2023年四川省涼山州數(shù)學(xué)中考真題試卷(解析版)

2023年四川省涼山州數(shù)學(xué)中考真題試卷及答案試卷滿分150分考試時(shí)間120分鐘A卷（共100分）第Ⅰ卷選擇題（共48分）一、選擇題（共12小題，每小題4分，共48分）在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一項(xiàng)是正確的，請(qǐng)把正確選項(xiàng)的字母填涂在答題卡上相應(yīng)的位置．1.下列各數(shù)中，為有理數(shù)的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】根據(jù)立方根、無理數(shù)與有理數(shù)的概念即可得．解：A.，是有理數(shù)，則此項(xiàng)符合題意；B.是無限不循環(huán)小數(shù)，是無理數(shù)，則此項(xiàng)不符合題意；C.是無理數(shù)，則此項(xiàng)不符合題意；D.是無理數(shù)，則此項(xiàng)不符合題意；故選：A．【點(diǎn)撥】本題考查了立方根、無理數(shù)與有理數(shù)，熟記無理數(shù)與有理數(shù)的概念是解題關(guān)鍵．2.如圖是由4個(gè)相同的小立方體堆成的幾何體的俯視圖，小正方形中的數(shù)字表示該位置小立方體的個(gè)數(shù)，則這個(gè)幾何體的主視圖是（）【答案】B【解析】根據(jù)俯視圖可確定主視圖的列數(shù)和小正方形的個(gè)數(shù)，即可解答解:由俯視圖可得主視圖有2列組成，左邊一列由2個(gè)小正方形組成，右邊一列由1個(gè)小正方形組成。故選：B．【點(diǎn)撥】本題考查了由三視圖判斷幾何體的知識(shí)，由幾何體的俯視圖可確定該幾何體的主視圖和左視圖，要熟練掌握．3.若一組數(shù)據(jù)的方差為2，則數(shù)據(jù)的方差是（）A.2 B.5 C.6 D.11【答案】A【解析】根據(jù)方差的定義進(jìn)行求解，方差是用來衡量一組數(shù)據(jù)波動(dòng)大小的量，每個(gè)數(shù)都加3，所以波動(dòng)不會(huì)變，方差不變．解：當(dāng)數(shù)據(jù)都加上一個(gè)數(shù)（或減去一個(gè)數(shù)）時(shí)，平均數(shù)也加或減這個(gè)數(shù)，設(shè)原平均數(shù)為，現(xiàn)在的平均數(shù)為，原來的方差，現(xiàn)在的方差，，．故選：A．【點(diǎn)撥】本題考查了方差的定義．當(dāng)數(shù)據(jù)都加上一個(gè)數(shù)（或減去一個(gè)數(shù)）時(shí)，平均數(shù)也加或減這個(gè)數(shù)，方差不變，即數(shù)據(jù)的波動(dòng)情況不變；當(dāng)數(shù)據(jù)都乘以一個(gè)數(shù)（或除以一個(gè)數(shù)）時(shí)，平均數(shù)也乘以或除以這個(gè)數(shù)，方差變?yōu)檫@個(gè)數(shù)的平方倍．4.下列計(jì)算正確的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】利用同底數(shù)冪的乘法法則，合并同類項(xiàng)法則，冪的乘方法則，積的乘方法則和完全平方公式分別計(jì)算，即可得出正確答案．解：A．，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤，不合題意；B．，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤，不合題意；C．，故該選項(xiàng)正確，符合題意；D．，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤，不合題意；故選：C．【點(diǎn)撥】本題考查同底數(shù)冪的乘法、合并同類項(xiàng)、冪的乘方，積的乘方和完全平方公式等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握各項(xiàng)運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．5.2022年12月26日，成昆鐵路復(fù)線全線貫通運(yùn)營．據(jù)統(tǒng)計(jì)12月26日至1月25日，累計(jì)發(fā)送旅客萬人次．將數(shù)據(jù)萬用科學(xué)記數(shù)法表示的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】科學(xué)記數(shù)法的表現(xiàn)形式為的形式，其中，n為整數(shù)，確定n的值時(shí)，要看把原數(shù)變成a時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，n的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同，當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值大于等于10時(shí)，n是正數(shù)，當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值小于1時(shí)n是負(fù)數(shù)；由此進(jìn)行求解即可得到答案．解：萬，故選B．【點(diǎn)撥】本題主要考查了科學(xué)記數(shù)法，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握科學(xué)記數(shù)法的定義．6.點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】根據(jù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)，橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)都互為相反數(shù)，可得答案．解：點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是，故選D．【點(diǎn)撥】本題考查關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)，解題的關(guān)鍵是記住“關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)，橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)都互為相反數(shù)”．7.光線在不同介質(zhì)中的傳播速度是不同的，因此光線從水中射向空氣時(shí)，要發(fā)生折射．由于折射率相同，所以在水中平行的光線，在空氣中也是平行的．如圖，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】根據(jù)平行線的性質(zhì)，兩直線平行，同位角相等或同旁內(nèi)角互補(bǔ)，即可求出答案.解：如圖所示，，光線在空氣中也平行，，.，，..故選：C.【點(diǎn)撥】本題考查了平行線的性質(zhì)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵在于熟練掌握平行線的性質(zhì).8.分式的值為0，則的值是（）A.0 B. C.1 D.0或1【答案】A【解析】根據(jù)分式值為0的條件進(jìn)行求解即可．解：∵分式的值為0，∴，解得，故選A．【點(diǎn)撥】本題主要考查了分式值為0的條件，熟知分式值為0的條件是分子為0，分母不為0是解題的關(guān)鍵．9.如圖，在和中，點(diǎn)E.F在上，，，添加下列條件仍無法證明的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】根據(jù)，可得，再根據(jù)全等三角形的判定方法，逐項(xiàng)判斷即可求解．解：∵，∴，∵，A.添加，可利用角邊角證明，故本選項(xiàng)不符合題意；B.添加，可利用邊角邊證明，故本選項(xiàng)不符合題意；C.添加，可利用角角邊證明，故本選項(xiàng)不符合題意；D.添加，無法證明，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：D【點(diǎn)撥】本題主要考查了全等三角形的判定，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．10.如圖，在等腰中，，分別以點(diǎn)點(diǎn)為圓心，大于為半徑畫弧，兩弧分別交于點(diǎn)和點(diǎn)，連接，直線與交于點(diǎn)，連接，則的度數(shù)是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】先根據(jù)等邊對(duì)等角求出，由作圖方法可知，是線段的垂直平分線，則，可得，由此即可得到．解：∵在等腰中，，，∴，由作圖方法可知，是線段的垂直平分線，∴，∴，∴，故選B．【點(diǎn)撥】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)與判定，線段垂直平分線的尺規(guī)作圖，三角形內(nèi)角和定理等等，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．11.如圖，在中，，則（）A.1 B.2 C. D.4【答案】B【解析】連接，由圓周角定理得，由得，，，在中，由，計(jì)算即可得到答案．解：連接，如圖所示，，，，，，，在中，，，故選：B．【點(diǎn)撥】本題主要考查了圓周角定理，垂徑定理，解直角三角形，解題關(guān)鍵是熟練掌握?qǐng)A周角定理，垂徑定理，添加適當(dāng)?shù)妮o助線．12.已知拋物線的部分圖象如圖所示，則下列結(jié)論中正確的是（）A. B. C. D.（為實(shí)數(shù)）【答案】C【解析】根據(jù)開口方向，與y軸交于負(fù)半軸和對(duì)稱軸為直線可得，，由此即可判斷A；根據(jù)對(duì)稱性可得當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，由此即可判斷B.C；根據(jù)拋物線開口向上，對(duì)稱軸為直線，可得拋物線的最小值為，由此即可判斷D．解：∵拋物線開口向上，與y軸交于負(fù)半軸，∴，∵拋物線對(duì)稱軸為直線，∴，∴，∴，故A中結(jié)論錯(cuò)誤，不符合題意；∵當(dāng)時(shí)，，拋物線對(duì)稱軸為直線，∴當(dāng)時(shí)，，∴，故B中結(jié)論錯(cuò)誤，不符合題意；∵當(dāng)時(shí)，，拋物線對(duì)稱軸為直線，∴當(dāng)時(shí)，，∴，又∵，∴，故C中結(jié)論正確，符合題意；∵拋物線對(duì)稱軸為直線，且拋物線開口向上，∴拋物線的最小值為，∴，∴，故D中結(jié)論錯(cuò)誤，不符合題意；故選C．【點(diǎn)撥】本題主要考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)圖象的性質(zhì)等等，熟練掌握二次函數(shù)的相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．第Ⅱ卷非選擇題（共52分）二、填空題（共5個(gè)小題，每小題4分，共20分）13.計(jì)算_________．【答案】【解析】根據(jù)零指數(shù)冪、二次根式的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可．．故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，二次根式的性質(zhì)等知識(shí)，掌握任何一個(gè)不為零的數(shù)的零次冪都是1是解題的關(guān)鍵．14.已知是完全平方式，則的值是_________．【答案】【解析】根據(jù)，計(jì)算求解即可．解：∵是完全平方式，∴，解得，故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查了完全平方公式．解題的關(guān)鍵在于熟練掌握：．15.如圖，的頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是．則頂點(diǎn)的坐標(biāo)是_________．【答案】【解析】根據(jù)“平行四邊形的對(duì)邊平行且相等的性質(zhì)”得到點(diǎn)的縱坐標(biāo)與點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，且，即可得到結(jié)果．解：在中，，，，，點(diǎn)的縱坐標(biāo)與點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，，故答案為：．【點(diǎn)撥】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)和坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，此題充分利用了“平行四邊形的對(duì)邊相等且平行”的性質(zhì)．16.不等式組的所有整數(shù)解的和是_________．【答案】7【解析】先分別解不等式組中的兩個(gè)不等式，得到不等式組的解集，再確定整數(shù)解，最后求和即可．解：，由①得：，∴，解得：；由②得：，整理得：，解得：，∴不等式組的解集為：，∴不等式組的整數(shù)解為：，，0，1，2，3，4；∴，故答案為：7【點(diǎn)撥】本題考查的是求解一元一次不等式組的整數(shù)解，熟悉解一元一次不等式組的方法與步驟是解本題的關(guān)鍵．17.如圖，在紙片中，，是邊上的中線，將沿折疊，當(dāng)點(diǎn)落在點(diǎn)處時(shí)，恰好，若，則_________．【答案】【解析】由，，是邊上的中線，可知，則，由翻折的性質(zhì)可知，，，則，如圖，記與的交點(diǎn)為，，由，可得，根據(jù)，計(jì)算求解即可．解：∵，，是邊上的中線，∴，∴，由翻折性質(zhì)可知，，，∴，如圖，記與的交點(diǎn)為，∵，∴，∵，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查了直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半，翻折的性質(zhì)，等邊對(duì)等角，三角形內(nèi)角和定理，正切．解題的關(guān)鍵在于對(duì)知識(shí)的熟練掌握與靈活運(yùn)用．三、解答題（共5小題，共32分）解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．18.先化簡(jiǎn)，再求值：，其中，．【答案】，【解析】根據(jù)，，單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則進(jìn)行展開，再加減運(yùn)算，代值計(jì)算即可．解：原式．當(dāng)，時(shí)，原式．【點(diǎn)撥】本題考查了化簡(jiǎn)求值問題，完全平方公式、平方差公式，單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則，掌握公式及法則是解題的關(guān)鍵．19.解方程：．【答案】【解析】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到的值，經(jīng)檢驗(yàn)即可得到分式方程的解．解：方程兩邊同乘，得，整理得，，∴，解得：，，檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，，是增根，當(dāng)時(shí)，，原方程的解為．【點(diǎn)撥】本題考查了分式方程的解法，屬于基本題型，熟練掌握解分式方程的方法是解題關(guān)鍵．20.2023年“五一”期間，涼山旅游景點(diǎn)，人頭攢動(dòng)，熱鬧非凡，州文廣旅局對(duì)本次“五一”假期選擇瀘沽湖、會(huì)理古城、螺髻九十九里、邛海滬山風(fēng)景區(qū)（以下分別用表示）游客人數(shù)進(jìn)行了抽樣調(diào)查，并將調(diào)查情況繪制成如下不完整的兩幅統(tǒng)計(jì)圖．請(qǐng)根據(jù)以上信息回答：（1）本次參加抽樣調(diào)查的游客有多少人？（2）將兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整；（3）若某游客隨機(jī)選擇四個(gè)景區(qū)中的兩個(gè)，用列表或畫樹狀圖的方法，求他第一個(gè)景區(qū)恰好選擇的概率．【答案】（1）600人（2）見解析（3）【解析】（1）用選擇B景區(qū)的人數(shù)除以其人數(shù)占比即可求出參與調(diào)查的游客人數(shù)；（2）先求出選則C景區(qū)的人數(shù)和選擇A景區(qū)的人數(shù)占比，再求出選擇C景區(qū)的人數(shù)占比，最后補(bǔ)全統(tǒng)計(jì)圖即可；（3）先畫出樹狀圖得到所有等可能性的結(jié)果數(shù)，然后找到他第一個(gè)景區(qū)恰好選擇的結(jié)果數(shù)，最后依據(jù)概率計(jì)算公式求解即可．【小問1詳解】解：人，∴本次參加抽樣調(diào)查的游客有600人；【小問2詳解】解：由題意得，選擇C景區(qū)的人數(shù)為人，選擇A景區(qū)的人數(shù)占比為，∴選擇C景區(qū)的人數(shù)占比為補(bǔ)全統(tǒng)計(jì)圖如下：【小問3詳解】解：畫樹狀圖如下：由樹狀圖可知，一共有12種等可能性的結(jié)果數(shù)，其中他第一個(gè)景區(qū)恰好選擇的結(jié)果數(shù)有3種，∴他第一個(gè)景區(qū)恰好選擇的概率為．【點(diǎn)撥】本題主要考查了扇形統(tǒng)計(jì)圖與條形統(tǒng)計(jì)圖信息相關(guān)聯(lián)，樹狀圖法或列表法求解概率，正確讀懂統(tǒng)計(jì)圖和畫出樹狀圖是解題的關(guān)鍵．21.超速容易造成交通事故．高速公路管理部門在某隧道內(nèi)的兩處安裝了測(cè)速儀，該段隧道的截面示意圖如圖所示，圖中所有點(diǎn)都在同一平面內(nèi)，且在同一直線上．點(diǎn)、點(diǎn)到的距離分別為，且，在處測(cè)得點(diǎn)的俯角為，在處測(cè)得點(diǎn)的俯角為，小型汽車從點(diǎn)行駛到點(diǎn)所用時(shí)間為．（1）求兩點(diǎn)之間的距離（結(jié)果精確到）；（2）若該隧道限速80千米/小時(shí)，判斷小型汽車從點(diǎn)行駛到點(diǎn)是否超速？并通過計(jì)算說明理由．（參考數(shù)據(jù)：）【答案】（1）（2）小型汽車從點(diǎn)行駛到點(diǎn)沒有超速．【解析】（1）證明四邊形為矩形，可得，結(jié)合，，，可得，，再利用線段的和差關(guān)系可得答案；（2）先計(jì)算小型汽車的速度，再統(tǒng)一單位后進(jìn)行比較即可．【小問1詳解】解：∵點(diǎn)、點(diǎn)到的距離分別為，∴，，而，∴，∴四邊形為矩形，∴，由題意可得：，，，∴，，∴【小問2詳解】∵小型汽車從點(diǎn)行駛到點(diǎn)所用時(shí)間為．∴汽車速度為，∵該隧道限速80千米/小時(shí)，∴，∵，∴小型汽車從點(diǎn)行駛到點(diǎn)沒有超速．【點(diǎn)撥】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用，理解俯角的含義，熟練的運(yùn)用銳角三角函數(shù)解題是關(guān)鍵．22.如圖，在中，對(duì)角線與相交于點(diǎn)，，過點(diǎn)作交于點(diǎn)．（1）求證：；（2）若，，求的長．【答案】（1）見詳解（2）【解析】（1）可證，從而可證四邊形是菱形，即可得證；（2）可求，再證，可得，即可求解．【小問1詳解】證明：，，四邊形是平行四邊形，四邊形是菱形，．【小問2詳解】解：四邊形是平行四邊形，，，，，，，，，，，解得：．【點(diǎn)撥】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，菱形的判定及性質(zhì)，勾股定理，三角形相似的判定及性質(zhì)，掌握相關(guān)的判定方法及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．B卷（共50分）四、填空題（共2小題，每小題5分，共10分）23.已知，則的值等于_________．【答案】2023【解析】把化為：代入降次，再把代入求值即可．解：由得：，，，故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查的是代數(shù)式的求值，找到整體進(jìn)行降次是解題的關(guān)鍵．24.如圖，邊長為2的等邊的兩個(gè)頂點(diǎn)分別在兩條射線上滑動(dòng)，若，則的最大值是_________．【答案】##【解析】如圖所示，取的中點(diǎn)D，連接，先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和勾股定理求出，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到，再由可得當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，有最大值，最大值為．解：如圖所示，取的中點(diǎn)D，連接，∵是邊長為2的等邊三角形，∴，∴，∴，∵，即，∴，∵，∴當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，有最大值，最大值為，故答案為：．【點(diǎn)撥】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理，直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)等等，正確作出輔助線確定當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，有最大值是解題的關(guān)鍵．五、解答題（共4小題，共40分）25.涼山州雷波縣是全國少有的優(yōu)質(zhì)臍橙最適生態(tài)區(qū)．經(jīng)過近20年的發(fā)展，雷波臍橙多次在中國西部農(nóng)業(yè)博覽會(huì)上獲得金獎(jiǎng)，雷波縣也被譽(yù)名為“中國優(yōu)質(zhì)臍橙第一縣”，某水果商為了解雷波臍橙的市場(chǎng)銷售情況，購進(jìn)了雷波臍橙和資中血橙進(jìn)行試銷．在試銷中，水果商將兩種水果搭配銷售，若購買雷波臍橙3千克，資中血橙2千克，共需78元人民幣；若購買雷波臍橙2千克，資中血橙3千克，共需72元人民幣．（1）求雷波臍橙和資中血橙每千克各多少元？（2）一顧客用不超過1440元購買這兩種水果共100千克，要求雷波臍橙盡量多，他最多能購買雷波臍橙多少千克？【答案】（1）雷波臍橙和資中血橙每千克分別為18元，12元．（2）最多能購買雷波臍橙40千克．【解析】（1）設(shè)雷波臍橙和資中血橙每千克分別為元，元，購買雷波臍橙3千克，資中血橙2千克，共需78元人民幣；若購買雷波臍橙2千克，資中血橙3千克，共需72元人民幣，再建立方程組即可；（2）設(shè)最多能購買雷波臍橙千克，根據(jù)顧客用不超過1440元購買這兩種水果共100千克，再建立不等式即可．【小問1詳解】解：設(shè)雷波臍橙和資中血橙每千克分別為元，元，則，①+②得；，則③把③代入①得：，把③代入②得：，∴方程組的解為：，答：雷波臍橙和資中血橙每千克分別為18元，12元．【小問2詳解】設(shè)最多能購買雷波臍橙千克，則，∴，解得：，答：最多能購買雷波臍橙40千克．【點(diǎn)撥】本題考查的是二元一次方程組的應(yīng)用，一元一次不等式的應(yīng)用，確定相等關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．26.閱讀理解題：閱讀材料：如圖1，四邊形是矩形，是等腰直角三角形，記為、為，若，則．證明：設(shè)，∵，∴，易證∴，∴∴，若時(shí)，當(dāng)，則．同理：若時(shí)，當(dāng)，則．根據(jù)上述材料，完成下列問題：如圖2，直線與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．將直線繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后的直線與軸交于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，已知．（1）求反比例函數(shù)的解析式；（2）直接寫出的值；（3）求直線的解析式．【答案】（1）（2），（3）【解析】（1）首先求出點(diǎn)，然后設(shè)，在中，利用勾股定理求出，得到，然后代入求解即可；（2）首先根據(jù)，得到，，求出，，然后利用正切值的概念求出，然后證明出四邊形是矩形，得到，然后由即可求出；（3）首先根據(jù)矩形的性質(zhì)得到，，然后利用求出，進(jìn)而得到，然后設(shè)直線的解析式為，利用待定系數(shù)法將和代入求解即可．【小問1詳解】將代入得，，∴，∵直線與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)，∴設(shè)，∵，，∴在中，，∴，∴解得，，∵點(diǎn)A的橫坐標(biāo)要大于點(diǎn)B的橫坐標(biāo)，∴應(yīng)舍去，∴，∴，∴將代入，解得；∴反比例函數(shù)的解析式為；【小問2詳解】∵，，∴，，∴，，∵，∴，∵，，∴四邊形是矩形，∴，∵將直線繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后的直線與軸交于點(diǎn)，∴，∴，∵，∴；【小問3詳解】∵四邊形是矩形，∴，，∵，，∴，即，∴解得，∴，∴，∴設(shè)直線的解析式為，∴將和代入得，，∴解得，∴直線的解析式為．【點(diǎn)撥】此題考查了反比例函數(shù)，一次函數(shù)和幾何綜合題，矩形的性質(zhì)，解直角三角形，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確理解材料的內(nèi)容．27.如圖，是的直徑，弦，垂足為點(diǎn)，點(diǎn)是延長線上一點(diǎn)，，垂足為點(diǎn)，．（1）求證：是的切線；（2）若，求的半徑和的長．【答案】（1）證明見解析（2）半徑為3，的長為【解析】（1）先根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，從而可得，然后根據(jù)圓的切線的判定即可得證；（2）設(shè)的半徑為，則，，在中，利用勾股定理求解即可得；根據(jù)相似三角形的判定可得，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得．【小問1詳解】證明：如圖，連接，弦，，，，，，，即，，又是的半徑，是的切線．【小問2詳解】解：如圖，連接，設(shè)的半徑為，則，，，在中，，即，