等腰三角形中的動態(tài)問題（解析版）-八年級數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)三角形全等、軸對稱及幾何動態(tài)問題思維訓(xùn)練

專題05等腰三角形中的動態(tài)問題

O等腰三角形存在性

?等腰中的全等三角形

規(guī)律性探討

【典例解析】

【例1-1］（2020.安徽省泗縣月考）如圖，NAO8=120。，OP平分NAo8,且。P=1.若點例，N分別在

OA,OBh,且APMN為等邊三角形，則滿足上述條件的△PMN有（）

C3個D.無數(shù)個

【答案】D

【解析】解：如圖，在。4、OB上分別截取OE=OP,OF=OP,作∕MPN=6（Γ.

?：OP平分/A08,

，/EOP=N尸。尸=60°,

,/OP=OE=OF,

：AOPE,△OPF是等邊三角形，

二EP=OP,NEPgNOEP=NPON=NMPN=60。,

：.NEPM=NoPN,

:APEM*APON

：.PM=PN,

??NMPN=60°,

，ZXPNM是等邊三角形，

只要NMPN=60。，APMN就是等邊三角形，

故這樣的三角形有無數(shù)個.

故答案為：D.

【例1-2】(2020.貴州六盤水期末)如圖，在，ABC中，AB=AC=3,NB=NC=5()，點D在邊BC

上運動(點。不與點3,C重合)，連接A。，作NADE=5()，OE交邊AC于點E.

(1)當ZBoA=IoO時，ZEDC=,ZDEC=

(2)當。C等于多少時，^ABD^4DCE,請說明理由；

(3)在點。的運動過程中，Az)E的形狀可以是等腰三角形嗎？若可以，請求出NBZM的度數(shù)；若不可

以，請說明理由.

【答案】(1)30,100；(2)(3)見解析.

【解析】解：(1)在ABAD中，

；NB=50。,/804=100。，

NEOC=30°,ZDEC=IOO0.

(2)當C￡>=3時，XABD迫ADCE,理由如下：

'：AB=CD=?,,NB=50。，ZADE=50o

LNB=NADE

'：ZADB+NADE+ZEDC=180o,ZDEC+ZC+ZEDC=180°

二ZADB=ZDEC

又ZB=NC

.?∕?ABD^∕?DCE

(3)可以，理由如下：

?；ZB=ZC=50o,

.,.ZBACSO0

①當AD=DE時，NzME=NOE4=65。，

.*.NBAD=/54C-NOAE=15。

.?.N8OA=II5°

②當AD=AE時，NAED=ZADE=50o

：.ZDAE=180o-ZAED-ZADE=SOo

又：ZBAC=SOo

：.ZDAE=ZBAE

點。與點B重合，不合題意.

③當AE=DE時，ZDAE=ZADE=50o

：./BAgNBAC-∕OAE=30°

.,.ZfiDA=IOOo.

綜上所述，當/5Q4的度數(shù)為115?；?00。時，△/!￡>￡是等腰三角形.

【變式1-1］（2019?霍林郭勒市期中）點A的坐標是（2,2）,若點尸在X軸或y軸上，且AAP。是等腰三角

形，這樣的點P共有（）個

A.6B.7C.8D.9

【答案】C.

【解析】解：分兩種情況進行討論，

當OA是底邊時，作OA的垂直平分線，和坐標軸的交點有2個；

當OA是腰時，以點。為圓心，OA為半徑畫弧，和坐標軸有4個交點；以點A為圓心，OA為半徑畫弧,

和坐標軸出現(xiàn)2個交點；

滿足條件的點P共有8個，

故答案為：C.

【變式1-2](2020.山西初二月考)綜合與探究：

在AABC中，A3=AC=BC=3cm.點P從點A出發(fā)以ICnVS的速度沿線段AB向點B運動.

S時，APBC是直角三角形.

(2)如圖2,若另一動點。從點B出發(fā)，沿線段BC向點C運動，如果動點P,Q都以ICmzS的速度同時

出發(fā)，設(shè)運動時間為f(s),求當f為何值時，APBQ是直角三角形.

(3)如圖3,若另一動點。從點C出發(fā)，沿射線BC方向運動，連接P。交AC點。，且動點P,Q都以

1cm/s的速度同時出發(fā).

①設(shè)運動時間為f(s),那么當，為何值時，AOCQ是等腰三角形？

②如圖4,連接PC.請你猜想：在點P,Q的運動過程中，ΔPC。和AQCO的面積之間的數(shù)量關(guān)系為

3

【答案】(1)一；(2)(3)見解析.

2

【解析】解：(1)當△P8C是直角三角形時，則/8PC=90。,

VZβ=60o,

3

,BP=AP=-Ctn,

2

二，

2

3

故答案為：不；

2

(2)①當NBPQ=90°時，BP=BQ,

即3√=-r,解得：t=2

2

②當NBQP=90。時，BP=2BQ,

即3√=2f,解得：Z=I

故當片1或2s時，APBQ是直角三角形;

(3)φVZDCβ=120°

???當AOCQ是等腰三角形，CD=CQf

：.ZPDA=ZCDQ=ZCQD=30o

?/NA=60。

，ZAPD=90o

：.AD=IAP

3√=2∕,解得：Z=I

②PCD=SxQCDy

過點產(chǎn)作PELAC于E,過點。作QG_LAC于點G,

JZCGQ=ZAEP=90o

?,AB=AC=BC

：.ZA=ZACB=ZQCG=60o

Λ?EΛP^?GCρ

：.PE=QG

???APCD與^QCD同底等高

=

故SΔPCbS△QCD-

【例2】(2020?江蘇江陰月考)如圖，在AABC中，AB=AC=?0cm;3C=6cm,點。為48的中點.

(1)如果點P在線段BC上以lo%∕s的速度由點8向點。運動，同時，點。在線段CA上由點C向點A運

動.

①若點Q的運動速度與點尸的運動速度相等，經(jīng)過1秒后，ABPD與ACQP是否全等,請說明理由；

②若點。的運動速度與點P的運動速度不相等，當點。的運動速度為多少時，能夠使48P拉與ACQP全

等？

(2)若點Q以②中的運動速度從點C出發(fā)，點P以原來的運動速度從點B出發(fā)都逆時針沿^ABC三邊運

動，直接寫出經(jīng)過多少秒后，點P與點Q第一次在AABC的那一條邊上相遇.

【答案】(1)①△BPO與△CQ尸全等，②點。的運動速度是ICm∕s.(2)經(jīng)過30秒后點P與點。第一次

在AABC的邊BC匕相遇.

【解析】解：(1)①4BPD與4CQP全等,

；點P的運動速度是ICmIS,點、Q的運動速度是?cm∕s,

，運動1秒時，BP=CQ=Icm,

*/BG=6cm,

：?CP=5cmf

VAB=IO,D為AB的中點,

.*.BD=5,

：,BD=CPf

*：AB=AC,

：.ZB=ZC1

.?∕?BPD^∕?CQP.

②點Q的運動速度與點P的運動速度不相等，則BP≠CQ,

若ABPD看△CQP全等,只能BP=CP=3a”，BD=CQ=5cm,

此時，點P運動3cm,需3秒，而點。運動5cm,

，點Q的運動速度是gcm∕s?

(2)設(shè)經(jīng)過f秒時，P、Q第一次相遇，

TP的速度是1厘米/秒，。的速度是g厘米/秒，

5

??10÷10+Γ=—1

39

解得：r=30,

此時點Q的路程=3Oχg=5O（厘米），

V50<2×26,

???此時點。在BC上，

???經(jīng)過30秒后點P與點Q第一次在^ABC的邊BC上相遇.

【例3?1】（2019?武漢市期中）如圖,已知：NMCW=30。，點4、A2、A3、…在射線ON上，點9、&、B3....

在射線OM上，△AlSlA2、△A2B2A3>ΔA383A4、…均為等邊三角形，若OA1=I，則4在坳小。的邊長為（）

【答案】。

【解析】解：如圖,

N

??,△43N2是等邊三角形，

o

ΛΛ∣Bι=A2β∣,Z3=Z4=Z12=60,

ΛZ2=I20o,

?.?NMoN=30。，

ΛZl=l80o-120o-30o=30o,

XVZ3=60o,

ΛZ5=180o-60o-30o=90o,

VZMO∕V=Zl=30o,

.*.OAι=A]B↑=?,

.AaBi=I>

V?Λ2B2A3?△A3B3Λ4是等邊三角形,

ΛZlI=Z10=60o,Z13=60°,

?：Z4=Z12=60°,

.?A↑B↑∕/A2B2//B↑A2∕∕B2Λ3f

ΛZl=Z6=Z7=30o,Z5=Z8=90o,

ΛA2B2=2B∣A2,θ3A3=2B2A3,

?*?A383=48l/12=4,

A4B4=8B1A2=8,

A5B5=16B1A2=16,

Λ,

AAi+］的邊長為2?,

JAA9B9Ai0的邊長為29/=28=256.

故答案為D

【例3-2】（2020?浙江溫州月考）如圖，圖①是一塊邊長為1,周長記為P的正三角形紙板，沿圖①的底邊

剪去一塊邊長為!的正三角形紙板后得到圖②，然后沿同一底邊依次剪去一塊更小的正三角形紙板（即其

邊長為前一塊被剪掉正三角形紙板邊長的!）后，得圖③、④，…，記第〃（n≥3）塊紙板的周長為P“，則

2

P"-P"-ι等于…（）

【答案】A

【解析】解：P∣=l+1+1=3,

,15

P2—1+H—=—>

22

,,111

P3=1+1+-X3=-,

44

1123

P4=l+l+-×2+-×3=一，

488

11511

??尸3一尸2=一--------

42422

23Illl

P4-P3=^8^^48^2y

1

-,.Pn-P1=—7

ll2n^'

故答案為：A.

【變式3-1］（2020.山東牡丹期末）如圖，已知NMON=30。，點A，A2,4,在射線ON上，點用，

B2,B3,在射線OM上，A4,5∕2,AA2&B,,Δ4與以，均為等邊三角形.若。4=1,則M為Bg

的邊長為（）

A.64B.128C.132D.256

【答案】B

【解析】解:?.?AA出山2是等邊三角形,

,

..A↑Bt=A↑B2,ZA∣B∣B2=ZA∣B2O=6O°

VNo=30。

/A2A由2=90°

二/。=NoAlBI=30°

.?.OB?=A?B?=A?B->=?

n

同理可得：A）BJ=4,A4B4=8,A,,Bn=2-'

/.AA8BsB9的邊長為2-128.

故答案為：B.

【變式3-2］（2019?貴州印江月考）如圖,已知AB=AB,Ag=AtA2,Λ282=?A2B,,ΛsB,=A1B4

若NA=70。，則N4τ4紇T的度數(shù)為（）

B

【答案】c

【解析】解：；AB=A1B,ZA=70°

，N4A∣8=NA=70°

?；

ΛlBl=AtA2

?"?NAlA28∣=NAlβ∣A2

?.?ZΛ4∣B=ZΛ∣A2B∣+ZA∣BIA2

170°

?.ΛA?AiB?=一z≤AA1B=-----=35°

22

170°

同理可得：/A2A3&=-∕LA?A2B?———=17.5°

22

170。CC

ZAAB=-ZAAjB==8.75°

34323223

70°

???4A紇T=券

故答案為C.

【習(xí)題精練】

1.（2020?山東青州期中）如圖，平面直角坐標系中，點A在第一象限，NAoX=40。，點尸在X軸上，若△POA

是等腰三角形，則滿足條件的點尸共有個.

【答案】4.

【解析】解：WOA=OP,AO=AP,尸O=∕?三種情況:

①以。為圓心，OA長為半徑畫弧，于X軸有2個交點尸2、P”

②以A為圓心，OA長為半徑畫弧，與X軸有2個交點。、Pi,

點。與OA不能構(gòu)成三角形，P符合條件，

③作線段OA的垂直平分線，交X軸有1個交點尸4,

P4A=P4O,

綜上所述：符合條件的點共有4個，

故答案為：4

2.（2019?浙江寧波?？迹┤鐖D，NAOB=I0。，點尸在OB上.以點P為圓心，OP為半徑畫弧，交。4于

點6（點尸I與點。不重合），連接PR;再以點耳為圓心，OP為半徑畫弧，交OB于點鳥（點鳥與點P

不重合）,連接46；再以點鳥為圓心，OP為半徑畫弧,交OA于點A（點鳥與點<不重合）,連接P￡；……

按照上面的要求一直畫下去，得到點心，若之后就不能再畫出符合要求點E用了，則〃=.

【解析】根據(jù)題意可知，畫出的三角形是等腰三角形，第一個底角NAOB=I0。；

由三角形外角和定理可得，第二個等腰三角形的底角20。，第三個等腰三角形的底角30。，同理可得第"個

等腰三角形的底角度數(shù)為IOn,

因為等腰三角形的底角小于90。，1O∕7<9O,即“<9.

故答案為8.

3.（2020.河北保定一模）如圖，ZAOB=K）。，點P在08上.以點P為圓心，OP為半徑畫弧，交于

點4（點6與點。不重合），連接PG再以點6為圓心，OP為半徑畫弧，交。B于點鳥（點鳥與點P

不重合）,連接片鳥；再以點8為圓心，OP為半徑畫弧,交Q4于點居（點鳥與點Pl不重合）,連接66；

按照上面的要求一直畫下去，就會得到QP=Pl==￡鳥，則

(1)ZP2P3P4=

（2）與線段OP長度相等的線段一共有條（不含OP）

【答案】100,9.

【解析】解：（1）山題意可知，PO=AP,H=叫…,

則NPOe=N。6尸，ZPiPP2=^PtP2P,

?.?NAoB=I0。，

oo

ΛZPiPB=20°,ZP2PiA=3,0,ZP3P1B=40,NAAA=50。，ZP5P4B=60°,...,

oooo

：.ZP2P^P4=180-40-40=100,

故答案為：100；

（2）根據(jù)題意，10"<90,解得〃<9.

為整數(shù)，故”=8.

VZP5PiB=60°,PFLPF6,

.?.△匕鳥”為等邊三角形，

??.與線段OP長度相等的線段一共有9條（不含OP）,

故答案為：9.

4.（2020.福建連城期中）如圖，在A4BC中，NC=90°,AC=5C=4cm,點Z）是斜邊AB的中點.點

E從點5出發(fā)以Iem/s的速度向點C運動，點/同時從點。出發(fā)以一定的速度沿射線C4方向運動，規(guī)定

當點E到終點C時停止運動.設(shè)運動的時間為X秒，連接。E、DF.

(2)當x=l且點產(chǎn)運動的速度也是ICm/s時，求證：DE=DF;

(3)若動點/以3cm/s的速度沿射線C4方向運動，在點E、點/運動過程中，如果存在某個時間x,

使得ΔADF的面積是ABDE面積的兩倍，請你求出時間X的值.

4

【答案】(I)8；(2)見解析；(3)M或4.

【解析】解：(I)??S^ΛBC=-×AC×BC

2

?*?s?ABC—-×4×4=8

2

故答案為：8

XVNACB=90。

???ZA=ZB=ZACD=ZDCB=45o

：.CD=BD

依題意得：BE=CF

BE=CF

在ACD尸與ABDE中，(∕3=NOCA

BD=CD

,ACD%ABDE(SAS)

.'.DE=DF

(3)過點。作￡)MJ_BC丁點Λ/,DNLAC于點、N,

'：AD=BD,NA=N8=45°,NAND=NOM8=90°

：.AADN妾∕?BDM(AAS)

JDN=DM

當SAA"F=2SABnE-

11

二-×AF×DN^2×-×BE×DM

22

.*.∣4-3A?∣=2X

4

..x∣=4,Xi=—

5

4

綜上所述：X=M或4.

5.(2020.廣東佛山月考)如圖，在等邊ΔABC中，AB=AC=JBC=Io厘米，DC=4厘米，如果點M以

3厘米/的速度運動.

（1）如果點M在線段CB上由點。向點3運動.點N在線段84上由8點向A點運動，它們同時出發(fā),

若點N的運動速度與點M的運動速度相等：

①經(jīng)過2秒后，ABMN和ACOM是否全等？請說明理由.

②當兩點的運動時間為多少秒時，ABMN剛好是一個直角三角形？

（2）若點N的運動速度與點M的運動速度不相等，點N從點8出發(fā)，點M以原來的運動速度從點C同

時出發(fā)，都順時針沿ΔA8C三邊運動，經(jīng)過25秒時點M與點N第一次相遇，則點N的運動速度是

__________厘米/秒.（直接寫出答案）

【答案】見解析.

【解析】解：（1）①△BMNQACDM.

理由如下：N、M速度相等，片2

：.CM=BN=6,BM=4

：.BN=CM

'：CD=4

.'.BM=CD

'：ZB=ZC=60o

：ABMNdCDM

②設(shè)運動時間為/秒，△BMN是直角三角形有兩種情況：

當∕MWB=90。時，

NBNM=3Q°,BN=IBM

：.3t=2（10-3f）

解得：t=2^0-

當N8MW=90°時，同理，BM=IBN,

即10-3r=2×3z,解得：t=-

9

二當U型或12秒時，ABMN是直角三角形；

99

（2）分兩種情況，

①若點M運動速度快，則3x25-10=25YN,解得?V=2.6;

②若點N運動速度快，則3x25+20=25Kv,解得Pv=3.8.

6.（2018?湖北廣水期中）（閱讀）

如圖1,等邊AABC中，P是AC邊上一點，。是CB延長線上一點，若AP=BQ.則過P作PF〃8C交AB

于尸，可證AAPF是等邊三角形，再證APQF絲。QB可得。是FB的中點.請寫出證明過程.

（運用）

如圖2,AABC是邊長為6的等邊三角形，尸是AC邊上一動點，由A向C運動（與A,C不重合），Q是

CB延長線上一動點，與點尸同時以相同的速度由8向CB延長線方向運動（。不與B重合），過P作PELAB

于E,連接PQ交A8于D

（1）當/8。。=30。時，求AP的長；

（2）在運動過程中線段EO的長是否發(fā)生變化？如果不變，直接寫出線段EO的長；如果發(fā)生改變，請說

明理由.

【答案】見解析.

【解析】解：【閱讀】

「△ABC是等邊三角形，

.?.ZABC=ZΛCB=60o,

?"PF//BC,

.?.ZAFP=NAPF=NABC=NACB=60°,

：.AP=PF,

?'AP=BQ,

：.PF=BQ,

'：PF//BQ,

,NFPD=ZDQB,ZPFD=ZQBD,

.?.△PFDWAQBD；

JDF=DB.

【運用】（1）

?.?∕?A8C是邊長為6的等邊三角形，

???NAe8=60。，

VZBeD=30o,

ΛZβPC=90o,

設(shè)AP=X9則PC=6-x9QB=X9

：.QC=QB+BC=6+xt

;在放AQCP中，NBQD=30。，

.*.PC=-QCf即6-X=L(6+x),解得x=2,

22

：.AP=2；

(2)過。作QGLA&交直線A3于點G,連接。E,PG,

又TPiLLAB于E,

???NPGQ=NAEP=90。，

???點P、。速度相同，

：.AP=BQ1

???Z?A8C是等邊三角形，

JZA=ZABC=ZGBQ=60°1

在aAPE和ABQG中，

YZAEP=ZBGβ=90o,

???/APE=/BQG,

：./XAPE^/XBQG(ΛAS),

：.AE=BG,PE=QG且PE〃QG,

四邊形PEQG是平行四邊形，

：.DE=-EG,

2

,.?EB+AE=βE+BG=AB,

：.DE=-AB,

2

又?.?等邊AABC的邊長為6,

.?DE=3,

故運動過程中線段ED的長始終為3.

7.(2020.樂清市月考)如圖所示，AABC中，AB=AC=BC=IO厘米，M、N分別從點A、點B同時出發(fā),

沿三角形的邊運動，已知點M的速度是1厘米/秒的速度，點N的速度是2厘米/秒，當點N第一次到達B

點時，M、N同時停止運動.設(shè)運動時間為f秒.

(I)M、N同時運動秒后，ΛΛN兩點重合？

(2)當0Vf<5時，ΛΛN同時運動兒秒后，可得等邊三角形AAMN?

(3)M、N在BC邊上運動時，能否得到以MN為底邊的等腰AAMN,如果存在，請求出此時〃、N運動

的時間，如果不存在請說明理由.

【解析】解：(1)M、N同時運動10秒后，點M、N重合;

故答案為10;

(2)如圖，

根據(jù)題意得:AM=t,BN=2t,K!]AN=lO-2t,

.*./=10-2t解得/=—；

f3

???當0V/V5時，M、N同時運動W秒后，可得等邊三角形AAMM

3

（3）M、N在8C邊上運動時，可以得到以MN為底邊的等腰三角形，理由如下:

由（1）知10秒時M、N兩點重合，恰好在。處.

如圖，

：.AN=AM

：.NAMN=/ANM

：./AMC=/ANB

YAB=BC=AC

???4ACB是等邊三角形

ΛZC=Zθ

在4ACM和^ABN中

9

JAC=AB,ZC=ZB1NAMC=NANB

，∕?ACM^ΛABN

：.CM=BN

設(shè)運動時間為y秒時，aAMN是等腰三角形

：.CM=y-10,∕VB=30-2y

Λ>,-10=30-2y,解得y=~

40

???當運動時間為?y秒時，M,N在BC上使AAMN為等腰三角形.

8.（2020.南京月考）在AbC中，ZBAC>90o,AB的垂直平分線交BC于M,交A3于E,AC的

垂直平分線交BC于N,交Ae于尸.

C

、、一/

B^~E?A

(1)若AB=AC,ZBAC=I20°,求證BM=MTV=NC；

(2)由(1)可知AAMN是_____三角形；

(3)去掉(1)中的“NfiAC=120?！钡臈l件，其他不變，判斷一AAW的形狀，并證明你的結(jié)論;

(4)當DB與NC滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系時，_A"N是等腰三角形？直接寫出所有可能的情況.

【答案】見解析.

【解析】解：(1)連接AM,AN,

VAB=AC,/BAC=120°

ΛZB=ZC=30o

"AB的垂直平分線交BC于M,AC的垂直平分線交BC于N,

：.BM=AM,CN=AN,

NC=NCAN=30。，N8=/8AM=30。，

ΛZAMN=60o,ZANM=60o

.?.NMAN=60°

.?.△AMN是等邊三角形

JAM=AN=MN

IBM=MN=CN

(2)等邊；

(3)等腰三角形，理由如下：

"JAB=AC,

ΛZB?ZG

,：AH的垂直平分線交BC于M,AC的垂直平分線交BC于N,

：.BM=AM,CN=AN,

：.ZC=ZCAN,NB=NBAM,

J∕AMN=24B,NANM=2/C

'：NB=NC

/./AMN=NANM,

：.AM=AN

...△AMN是等腰三角形

(4)NAMN=2NB,ZANM=2ZC,ZMA7√=180o-2ZB-2ZC,

①當AM=4V時?ZB=ZC;

②當MN=AN時，得2N8+NC=9O。；

③當MN=AM時，得/B+2NC=90o.

9.(2020?長沙月考)點P是邊長為3CT?的等邊AABC的邊AB上的動點，點P從點A出發(fā).沿線段AB向點

B運動.

m1圖2

(1)如圖1,若另一動點。從點3出發(fā)，沿線段BC向點C運動，如果動點P,Q都以IC〃而的速度同時出

發(fā)，設(shè)運動時問為f(s),連換AQ、CP交于點M,

①當f為何值時，APBQ是直角三角形?

②在P,。運動的過程中，NCMQ會發(fā)生變化嗎？若變化，則說明理由，若不變，則求出它的度數(shù).

(2)如圖2,若另一動點。從點C出發(fā)，沿射線BC方向運動，連接PQ交AC于點。，如果動點P,。都

以Icm/s的速度同時出發(fā)，設(shè)運動時間為f(s),連接PC,

①當/為何值時，AQCQ是等腰三角形？

②在點P,。的運動過程中，請?zhí)骄俊魇珻O和AQCD的面積之間的數(shù)量關(guān)系.

【答案】(I)①片1或2；②不發(fā)生變化，ZCΛ∕(2=60o;(2)①片1；②面積相等

【解析】解：(1)①當APBQ是直角三角形時，ZB=60o,BP=3-t,BQ=t

ZPQB=90o,llt?BP=IBQ

根據(jù)題意,得3√=2f

解得Ql

②當N8Pβ=90。時，此時8(2=2BP

根據(jù)題意，得X2(3Y)

解得：t=2

當片1或2時，APBQ是直角三角形；

②不發(fā)生變化，ZCM0=6Oo

AP=BQ

在^ABQ與ACAPψ,<ZAPQ=ZCAP

AB=CA

.?^ABQ^ΛCAP

：.ZBAQ^ZACP

：.ZMAC+ZMCA=ZMAC+ZBAQ=NcAF=60。

?.,ZCMQ=ZMAC+ZMCA

：./CMQ=/CAP=60。

故不發(fā)生變化，NCMQ=60。；

(2)①YNOCQ≈120。，當△DCQ是等腰三角形時，CD=CQ

二ZPDA=ZCDQ=ZCQD=30a

,:NA=60°

,NAPD=90°

：.AD=IAP,即A￡>=2/

,.,AC=AD+CD

Λ2z+r=3

解得Ul

故答案為廠1時，△OCQ是等腰三角形；

過P作尸E_LA￡>于E,過Q作QG_LA。于G,則PEQG

：.ZG=ZAEP

易證△EAPWXGCQ

：.PE=QG

Λ?PCD和4QCO同底等高

，△PCD和^QCD面積相等

故答案為4PCO和4QCZ)面積相等.

10.(2020?廣東惠來期末)如圖，在等邊AABC中，AB^6cm,動點P從點A出發(fā)以lcw∕s的速度沿A8勻

速運動.動點。同時從點C出發(fā)以同樣的速度沿BC的延長線方向勻速運動，當點尸到達點B時，點P、Q

同時停止運動.設(shè)運動時間為f(s).過點P作PEL4C于E,連接PQ交AC邊于D.以CQ、CE為邊作平

行四邊形CQFE.

(1)當f為何值時，PQ為直角三角形；

(2)是否存在某一時刻f,使點F在NABC的平分線上？若存在，求出，的值，若不存在，請說明理由；

(3)求。E的長.

【答案】(1)2；(2)存在，r=3；(3)3cm

【解析】解：(1)；ZVlBC是等邊三角形，

,ZB=60o,

,當BQ=2BP時，ZBPQ^90o,

.?.6+f=2(6-Z),

.?.f=2,

.?.f=2時，ABPQ是直角三角形.

(2)存在.理由：連接8/交AC于M.

ΛBF±ΛC,AM=CM^3cm,

?：EF//BQi

：.NEFM=NFBC=—NABC=30。,

2

AEF=2EM,

?*?Z=2?(3-—r),

2

解得尸3.

(3)過。作PK〃8C交AC于K.

???是等邊三角形，

,NB=NA=60。，

9

：PK//BCi

：.NAPK=NB=60。,

NA=NAPK=NAKP=60。，

???△APK是等邊三角形，

：.PA=PK1

???PELAK,

：.AE=EK.

YAP=CQ=PK,ZPKD=ZDCQfZPDK=ZQDC,

:.APKD二AQCD,

：.DK=DCy

：?DE=EK+DK=L(AK+CK)=-AC=3cm.

22

11.(2019?哈爾濱市月考)如圖，A(6,0),5(0,4),點8關(guān)于X軸的對稱點為。點，點。在X軸的負半軸

上，△A3。的面積是30.

(1)求點。坐標；

(2)若動點P從點8出發(fā)，沿射線BC運動，速度為每秒1個單位，設(shè)P的運動時間為f秒，4APC的面

積為S,求S與/的關(guān)系式.

【答案】見解析.

【解析】解：(1)由題意知，-ADBO=30,

2

ΛAD≈15,OD=9,

二點。坐標為(-9,0)；

(2)：點2(0,4)關(guān)于X軸的對稱點為C點，

；.點C坐標(0,?4),

二當0<z≤8時，S=-3t+24,

當介8時，S=3r-24

12.(2020?湖北襄州期末)已知等邊AABC的邊長為4cm,點P,。分別是直線AB,Be上的動點.

(1)如圖1,當點P從頂點A沿AB向8點運動，點。同時從頂點B沿BC向C點運動，它們的速度都為

IcMs,到達終點時停止運動.設(shè)它們的運動時間為f秒，連接4。，PQ.

①當r=2時，求NAQP的度數(shù).

②當/為何值時^PBQ是直角三角形?

(2)如圖2,當點P在8A的延長線上，。在BC上，若PQ=PC,請判斷AP,C。和AC之間的數(shù)量關(guān)系，

并說明理由.

【答案】見解析.

【解析】解：(1)①根據(jù)題意得AP=PB=8Q=C0=2,

???ZVlBC是等邊三角形，

：.AQA.BC,/5=60。，

???NAQB=90。，△BPQ是等邊三角形，

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