信號(hào)與系統(tǒng)教案第4章fuxi

信號(hào)與系統(tǒng)教案第4章fuxiCATALOGUE目錄傅里葉級(jí)數(shù)傅里葉變換離散傅里葉變換快速傅里葉變換01傅里葉級(jí)數(shù)定義與性質(zhì)傅里葉級(jí)數(shù)的定義將周期信號(hào)表示為無(wú)窮多個(gè)正弦和余弦函數(shù)的和。傅里葉級(jí)數(shù)的性質(zhì)線(xiàn)性性質(zhì)、多相性、對(duì)稱(chēng)性、平均值性質(zhì)、能量有限性等。將信號(hào)表示為正弦函數(shù)的和。正弦型傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)將信號(hào)表示為余弦函數(shù)的和。余弦型傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)將信號(hào)進(jìn)行傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)，得到各個(gè)頻率分量的幅度和相位。傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)的步驟傅里葉級(jí)數(shù)的展開(kāi)傅里葉級(jí)數(shù)的收斂條件在滿(mǎn)足狄利克雷條件下，傅里葉級(jí)數(shù)收斂。傅里葉級(jí)數(shù)的收斂速度隨著時(shí)間的推移，傅里葉級(jí)數(shù)的收斂速度逐漸加快。傅里葉級(jí)數(shù)的收斂范圍在滿(mǎn)足收斂條件下，傅里葉級(jí)數(shù)在全時(shí)間范圍內(nèi)收斂。傅里葉級(jí)數(shù)的收斂性02傅里葉變換將時(shí)間域的信號(hào)通過(guò)一組正交函數(shù)的線(xiàn)性組合，轉(zhuǎn)換成頻率域的表示方法。傅里葉變換的定義線(xiàn)性性、時(shí)移性、頻移性、對(duì)稱(chēng)性、周期性和能量守恒等。傅里葉變換的性質(zhì)定義與性質(zhì)傅里葉逆變換的定義將頻率域的信號(hào)通過(guò)線(xiàn)性組合，還原回時(shí)間域的表示方法。傅里葉逆變換的性質(zhì)逆變換唯一性、線(xiàn)性性、時(shí)移性、頻移性等。傅里葉變換的逆變換信號(hào)分析通過(guò)傅里葉變換將信號(hào)從時(shí)間域轉(zhuǎn)換到頻率域，可以更好地分析信號(hào)的頻率成分和特征。系統(tǒng)分析傅里葉變換可以用于分析線(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng)的頻率響應(yīng)和穩(wěn)定性。數(shù)字信號(hào)處理傅里葉變換是數(shù)字信號(hào)處理中的基本工具，用于信號(hào)濾波、頻域分析和頻譜分析等。傅里葉變換的應(yīng)用03離散傅里葉變換定義與性質(zhì)離散傅里葉變換（DFT）是一種將離散時(shí)間信號(hào)轉(zhuǎn)換為頻域表示的方法。它將一個(gè)有限長(zhǎng)度的離散時(shí)間序列x[n]轉(zhuǎn)換為一個(gè)復(fù)數(shù)序列X[k]，其中k是頻率索引。周期性和對(duì)稱(chēng)性DFT具有周期性和對(duì)稱(chēng)性。X[k]的周期為N，其中N是x[n]的長(zhǎng)度。此外，X[k]具有對(duì)稱(chēng)性，即X[N-k]=X[k]和X[-k]=X[k]的共軛。線(xiàn)性性質(zhì)DFT具有線(xiàn)性性質(zhì)，即對(duì)于任意常數(shù)a和b，以及信號(hào)x[n]和y[n]，有aX[k]+bY[k]=(a*x[n]+b*y[n])的DFT。定義離散傅里葉變換的算法對(duì)于實(shí)數(shù)序列x[n]，其DFTX[k]也是實(shí)數(shù)。在計(jì)算DFT時(shí)，可以利用這一性質(zhì)來(lái)減少計(jì)算量。實(shí)數(shù)序列的DFTDFT的算法是通過(guò)一系列復(fù)數(shù)乘法和加法運(yùn)算來(lái)計(jì)算X[k]的公式。最常用的公式是N點(diǎn)DFT的快速傅里葉變換（FFT）算法，其復(fù)雜度為O(NlogN)。定義DFT的計(jì)算步驟包括將x[n]進(jìn)行蝶形運(yùn)算，將結(jié)果進(jìn)行旋轉(zhuǎn)和重排，最后得到X[k]。FFT算法通過(guò)遞歸和分治策略實(shí)現(xiàn)這些步驟，以最小化計(jì)算復(fù)雜度。計(jì)算步驟圖像處理在圖像處理中，DFT可以用于圖像的頻域變換。通過(guò)對(duì)圖像進(jìn)行傅里葉變換，可以得到圖像的頻率成分，從而實(shí)現(xiàn)圖像濾波、去噪等操作。頻譜分析DFT最直接的應(yīng)用是頻譜分析。通過(guò)計(jì)算信號(hào)的DFT，可以得到信號(hào)在頻域的表示，從而分析信號(hào)的頻率成分。數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)DFT可以用于設(shè)計(jì)和分析數(shù)字濾波器。通過(guò)計(jì)算濾波器的頻率響應(yīng)，可以確定濾波器的性能和參數(shù)。信號(hào)調(diào)制與解調(diào)在通信系統(tǒng)中，DFT可以用于信號(hào)的調(diào)制和解調(diào)。通過(guò)將信號(hào)從時(shí)域轉(zhuǎn)換到頻域，可以實(shí)現(xiàn)信號(hào)的調(diào)制和解調(diào)操作。離散傅里葉變換的應(yīng)用04快速傅里葉變換線(xiàn)性性質(zhì)FFT滿(mǎn)足線(xiàn)性性質(zhì)，即對(duì)于任意常數(shù)c1和c2，以及序列x1和x2，有c1*X1(k)+c2*X2(k)=FFT[c1*x1(n)+c2*x2(n)]。共軛對(duì)稱(chēng)性對(duì)于實(shí)數(shù)序列x(n)，有X*(N-k)=X(k)*，即傅里葉變換的共軛對(duì)稱(chēng)性。周期性傅里葉變換具有周期性，即對(duì)于整數(shù)L，有X[k+L]=X[k]。定義快速傅里葉變換（FFT）是一種高效計(jì)算離散傅里葉變換（DFT）及其逆變換的算法。定義與性質(zhì)快速傅里葉變換的算法這是最常用的FFT算法，基于分治策略，將N點(diǎn)DFT分解為兩個(gè)N/2點(diǎn)DFT，遞歸計(jì)算直到變?yōu)?點(diǎn)DFT。Cooley-Tukey算法還有其他的FFT算法，如Radix-2算法、PrimeFactor算法、Winograd算法等。其他算法頻譜分析FFT是信號(hào)頻譜分析的常用工具，可以快速得到信號(hào)的頻譜。數(shù)字通信在數(shù)字通信中，F(xiàn)FT用于信號(hào)調(diào)制和解調(diào)，以及多載波信號(hào)的處理。圖像處理在圖像處