備考2024年中考數(shù)學(xué)專題突破（全國(guó)通用）專題2-2 費(fèi)馬點(diǎn)與加權(quán)費(fèi)馬點(diǎn)詳細(xì)總結(jié)（原卷版）

專題2-2費(fèi)馬點(diǎn)與加權(quán)費(fèi)馬點(diǎn)詳細(xì)總結(jié)TOC\o"1-3"\f\n\h\z\u知識(shí)點(diǎn)梳理【常規(guī)費(fèi)馬點(diǎn)】【加權(quán)費(fèi)馬點(diǎn)】題型一普通費(fèi)馬點(diǎn)最值問題題型二加權(quán)費(fèi)馬點(diǎn)·單系數(shù)型題型三加權(quán)費(fèi)馬點(diǎn)·多系數(shù)型知識(shí)點(diǎn)梳理【常規(guī)費(fèi)馬點(diǎn)】【問題提出】如圖△ABC所有的內(nèi)角都小于120度，在△ABC內(nèi)部有一點(diǎn)P，連接PA、PB、PC，當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，求此時(shí)∠APB與∠APC的度數(shù).【問題處理】如圖1，將△ACP繞著點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60度得到△A’CP’，則△ACP≌△A’CP’，CP＝CP’，AP＝A’P’，又∵∠PCP’＝60°，∴△PCP’是等邊三角形，∴PP’＝PC，∴PA＋PB＋PC＝P’A’＋PB＋PP’，如圖2，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)B、P、P’、A’共線時(shí)，PA＋PB＋PC最小，最小值為A’B，此時(shí)∠BPC＝∠APC＝∠APB＝120°【問題歸納】如費(fèi)馬點(diǎn)就是到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小的點(diǎn)．費(fèi)馬點(diǎn)結(jié)論：對(duì)于一個(gè)各角不超過120°的三角形，費(fèi)馬點(diǎn)是對(duì)各邊的張角都是120°的點(diǎn)，所以三角形的費(fèi)馬點(diǎn)也叫三角形的等角中心；對(duì)于有一個(gè)角超過120°的三角形，費(fèi)馬點(diǎn)就是這個(gè)內(nèi)角的頂點(diǎn)．【如何作費(fèi)馬點(diǎn)】如圖3，連接AA’，我們發(fā)現(xiàn)△ACA’為等邊三角形，點(diǎn)P在A’B上，同理，我們可以得到等邊△BAB’，點(diǎn)P也在CB’上，因此，我們可以以△ABC三角形任意兩邊為邊向外構(gòu)造等邊三角形，相應(yīng)連線的交點(diǎn)即為費(fèi)馬點(diǎn)。（最大角小于120°時(shí)）【例1】如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=AC=1，P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，求PA+PB+PC的最小值．【練習(xí)1】如圖，已知矩形ABCD，AB=4，BC=6，點(diǎn)M為矩形內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)E為BC邊上任意一點(diǎn)，則MA+MD+ME的最小值為______．【加權(quán)費(fèi)馬點(diǎn)】如果所求最值中三條線段的系數(shù)有不為1的情況，我們把這類問題歸為加權(quán)費(fèi)馬點(diǎn)問題，解決方法類似，也是通過旋轉(zhuǎn)進(jìn)行線段轉(zhuǎn)化，只不過要根據(jù)系數(shù)的情況選擇不同的旋轉(zhuǎn)或放縮方法。【類型一單系數(shù)類】當(dāng)只有一條線段帶有不為1的系數(shù)時(shí)，相對(duì)較為簡(jiǎn)單，一般有兩種處理手段，一種是旋轉(zhuǎn)特殊角度：對(duì)應(yīng)旋轉(zhuǎn)90°，對(duì)應(yīng)旋轉(zhuǎn)120°另一種是旋轉(zhuǎn)放縮，對(duì)應(yīng)三角形三邊之比【例3】在等邊三角形ABC中，邊長(zhǎng)為4，P為三角形ABC內(nèi)部一點(diǎn)，求的最小值 【練習(xí)2】在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝2，P為三角形ABC內(nèi)部一點(diǎn)，求的最小值

【類型二多系數(shù)類】其實(shí)當(dāng)三條線段的三個(gè)系數(shù)滿足勾股數(shù)的關(guān)系時(shí)，都是符合加權(quán)費(fèi)馬點(diǎn)的條件的。以不同的點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)不同的三角形得到的系數(shù)是不同的，對(duì)于給定的系數(shù)，我們?cè)撊绾芜x取旋轉(zhuǎn)中心呢？我們總結(jié)了以下方法：1.

將最小系數(shù)提到括號(hào)外；2.

中間大小的系數(shù)確定放縮比例；3.

最大系數(shù)確定旋轉(zhuǎn)中心（例如最大系數(shù)在PA前面，就以A為旋轉(zhuǎn)中心），旋轉(zhuǎn)系數(shù)不為1的兩條線段所在的三角形。【例3】如圖，在△ABC中，，，，在△ABC內(nèi)部有一點(diǎn)P，連接，則（1）的最小值為________；（2）的最小值為________

【練習(xí)3】如圖，在△ABC中，，，，在△ABC內(nèi)部有一點(diǎn)P，連接，則的最小值為________．題型一普通費(fèi)馬點(diǎn)最值問題（2021濱州）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，AB＝2，點(diǎn)P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，則的最小值為_________．CCABP

問題背景：如圖1，將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△ADE，DE與BC交于點(diǎn)P，可推出結(jié)論：PA＋PC＝PE．問題解決：如圖2，在△MNG中，MN＝6，∠M＝75°，MG＝，點(diǎn)O是△MNG內(nèi)一點(diǎn)，則點(diǎn)O到△MNG三個(gè)頂點(diǎn)的距離和的最小值是______．如圖，在△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC＝2，P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，求PA＋PB＋PC的最小值．已知，在△ABC中，∠ACB＝30°，AC＝4，AB＝點(diǎn)P是△ABC內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，則PA＋PB＋PC的最小值為________如圖，已知矩形ABCD，AB＝4，BC＝6，點(diǎn)M為矩形內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)E為BC邊上任意一點(diǎn)，則MA＋MD＋ME的最小值為______．A、B、C、D四個(gè)城市恰好為一個(gè)邊長(zhǎng)為2a正方形的四個(gè)頂點(diǎn)，要建立一個(gè)公路系統(tǒng)使得每?jī)蓚€(gè)城市之間都有公路相通，并使整個(gè)公路系統(tǒng)的總長(zhǎng)度（AP＋BP＋PQ＋DQ＋CQ）最小，則應(yīng)當(dāng)如何修建？最小長(zhǎng)度是多少？

2023·隨州中考真題1643年，法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬曾提出一個(gè)著名的幾何問題：給定不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)A，B，C，求平面上到這三個(gè)點(diǎn)的距離之和最小的點(diǎn)的位置，意大利數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家托里拆利給出了分析和證明，該點(diǎn)也被稱為“費(fèi)馬點(diǎn)”或“托里拆利點(diǎn)”，該問題也被稱為“將軍巡營(yíng)”問題．(1)下面是該問題的一種常見的解決方法，請(qǐng)補(bǔ)充以下推理過程：（其中①處從“直角”和“等邊”中選擇填空，②處從“兩點(diǎn)之間線段最短”和“三角形兩邊之和大于第三邊”中選擇填空，③處填寫角度數(shù)，④處填寫該三角形的某個(gè)頂點(diǎn)）當(dāng)?shù)娜齻€(gè)內(nèi)角均小于時(shí)，如圖1，將繞，點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，

由，可知為三角形，故，又，故，由②可知，當(dāng)B，P，，A在同一條直線上時(shí)，取最小值，如圖2，最小值為，此時(shí)的P點(diǎn)為該三角形的“費(fèi)馬點(diǎn)”，且有；已知當(dāng)有一個(gè)內(nèi)角大于或等于時(shí)，“費(fèi)馬點(diǎn)”為該三角形的某個(gè)頂點(diǎn)．如圖3，若，則該三角形的“費(fèi)馬點(diǎn)”為點(diǎn)．(2)如圖4，在中，三個(gè)內(nèi)角均小于，且，已知點(diǎn)P為的“費(fèi)馬點(diǎn)”，求的值；

(3)如圖5，設(shè)村莊A，B，C的連線構(gòu)成一個(gè)三角形，且已知．現(xiàn)欲建一中轉(zhuǎn)站P沿直線向A，B，C三個(gè)村莊鋪設(shè)電纜，已知由中轉(zhuǎn)站P到村莊A，B，C的鋪設(shè)成本分別為a元/，a元/，元/，選取合適的P的位置，可以使總的鋪設(shè)成本最低為___________元．（結(jié)果用含a的式子表示）廣東省江門市一模如圖，在中，，點(diǎn)為內(nèi)部一點(diǎn)，則點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)之和的最小值是．武漢中考問題背景：如圖1，將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△ADE，DE與BC交于點(diǎn)P，可推出結(jié)論：PA+PC=PE．問題解決：如圖2，在△MNG中，MN=6，∠M=75°，MG=，點(diǎn)O是△MNG內(nèi)一點(diǎn)，則點(diǎn)O到△MNG三個(gè)頂點(diǎn)的距離和的最小值是______．2023·四川宜賓·中考真題如圖，拋物線經(jīng)過點(diǎn)，頂點(diǎn)為，且拋物線與軸的交點(diǎn)B在和之間（不含端點(diǎn)），則下列結(jié)論：當(dāng)時(shí)，；②當(dāng)?shù)拿娣e為時(shí)，；③當(dāng)為直角三角形時(shí)，在內(nèi)存在唯一點(diǎn)P，使得的值最小，最小值的平方為．其中正確的結(jié)論是．（填寫所有正確結(jié)論的序號(hào)）一題四問，從特殊到一般背景資料：在已知所在平面上求一點(diǎn)P，使它到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小.這個(gè)問題是法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬1640年前后向意大利物理學(xué)家托里拆利提出的，所求的點(diǎn)被人們稱為“費(fèi)馬點(diǎn)”．如圖1，當(dāng)三個(gè)內(nèi)角均小于120°時(shí)，費(fèi)馬點(diǎn)P在內(nèi)部，當(dāng)時(shí)，則取得最小值．(1)如圖2，等邊內(nèi)有一點(diǎn)P，若點(diǎn)P到頂點(diǎn)A、B、C的距離分別為3，4，5，求的度數(shù)，為了解決本題，我們可以將繞頂點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到處，此時(shí)這樣就可以利用旋轉(zhuǎn)變換，將三條線段、、轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中，從而求出_______；知識(shí)生成：怎樣找三個(gè)內(nèi)角均小于120°的三角形的費(fèi)馬點(diǎn)呢？為此我們只要以三角形一邊在外側(cè)作等邊三角形并連接等邊三角形的頂點(diǎn)與的另一頂點(diǎn)，則連線通過三角形內(nèi)部的費(fèi)馬點(diǎn)．請(qǐng)同學(xué)們探索以下問題．(2)如圖3，三個(gè)內(nèi)角均小于120°，在外側(cè)作等邊三角形，連接，求證：過的費(fèi)馬點(diǎn)．(3)如圖4，在中，，，，點(diǎn)P為的費(fèi)馬點(diǎn)，連接、、，求的值．(4)如圖5，在正方形中，點(diǎn)E為內(nèi)部任意一點(diǎn)，連接、、，且邊長(zhǎng)；求的最小值．題型二加權(quán)費(fèi)馬點(diǎn)·單系數(shù)型2023·武漢·慧泉中學(xué)校月考如圖，中，，，點(diǎn)P為內(nèi)一點(diǎn)，連接，則的最小值為.西安市鐵一中二模已知，如圖在中，，，，在內(nèi)部有一點(diǎn)D，連接DA、DB、DC．則的最小值是．2023·成都市郫都區(qū)中考二模如圖，矩形中，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是邊上一動(dòng)點(diǎn)．將沿著翻折，使得點(diǎn)落在點(diǎn)處，若點(diǎn)是矩形內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，連接、、，則的最小值為．

題型三加權(quán)費(fèi)馬點(diǎn)·多系數(shù)型在邊長(zhǎng)為4的正△ABC中有一點(diǎn)P，連接PA、PB、PC，求（AP＋BP＋PC）2的最小值在等邊三角形ABC中，邊長(zhǎng)為4，P為三角形ABC內(nèi)部一點(diǎn)，