中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)之考點(diǎn)題型全歸納與分層精練（全國通用）：整式的乘除與因式分解(解析版)

專題04整式的乘除與因式分解

【專題目錄】

技巧1：活用乘法公式進(jìn)行計(jì)算的五種技巧

技巧2：運(yùn)用幕的運(yùn)算法則巧計(jì)算的常見類型

技巧3：因式分解的六種常見方法

【題型】一、鬲的運(yùn)算法則【題型】二、運(yùn)用幕的運(yùn)算法則比較大小

【題型】三、單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式【題型】四、單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式

【題型】五、多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式【題型】六、利用平方差公式求解

【題型】七、利用完全平方公式求解【題型】八、整式的運(yùn)算

【題型】九、因式分解

【考綱要求】

1、同底數(shù)賽的乘法運(yùn)算性質(zhì)的過程,感受賽的意義，發(fā)展推理能力和表達(dá)能力，提高計(jì)算能力.

2、了解整式的概念和有關(guān)法則，會(huì)進(jìn)行簡單的整式加、減、乘、除運(yùn)算.

3、會(huì)推導(dǎo)平方差公式和完全平方公式，會(huì)進(jìn)行簡單的計(jì)算；會(huì)用提公因式法、公式法進(jìn)行因式分解.

【考點(diǎn)總結(jié)】一、整式的乘除運(yùn)算

a"'-a"=ani+na，

嘉同底數(shù)累乘法(a^O)

m

a—￡

的同底數(shù)鬲除法7?=""n是正整數(shù)）°一〃〃

運(yùn)鬲的乘方(”=產(chǎn)"0)aMn=(aM)n

整

算積的乘方(ab)n=anhnanbn=(ah)n

式

乘法平方差公式(a+b)(a—b)=a2—b2a2—b2=(a+b)(a—b)

運(yùn)

公式完全平方公式(“士份2=*±2"+從c^±2ab+廿=(a±b)2

算

①整式的加減其實(shí)就是合并同類項(xiàng)；

整式

②整式加減的步驟：有括號(hào)，先去括號(hào)；有同類.項(xiàng)，再合并同類項(xiàng).注意去括號(hào)時(shí)，

加減

如果括號(hào)前面是負(fù)號(hào)，括號(hào)里各項(xiàng)的符號(hào)要變號(hào).

整式①單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘：把系數(shù)、同底數(shù)事分別相乘，作為積的因式，只在一個(gè)單項(xiàng)

乘法式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個(gè)因式.

②單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘：b-\~c）=ma+mb-\-mC.

③多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘：（〃?+〃）（〃+/?）=〃?a+血?

①單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式：把系數(shù)、同底數(shù)基相除，作為商的因式，對(duì)于只在被除式里含

整式

有的字母，則連同它的指數(shù)作為商的一個(gè)因式.

除法②多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式：（a+A）：加=，葉加+力：丸

【考點(diǎn)總結(jié)】二、因式分解

概念把一個(gè)多項(xiàng)式化成兒個(gè)整式的積的形式，叫做多項(xiàng)式的因式分解。和的形式變積的形式

提公因

因式油+mc=m（a+/;+c）（乘法分配律的運(yùn)用）

因式分式法

分解

解方法①運(yùn)用平方差公式：從=3+份（。一份.

公式法

②運(yùn)用完全平方公式：a2±2a〃+/=.m±b）2.

【注意】

1、因式分解的一般步驟

（1）如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式，那么先提取公因式。

（2）在各項(xiàng)提出公因式以后或各項(xiàng)沒有公因式的情況下，觀察多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)：2項(xiàng)式可以嘗試運(yùn)用公式法

分解因式；3項(xiàng)式可以嘗試運(yùn)用公式法、十字相乘法分解因式；4項(xiàng)式及4項(xiàng)式以上的可以嘗試分組分解法

分解因式

（3）分解因式必須分解到每一個(gè)因式都不能再分解為止。

2、因式分解的定義注意事項(xiàng)

1.分解對(duì)象是多項(xiàng)式，分解結(jié)果必須是積的形式，且積的因式必須是整式，這三個(gè)要素缺一不可：

2.因式分解必須是恒等變形；

3.因式分解必須分解到每個(gè)因式都不能分解為止.

因式分解與整式乘法是互逆變形，因式分解是把和差化為積的形式，而整式乘法是把積化為和差的形式.

3、提公因式法的注意事項(xiàng)

1）定系數(shù)：公因式的系數(shù)是多項(xiàng)式各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù)。

2）定字母：字母取多項(xiàng)式各項(xiàng)中都含有的相同的字母。

3）定指數(shù)：相同字母的指數(shù)取各項(xiàng)中最小的一個(gè)，即字母最低次幕。

4）查結(jié)果：最后檢查核實(shí)，應(yīng)保證含有多項(xiàng)式的因式中再無公因式。

【技巧歸納】

技巧1:活用乘法公式進(jìn)行計(jì)算的五種技巧

【類型】一、巧用乘法公式的變形求式子的值

1.已知(a+b)2=7,(a-b)2=4.求a?+b2和ab的值.

2.已知x+：=3,求x4+p的值.

【類型】二、巧用乘法公式進(jìn)行簡便運(yùn)算.

3.計(jì)算：

(1)1982；(2)20042；

【類型】三、巧用乘法公式解決整除問題

4.試說明：(n+7)2-(n-5)2(n為正整數(shù))能被24整除.

【類型】四、應(yīng)用乘法公式巧定個(gè)位數(shù)字

5.試求(2+1)(2?+1)(24+1)…(232+1)+1的個(gè)位數(shù)字.

【類型】五、巧用乘法公式解決復(fù)雜問題(換元法)

、1笞201820172

°,胃界201820162+201820l82-2ir,J1*'

參考答案

1.解：(a+b)2=a2+2ab+b2=7,

(a-b)2=a2—2a_b+b2=4

所以a2+b2=|x(7+4):=^xl1=*

113

金=產(chǎn)(7_4)=13=不

2.解：因?yàn)閤+}=3,所以(x+；)=X2+T5+2=9.

所以x?+±=7.所以.。^+塌=X4+^4+2=49.

所以X4+^4=47.

3.解：⑴原式=(200—2)2=20()2—800+4=39204.

(2)原式=(2000+4)2=20002+16000+16=4016016.

4.解：(n+7)2-(n—5)2

=(n+7+n-5)-(n+7—n+5)

=(2n+2)-12

=24(n+l).

因?yàn)閚為正整數(shù)，所以n+1為正整數(shù).

所以(n+7)2-(n-5)2能被24整除.

5.解：(2+1)(22+1)(24+1)...(2324-1)+1

=(2-1X2+1)(22+1)(24+1)...(232+1)+1

=(22-1)(22+1)(24+1)...(232+1)+1

=(2網(wǎng)-1)+1=264=(24)|6=1616.

因此個(gè)位數(shù)字是6.

6.解：設(shè)201820I7=.m,則原式

_____________nr___________

(m-1)2+(m+1)2—2

__________________nr________________

(m2—2m+1)+(ni?+2m+1)-2

一2，

技巧2：運(yùn)用幕的運(yùn)算法則巧計(jì)算的常見類型

【類型】一、運(yùn)用同底數(shù)導(dǎo)的乘法法則計(jì)算

題型1：底數(shù)是單項(xiàng)式的同底數(shù)幕的乘法

1.計(jì)算：

(l)a2-a3-a；(2)—a2-a5；(3)a4-(—a)5.

題型2：底數(shù)是多項(xiàng)式的同底數(shù)幕的乘法

2.計(jì)算：

(l)(x+2p”(x+2)5.(x+2)；

(2)(a-b)3.(b-a)4；

(3)(x-y)3.(y—x)5.

題型3：同底.數(shù)募的乘法法則的逆用

3.⑴已知2m=32,2n=4,求2m+n的值;

(2)己知2*=64,求2*+3的值.

【類型】二、運(yùn)用幕的乘方法則計(jì)算

題型1：直接運(yùn)用幕的乘方法則求字母的值

4.已知273x94=3*,求x的值.

題型2：逆用幕的乘方法則求字母式子的值

5.已知10，=2,10b=3,求l()3a+b的值

題型3：運(yùn)用幕的乘方解方程

6.解方程:5就

【類型】三、運(yùn)用積的乘方法則進(jìn)行計(jì)算

題型1：逆用積的乘方法則計(jì)算

7.用簡便方法計(jì)算：

(1)(-1|)XO.255X(1^X(-4)5；

(2)0.12520I7X(-82018).

題型2：運(yùn)用積的乘方法則求字母式子的值

8.若反戶;，郵=3,求(ab)4n的值.

【類型】四、運(yùn)用同底數(shù)基的除法法則進(jìn)行計(jì)算

題型1：運(yùn)用同底數(shù)幕的除法法則計(jì)算

9.計(jì)算：

(1)XIO-?XW；(2)(-X)7+X2+(-X)3;

(3)(m—n)町(n—m)3.

題型2：運(yùn)用同底數(shù)鬲的除法求字母的值

10.已知(X—l)x2：(x—1)=1,求X的值.

參考答案

1.解：(L)a%3.a=a6.

(2)—a2-a5=-a7.

(3)a4-(—a)5=—a9.

2.解：.(l)(x+2)3.(x+2)5?(x+2)=(x+2)

(2)(a—bp(b—a)4=(a—b)](a-b>=(a—b)J.

(3)(x-y)3-(y-x)5=(x-.y)3-[-(x-y)5]=.-(x-y)8.

3.解：(l)2m+n=2m-2n=32x4=128.

(2)2X+3=2X-23=8-2*=8x64=512.

4.解：273X94=(33)3X(32)4=39x38=317=3X,所以x=17.

5.解.：103i,+b=103a-10b=(10a)3-10b=23x3=24.

6.解：由原方程得

解得x=5.

7.解：⑴原式=(一￡)xQ)xg)x(-4)5

=(一弱)XftX(7)]

=.1x(-1)

=-l.

小2017

(2)原式X(-82017X8)

<1\2017

=0x(—820I.7)X8

=-(H2017x8

=-1x8

=-8.

8.解：因?yàn)閨a1=；,|b『=3,

9.解：(I)xl°+x4+x4=x2.

(2.)(—x)7-^x2-?(—x)3=—X74-X24-(—x3)=x?.

(3)(m—n)8+(n—m)3=(n—m)8-?(n—m)3=(n—m)5.

10.解：由原方程得(x-l)x2—l=l,

分三種情況：

①當(dāng)X2—1=0且X—1加時(shí).，(X—1)x2—1=1,此時(shí)X=-1.

②當(dāng)X-1=1時(shí)，(X-I)x2-I=l,此時(shí)x=2.

③當(dāng)x-l=-l且x2—1為偶數(shù)時(shí)，(X—1)x2—1=1.此種情況無解.

綜上所述，x的值為-1或2.

技巧3：因式分解的六種常見方法

【類型】一、提公因式法

題型1：公因式是單項(xiàng)式的因式分解

1.若多項(xiàng)式-12x2y3+16x3y2+4x?y2的一個(gè)因式是一4x?y2,則另一個(gè)因式是()

A.3y+4x—1B.3y—4x—1

C.3y—4x+1D.3y—4x

2.分解因式：2mx—6my=.

3.把下列各式分解因式：

(1)2x2—xy；

(2)—4m4n+16m'n—28m2n.

題型2：公因式是多項(xiàng)式的因式分解

4.把下列各式分解因式：

(l)a(b—c)+c—b；

(2)15b(2a-b)2+25(b—2a

【類型】二、公式法

題型1：直接用公式法

5.把下列各式分解因式：

(l)-16+x4y4；

(2)(x2+y2)2-4x2y2；

(3)(x2+6xr)2+18(X2+6X)+81.

題型2：先提再套法

6.把下列各式分解因式：

(l)(x-l)+b2(l-x)；

(2)-3X7+24X5-48X3.

題型3：先局部再整體法

7.分解因式：(X+3)(X+4)+(X2-9).

題型4：先展開再分解法

8.把下列各式分解因式：

(l)x(x+4)+4；

(2)4x(y—X)—y2.

【類型】三、分組分解法

9.把下列各式分解因式：

(l)m2—mn+mx—nx；

(2)4-x2+2xy-y2.

【類型】四、拆'添項(xiàng)法

10.分解因式：X4+；.

【類型】五、整體法

題型1：“提”整體

11.分解因式：a(x+y—z)—b(z—X—y)—c(x—z+y).

題型2：“當(dāng)''整體

12.分解因式：(x+y>-4(x+y—1).

題型3：“拆”整體

13.分解因式:ab(c2+d2)+cd(a2+b2).

題型4：“湊”整體

14.分解因式；X2—y2—4x+6y—5.

【類型】六、換元法

15.分解因式：

(l)(a2+2a-2)(a2+2a+4)+9；

(2)(b2-b+l)(b2-b+3)+l.

參考答案

1.B2.2m(x—3y)

3.解：⑴原式=x(2x—y).

(2)原式=-4m2n(m2—4m+7).

點(diǎn)撥：如果一個(gè)多項(xiàng)式第一項(xiàng)含有“一”,一般將“一”?并提出，但要注意括號(hào)里面的各項(xiàng)要改變

符號(hào).

4.解：(1)原式=2(1)一。)一(1)—<:)=(1)一口值-1).

(2)原式=15b(2a-b)2+25(2a-b)2=5(2a-b)2(3b+5).

點(diǎn)撥：將多項(xiàng)式中的某些項(xiàng)變形時(shí)，要注意符號(hào)的變化.

5.解：(1)原式=x,y4—16=(x2y?+4)(x2y2—4)=(x2y2+4)(xy+2)(xy—2).

(2)原式=(x2+y2+2xy)(x2+y2—2xy)=(rx+y)2(x—y)2.

(3)原式=(x?+6xr+9)2=[(x+3)2產(chǎn)=(x+3)4.

點(diǎn)撥：因式分解必須分解到不能再分解為止，如第⑵題不能分解到(x2+y?+2xy)(x2+y2—2xy)就結(jié)束了.

6.解：(1)原式=(x-l)—b2(x-l)

=(X-l)(l-b2)

=(x-l)(l+b)(l-b).

(2)原式=-3X3(X4-8X2+16)

=-3x3(x2—4)2

=-3X3(X+2)2(X-2)2.

7.解：原式=(x+3)(x+4)+(x+3)(x—3)

="(x+3)[(x+4)+(x—3)]

=(x+3)(2x+1).

點(diǎn)撥：解此題時(shí)，表面上看不能分解因式，但通過局部分解后，發(fā)現(xiàn)有公因式可以提取，從而將原多

項(xiàng)式因式分解.

8.解：(1)原式=X2+4X+4=(X+2)2.

(2)原式=4xy—4x2—y?=—.(4x2—4xy+y2)=—(2x—y產(chǎn).

點(diǎn)撥：通過觀察發(fā)現(xiàn)不能直接分解因式，但運(yùn)用整式乘法法則展開后，便可以運(yùn)用公式法因式分解.

9.解：(1)原式=(m2—mn)+(mx—nx)

=m(m—n)+x(m—n)

=(m-n)(m+x).

(2)原式=4—(x?—2xy+y2)

=22—(x—y)2

=(2+x-y)(2-x+y).

10.解：原式=x4+x2+；—X?

=9+'二2

點(diǎn)撥：此題直接分解因式很困難，考慮到添加輔助項(xiàng)使其符合公式特征，因此將原式添上X2與一X?兩

項(xiàng)后，便可通過分組使其符合乘法公式的結(jié)構(gòu)特征，從而將原多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解.

11.解：原式=a(x+y-°z)+b(x+y—z)-c(x+y-z)=(x+y-z)(a+b-c)?

12.解：原式=(x+y)2—4(x+y)+4

=(x+y—2)2.

點(diǎn)撥：本題把x+y這?整體當(dāng)作完全平方公式中的字母a.

13.解：=abc2+abd?+cda2+cdb2

=(abc2+cda2)+(abd2+cdb2)

=ac(bc+ad)+bd(ad+be)

=(be+ad)(ac+bd).

點(diǎn)撥：本題“拆”開原式中的兩個(gè)整體，重新分組，可謂“柳暗花明”，出現(xiàn)轉(zhuǎn)機(jī).

14.解：原式=(x?—4x+4)—(y?—6y+9)

=(x—2)2—(y—3)2

=(x+y—5)(x-y+1).

點(diǎn)撥：這里巧妙地把一5拆成4一9.“湊”成(x2-4x+4)和(y2—6y+9)兩個(gè)整體，從而運(yùn)用公式法分解因

式.

15.解：(1)設(shè)a?+2a=m,

則原式=(m—2)(m+4)+9

=m2+4m—2m—8+9

=m2+2m+l

=(m+I)2

=(a2+2a+1)2

=(a+l)4.

⑵設(shè)b2—b==n,

則原式=(n+l)(n+3)+l

=n2+3n+n+3+l

=n2+4n+4

=(n+2)2

=(b2-b+2)2.

【題型講解】

【題型】一、幕的運(yùn)算法則

例1、下列運(yùn)算正確的是()

A.a2-a3=a6B.o,-=ra=a3C.(a?)=a'D.(a%)=a4h2

【答案】D

【分析】根據(jù)幕的運(yùn)算法則逐一計(jì)算可得.

(詳解】解：A、/.,此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B、H+a=a2,此選項(xiàng)錯(cuò)誤;

C、(a2)3=?6,此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

D、(a%7=a"2,此選項(xiàng)正確；

故選：D.

【題型】二、運(yùn)用幕的運(yùn)算法則比較大小

例2、已知a=8P,b=274',C=961則a、b、c的大小關(guān)系是()

A.d>b>cB.d>c>bC.a<b<cD.b>c>a

【答案】A

【詳解】

324123

解：a=81'=3',b=3,c=96|=嚴(yán),a>b>c.

故選A.

【題型】三、單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式

例3、計(jì)算3"."的結(jié)果是()

A.4a,B.4a6C.3a5D.3a6

【答案】C

【分析】根據(jù)單項(xiàng)式乘法法則進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】3儲(chǔ)］=3。5,故選c.

【題型】四、單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式

例4、計(jì)算（一2根）2.（_”病+3根3）的結(jié)果是（）

A.8m5B.-8m5C.8m6D.-4m4+12m5

【答案】A

【分析】根據(jù)積的乘方以及合并同類項(xiàng)進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】原式=4m2原m3=8m5,故選A.

【題型】五.多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式

例5、計(jì)算（2尸3）（3x+4）的結(jié)果，與下列哪一個(gè)式子相同？（）

A.—7x+4B.—7x—12C.6*2—12D.6jc-x-n

【答案】D

【分析】由多項(xiàng)式乘法運(yùn)算法則：兩多項(xiàng)式相乘時(shí)，用一個(gè)多項(xiàng)式的各項(xiàng)去乘另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再

把所得的積相加，合并同類項(xiàng)后所得的式子就是它們的積.

【詳解】解：由多項(xiàng)式乘法運(yùn)算法則得

(2X-3)(3X+4)=6X2+8X-9X-12=6X2-X-12.

故選D.

【題型】六、利用平方差公式求解

例6、若（92-1）（1:—1）=8-10x12,則/=（）

k

A.12B.10C.8D.6

【答案】B

【分析】利用平方差公式變形即可求解.

【詳解】

原等式（少T）（"T）=8x10x12變形得:

k

(92-1)(112-1)

k=

8x10x12

_（9-1）（9+1）（11-1）（11+1）

8x10x12

8x10x10x12

8x10x12

=10.

故選：B.

【題型】七、利用完全平方公式求解

例7、若“+6=3,a2+b2=l,則浦=.

【答案】1

【分析】根據(jù)完全平方公式，可得答案.

【詳解】

(a+b)2=32=9,

(“+〃)2—a2+b2+2ah—9.

；a2+〃=7,

2ab—2,

ah—1,

故答案為I.

【題型】八、整式的運(yùn)算

例8、先化簡，再求值：(a+b)(q—6)+(〃+b)2—2/，其中。=3,b——

【分析】整式的乘法法則和除法法則是整式運(yùn)算的依據(jù)，必須在理解的基礎(chǔ)上加強(qiáng)記憶，并在運(yùn)算時(shí)靈活

運(yùn)用法則進(jìn)行計(jì)算.使用乘法公式時(shí)，要認(rèn)清公式中a,b所表示的兩個(gè)數(shù)及公式的結(jié)構(gòu)特征，不要犯類似

下面的錯(cuò)誤：(a+b)2=a2+b2,(a-b)2=a2-b2.

【詳解】

(a+h).(a—b)+(a+b)2—2a2=a2—h2+a2+2ab+h2—2a2=2ab,當(dāng)4=3,〃=一；時(shí)，2a/>=2x3x(一；)=—2.

【題型】九、因式分解

例9、分解因式：一x3—2f—x=.

【分析】由于多項(xiàng)式中有公因式一x,先提公因式再用公式法.一爐一2X2—x=-x(/+2x+l)=—x(x+l)2.

【詳解】-X(x+1>

因式分解的一般步驟：

(1)“一提”：先考慮是否有公因式，如果有公因式，應(yīng)先提公因式；

（2）“二套”：再考慮能否運(yùn)用公式法分解因式.一般根據(jù)多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)選擇公式，二項(xiàng)式考一慮用平方差公式,

三項(xiàng)式考慮用完全平方公式；

（3）分解因式，必須進(jìn)行到每一個(gè)多項(xiàng)式因式都不能再分解為止.

整式的乘除與因式分解（達(dá)標(biāo)訓(xùn)練）

一、單選題

1.（20234可北唐山?二模）若2X2X2XX2=4'，貝”〃=（）

〃+2

A.3B.4C.6D.8

【答案】B

【分析】由同底數(shù)事與哥的乘方的含義可得2/2=26,從而可得答案.

［詳解］解：2x2x2xx2=4',

n+2

\2n+2=26,

\n+2=6,

解得：〃=4.

故選B

【點(diǎn)睛】本題考查的是同底數(shù)幕的乘法的含義，幕的乘方運(yùn)算，熟練的運(yùn)用幕的運(yùn)算法則解決問題是關(guān)鍵.

2.（2022?福建省福州屏東中學(xué)三模）下列計(jì)算中，正確的是（）

A.（-a'L”6B.（仍。）=加,C.-a2-a3=a6D.（2叫

【答案】D

【分析】根據(jù)事的乘方和積的乘方法則，同底數(shù)輪的乘法法則逐項(xiàng)判斷即可.

【詳解】解：A、（-?2）3=-a6,原式錯(cuò)誤；

B、（蘇）=/6,原式錯(cuò)誤；

C、-a2-a3=-?5.原式錯(cuò)誤；

D、（2/『=4不，原式正確；

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了事的乘方和積的乘方，同底數(shù)轅的乘法.事的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘；積的乘方

等于把積的每一個(gè)因式分別乘方，再把所得的基相乘；同底數(shù)'幕相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加.

3.（2022?山東荷澤?三模）下列運(yùn)算正確的是（）

A.a2+a4=a6B.2a2-3a3=5a5C.=cfb'D.（tz+l）'=a2+1

【答案】C

【分析】依據(jù)合并同類項(xiàng)法則、同底數(shù)幕的乘法法則、積的乘方法則、完全平方公式進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】解：a?與/不是同類項(xiàng)，不能合并，故A錯(cuò)誤；

2az，益=（2x3）02+3=6/,故B錯(cuò)誤；

（4“了=a6Z/,故C正確；

（tz+1）2=</2+2a+l,故D錯(cuò)誤；

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查合并同類項(xiàng)法則、同底數(shù)幕的乘法法則、積的乘方法則、幕的乘方法則、完全平方

公式，熟練掌握相關(guān)法則是解題的關(guān)鍵.

4.（2022?浙江杭州?二模）分解因式4），2+”+1結(jié)果正確的是（）

A.（2y+l）2B.（2y-l）2C.（4y+l?D.（4y-l）2

【答案】A

【分析】直接利用完全平方公式分解因式得出答案.

【詳解】解：4）2+4）,+1=（2y+1）2.

故選：A.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了公式法分解因式，正確運(yùn)用完全平方公式分解因式是解題關(guān)鍵.

5.（2022?河北唐山?一模）如圖，邊長為。、b的長方形周長為10,面積為8,貝卜6+必2的值為（）

b

A.40

B.60

C.80

D.100

【答案】A

【分析】根據(jù)長方形周長C=2(a+b)和面積S=M分別求出必和。+〃的值，將代數(shù)式因式分解，把血和

a+匕的值分別代入即可求出。

【詳解】解：?邊長為。、b的長方形周長為10,面積為8,

/.2Ca+b)=10■ab=8,

:.a+b=5,

crb+ab2

=ab(a+b)

=8x5

=40.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解-提公因式法，考查了整體思想，整體代入求值是解題的關(guān)鍵.

二、填空題

6.(2022?廣東?東莞市萬江第三中學(xué)三模)若a+6=l,4-6=2022,則.

【答案】2022

【分析】根據(jù)平方差公式，即可求解.

【詳解】解：：a+b=l，a-b=2022,

(a+b)(a-h)=a2-h2=lx2022=2022.

故答案為：2022

【點(diǎn)睛】本題主要考查了平方差公式，熟練掌握平方差公式(。+6)(4-3=4-從是解題的關(guān)鍵.

7.(2022?廣東?廣州市華師附中番禺學(xué)校三模)分解因式：nr-9=.

【答案】(利+3)(祖一3)

【分析】根據(jù)平方差公式分解即可.

【詳解】熊9

=/772-32

=(zn+3)(m-3)

故答案為：(m+3)(m-3).

【點(diǎn)睛】本題主要考查了平方差公式分解因式，掌握平方差公式的特點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

三、解答題

8.（2020?吉林?模擬預(yù)測）先化簡，再求值：2a（l-2a）+（2a+l）（2a-l）,其中a=2.

【答案】2a-l,3

【分析】先根據(jù)單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式和平方差公式計(jì)算，再合并同類項(xiàng)，最后代值計(jì)算即可得到答案.

【詳解】原式=24-4/+4/-1=2〃一1.

當(dāng)a=2時(shí)，原式=3.

【點(diǎn)睛】此題考查了整式的混合運(yùn)算一化簡求值，熟練掌握運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵.

9.（2022?陜西?交大附中分校模擬預(yù)測）計(jì)算：+

【答案】2

【分析】直接利用平方差公式進(jìn)行運(yùn)算即可得到答案.

【詳解】解：+

=3-1

=2

【點(diǎn)睛】本題考查二次根式的混合運(yùn)算.理解二次根式的性質(zhì)，掌握平方差公式（。+3）（。-的結(jié)

構(gòu)是解題的關(guān)鍵.

10.（2022?河南南陽?一模）因式分解：2渥-8a

【答案】2a（x+2）（x-2）

【分析】根據(jù)題意綜合運(yùn)用提取公因式法和公式法進(jìn)行因式分解即可得出答案.

【詳解】解：2ax2-Sa

=2〃（爐一4）

=2a（x+2）（x-2）

【點(diǎn)睛】本題考查因式分解，熟練掌握并運(yùn)用提取公因式法和公式法進(jìn)行因式分解是解題的關(guān)鍵.

整式的乘除與因式分解（提升測評(píng)）

一、單選題

1.（2022?廣東北江實(shí)驗(yàn)學(xué)校三模）某同學(xué)做了四道題:①3，"+4〃=7研；②㈠/7=-8/；③6x6+2/=3/；

④V.個(gè)2=孫5,其中正確的題號(hào)是（）

A.①②B.②③C.③④D.②④

【答案】D

【分析】根據(jù)合并同類項(xiàng)法則可判斷①錯(cuò)誤，根據(jù)積的乘方運(yùn)算法則和累的乘方運(yùn)算法則可判斷②正確，

根據(jù)單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式和同底數(shù)基除法的運(yùn)算法則可判斷③錯(cuò)誤，根據(jù)單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式和同底數(shù)累乘法

的運(yùn)算法則可判斷④正確.

【詳解】解：①3m+4〃不是同類項(xiàng)不能合并，錯(cuò)誤.

②（一2/）'=（-2）3.（a2y=-8a2x3=-8a6，正確.

2

③61+2x2=（6+2）-（1+工）=3》6-2=3/，錯(cuò)誤.

④y3.孫2=孫3+2=江，正確.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了合并同類項(xiàng)法則，積的乘方，幕的乘方，單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式的運(yùn)

算法則，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

2.（2022?湖南?長沙市開福區(qū)青竹湖湘一外國語學(xué)校三模）下列運(yùn)算正確的是（）

A.（3a）'=6a2B.2a2+3a3=5a3

C.（-%+l）（-x-l）=x2-lD.（Tf+2x）+2x=-2x

【答案】C

【分析】直接利用積的乘方運(yùn)算法則、合并同類項(xiàng)法則、平方差公式和多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式運(yùn)算法則分別判

斷得出答案.

【詳解】解：A.（3〃）2=9/，故此選項(xiàng)不合題意；

B.2a2+3d不能合并，故此選項(xiàng)不合題意；

C.（-X+1）（-X-1）=A2-I,故此選項(xiàng)符合題意；

D.（-4x2+2x）+2x=-2x+l,故此選項(xiàng)不合題意.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了積的乘方運(yùn)算法則、合并同類項(xiàng)法則、平方差公式和多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式運(yùn)算法則，

正確掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵.

3.（2022.重慶中學(xué)三模）我們經(jīng)常利用完全平方公式以及變形公式進(jìn)行代數(shù)式變形.已知關(guān)于〃的

代數(shù)式A=/+a,請(qǐng)結(jié)合你所學(xué)知識(shí)，判斷下列說法正確的有（）個(gè)

①當(dāng)a=-2時(shí).，A=2；

②存在實(shí)數(shù)“，使得4+[<0;

4

③若4-1=0,則/+1=3；

④已知代數(shù)式A、B、C滿足A-8=6+百，B-C=y^-也,則42+82+C2-A8-AC-BC=18.

A.4B.3C.2D.1

【答案】B

【分析】利用代數(shù)式的值可判斷①，利用完全平方公式可判斷②，利用公式變形，整體代入求值可判斷③，

根據(jù)A-B=^+G，B-C=45-y[3,求出A-C=2行A2+B2+C2-AB-AC—BC配方得出

；便+石丫+g（6-6『+；（26J,然后代入求值可判斷④.

【詳解】解①當(dāng)。=—2時(shí)，A=（-2）2-2=2,故①正確；

②存在實(shí)數(shù).，使得＞0,故②不正確;

44I2）

③若4-1=0,

/+〃=1,當(dāng)。=0,。。1,

；?a。0,

a—=—1,

a

則a2+2=3；

故③正確;

④已知代數(shù)式A、B、C滿足4一8=6+6，B-C=亞-日

：.A-C=（A-8）+（8-。）=石+6+6-6=2逐

則A2+B2+C2-AB-AC-BC

+2B2+2C2-2AB-2AC-2BC）

=；（A-B）2+g（B-C）2+；（A-C）2

=g（6+可+；（2⑹-

=18；

故④正確，

正確的個(gè)數(shù)有3個(gè)，

故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查代數(shù)式求值，完全平方公式性質(zhì)，二次根式的混合運(yùn)算，掌握完全平方公式及其變形公

式，和代數(shù)式求值方法是解題關(guān)鍵.

4.（2022?山東淄博?模擬預(yù)測）已知x,y都為實(shí)數(shù)，則式子-3d+3xy+6x-V的最大值是（）

48

A.0B.2GC.—D.12

【答案】D

QQ

【分析】先提負(fù)號(hào)，再將3/拆成;配方，根據(jù)平方后完全平方的最小值為0,即可得答案.

44

【詳解】解：-3x2+3xy+6x-y2

3Q

=-（'/_6*+12+j/_30+/-12）,

3Q

="[（—x2-6x+12）+（—―-3燈+/）-12],

?.?要求原式的最大值，即求（乎x-2&y+（|x-y）2-12的最小值,

二gx-2舟=0,（|x-y）2=0,

解得：x=4,y=6,

.?.當(dāng)x=4,產(chǎn)6時(shí)，取得最小值為-12,

二式子-3/+3燈+6x-/的最大值是12,

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式應(yīng)用，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握完全平方公式，熟練配方.

5.（2022.上海靜安?二模）如果把二次三項(xiàng)式f+2x+c分解因式得X+2x+c=（x—l）（x+3）,那么常數(shù)c的

值是（）

A.3B.-3C.2D.-2

【答案】B

【分析】將因式分解的結(jié)果用多項(xiàng)式乘法的展開，其結(jié)果與二次三項(xiàng)式比較即可求解.

【詳解】解：VX2+2X+C=（X-1）（X+3）

?,x~+2x+c=x~+2x—3

故c=—3

故選B

【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解，多項(xiàng)式的乘法運(yùn)算，掌握多項(xiàng)式乘法與因式分解的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

二、填空題

6.（2022.山東淄博?二模）已知10,=20,100'=50,則x+2y=.

【答案】3

【分析】由