10.2 直方圖（要點梳理、類型講解）

直方圖（知識講解）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.會制作頻數(shù)分布表，理解頻數(shù)分布表的意義和作用；2.會畫頻數(shù)分布直方圖，理解頻數(shù)分布直方圖的意義和作用.【要點梳理】要點一、組距、頻數(shù)與頻數(shù)分布表的概念1．組距：每個小組的兩個端點之間的距離（組內(nèi)數(shù)據(jù)的取值范圍）．2．頻數(shù)：落在各小組內(nèi)數(shù)據(jù)的個數(shù)．3．頻數(shù)分布表：把各個類別及其對應(yīng)的頻數(shù)用表格的形式表示出來，所得表格就是頻數(shù)分布表．特別說明（1）求頻數(shù)分布表的一般步驟：①計算最大值與最小值的差；②決定組距和組數(shù)；③確定分點；④列頻數(shù)分布表；（2）頻數(shù)之和等于樣本容量．（3）頻數(shù)分布表能清楚、確切地反映一組數(shù)據(jù)的大小分布情況，將一批數(shù)據(jù)分組，一般數(shù)據(jù)越多，分的組也越多，當(dāng)數(shù)據(jù)在100個以內(nèi)時，按數(shù)據(jù)的多少，常分成5～12組，在分組時，要靈活確定組距，使所分組數(shù)合適，一般組數(shù)為的整數(shù)部分+1．要點二、頻數(shù)分布直方圖1．頻數(shù)分布直方圖：是以小長方形的面積來反映數(shù)據(jù)落在各個小組內(nèi)的頻數(shù)的大小，直方圖由橫軸、縱軸、條形圖三部分組成．(1)橫軸：直方圖的橫軸表示分組的情況(數(shù)據(jù)分組)；(2)縱軸：直方圖的縱軸表示頻數(shù)；(3)條形圖：直方圖的主體部分是條形圖，每一條是立于橫軸之上的一個長方形、底邊長是這個組的組距，高為頻數(shù)．2．作直方圖的步驟：(1)計算最大值與最小值的差；(2)決定組距與組數(shù)；(3)列頻數(shù)分布表；(4)畫頻數(shù)分布直方圖．要點詮釋：(1)頻數(shù)分布直方圖簡稱直方圖，它是條形統(tǒng)計圖的一種．(2)頻數(shù)分布直方圖用小長方形的面積來表示各組的頻數(shù)分布，對于等距分組的數(shù)據(jù)，可以用小長方形的高直接表示頻數(shù)的分布．3.直方圖和條形圖的聯(lián)系與區(qū)別：（1）聯(lián)系：它們都是用矩形來表示數(shù)據(jù)分布情況的；當(dāng)矩形的寬度相等時，都是用矩形的高來表示數(shù)據(jù)分布情況的；（2）區(qū)別：由于分組數(shù)據(jù)具有連續(xù)性，直方圖中各矩形之間通常是連續(xù)排列，中間沒有空隙，而條形圖中各矩形是分開排列，中間有一定的間隔；直方圖是用面積表示各組頻數(shù)的多少，而條形圖是用矩形的高表示頻數(shù).要點三、頻數(shù)分布折線圖頻數(shù)分布折線圖的制作一般都是在頻數(shù)分布直方圖的基礎(chǔ)上得到的，具體步驟是：首先取直方圖中每一個長方形上邊的中點；然后再在橫軸上取兩個頻數(shù)為0的點(直方圖最左及最右兩邊各取一個，它們分別與直方圖左右相距半個組距)；最后再將這些點用線段依次連接起來，就得到了頻數(shù)分布折線圖．【典型例題】【知識點一】根據(jù)數(shù)據(jù)的描述求??頻數(shù)★★頻率1.七年級(5)班20名女生的身高如下(單位∶)∶153156152158156160163145152153162153165150157153158157158158(1)請你在下表中填出身高在以下各個范圍的頻數(shù)，百分比(每個范圍包含下限，但不包含上限)：身高140～150150～160160～170頻數(shù)百分比(2)上表把身高分成___組，組距是___；(3)身高在___范圍的人數(shù)最多．【答案】(1)見分析；(2)3；10；(3)150~160【分析】（1）找出各個組中的人數(shù)；（2）通過所給的數(shù)據(jù)把各個范圍中的人數(shù)填入相應(yīng)表格，根據(jù)所填寫的信息及題意確定分成的組數(shù)、組距及哪個范圍內(nèi)的多；（3）根據(jù)所填信息頻數(shù)大小確定在哪個范圍的人數(shù)最多．（1）解：填表：身高140～150150～160160～170頻數(shù)1154百分比5%75%20%（2）解：上表把身高分成3組，組距是10；故答案為：3,10；（3）解：∵，∴身高在150~160范圍最多．故答案為：150~160【點撥】本題考查的是從統(tǒng)計圖表中獲取信息．關(guān)鍵是找出各個組中的人數(shù)．通過所給的數(shù)據(jù)把各個范圍中的人數(shù)填入相應(yīng)表格，然后根據(jù)所填寫的信息及題意確定分成的組數(shù)、組距及哪個范圍內(nèi)的多．鍛煉了學(xué)生的統(tǒng)計能力．舉一反三：【變式】某校為了了解本校學(xué)生每天課后閱讀的時間情況，在6月份某天隨機(jī)抽取了若干名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，調(diào)查發(fā)現(xiàn)學(xué)生每天課后閱讀的時間都不足100分鐘，現(xiàn)將調(diào)查結(jié)果繪制成如下兩幅尚不完整的統(tǒng)計圖表，請根據(jù)統(tǒng)計圖表提供的信息，解答下列問題：組別閱讀時間（分）頻數(shù)（人）頻率120.20.3560.130.05(1)表中_________，_________，_________；(2)將頻數(shù)直方圖補(bǔ)充完整；(3)若該校學(xué)生共有1800人，請根據(jù)以上調(diào)查結(jié)果估計：該校每天課后閱讀的時間不少于60分鐘的學(xué)生共有多少人？【答案】(1)，，；(2)見分析；(3)270人【分析】（1）由A組頻數(shù)及頻率求出樣本容量，結(jié)合頻數(shù)分布直方圖可得a的值，再由頻率=頻數(shù)÷樣本容量可得b、c的值；（2）根據(jù)以上所求結(jié)果即可補(bǔ)全圖形；（3）用總?cè)藬?shù)乘以樣本中D、E組頻率之和即可得出答案．（1）本次調(diào)查的樣本容量為：12÷20%=60，則a=18，b=18÷60=0.3，c=60×0.35=21，故答案為：，，．（2）將頻數(shù)分布直方圖補(bǔ)充完整如下：（3）1800×（0.1+0.05）=270（人）故答案為：270（人）．【點撥】本題考查了頻數(shù)（率）分布直方圖：提高讀頻數(shù)分布直方圖的能力和利用統(tǒng)計圖獲取信息的能力．利用統(tǒng)計圖獲取信息時，必須認(rèn)真觀察、分析、研究統(tǒng)計圖，才能作出正確的判斷和解決問題．也考查了用樣本估計總體．2.某校對九年學(xué)生進(jìn)行“綜合素質(zhì)”評價，評價的結(jié)果分為A（優(yōu)）B（良）C（合格）D（不合格）四個等級，現(xiàn)從中隨機(jī)抽測了若干名學(xué)生的“綜合素質(zhì)”等級作為樣本進(jìn)行數(shù)據(jù)處理，并作出如下統(tǒng)計圖．已知圖中從左到右四個長方形的高的比為；9；6：1，評價結(jié)果為D等級的有2人．請你回答以下問題：(1)共抽測了多少人？(2)樣本中B等級的頻率是多少？D等級的頻率是多少？(3)若該校九年級的畢業(yè)生共人，“綜合素質(zhì)”等級為A或B的學(xué)生才能報考重點高中，請你估計該校大約有多少名學(xué)生可以報考重點高中？【答案】(1)人；(2)等級的頻率是，D等級的頻率是；(3)人．【分析】（1）用D等級的人數(shù)除以所占的百分比得共抽測的人數(shù)；（2）先求出B等級的頻數(shù)，然后除以總?cè)藬?shù)可求出頻率，同理可以求出D等級的頻率；（3）求出A、B的總頻率，然后乘以全校人數(shù)即可求出可以報考重點高中的人數(shù)．（1）解：

答：共抽測了人．（2）解：B等級的頻率是，D等級的頻率是（3）解：，答：該校約有人可以報考重點高中．【點撥】本題考查的是條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖的綜合運(yùn)用，讀懂統(tǒng)計圖，從不同的統(tǒng)計圖中得到必要的信息是解決問題的關(guān)鍵，條形統(tǒng)計圖能清楚地表示出每個項目的數(shù)據(jù)．舉一反三：【變式】某校為了了解初三年級2000名學(xué)生的身體健康情況，從該年級隨機(jī)抽取了若干名學(xué)生，將他們按體重（均為整數(shù)，單位：）分成五組（：；：；：；：；：），并依據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)繪制了如下兩幅尚不完整的統(tǒng)計圖．解答下列問題：(1)這次抽樣調(diào)查的樣本容量是________；(2)組學(xué)生的頻率為________，在扇形統(tǒng)計圖中組的圓心角是________度；(3)請你估計該校初三年級體重不超過的學(xué)生大約有多少名？【答案】(1)；(2)，；(3)（名）【分析】（1）根據(jù)A組的百分比和頻數(shù)得出樣本容量（2）根據(jù)條形圖中數(shù)據(jù)可求得組學(xué)生的頻率，用E組的頻率乘以即可求得組的圓心角（3）根據(jù)樣本估計總體即可．解：（1）∵扇形圖中A組占，條形圖中A組容量是，∴這次抽樣調(diào)查的樣本容量是：，故答案為：（2）由（1）知這次抽樣調(diào)查的樣本容量是，∴組學(xué)生的頻率為：，∴扇形統(tǒng)計圖中組的圓心角是：故答案為：，（3）∵體重不超過的頻率為：，∴，答：估計該校初三年級體重不超過的學(xué)生大約有名【點撥】本題主要考查了頻數(shù)直方分布圖，扇形統(tǒng)計圖，用樣本估計總體，從頻數(shù)直方分布圖，扇形統(tǒng)計圖準(zhǔn)確獲取信息是解題的關(guān)鍵．【知識點二】頻數(shù)分布??直方圖★★折線圖3.體育理化考試在即，某學(xué)校教務(wù)處為了調(diào)研學(xué)生的體育理化真實水平，隨機(jī)抽檢了部分學(xué)生進(jìn)行模擬測試（體育70，理化30，滿分100）．【收集數(shù)據(jù)】85，95，88，68，88，86，95，93，87，93，98，99，88，100，97，80，85，92，94，84，80，78，90，98，85，96，98，86，93，80，86，100，82，78，98，88，100，76，88，99（單位：分）【整理數(shù)據(jù)】成績（單位：分）頻數(shù)（人數(shù)）119【分析數(shù)據(jù)】(1)本次抽查的學(xué)生人數(shù)共________名；(2)填空：________________，補(bǔ)充完整頻數(shù)分布直方圖；(3)若分?jǐn)?shù)在的為優(yōu)秀，估計全校九年級1200名學(xué)生中優(yōu)秀的人數(shù)；【答案】(1)40；(2)3；17；(3)估計全校九年級1200名學(xué)生中優(yōu)秀的人數(shù)有570人．【分析】（1）統(tǒng)計數(shù)據(jù)個數(shù)；（2）統(tǒng)計與范圍內(nèi)數(shù)據(jù)個數(shù)，畫出頻數(shù)分布直方圖；（3）用1200乘范圍內(nèi)的人數(shù)占抽查總?cè)藬?shù)的比率．（1）解：本次抽查的學(xué)生人數(shù)共40名；故答案為：40；（2）解：統(tǒng)計數(shù)據(jù)：：68，：78，78，76，：85，88，88，86，87，88，80，85，84，80，86，80，86，82，88，88，85，：95，95，93，93，98，99，100，97，92，94，90，98，96，98，93，100，98，100，99，則，補(bǔ)充頻數(shù)分布直方圖如下：故答案為：3；17；（3）解：（人），估計全校九年級1200名學(xué)生中優(yōu)秀的人數(shù)有570人．【點撥】本題考查了數(shù)據(jù)的統(tǒng)計頻率分布直方圖，熟練掌握數(shù)據(jù)統(tǒng)計整理方法，頻率分布直方圖的意義，是解決此類問題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式】中國空間站作為國家太空實驗室，在“天宮課堂”中航天員生動演示了微重力環(huán)境下的多個實驗，其中有4個實驗如下，分別是A．浮力消失實驗、B．太空冰雪實驗、C．水球光學(xué)實驗、D．太空拋物實驗．某中學(xué)開展這4個實驗為主題的手抄報評比活動，學(xué)生會隨機(jī)抽取部分同學(xué)調(diào)查他們感興趣的主題，數(shù)據(jù)如下：根據(jù)圖中提供的信息，解答下列問題：(1)學(xué)生會隨機(jī)調(diào)查了________名同學(xué)，并補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖；(2)求出扇形中________，A實驗所對應(yīng)的圓心角為________；(3)根據(jù)抽樣調(diào)查的結(jié)果，在全校4000名學(xué)生中，有多少人對“水球光學(xué)實驗”感興趣．【答案】(1)150；補(bǔ)圖見分析；(2)16；；(3)640【分析】（1）利用A實驗的頻數(shù)除以其所占的百分?jǐn)?shù)即可求出樣本總數(shù)，再用樣本總數(shù)乘以B實驗所占的百分?jǐn)?shù)，求出B實驗的學(xué)生人數(shù)，再補(bǔ)全直方圖即可；（2）利用C實驗的學(xué)生人數(shù)除以樣本總數(shù)即可求出結(jié)果，再利用A實驗所占的百分?jǐn)?shù)乘以即可求解；（3）利用C實驗所占的百分?jǐn)?shù)乘以全校學(xué)生人數(shù)即可求解．（1）解：學(xué)生會隨機(jī)調(diào)查的學(xué)生人數(shù)為：（人），B實驗的學(xué)生人數(shù)為：（人）補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖如下：故答案為：150（人）．（2）解：由題意可知：，A實驗所對應(yīng)的圓心角為：，故答案為：16；．（3）解：由題意可得：（人），答：全校有640人對“水球光學(xué)實驗”感興趣．【點撥】本題考查了扇形統(tǒng)計圖和頻率分布直方圖、用樣本估計總體，熟練掌握頻率除以其所占的百分比求樣本總數(shù)是解題的關(guān)鍵．4.為了了解中學(xué)生的體能狀況，某校抽取了50名學(xué)生進(jìn)行1分鐘跳繩測試，將所得數(shù)據(jù)整理后，分成5組繪成了頻數(shù)分布直方圖，如圖（圖中數(shù)據(jù)含最低值不含最高值）．其中前4個小組的頻率依次為0.04，0.12，0.4，0.28．（1）第4組的頻數(shù)是多少？（2）第5組的頻率是多少？（3）哪一組的頻數(shù)最大？（4）補(bǔ)全統(tǒng)計圖，并繪出頻數(shù)分布折線圖．【答案】（1）14；（2）0.16；（3）170～180這一頻數(shù)最大；（4）見分析【分析】（1）根據(jù)總?cè)藬?shù)以及第四組的頻率，求解即可；（2）根據(jù)總頻率為1，以及其他四組的頻率即可求解；（3）觀察統(tǒng)計圖，即可求除頻數(shù)最大的一組；（4）按照頻數(shù)分布直方圖以及頻數(shù)分布折線圖的畫法，求解即可．解：（1）第4組的頻數(shù)是0.28×50＝14；（2）第5組頻率為1-0.04-0.12-0.4-0.28＝0.16（3）由統(tǒng)計圖可知：170～180這一組頻數(shù)最大．（4）由（1）得第四組的頻數(shù)為14，補(bǔ)全統(tǒng)計圖如下：頻數(shù)分布折線圖如圖．【點撥】本題考查了對頻數(shù)、頻率概念的理解，讀頻數(shù)分布直方圖的能力和利用統(tǒng)計圖獲取信息的能力，畫頻數(shù)分布折線圖，解題的關(guān)鍵是理解頻數(shù)、頻率的概念，并從頻數(shù)分布直方圖的中獲取相關(guān)數(shù)據(jù)．舉一反三：【變式】如圖是某城市三月份1至10日的最低氣溫隨時間變化的圖象,請根據(jù)圖象回答下列問題.（1）根據(jù)折線統(tǒng)計圖提供的信息，補(bǔ)全直方圖.（2）在這10天,最高氣溫是,最低氣溫是.

【答案】（1）見分析;（2）2℃，-3℃.【分析】（1）根據(jù)折線統(tǒng)計圖即可得到0℃和2℃的頻數(shù)分別為2和3，然后根據(jù)這個補(bǔ)全直方圖即可；（2）根據(jù)折線統(tǒng)計圖即可看到最高和最低的氣溫.解：（1）根據(jù)折線統(tǒng)計圖即可發(fā)現(xiàn)0℃的有3號和7號2天，2℃的有6號、9號和10號3天，故頻數(shù)分別為2和3，根據(jù)這個補(bǔ)全直方圖如圖所示：（2）根據(jù)折線統(tǒng)計圖即可看到最高和最低的氣溫分別是2℃、-3℃【點撥】本題考查的是條形統(tǒng)計圖和折線統(tǒng)計圖的綜合運(yùn)用．讀懂統(tǒng)計圖，從不同的統(tǒng)計圖中得到必要的信息是解決問題的關(guān)鍵．條形統(tǒng)計圖能清楚地表示出每個項目的數(shù)據(jù)．折線統(tǒng)計圖表示的是事物的變化情況．【知識點三】根據(jù)要求選擇合適的統(tǒng)計量并做出決策5.“新冠肺炎”疫情無疑是對我們每一人的一場生存教育，關(guān)注生存環(huán)境，就是關(guān)注生命．隨機(jī)抽取某市一年當(dāng)中若干天的空氣質(zhì)量進(jìn)行統(tǒng)計分析，其結(jié)果如下：空氣質(zhì)量統(tǒng)計表污染指數(shù)（）407090110130140天數(shù)（）3510831頻數(shù)分布表分組40～6060～8080～100100～120120～140合計頻數(shù)351084頻率0.1670.3330.2670.133請仔細(xì)觀察所給的圖表，解答下列問題：（1）請補(bǔ)全統(tǒng)計圖；（2）如果時，空氣質(zhì)量為良；時，空氣質(zhì)量為輕微污染，估計該城市一年（365天）中有多少天空氣質(zhì)量為輕度污染？（3）請從平均數(shù)、眾數(shù)及中位數(shù)三個特征量中，選擇你認(rèn)為適當(dāng)?shù)囊粋€特征量對該城市一年空氣質(zhì)量的總體情況進(jìn)行估計和描述，并說明這種估計的合理性．【答案】（1）見分析；（2）146天；（3）見分析【分析】（1）由頻數(shù)分布表（Ⅱ）可求出段的頻率和頻數(shù)的和；（2）時，空氣質(zhì)量為輕微污染，求出30天中的天數(shù)的頻率，可得結(jié)果；（3）求出該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，中位數(shù)和眾數(shù)；再根據(jù)它們的意義分析．解：（1）圖如下面；分組4060608080100100120120140合計頻數(shù)35108430頻率0.10.1670.3330.2670.1331（2）估計該城市一年年）中有天空氣質(zhì)量為輕微污染；（3）該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，中位數(shù)和眾數(shù)都為90．用中位數(shù)或眾數(shù)來估計質(zhì)量狀況．平均數(shù)受極端特異數(shù)的影響較大；出現(xiàn)90的天數(shù)最多．【點撥】本題考查讀頻數(shù)分布直方圖的能力和利用統(tǒng)計圖獲取信息的能力．同時考查中位數(shù)、眾數(shù)及平均數(shù)的意義．舉一反三：【變式】中國四大著名蘋果：新疆阿克蘇冰糖心蘋果、甘肅天水花牛蘋果、陜西洛川紅富士蘋果、山東煙臺紅富士蘋果．水果店采購員小南決定進(jìn)購一批紅富士蘋果．小南對洛川和煙臺的蘋果進(jìn)行了實地考察，各隨機(jī)采摘了30個蘋果進(jìn)行質(zhì)量檢測，數(shù)據(jù)收集、整理、分析過程如下：①收集數(shù)據(jù)洛川采摘蘋果質(zhì)量統(tǒng)計如下（單位：克）：360

180

180

240

300

360

480

420

420

420

360

360

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300360

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240

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420煙臺采摘蘋果質(zhì)量統(tǒng)計如下（單位：克）：300

180

240

240

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420