2012高考求數(shù)列通項公式的方法總結

PAGEPAGE3求數(shù)列通項公式的方法一、觀察法：通過觀察數(shù)列的前幾項，歸納猜想數(shù)列的通項公式（一）公式法：通過觀察，若數(shù)列是等差或等比數(shù)列，則可確定基本量套等差或等比數(shù)列的通項公式，這種求通項公式的稱為公式法（1）1，2，3，4，5，……；（2）1，2，4，8，16，……；（3）1，-1，1，-1，1，-1，……；此法的觀察角度：數(shù)列是否成等差或等比數(shù)列（二）類比聯(lián)想法：象這樣聯(lián)想基本數(shù)列（基本函數(shù)），找出與基本數(shù)列的關系，求通項公式的方法叫聯(lián)想類比法（需熟記一些基本數(shù)列的通項公式）常用基本數(shù)列有：（1）1，2，3，4，5，……（2）1，2，4，8，16，……（3）-1，1，-1，1，-1，……（4）1，-1，1，-1，1，……（5）9，99，999，9999，99999，……等。請根據(jù)前幾項，求下列數(shù)列的通項公式（1）1，4，9，16，25，…（2）1，0，1，0，1，0，…（3）0，1，0，1，0，1，…（4）2，3，5，9，17，…解：（1）類比數(shù)列1，2，3，4，5，……（2）類比數(shù)列1，-1，1，-1，1，……（3）類比樹列-1，1，-1，1，-1，……或（2）中數(shù)列（4）類比數(shù)列1，2，4，8，16，……此法的觀察角度：找已知通項公式的基本數(shù)列的關系，（如：運算關系）（三）變形轉化法：通過對數(shù)列的各項進行變形，轉化為等差或等比數(shù)列用公式法，這種方法叫變形轉化法。變形目的化歸等差（比）數(shù)列，請根據(jù)數(shù)列的前幾項，求下列數(shù)列的通項公式（1）11，103，1005，10007，……（2）9，99，999，9999，……（3）解：（1）變形為10+1，100+3，1000+5，10000+7，…（2）變形為10-1，100-1，1000-1，10000-1，…（3）變形為此法的觀察角度：變形后，先觀察部分規(guī)律，然后得整體（四）、逐項作差（商）累加（乘）法：若通過觀察，發(fā)現(xiàn)數(shù)列從第二項起，每一項與它前一項的差（或商）成等差（比）數(shù)列，則可通過累加（或累乘）轉化為等差（比）數(shù)列的前n項和，求數(shù)列的通項公式，此法叫做逐項求差累加法。等差（比）數(shù)列通項的推導就是此法請根據(jù)前幾項，求下列數(shù)列的通項公式（1）3，5，9，15，23，……（2）9，99，999，9999，……解：（1）=（5-3）+（9-5）+（15-9）+（23-15）+……+3=（2+4+6+8+……）+3=此法的觀察角度：逐項求差組成的數(shù)列是否成等差數(shù)列或等比數(shù)列思路整合上述四種方法可統(tǒng)稱為觀察法，都是通過觀察前幾項，歸納猜想數(shù)列的通項，其基本思路是：首先要觀察：觀察的角度有①數(shù)列是否為等差或等比，若是，則用公式法；②若不是，則可類比基本數(shù)列（即找與基本數(shù)列的關系）或③變形轉化為等差（或等比）數(shù)列用公式法或④通過逐項求差（商）累（乘）化歸為等差或等比的前n項和來求通項。其次觀察時要遵循先部分后整體的原則，符號的規(guī)律用基本數(shù)列來調(diào)解。如：分式形式的數(shù)列，分子找規(guī)律，得分子的通項，分母找規(guī)律，得分母的通項，這是先部分，然后得出整體的通項。又如：正負相間的數(shù)列，可先定符號。二、由前項和與通項的關系：求通項例1：已知數(shù)列前n項和為（1）若，求（2）若，求（3）若，求解法一：求出數(shù)列的前幾項，歸納猜想求通項公式解法二：判斷數(shù)列為等差數(shù)列，用公式法求通項公式解法三：由數(shù)列的與的關系求通項公式，易錯點：易忽略公式是分段的例2、已知數(shù)列的前n項和為，且求評：（1）用轉換，轉換方式有兩種，或保留或保留（2）兩種方法的實質(zhì)方程思想中的消元統(tǒng)一變量，例3、若數(shù)列的前n項和為，求數(shù)列的通項公式例4、各項均為正數(shù)等差數(shù)列且成等差數(shù)列，求數(shù)列的通項公式。例5、（2008全國2）設數(shù)列的前n項和為Sn，已知，設求數(shù)列的通項公式。例6：（2008山東）已知數(shù)列的前n項和為，且b1=1,，求數(shù)列的通項公式。例7、設數(shù)列的前n項和為Sn，且，求三、利用遞推關系求通項的方法：1、2、3、4、思路一、根據(jù)遞推關系，求出前幾項利用觀察法求通項。思路二、適當變形（兩邊加減一個適當?shù)臄?shù)、取倒數(shù)、取對數(shù)等）構造數(shù)列，化歸為等差或等比數(shù)列思路三、采取累加累乘或采用迭代的方法例1、（1）已知數(shù)列，，求（2）已知數(shù)列，，，求例2、1、已知求；2、已知求例3：1、已知數(shù)列中，，求2、已知數(shù)列中，，求例4、1、在數(shù)列中，求；2、在數(shù)列中，，3、已知數(shù)列中，，，求數(shù)列的通項公