上海市黃埔區(qū)大境中學2023年高一數(shù)學第二學期期末達標檢測模擬試題含解析

2022-2023學年高一下數(shù)學期末模擬試卷

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題

卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右

上角"條形碼粘貼處"。

2.作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息

點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。

3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)

域內(nèi)相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和

涂改液。不按以上要求作答無效。

4.考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中,

恰有一項是符合題目要求的

1

1.已知a是第三象限的角，若tana=',則cosa=

A_邪R非「2"n275

Ak?”?AS?-----lx■---U?---

5555

2.關(guān)于x的不等式ax—b>0的解集是Jo』），則關(guān)于x的不等式<0

的解集是（）

A.（—oo,—1]U[2,+oo）B.[—1,2]

C.[1,2]D.（-co,1]U[2,內(nèi)）

3.在三棱錐「一ABC中，PA=PB=PC=24,AB=AC=BC=2小,則三

棱錐P—ABC外接球的體積是（）

4.設△A5C的內(nèi)角4,B,C所對的邊分別為a,b,c,若2cosBsinA=sinC,則4ABC

的形狀一定是（）

A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等邊三角形

5.已知函數(shù)y=sin（3x+（p）（3>0,0<q><；）,且此函數(shù)的圖象如圖所示，由點

P（co,（p）的坐標是（)

6.若關(guān)于的方程有兩個不同解,

則實數(shù)的取值范圍為（）

A.B.C.D.

7.在ZVLBC中，所對的邊分別為a,b,c,若c=/,A=45。，3=75°,則

a=（）

A.gB.OC.1D.3

8.把等差數(shù)列1,3,5,7,9,…依次分組,按第一個括號一個數(shù)，第二個括號二個數(shù)，第三個括

號三個數(shù)，第四個括號一個數(shù)，…循環(huán)分為

（1）,（3,5）,（7,9,11）,（13）,（15,17）,（19,21,23）,（25）,…，則第n個括號內(nèi)的各數(shù)之和

為（）

A.99B.37C.135D.80

9.擲兩顆均勻的骰子，則點數(shù)之和為5的概率等于（）

1111

A-18B9C，6D12

10.已知“，b是兩條不同的直線，a,B是兩個不同的平面，則下列說法正確的是（）

A.若?！╝,b//a,則。〃匕B.若,aua,bu|3,則

C.若2,九bla,則a//aD.若a//0,aua,則a//0

二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。

11.在正方體的ii體ii對角線A?C與棱CO所在直線的位置關(guān)系是

12.如圖，長方體。4BC-。'ABC'中，|0A|=3,pq=4,=AC與

B'D'相交于點P,則點P的坐標為.

13.已知直線/與圓C：(x—21+(y-2)=4交于A,B兩點，|AB|=20,則滿

足條件的一條直線，的方程為.

14.在公比為g的正項等比數(shù)列｛%｝中，%=%則當3a2+%取得最小值時，bg?"=

15.在數(shù)列3｝中，a-4n--,a+a+a+?-?+?-am+bn,貝!]

nn2123n

ab=.

16.對任意的，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是

三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步

驟。

17.若在定義域內(nèi)存在實數(shù)x,使得/G+1)=/G)+/(1)成立，則稱函數(shù)有“和

000

一點“X0.

(1)函數(shù)/(x)=lgx是否有“和一點”？請說明理由；

(2)若函數(shù)/(x)=2x+2&+a有，，和一點%求實數(shù)a的取值范圍；

(3)求證：/G)=cosx有，，和一點，，.

18.已知關(guān)于》的不等式。一加)1一加2)<0.

(1)當加=2時，求不等式的解集；

(2)當根eR,mH。且"今1時，求不等式的解集.

sin(a-H)cos(—+a)tan(K-a)

19.已知a為第三象限角，22______________.

tan(-a—TT)sin(-a—TC)

⑴化簡/(a)

(2)若cos(a一2)=(，求/(a)的值

20.已知等比數(shù)列｛。｝的前〃項和為S，且S=7,s=63.

nM36

(1)求數(shù)列%｝的通項公式；

n

(2)記b=21oga+1,求｛。匕｝的前〃項和T.

n2n"+]n”

71

21.四棱錐P—A8CD中，底面ABC。是邊長為2的菱形，NBAD),APAD是

等邊三角形，F(xiàn)為AD的中點，PA1BF.

(I)求證：PB1AD；

(II)若CB=3CE,能否在棱PC上找到一點G,使平面。平面A8CD?若存

在，求CG的長.

參考答案

一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，

恰有一項是符合題目要求的

1、D

【解析】

根據(jù)a是第三象限的角得cosa<0,利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，求得cosa的值.

【詳解】

因為a是第三象限的角，所以cosa<0,

,siiva+cos2a=1,_

12月

因為tana=所以qsina1解得：cosa=—I｛一，故選D.

2----=-,5

.cosa2

【點睛】

本題考查余弦函數(shù)在第三象限的符號及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，即已知tana值，求

cosa的值.

2、A

【解析】

試題分析：因為關(guān)于x的不等式ax-b>0的解集是(一8』)，所以。<0,2=1,從而

a

b

W0可化為(x+—)(x-2)Z0,解得x22或xAT,關(guān)于X的不等式

a

W0的解集是(一8,-1]U[2,+oo),選A。

考點：本題主要考查一元一次不等式、一元二次不等式的解法。

點評：簡單題，從已知出發(fā)，首先確定a,b的關(guān)系，并進一步確定一元二次不等式的解

集。

3、B

【解析】

三棱錐P—ABC是正三棱錐，取。'為△ABC外接圓的圓心，連結(jié)PO',則尸。'平

面ABC,設。為三棱錐P-ABC外接球的球心，外接球的半徑為R,可求出

O'A,P0',然后由。。'2+0712=042=/?2可求出半徑，進而求出外接球的體積.

【詳解】

由題意，易知三棱錐P-ABC是正三棱錐，

取。'為△ABC外接圓的圓心，連結(jié)P。'，則PO'_L平面A8C,設。為三棱錐

P-ABC外接球的球心.

=班XL=2

因為48=4。=8。=2/，所以7J2.

T

因為PA=PB=PC=2邪,所以p（y=JpA2二O'A；=4.

設三棱錐產(chǎn)一4BC外接球的半徑為R,則（4—R》+4=H2,解得R=g,故三棱錐

41257r

尸一ABC外接球的體積是k兀尺3=.

J0

故選B.

【點睛】

本題考查了三棱錐的外接球體積的求法，考查了學生的空間想象能力與計算求解能力，

屬于中檔題.

4、C

【解析】

將角C用角A角B表示出來，和差公式化簡得到答案.

【詳解】

△ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,

2cosBsinA=sinCn2cosBsinA=sin（A+B）-sinAcosB+cosAsinB

cosBsinA-cosAsin8=0nsin(A-8)=0

角A,B,C為△45C的內(nèi)角

NA=ZB

故答案選C

【點睛】

本題考查了三角函數(shù)和差公式，意在考查學生的計算能力.

5、B

【解析】

先由函數(shù)圖象與x軸的相鄰兩個交點確定該函數(shù)的最小正周期，并利用周期公式求出

①的值，再將點（［二。）代入函數(shù)解析式，并結(jié)合函數(shù)在該點附近的單調(diào)性求出甲的

值，即可得出答案。

【詳解】

小八（7兀3兀、2九

解：由圖象可得函數(shù)的周期T=2xb一=兀.?.M=兀，得3=2,

V88）co

「3兀、八3n?

將代入y=sin(2x+(p)可得sinI—+<p|=0,+(p=7t+2Zr7r(注

意此點位于函數(shù)減區(qū)間上）

71

??.（p=_+2Ki,keZ

4

「兀兀

由。<<p<2可得（P=W，

n

...點（3,（p）的坐標是（2,二），

4

故選：B.

【點睛】

本題考查利用圖象求三角函數(shù)丫=Asin（3x+<p）+b（A>0）的解析式，其步驟如下：

、y~yy+y

（J）求A、b?A=-ma*2"mi.,b=-ma>t】twin-；

,,2兀

②求3：利用一些關(guān)鍵點求出最小正周期T,再由公式慳1=7求出3；

③求中：代入關(guān)鍵點求出初相中，如果代對稱中心點要注意附近的單調(diào)性。

6、D

【解析】

換元設二=Wn二+eU，將原函數(shù)變?yōu)?，根?jù)函數(shù)圖

像得到答案.

【詳解】

設，則

,單調(diào)遞增，則

如圖:

數(shù)的取值范圍為

故答案選D

【點睛】

本題考查了換元法，參數(shù)分離，函數(shù)圖像，參數(shù)分離和換元法可以簡化運算，是解題的

關(guān)鍵.

7、A

【解析】

利用三角形內(nèi)角和為180。，得到C=60°,利用正弦定理求得。

【詳解】

因為4=45。，3=75。，所以。=180。一45。一75°=60°,

在A4BC中，一下二二^,所以.a「J=,故選A.

sinAsinCsin45°sin60°

【點睛】

本題考查三角形內(nèi)角和及正弦定理的應用，考查基本運算求解能力.

8、D

【解析】

由已知分析，尋找數(shù)據(jù)的規(guī)律，找出第11個括號的所有數(shù)據(jù)即可.

【詳解】

因為每三個括號，總共有數(shù)據(jù)1+2+3=6個，相當于一個“周期”，故第H個括號，在第

4個周期的第二個括號；則第11個括號中有兩個數(shù)，其數(shù)值為首項為1,公差為2的等

差數(shù)列數(shù)列M｝中的第20項(6x3+2),第21項的和，即

n

S=a+a=2a+39J=80

20211

故選：D.

【點睛】

本題考查數(shù)列新定義問題，涉及歸納總結(jié)，屬中檔題.

9、B

【解析】

試題分析：擲兩顆均勻的骰子，共有36種基本事件，點數(shù)之和為5的事件有(1,4),(2,3),

41

(3,2),(4,1)這四種，因此所求概率為大=二，選B.

369

考點：概率問題

10、D

【解析】

試題分析：。,匕是兩條不同的直線，a,B是兩個不同的平面，

在A中：若a//a,b//a,則a,匕相交、平行或異面，故A錯誤；

在B中：若a'B,aua,bup,則“，匕相交、平行或異面，故B錯誤；

在C中：若2_1坂，bla,則a//a或aua,故c誤；

在D中：若a//|3,aua,由面面平行的性質(zhì)定理知，a//p,故D正確.

考點：空間中直線、平面之間的位置關(guān)系.

二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。

11、異面直線

【解析】

根據(jù)異面直線的定義，作出圖形，即可求解，得到答案.

【詳解】

如圖所示，AC與CO不在同一平面內(nèi)，也不相交，所以體對角線4c與棱是異面

11

直線.

【點睛】

本題主要考查了異面直線的概念及其判定，其中熟記異面直線的定義是解答本題的關(guān)

鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于基礎(chǔ)題.

3

12、0,2,5)

【解析】

易知P是A'C'的中點，求出A',C'的坐標，根據(jù)中點坐標公式求解.

【詳解】

可知A'(3,0,5),C'((),4,5),由中點坐標

3+04+05+53__

公式得尸的坐標公式(丁,下一，刀一)，即。0,2,5)

【點睛】

本題考查空間直角坐標系和中點坐標公式，空間直角坐標的讀取是易錯點.

13、y=i(答案不唯一)

【解析】

確定圓心到直線的距離，即可求直線/的方程.

【詳解】

由題意得圓心坐標(2,2),半徑r=2,|A耳=20，

.?.圓心到直線/的距離為d=l,

,滿足條件的一條直線/的方程為y=L

故答案為：y=i(答案不唯一).

【點睛】

本題考查直線和圓的方程的應用，考查學生的計算能力，屬于中檔題.

1

14、2

【解析】

利用等比數(shù)列的性質(zhì)，結(jié)合基本不等式等號成立的條件，求得公比學，由此求得log,4

的值.

【詳解】

?..在公比為g的正項等比數(shù)列｛%｝中，%=9,根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)和基本不等式得

3a+a>2J3aa=2J3ai=1873,當且僅當%,=。，即一=9q,即g=J

時，女^+%取得最小值，=

故答案為：—

【點睛】

本小題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)，考查基本不等式的運用，屬于基礎(chǔ)題.

15、-1

【解析】

首先根據(jù)〃=4〃一會，得到M｝是以a=4-2=2,4=4的等差數(shù)列.再計算其前〃

項和即可求出。，匕的值.

【詳解】

因為a=4n--,a—a=4/1———[4（/2—1）——]=4.

n2"?-i22

所以數(shù)列｛5｝是以q=4—1?=1，d=4的等差數(shù)列.

二2H2-—n

2

故答案為：一1

【點睛】

本題主要考查等差數(shù)列的判斷和等差數(shù)列的前〃項和的計算，屬于簡單題.

16、[—4,5]

【解析】

,所以

點睛：在利用基本不等式求最值時，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿足基本不

等式中“正”（即條件要求中字母為正數(shù)）、“定”（不等式的另一邊必須為定值）、“等”（等號

取得的條件）的條件才能應用，否則會出現(xiàn)錯誤.

三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步

驟。

17、(1)不存在；(2)a>-2；(3)見解析

【解析】

(1)解方程3(,+1)=館弋+1即可判斷；

(2)由題轉(zhuǎn)化為2(x+1)+?+2x+i=2x+a+2x+2+a+2有解，分離參數(shù)a=*-2求值域

即可求解；

(3)由題意判斷方程cos(x+1)=cosr+cosl是否有解即可.

【詳解】

(1)若函數(shù)有“和一點”X,則

0

lgG+1)=Igx+l=lg(10x).\x+1=10xx=一一<0不合題意

0000009

故不存在

(2)若函數(shù)/(X)=2x+a+2r有“和一點"七.

則方程/(x+l)=f(X)4/(I)有解，

即2(x+1)+?+2r+i=2x+a+2r+2+G+2有解，

即a=2x-2有解，

故a>-2；

(3)證明：令/(x+1)=f(x)+f(1),

即cos(x+1)=cosx+cosl,

即cosxcosl-sinxsinl-cosr=cosl,

即(cosl-1)cosx-sinxsinl=cost,

故存在e,

故J(cos1—1)2+sin21cos(x+0)=cosl,

即J2—2CO71COS(X+0)=cosl,

cosl

即cos(x+e)=

-2cosl

cos21-(2-2cosl)

=cos21+2cosl-2

兀71；+/-2<0,

<cos2,+2cos,-2二

44

/cosl

故0y/2-2cosl<1

故方程cos(x+1)=cosx+cosl有解,

即/（x）=COSX函數(shù)有“和一點.

0

【點睛】

本題考查了新定義及分類討論的思想應用，同時考查了三角函數(shù)的化簡與應用，轉(zhuǎn)化為

有解問題是關(guān)鍵，是中檔題

18、（1）{xl2<x<4}；（2）當0<m<1時，解集為{x\m2<x<m},當%>1或m<0

時，解集為tI/?/<X<7H2}

【解析】

（1）當加=2時，不等式是一個不含參的二次不等式，分解因式，即可求得；

（2）對參數(shù)小進行分類討論，從而確定不等式的解集.

【詳解】

（1）當機=2時，原不等式為（x-2）（x-4）<0

故其解集為{xl2<x<4};

（2）令（》一加）（工一加2）=0則方程兩根為％="或x=m2.

因為meR,加w0,加#1,所以

①當機>機2即0<機<1時，解集為h:\in2<x<m}.

②當機<加2即機>1或m<0時，解集為€:I/n<x<W2}

綜上可得：①當機>，〃2即0<m<1時，解集為（x\m2<x<m}.

②當機<即機>1或m<0時，解集為{<I772<X<W2}

【點睛】

本題考查不含參二次不等式的求解，以及含參不等式的求解，屬基礎(chǔ)題.

4

19、（1）見解析;（2）5.

【解析】

利用指數(shù)運算、指對互化、對數(shù)運算求解

試題分析：

（1）

、—cosczsma（-tana）

f（a）=------------'-------=-cosa

-tanasina

(2)由，得.又已知a為第三象限角，

所以，所以，

所以/(a)=迎............io分

5

考點：本題主要考查了誘導公式、同角三角函數(shù)基本關(guān)系以及三角函數(shù)符號的判定.

點評：解決此類問題的關(guān)鍵是掌握誘導公式、同角三角函數(shù)基本關(guān)系以及三角函數(shù)符好

的判定方法.誘導公式的記憶應結(jié)合圖形記憶較好，難度一般.

20、(1)a=2?1(2)T=6+(2n-3)2?+i

nn

【解析】

(1)直接利用等比數(shù)列公式計算得到答案.

(2)b=2〃-1,ah=(2〃-1)2"，利用錯位相減法計算得到答案.

it"+1n

【詳解】

(1)設等比數(shù)列｝的首項為4,公比為生顯然="」"_=7,

"13\-q

a(1-決)

S——1------=63.兩式聯(lián)立得：。=1,q=2,：,a=2"i.

6\-q1"

(2),/b=21oga+1=2〃-1,所以