四川省自貢市（一模）高2024 屆第一次診斷性考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷及答案

秘密★啟用nu

自貢市普高2024屆第一次診斷性考試

數(shù)學(xué)試題（理工類）

本試卷共6頁，23ss（含選考題）.全卷滿分150分,考試時間120分鐘.

注意事項：

I.5題前，先將自己的反名、準(zhǔn)考證號填寫在卷貶卡上，

2.選擇題的作答：每小超選出卷案后，用2B相冕1把答題卡上對應(yīng)題■目的答案標(biāo)號涂

X.寫在試卷.草稿紙和答題卡上的非冬題區(qū)域均無效.

3.非選擇題的作卷：用黑色簽字篦立接答在答題卡上對應(yīng)的答翅區(qū)域內(nèi),寫在試卷，

草稿紙和冬題卡上的非冬超區(qū)域均無效.

4.選考題的作答?：先把所選題目的題,號在答題卡上指定的位運用2B鉛筆涂黑.答?案寫

在答即卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.

一、選擇既本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只

有一項是最符合題目要求的.

I.己知集合，=卜卜2-工一6<0）,5={-2,0,2},則/|cB=（

A.{-2,0}B.{-2,0,2}C.{-2,2}D.{0,2}

2.己知復(fù)數(shù)2=山，則復(fù)數(shù)二的共筑復(fù)數(shù)z在熨平面內(nèi)對應(yīng)的點在（）

1

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

3.”>2”是"關(guān)于x的方程x：-而x+|=0有兩個不等實根”的）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D,既不充分也不必要條件

高2024屆一診教學(xué)試題（理工類）弟I頁共6頁

4.如圖所示的中，點D用他改DCI.WMI）的可力/'（.-'I/■..4"以AD的中

點，則方=(

I.I..

A?~~.-I—/(、

36

C.一工港」充

5.2023年威而大.運會招游志叭檸，現(xiàn)從某而校的6名志愿甘中儂次選出。名投仟誨J

服務(wù)，2名擔(dān)任人員引導(dǎo).t名擔(dān)任應(yīng)急救名志愿/只能擔(dān)任一項，則可乙小參與同

一項志愿服務(wù)的選法有（）種

A.2SB.36C.40D.44

6.體育強國的建設(shè)是2035年我國發(fā)展的總體目標(biāo)之一.某學(xué)校安排周一至周五每天

一小時課外活動時間，現(xiàn)統(tǒng)計得小明同學(xué)最近10周的課外體育運動時間（單位：小時/周）：

6.5,6.3,7.8,92.5.7,7.9.g.1,7.2,5.8.&3.則下列說法不正確的是

A.小明同學(xué)近10周的課外體育運動時間￥均每天不少于I小時

B.以這10周數(shù)據(jù)估計小明同學(xué)一周課外體育運動時間大于8小時的概率為0.3

C小明同學(xué)10周的課外體育運動時間的中位數(shù)為6.8

D.若這組數(shù)據(jù)同時增加0.5,則增加后的10個數(shù)據(jù)的極差、標(biāo)準(zhǔn)差與原數(shù)據(jù)的極差、

標(biāo)準(zhǔn)差相比均無變化

7.函數(shù)y=取"也的圖象可能為（）

COSX

8.A4SC?中，/8=2,4U=3,BC=石，將繞T8旋轉(zhuǎn)至

△/B尸處.使平面X8PJ.平面/8C,則多而體(?-/8P的外接球

衣面積為()

A.14KB.I6n

C.187rD.20開

高2024屆一診數(shù)學(xué)試即（理工類）第2頁共6頁

“南陰涉學(xué)期楊敏，(印華九氽以%,扣《勿及說笈不小》中,i/￡lh(貨物的蚣物么

共，歷目的的曲例”好例列與，役勿如救例M，的，畸歷勿，之分并力都號，例龍卷您&您N,

效成行尚次端成華為吻劑，冽玄外痛的紛改初判的初咒，在揚塔N后--明均為?,姝秘小乙絨

仰隔斷第冷以列,其附741分別為3,7,\i.2，，妁，。力VI,則勿必勿1%笏名項'/

A.131B.139J第

10.住么/〃c中升1/.〃-C所知山a,b、c7fli)Lu=c-2<J&"期

b=)

A.48,5Czb",#雙/

“，定義在"上的曲青儂/的滿足/"+切=/(l-力，且芻”引“用附，"同￡%>吟/,

則函數(shù)g(x)=/(z)一一'—在J2,10J上所有勿點的和為<

z-4

A.I6B.32C,36D,42

⑵若】=uCOS^[-]),0=,,剛么瓦C揭足的大小關(guān)系定是()

332n

A,a->b>c氏a<b<-cC.a>c>hD,t

二.場空題(本題共4小照，每小以5分，共20分.)

13.(I+2/XX+L)"展開式中用數(shù)項為.(用續(xù)字作務(wù))

X

x+y56

)4.己知點戶(l,2),O(0Q),點〃(zj)詢足J"-2**3,則z=而.礪的域大但_____.

x>0

y之0

15.若曲線y=In(x+a)的一條切線為》==+b，其中〃為正實數(shù)，期1[十一-一的MZ

5+2

值范圍.

16.函數(shù)/(x)=sin(0x+?)+cos(0x-?X0>O)構(gòu)/(X)的圖麴.上所有點的橫也好縮短

到原來的二(縱坐標(biāo)不變)徇到函數(shù)g(x)的圖象,若g(x)在(0,白)上恰有J個銀色點，

IO

則S的報大整數(shù)值為,

而2024屆一診數(shù)學(xué)議題(理工關(guān))第3天共6頁

三、解答題：共70分,解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步臊，第17?21題為

必考題，每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

（―）必考題：（本大題共5小題，每小題12分，共60分）

17.（本小題滿分12分）

已知數(shù)列｛%｝的前〃項和為S“，且q=I，S“="（“（neN'）.

（I）求數(shù)列｛/｝的通項公式：

（2）在數(shù)列｛2｝中，b“=a?+log4S”,求數(shù)列｛b“｝的前〃項和T?.

18.（本小題滿分12分）

2025年四川省將實行3+1+2的高考模式，其中.“3”為語文、數(shù)學(xué)，外語3門參加全國

統(tǒng)一考試，選擇性考試科目為政治、歷史、地理、物理、化學(xué)，生物6門，由考生根據(jù)報

考高校以及專業(yè)要求，結(jié)合自身實際,首先在物理,歷史中2選1,再從政治、地理、化學(xué)、

生物中4選2,形成自己的高考選考組合.

<I）若某小組共6名同學(xué)根據(jù)方案進(jìn)行隨機選科，求恰好選到''物化生”組合的人數(shù)的

期望；

（2）由于物理和歷史兩科必須選擇I科，某校想了解高一新生選科的需求,隨機選取

100名高一新生進(jìn)行調(diào)查，得到如下統(tǒng)計效據(jù)，寫出下列聯(lián)表中a,d的值，并判斷是否有95%

的把握認(rèn)為“選科與性別有關(guān)”？

選擇物理選擇歷史合計

男生a10

女生30

合計30

附：Q=______叢竺-°」_

(a+6)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K\kJOJO0.050.0250.010.005

k。2.7063.8415.0246.6357.879

高2024屆一診數(shù)學(xué)試題（理工類）第4頁共6頁

19.（本小題滿分12分）

如圖：在平面四邊形/BCD中,角=￡，乙408=工，BC=2,aD=3.設(shè)

32

"CD=9.

（I）用6表示四邊形48co對角線/C的長;

（2）是否存在6使四邊形4BCD對角線/C最長，若存在求出cos，及四邊形對角線XC

暇長的值，若不存在請說明理由.

20.（本小題滿分12分）

如圖，在四棱錐P-48。。中，底面48C。是正方形，側(cè)棱PD1.底面N8CD.￡、尸分

別是尸C、月。中點.

（1）判斷直線DE與平面PFB的位置關(guān)系;

（2）若P8與平面/8C。所成角為45’,求平面尸尸8與平面￡￡）8所成二面角大小的正

弦值.

高2024屆一診數(shù)學(xué)試題（理工類）第5頁共6頁

21.(本小題滿分12分)

函數(shù)/(x)=/-Inx的破小值為力.

(I)判斷加與2的大小，井說明理由；

<2)求函數(shù)g(x)=2+lnx-e'f的很大值.

(二)選考題：共10分.請考生在(22),(23)兩圈中任選一題作答，如果多答，則

按做的笫一題記分.作答時用2B鉛第在答題卡上把所選題目對應(yīng)題號的方框涂照.

22.選修4一4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程「二2c°sa(，為參數(shù)).直線/的參數(shù)方

[y=sinor

程為以。為極點，X軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.直線/的極坐標(biāo)方程為

〃sin(e+-)=迫L

42

(I)求曲線C和直線/的普通方程：

(2)設(shè)點力的極坐標(biāo)為(2,套)，曲線C和直線/的相交于AQ，求尸0的面積.

23.選修4—5：不等式選講

t9：/(x)=|x+l|+|x-2|.

(1)求/(x)Wx+5的解集：

(2)若不等式/(x)J"+"；?"二」對任人實數(shù)a失0恒成立,求實數(shù)x的取值范圍.

高2024屆一診數(shù)學(xué)試題(理工類)第6頁共6頁

2024屆“一診”數(shù)學(xué)參考答案

一、選擇題(60分)

理科：1-5.DABBD6-10.CDADC11-12.//文科：1-5.DABBB6-10.CDADA11-12.//

二、填空題(20分)

也

理科：13,5014.1115.[2,oo)16.10文科：13.—14,1115.-216.2

三、解答題(70分)

17.(1)由%=l,S“=g%+](“eN*)得S]=q=]

3S“=%+i=S,+i—J2分

所以，=4S“o*=4

J”

數(shù)列｛SJ是以1為首項，4為公比的等比數(shù)列

1(〃=1)

\a=<c

3?4"2(〃N2,〃eN*)r4

i7...........................................................................7分

⑵〃=%+log4S"=%+(”1),...........................................................9分

7；=S,+I(〃-1)=4"，小(〃-1).

12分

18.(1)解：設(shè)物理、歷史兩門學(xué)科分別為"“，政治、地理、化學(xué)、生物分別為a,b,c,d,

某同學(xué)根據(jù)方案進(jìn)行隨機選科，所得的結(jié)果為：(m,a,b),(m,a,c),(m,a,d),(m,b,c)

{m,b,d\(m,c,d\(n,a,b\(n,a,c),(n,a,d),(n,b,c),(n,b,d),(n,c,d'),共有12種情形,

所以一個學(xué)生恰好選到“史地政”的概率為尸=L.(文科)................6分

一個學(xué)生恰好選到"物化生”的概率為尸=!，由6個學(xué)生選科情況符合二項分布B

故期望為6義工=!(理科)..........................................6分

122

(2)q=40,(7=20.......................................................................................................8分

可得K、100(40x2。-10x30)2.

—11分

50x50x70x30

所以有95%的把握認(rèn)為“選科與性別有關(guān)....12分

2024屆一診數(shù)學(xué)參考答案第1頁共4頁

BD

19.(1)根據(jù)題意在用MS。,/。=

在ABC。中由余弦定理和正弦定理得

..................................3分

21./)./RMBCsin，2sin6

DriBD—13—12cos0.sin/BDC=----------=---------

BDBD

在A4CO中由余弦定理得

AC2=AD2+CD2-2ADCDcos(-+/BCD).....................................................6分

數(shù)曾5+9+卡亞3.?蟹

所以對角線/C=j?+40sin6?-4cos。；..........................................................8分

(2)由⑴知NC=，?+4Ain6?-4cos6UC=Jm+8sin(0j)............10分

所以存在。=V，cose=-1，8D=M,對角線/C最長值為九3,..............12分

323

20.⑴平行..........................................................2分

取網(wǎng)中點G連接EG和尸G,根據(jù)題意

EG//-BC//DF

=2=

所以四邊形DBGP是平行四邊形〃尸G,

而DE<z平面P8尸，/Gu平面尸8尸

：.DE〃平面PEB...........................................................................................................5分

(2)(文科)根據(jù)題意可得VE_PBF=|VC_PBF=|VP_BCF..........................................7分

由AP尸8,尸2=4,依=3,3尸=百,計算得5所k=工3Gsin/PF5=姮，

-PBF22

設(shè)E平面PFB的距離為d,.-.-Sd=-S-PD=—分

PBF△PBF.............................10

3Ar.brrorDrr3

所以點E平面尸/咕的距離為d=%=生叵..........................12分

Vnii

(理科)如圖不妨設(shè)48=2,由題意知40=尸。=2收

以點D為原點建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系D-xyz,

r>(0,0,0),P(0,0,2V2),F(1,0,0),￡(0,1,72),

設(shè)平面尸用的法向量為3=(x,y,z),平面即。的法向量為正=(a,，,c)

PF=2\,PB2\,DE=......7分

2024屆一診數(shù)學(xué)參考答案第2頁共4頁

n-PB=x-242z=0

則可取z=l,萬=(2屈-"1).........9分

n?PF=2x+2y-2cz=0

m?DB=b+y/lc=0

可取z=1,加=(V29-\/29l)..................10分

m-DE=2a+2b=0

77

而?6V55

所以平面CMA與平面ABBA所成角的正弦值為造=粵

X..................12分

75533

21.(1)m>2

/\1xe，一1/\

理由如下：f'(x)=ex——=——，令Mx)=xe'—1,

XX

/i'(x)=(x+l)ex-x>0,.'./ir(x)>0.r.&(x)在(0,+oo)為增函數(shù),

又彳：]=與一1<0"(1)=0一1〉0，,改小,」]使人(%)=0

即//。―1=0,.,./2(工庵(0,工0)為負(fù)，在(%,+00)為正.

.,./(X)在(0,X。)為減函數(shù)，在(%,+00)為增函數(shù).

???/(x)min=/(/)=*Tn又???//。-1=0，，lnx0=-x0.

人0

/(x)min=加=上+%?/X￡

o1:.m>2..........................5分

%P

〔〔x-m

(2)g,(x)=--ex-m_令9(x)=l—xe'-m,"'(x)=_(x+])gf<0

XX

o(x庵(0,+oo)為減函數(shù)，又加>2v=>0,(p(m)=l-m<0,

xm

e(1,m),使夕(再)=]_邛否-叫=0,e'^=—:.xx-m=-Inxj

...........................................苞

.所以g(x)在(0,打)單調(diào)遞增，在(x1；oo)單調(diào)遞減............................................8分

由(])知加=---HXQ----InXQ----FIn——Xj+In

2024屆一診數(shù)學(xué)參考答案第3頁共4頁

又因為函數(shù)y=x+lnx,xe(0,℃)是增函數(shù)，所以苞=一10分

%

(文科)g(x)max=g(M)=In%-/「"'=In》]一—=-(In—+—)=-(lnx0+xo)=O

m

(理科)g(x)max=g(xj)=2+In%1-e'~=2-(In—+—)=2-(tax0+x0)=2.....12分

xxX]

22.解：(1)C:-1-y2=1.It.x+y—1=0....................................5分

4