只有當(dāng)∠AFQ∵△ABP繞點(diǎn)A逆時針方向旋轉(zhuǎn)60°，得到△∴∠PAQ∴△APQ∴∠PAQ∵∠AFQ

∴∠PAF∵等邊三角形ABC，∴∠ABC∵DE∥∴∠ADP∴∠DAP∴tan∠【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，四點(diǎn)共圓，特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，四點(diǎn)共圓，特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．21．（8分）（2023·遼寧·統(tǒng)考中考真題）在RtΔABC中，∠ACB=90°，CA=CB，點(diǎn)O為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)D在直線AB上（不與點(diǎn)A,B重合），連接CD，線段CD繞點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段CE，過點(diǎn)B作直線l⊥BC，過點(diǎn)E(1)如圖，當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)O重合時，請直接寫出線段AD與線段EF的數(shù)量關(guān)系；(2)如圖，當(dāng)點(diǎn)D在線段AB上時，求證：CG+(3)連接DE，△CDE的面積記為S1，△ABC的面積記為S2，當(dāng)【答案】(1)EF=(2)見解析．(3)59或17【分析】（1）可先證△BCD≌△BCE，得到BD=BE，根據(jù)銳角三角函數(shù)，可得到BE和EF（2）可先證△ACD≌△GEC，得到DA（3）分兩種情況：①點(diǎn)D在線段AB上，過點(diǎn)C作CN垂直于FG，交FG于點(diǎn)N，過點(diǎn)E作EM垂直于BC，交BC于點(diǎn)M，設(shè)EF=a，利用勾股定理，可用含a的代數(shù)式表示EC，根據(jù)三角形面積公式，即可得到答案．②點(diǎn)D在線段BA的延長線上，過點(diǎn)E作EJ垂直于BC，交BC延長線于點(diǎn)J,令EF交AC于點(diǎn)I,連接BE,設(shè)EF=b，可證△CDA≌△CEB，進(jìn)一步證得△【詳解】（1）解：EF=理由如下：如圖，連接BE．根據(jù)圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知CD=由題意可知，△ABC∵CD為等腰直角三角形△ABC斜邊∴∠BCD=45°，又∠DCE∴∠BCE在△BCD和△CD∴△BCD∴BD=BE∴∠EBF∴EF∴EF（2）解：∵CO為等腰直角三角形△ABC斜邊∴AO∵∠ACD∴∠ACD∵BC⊥l∴BC∴∠G=∠OCB∴∠G=∠A在△ACD和△∠∴△ACD∴DA∴CG（3）解：當(dāng)點(diǎn)D在線段AB延長線上時，不滿足條件EF:①點(diǎn)D在線段AB上，如圖，過點(diǎn)C作CN垂直于FG，交FG于點(diǎn)N；過點(diǎn)E作EM垂直于BC，交BC于點(diǎn)M．設(shè)EF=a，則根據(jù)題意可知，四邊形BFEM和CMEN為矩形，△GCN∴EF=BM由（2）證明可知△ACD∴AC∴NG∴NC根據(jù)勾股定理可知CE=△CDE的面積S1與△ABCS②點(diǎn)D在線段BA的延長線上，過點(diǎn)E作EJ垂直于BC，交BC延長線于點(diǎn)J,令EF交AC于點(diǎn)I,連接BE,由題意知，四邊形FBJE，F(xiàn)BCI是矩形，∵∠∴∠即∠又∵CD=CE∴△∴∠而∠∴∠∠∴△EBJ是等腰直角三角形，設(shè)EF=b，則BC∴EIRt△CIE△CDE的面積S1與△ABCS【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的判定及性質(zhì)、勾股定理以及圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，靈活利用全等三角形的判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．22．（8分）（2023·遼寧大連·統(tǒng)考中考真題）綜合與實(shí)踐問題情境：數(shù)學(xué)活動課上，王老師給同學(xué)們每人發(fā)了一張等腰三角形紙片探究折疊的性質(zhì)．已知AB=AC,∠A>90°，點(diǎn)E為AC獨(dú)立思考：小明：“當(dāng)點(diǎn)D落在BC上時，∠EDC=2∠小紅：“若點(diǎn)E為AC中點(diǎn)，給出AC與DC的長，就可求出BE的長．”實(shí)踐探究：奮進(jìn)小組的同學(xué)們經(jīng)過探究后提出問題1，請你回答：

問題1：在等腰△ABC中，AB=AC（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)D落在BC上時，求證：∠EDC（2）如圖2，若點(diǎn)E為AC中點(diǎn)，AC=4,CD=3問題解決：小明經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：若將問題1中的等腰三角形換成∠A問題2：如圖3，在等腰△ABC中，∠A<90°,AB=【答案】（1）見解析；（2）3+572；問題2【分析】（1）根據(jù)等邊對等角可得∠ABC=∠C，根據(jù)折疊以及三角形內(nèi)角和定理，可得∠BDE=∠（2）連接AD，交BE于點(diǎn)F，則EF是△ADC的中位線，勾股定理求得AF,BF問題2：連接AD，過點(diǎn)B作BM⊥AD于點(diǎn)M，過點(diǎn)C作CG⊥BM于點(diǎn)G，根據(jù)已知條件可得BM∥CD，則四邊形CGMD是矩形，勾股定理求得【詳解】（1）∵等腰△ABC中，AB=AC∴∠ABC=∠C，∠∵∠EDC∴∠EDC（2）如圖所示，連接AD，交BE于點(diǎn)F，

∵折疊，∴EA=ED，AF=FD，∵E是AC的中點(diǎn)，∴EA=∴EF=在Rt△AEF中，在Rt△ABF中，∴BE=問題2：如圖所示，連接AD，過點(diǎn)B作BM⊥AD于點(diǎn)M，過點(diǎn)C作CG⊥

∵AB=∴AM=MD，∵2∠BDC∴∠BDC∴BM∥∴CD⊥又CG⊥∴四邊形CGMD是矩形，則CD=在Rt△ACD中，CD=1，AD∴AM=MD在Rt△BDM中，∴BG=BM在Rt△BCG中，【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理，矩形的性質(zhì)與判定，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．23．（8分）（2023·湖北隨州·統(tǒng)考中考真題）1643年，法國數(shù)學(xué)家費(fèi)馬曾提出一個著名的幾何問題：給定不在同一條直線上的三個點(diǎn)A，B，C，求平面上到這三個點(diǎn)的距離之和最小的點(diǎn)的位置，意大利數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家托里拆利給出了分析和證明，該點(diǎn)也被稱為“費(fèi)馬點(diǎn)”或“托里拆利點(diǎn)”，該問題也被稱為“將軍巡營”問題．(1)下面是該問題的一種常見的解決方法，請補(bǔ)充以下推理過程：（其中①處從“直角”和“等邊”中選擇填空，②處從“兩點(diǎn)之間線段最短”和“三角形兩邊之和大于第三邊”中選擇填空，③處填寫角度數(shù)，④處填寫該三角形的某個頂點(diǎn)）當(dāng)△ABC的三個內(nèi)角均小于120°如圖1，將△APC繞，點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)60°得到△A'

由PC=P'C，∠PCP'=60°，可知由②可知，當(dāng)B，P，P'，A在同一條直線上時，PA+PB+PC取最小值，如圖2，最小值為A'B，此時的P點(diǎn)為該