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2024年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第7章:立體幾何學(xué)生版
一、單項(xiàng)選擇題
1.如圖,用斜二測(cè)畫法作水平放置的正三角形4SG的直觀圖,則正確的圖形是()
2.下列四個(gè)命題中,正確的是()
A.各側(cè)面都是全等四邊形的棱柱一定是正棱柱
B.對(duì)角面是全等矩形的六面體一定是長(zhǎng)方體
C.有兩側(cè)面垂直于底面的棱柱一定是直棱柱
D.長(zhǎng)方體一定是直四棱柱
3.從平面外一點(diǎn)尸引與平面相交的直線,使尸點(diǎn)與交點(diǎn)的距離等于1,則滿足條件的直線可
能有()
A.0條或1條B.0條或無(wú)數(shù)條
C.1條或2條D.0條或1條或無(wú)數(shù)條
4.已知心,”表示兩條不同的直線,a,夕表示兩個(gè)不同的平面,則下列命題中正確的是()
A.若小〃a,〃丄夕,m//n,則a丄4
B.若機(jī)丄〃,機(jī)丄a,n//P,貝ija〃尸
C.若a丄£,m丄a,m丄”,則〃〃£
D.若a丄0,a(yp=tn,"丄機(jī),則“丄萬(wàn)
5.已知直線a,b,/和平面a,£,a^a,bu‘,aCi/3—l,且a丄及對(duì)于以下命題,判斷正確
的是()
①若a,6異面,則a,6至少有一個(gè)與/相交;
②若a,b垂直,則a,6至少有一個(gè)與/垂直.
A.①是真命題,②是假命題
B.①是假命題,②是真命題
C.①是假命題,②是假命題
D.①是真命題,②是真命題
第1頁(yè)共14頁(yè)
6.(2023?徐州模擬)圓柱形玻璃杯中盛有高度為10cm的水,若放入一個(gè)玻璃球(球的半徑與
圓柱形玻璃杯內(nèi)壁的底面半徑相同)后,水恰好淹沒(méi)了玻璃球,則玻璃球的半徑為()
A.—cmB.15cmC.Kh/3cmD.20cm
3
7.蹴鞠,又名蹴球,踢圓等,蹴有用腳蹴、踢、蹋的含義,鞠最早系外包皮革、內(nèi)實(shí)米糠的
球.因而蹴鞠就是指古人以腳蹴、蹋、踢皮球的活動(dòng),類似今日的足球.2006年5月20日,
蹴鞠已作為非物質(zhì)文化遺產(chǎn)經(jīng)國(guó)務(wù)院批準(zhǔn)列入第一批國(guó)家非物質(zhì)文化遺產(chǎn)名錄.已知某鞠的
表面上有五個(gè)點(diǎn)P,A,B,C,。恰好構(gòu)成一正四棱錐尸一/8C。,若該棱錐的高為8,底面
邊長(zhǎng)為4/,則該鞠的表面積為()
A.64兀B.100兀C.132兀D.144兀
8.某同學(xué)畫“切面圓柱體”(用與圓柱底面不平行的平面切圓柱,底面與切面之間的部分叫
做切面圓柱體),發(fā)現(xiàn)切面與圓柱側(cè)面的交線是一個(gè)橢圓(如圖所示).若該同學(xué)所畫的橢圓的
離心率為最則“切面”所在平面與底面所成的角為()
A.—B.-C.-D.-
12643
9.(2023?安慶模擬)已知球。的半徑為R,A,B,C三點(diǎn)在球。的球面上,球心O到平面
N8C的距離為AB=AC=S,/A4C=120。,則球。的表面積為()
A.48TIB.16兀C.3237tD.yTt
10.(2022?北京模擬)在通用技術(shù)教室里有一個(gè)三棱錐木塊如圖所示,VA,VB,-C兩兩垂直,
及1=%8=%?=1(單位:dm),小明同學(xué)計(jì)劃通過(guò)側(cè)面以(C內(nèi)任意一點(diǎn)P將木塊鋸開(kāi),使截
面平行于直線K8和4C,則該截面面積(單位:dn?)的最大值是()
A.-dm2
4
C.亜dm2
D.-dm2
44
第2頁(yè)共14頁(yè)
二、多項(xiàng)選擇題
II.如圖所示,在正方體/BCD—小SCQi中,£是平面力的中心,M,N,尸分別是
BC,CG,的中點(diǎn),則下列說(shuō)法正確的是()
A.MN^-EF
2
B.MN^-EF
2
C.MN與EF異面
D.MN與EF平行
12.(2023?忻州模擬)如圖,已知在邊長(zhǎng)為6的菱形4BCD中,NBAD=6。。,點(diǎn)E,F分別是
線段8c上的點(diǎn).且Z£=8E=2.將四邊形Z8FE沿£尸翻折,當(dāng)折起后得到的幾何體
一8打。的體積最大時(shí),給出下列說(shuō)法,其中正確的說(shuō)法有()
A.ADA.EF
B.BC〃平面NDE
C.平面。EFC丄平面/8尸£
D.平面/DE丄平面尸E
三、填空題
13.(2023?榆林模擬)在四棱錐P-/8C。中,底面/8C。是矩形,以丄底面Z8C。,且刈=
AB,4。=布”,貝iJtan//PC=.
14.(2022?安慶模擬)如圖,在三棱錐尸一N8C中,點(diǎn)。為N8的中點(diǎn),點(diǎn)P在平面48c內(nèi)的
射影恰為08的中點(diǎn)E,已知NB=2PO=2,點(diǎn)C到。尸的距離為3,則當(dāng)最大時(shí),
直線PC與平面PAB所成角的大小為.
15.如圖所示,在長(zhǎng)方體48。。一481GA中,/8=3,AD=4,4小=5,點(diǎn)E是棱CG上的
一個(gè)動(dòng)點(diǎn),若平面5EA交棱/小于點(diǎn)F,則四棱錐歷一BE。尸的體積為,截面四
第3頁(yè)共14頁(yè)
邊形BEGF的周長(zhǎng)的最小值為.
16.(2023?北京模擬)如圖,正方體的棱長(zhǎng)為2,點(diǎn)O為底面/BCD的中心,
點(diǎn)尸在側(cè)面5SCC的邊界及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng).給出下列四個(gè)結(jié)論:
A,
A
①丄4C;
②存在一點(diǎn)P,D\O〃B\P:
③若GO丄。尸,則△AGP面積的最大值為近;
④若P到直線AG的距離與到點(diǎn)B的距離相等,則P的軌跡為拋物線的一部分.
其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是.
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2024年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第7章:立體幾何教師版
一、單項(xiàng)選擇題
1.如圖,用斜二測(cè)畫法作水平放置的正三角形的直觀圖,則正確的圖形是()
G
A
答案A
解析以0G所在直線為x軸,以SG邊上的高為y軸建立坐標(biāo)系,畫對(duì)應(yīng)的『,),'軸,
使夾角為45。,畫直觀圖時(shí)與x軸平行的線段長(zhǎng)度保持不變,與y軸平行的線段長(zhǎng)度變?yōu)樵?/p>
來(lái)的一半,然后去掉輔助線即可得到正三角形的直觀圖,如圖.
A
2.下列四個(gè)命題中,正確的是()
A.各側(cè)面都是全等四邊形的棱柱一定是正棱柱
B.對(duì)角面是全等矩形的六面體一定是長(zhǎng)方體
C.有兩側(cè)面垂直于底面的棱柱一定是直棱柱
D.長(zhǎng)方體一定是直四棱柱
答案D
解析對(duì)于A,底面是菱形的直平行六面體,滿足條件但不是正棱柱;對(duì)于B,底面是等腰
梯形的直棱柱,滿足條件但不是長(zhǎng)方體;C顯然錯(cuò)誤;長(zhǎng)方體一定是直四棱柱,D正確.
3.從平面外一點(diǎn)P引與平面相交的直線,使尸點(diǎn)與交點(diǎn)的距離等于1,則滿足條件的直線可
能有()
A.0條或1條B.0條或無(wú)數(shù)條
C.1條或2條D.0條或1條或無(wú)數(shù)條
答案D
解析當(dāng)點(diǎn)尸到平面的距離大于1時(shí),沒(méi)有滿足條件的直線;當(dāng)點(diǎn)尸到平面的距離等于1時(shí),
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滿足條件的直線只有1條;當(dāng)點(diǎn)尸到平面的距離小于1時(shí),滿足條件的直線有無(wú)數(shù)條.
4.已知機(jī),〃表示兩條不同的直線,?,尸表示兩個(gè)不同的平面,則下列命題中正確的是()
A.若加〃a,"丄夕,m//n,則。丄£
B.若機(jī)丄〃,M丄a,n〃}則a〃£
C.若a丄4,加丄a,丄〃,貝1]〃〃尸
D.若a丄£,aC£=m,〃丄〃?,貝!Jn邛
答案A
解析對(duì)于A,由加〃a,m//n,得到:
若〃〃a,過(guò)〃的平面>0]=/,則〃〃/,
又〃丄人則/丄人IUQ,則a丄人
若〃Ug,又〃丄夕,則a丄及綜上,a丄人故A正確;
對(duì)于B,若加丄“,〃?丄a,n//p,則la與4相交或平行,故B錯(cuò)誤;
對(duì)于C,若a丄夕,〃?丄a,加丄〃,則〃與在相交、平行或〃u.,故C錯(cuò)誤;
對(duì)于D,若a丄4,〃丄〃7,則〃與£相交或〃u夕,故D錯(cuò)誤.
5.已知直線a,b,/和平面a,4,aUa,bu.,aC0=】,且a丄尸.對(duì)于以下命題,判斷正確
的是()
①若6異面,則〃,b至少有一個(gè)與/相交;
②若a,6垂直,則a,b至少有一個(gè)與/垂直.
A.①是真命題,②是假命題
B.①是假命題,②是真命題
C.①是假命題,②是假命題
D.①是真命題,②是真命題
答案D
解析對(duì)于①,若a,6都不與/相交,
則只有一種可能,即〃,b均平行于/,則。〃6,
?,.若訪b異面,則4,6至少有一個(gè)與/相交,故①正確;
對(duì)于②,根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理得:
若m6垂直,則〃丄.,或b丄a,故a,b至少有一個(gè)與/垂直,故②正確.
6.(2023?徐州模擬)圓柱形玻璃杯中盛有高度為10cm的水,若放入一個(gè)玻璃球(球的半徑與
圓柱形玻璃杯內(nèi)壁的底面半徑相同)后,水恰好淹沒(méi)了玻璃球,則玻璃球的半徑為()
A.—cmB.15cmC.l(h/3cmD.20cm
3
答案B
第6頁(yè)共14頁(yè)
解析根據(jù)題意,玻璃球的體積等于放入玻璃球后水柱的體積減去原來(lái)水柱的體積;
設(shè)玻璃球的半徑為廣,即圓柱形玻璃杯的底面半徑為/?;
則玻璃球的體積為?戸,圓柱的底面面積為Q2,
放入一個(gè)玻璃球后,水恰好淹沒(méi)玻璃球,
、、4
此時(shí)水面的高度為2廠,所以,戸=兀/(2,,?—10),解得/?=15(cm).
7.蹴鞠,又名蹴球,踢圓等,蹴有用腳蹴、踢、蹋的含義,鞠最早系外包皮革、內(nèi)實(shí)米糠的
球.因而蹴鞠就是指古人以腳蹴、蹋、踢皮球的活動(dòng),類似今日的足球.2006年5月20日,
蹴鞠已作為非物質(zhì)文化遺產(chǎn)經(jīng)國(guó)務(wù)院批準(zhǔn)列入第一批國(guó)家非物質(zhì)文化遺產(chǎn)名錄.已知某鞠的
表面上有五個(gè)點(diǎn)P,A,B,C,。恰好構(gòu)成一正四棱錐P-Z8C。,若該棱錐的高為8,底面
邊長(zhǎng)為4/,則該鞠的表面積為()
A.64兀B.1007tC.132兀D.1447t
答案B
解析正四棱錐P-N8C。的底面是正方形,底面邊長(zhǎng)為4啦,高為8,如圖所示,
P
所以正四棱錐P-ABCD的底面對(duì)角線的長(zhǎng)為4/x/=8,
設(shè)正四棱錐外接球的半徑為心則催=(8-尺)2+42,解得R=5,
所以球的表面積為S=4TVR2=4兀X25=10()兀,即該鞠的表面積為100兀.
8.某同學(xué)畫“切面圓柱體”(用與圓柱底面不平行的平面切圓柱,底面與切面之間的部分叫
做切面圓柱體),發(fā)現(xiàn)切面與圓柱側(cè)面的交線是一個(gè)橢圓(如圖所示).若該同學(xué)所畫的橢圓的
離心率為;,則“切面”所在平面與底面所成的角為()
A.-B.-C.-D.-
12643
答案B
解析設(shè)橢圓與圓柱的軸截面如圖所示,作DE丄BC交8c于點(diǎn)E,則NCDE為“切面”所
在平面與底面所成的角,設(shè)為4
第7頁(yè)共14頁(yè)
設(shè)底面圓的直徑為2廠,則C。為橢圓的長(zhǎng)軸2a,短軸為26=OE=2r,
則橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a=|C0=g;,即
cos6cos0
所以橢圓的離心率為e=;=£=y1-=sin。,所以吋
6
Vcos20
9.(2023?安慶模擬)已知球。的半徑為及,A,B,C三點(diǎn)在球。的球面上,球心O到平面
48c的距離為當(dāng)我,AB=AC=S,ZBAC^\20°,則球。的表面積為()
A.487tB.16兀C.32s兀D.與
3
答案A
解析在△/8C中,由余弦定理,得BC=W+3—2X,x3xcos1200=3,
設(shè)△Z8C外接圓半徑為r,
由正弦定理2廠=-----=2?得r=S,
sin120°
a
又&2=2&2+3,???火2=12,
4
???球。的表面積為4兀/?2=48兀.
10.(2022?北京模擬)在通用技術(shù)教室里有一個(gè)三棱錐木塊如圖所示,VA,■。兩兩垂直,
M=H8=MC=1(單位:dm),小明同學(xué)計(jì)劃通過(guò)側(cè)面%IC內(nèi)任意一點(diǎn)P將木塊鋸開(kāi),使截
面平行于直線KB和NC,則該截面面積(單位:dn?)的最大值是()
A.-dm2B.—dm2
44
C.—dm2D.-dm2
44
答案B
解析根據(jù)題意,在平面幺C內(nèi),過(guò)點(diǎn)尸作EP〃/C分別交必,W于點(diǎn)F,E,
在平面K8C內(nèi),過(guò)點(diǎn)£作£?!?交8c于點(diǎn)。,
第8頁(yè)共14頁(yè)
在平面勿8內(nèi),過(guò)F作ED〃屮交N8于點(diǎn)3,連接。0,如圖所示,
因?yàn)镋F//AC,
所以△PEFsA-CA,設(shè)其相似比為九
則導(dǎo)是嚟"
因?yàn)橐?產(chǎn)8=灰7=1,所以/c=3,即E尸=価左,
因?yàn)镋D〃VB,
即//=/〃=尸。
△SUB
所以4FDA4,VA~BA~VB'
AFVA-VF
因?yàn)閈~k,
VAVA
所以£2=W£=i一隊(duì)即EC)=I一鼠
VBVA
同理△CEQS^CJ/B,即臆=*=瑞=1一%,
即EQ=1-k,
所以FD〃EQ,且FD=EQ,
所以四邊形FEQ9為平行四邊形,
因?yàn)镵8丄-C,VBLVA,VAnVC^V,勿u平面%C,平面幺C,
所以KB丄平面VAC,
因?yàn)镕D//VB,
所以ED丄平面VAC,
因?yàn)镋FU平面VAC,
所以FD丄E凡
所以四邊形是矩形,即S%.FEQD=FD-EF=(1-k)?心k=一心
所以當(dāng)左=;時(shí),S也彩FE。。有最大值日.
故該截面面積的最大值是坐輸.
二、多項(xiàng)選擇題
11.如圖所示,在正方體力BCD-NIBCQI中,£是平面的中心,M,N,尸分別是
第9頁(yè)共14頁(yè)
SG,CC\,48的中點(diǎn),則下列說(shuō)法正確的是()
A.MN=、EF
2
B.MN^-EF
2
C.MN與EF異面
D.MN與E尸平行
答案BC
解析設(shè)正方體ABCD-AyB\C\D\的棱長(zhǎng)為2a,
則MNZMG+C12
作點(diǎn)E在平面ABCD內(nèi)的射影點(diǎn)G,
連接EG,GF,
所以EF=
=Sa,
所以MN#丄£尸,故選項(xiàng)B正確,A錯(cuò)誤;
2
連接OE,因?yàn)镋為平面/。。聞的中心,
所以。£=丄小£),
2
又因?yàn)閃,N分別為&G,CG的中點(diǎn),
所以MN〃B\C,
又因?yàn)锽C〃4。,訴以MN〃ED,
且。
所以MN與EF異面,故選項(xiàng)C正確,D錯(cuò)誤.
12.(2023?忻州模擬)如圖,已知在邊長(zhǎng)為6的菱形/8C。中,NBAD=60°,煎E,尸分別是
線段8c上的點(diǎn).且/E=3尸=2.將四邊形/8FE沿EF翻折,當(dāng)折起后得到的幾何體
第10頁(yè)共14頁(yè)
NEO—8FC的體積最大時(shí),給出下列說(shuō)法,其中正確的說(shuō)法有()
A.ADLEF
B.8c〃平面NQE
C.DEFCmABFE
D.平面49E丄平面ZBFE
答案BC
解析將四邊形N8FE沿EF翻折,得到幾何體NEO—8FC,
在幾何體4ED—8FC中,DE//CF,CFU平面CF8,DE<Z平面CFB,
〃平面CF8,入AEHBF,BFU平面CFB,4EU平面CFB,〃平面CF8,
\'AEDDE=E,二平面C^8〃平面/OE,
:8CU平面CFB,〃平面ADE,故B正確;
如圖,過(guò)點(diǎn)D作DHLEF,交EF于H,過(guò)“作4G丄/8,交AB于點(diǎn)、G,
過(guò)點(diǎn)C作CN丄EE交E尸的延長(zhǎng)線于N,過(guò)點(diǎn)N作丄交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M,如
圖所示,
則四棱錐C—BFNM與。-ZE//G是全等的兩個(gè)四棱錐,
YNM丄AB,則丄EF,又CN丄EF,NMCCN=N,
:.EF丄平面CMN,:.EF丄平面DHG,
?;£>《平面。HG,力生平面。"G,則/。與EF不垂直,故A錯(cuò)誤;
三棱柱CNM-DHG為直三棱柱,
幾何體4EO-8尸C的體積與三棱柱CM0-O”G體積相同,
三棱柱CNM—DHG的體積V=S?NM-NH,
在RtZ\OE”中,DE=4,NEDH=30。,:.EH=2,
又EF=6,NF=EH,:.NH=6,
當(dāng)品CN”面積最大時(shí),幾何體/E。-8FC的體積最大,
當(dāng)MW丄CW時(shí),SACNM面積取最大值,
,:NMLNE,NECCN=N,則AW丄平面DEFC,
第11頁(yè)共14頁(yè)
又NMU平面4BFE,...平面N8EEt丄平面。ETC,故C正確;
若平面丄平面4BFE,由平面/DEA平面
過(guò)。有兩條直線。,',。,與平面ZB/E垂直,
這與過(guò)平面外一點(diǎn)有且只有一條直線與平面垂直相矛盾,故D錯(cuò)誤.
三,填空題
13.(2023?榆林模擬)在四棱錐P-/8CZ)中,底面4BCZ)是矩形,必丄底面Z8CZ),且以=
AB,AD=?B,則tan//PC=.
答案2
解析丄底面/BCD,NCU底面月BCD,.,.PALAC,
設(shè)/8=1,則以=1,4D=S,/。=W。2+°2=2,:.tanZAPC^—^2.
PA
14.(2022?安慶模擬)如圖,在三棱錐P-/8C中,點(diǎn)。為48的中點(diǎn),點(diǎn)尸在平面48c內(nèi)的
射影恰為08的中點(diǎn)E,已知48=2尸0=2,點(diǎn)C到。尸的距離為他,則當(dāng)N/CB最大時(shí),
直線PC與平面PAB所成角的大小為.
答案;
3
解析,:點(diǎn)C到。尸的距離為他,
...點(diǎn)C是以O(shè)P為旋轉(zhuǎn)軸,/為底面半徑的圓柱與平面N8C的公共點(diǎn),
即點(diǎn)C的軌跡是以48為焦距,以2s為短軸長(zhǎng)的橢圓,
由橢圓的對(duì)稱性可知,
當(dāng)/NC8最大時(shí),AC=BC=2,COYAB,
:點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)的射影恰為08的中點(diǎn)E,
...尸£丄平面ABC,
平面PAB,
二平面以8丄平面ABC,
平面以8n平面月8c=Z8,OCU平面NBC,
;.CO丄平面PAB,
.?.NCPO是直線PC與平面218所成的角,
:C0=?OP=\,
第12頁(yè)共14頁(yè)
:.tan/CPO=叟=?:.ZCPO^~.
OP3
15.如圖所示,在長(zhǎng)方體中,4B=3,ZO=4,441=5,點(diǎn)E是棱CG上的
一個(gè)動(dòng)點(diǎn),若平面5EA交棱/小于點(diǎn)F,則四棱錐S-8E。尸的體積為
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