河北省衡水中學(xué)2023屆高三年級(jí)上冊(cè)期末數(shù)學(xué)試題

河北省衡水中學(xué)2023屆高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題

學(xué)校：,姓名:.班級(jí):考號(hào):

一、單選題

1.若集合Mwi箸等，4N={yly2>4},則()

A.2∈Λ∕cNB.MuN={a?α∈[-2,2]□(4,+e)}

C.N={a?O∈(-8,2)D(2,+8)}D.(aM)CN={α∣6Z∈[-2,1∣}

2.若z-i=l-∣z-l∣i,則IZ—彳I=()

A.1B.√2C.2d??

UUiiUimuua?

3.??ABCφ,。為重心，。為BC邊上近C點(diǎn)四等分點(diǎn),DO=mAB+nAC，貝IJ機(jī)+

n=()

A1bcd

-3?4?I?4

4.一個(gè)燈罩可看作側(cè)面有布料的圓臺(tái)，在原形態(tài)下測(cè)得的布料最短寬度為13,將其壓

扁變?yōu)閳A環(huán)，測(cè)得布料最短寬度為5,則燈罩占空間最小為（）

C325

A.175πB.-----πC.100πD.不存在

3

5.若六位老師前去某三位學(xué)生家中輔導(dǎo)，每一位學(xué)生至少有一位老師輔導(dǎo)，每一位老

師都要前去輔導(dǎo)且僅能輔導(dǎo)一位同學(xué)，由于就近考慮，甲老師不去輔導(dǎo)同學(xué)1,則有（）

種安排方法

A.335B.100C.360D.340

π

6.已知函數(shù)/")=Sinωx+-,>0）將其向右平移?個(gè)單位長(zhǎng)度后得到g（力，若

6

g（x）在y,π上有三個(gè)極大值點(diǎn)，則f（x）一定滿足的單調(diào)遞增區(qū)間為（）

4π2π4π2π

A.~57,57B.^39,39

3π5π5π7π

C.l3,13D.19,I?

7.己知a=詈e°?99,b=ln?θθɑe-θθi

,lnα=C-InC(C,工0.99),則()

^99^

A.h>a>l.0l>cB.b>a>c>?.0l

C.a>b>1.0?>cD.a>b>c>1.0?

8.若已知函數(shù)"x)=e"",g(x)=lnx+3，3a∈(θ,+∞),若函數(shù)尸(X)=/(x)-g(x)

存在零點(diǎn)(參考數(shù)據(jù)ln2αθ?7()),則左的取值范圍充分不必要條件為()

A.(e0-7,el?3)B.[l,e0?7)

C.[e2'2,e3j)D.(e'?3,e2-2)

二、多選題

9.在正方體ABCO-A4G2中，A8=2,E,F,G分別為棱BBLAB,BC中點(diǎn)，H為Ce,近

C三等分點(diǎn)，P在面AADQ上運(yùn)動(dòng)，則()

A.Ba〃平面QFG

LILIULlLIULlLU

B.若GP=μGF+φGH(μ,φeR)，則。點(diǎn)到平面尸3”的距離與P點(diǎn)位置有關(guān)

C.BDjEG

LlLUlLlLIll(?θO∕∣O

D.若GP=BGF+φGH(μ,(pwR),則P點(diǎn)軌跡長(zhǎng)度為三一

10.若數(shù)列｛a"｝有a：+4a“=a”+「2,S“為｛%+2｝前"項(xiàng)積，｛bn｝bn-bn+l=2bnblli,i,

則()

A.｛1叫口叫(勺+2)]｝為等差數(shù)列(。力＞0)B.可能Sj,=(T)"Q+2)g

C.為等差數(shù)列D.他｝第〃項(xiàng)可能與〃無關(guān)

11.已知拋物線C：X2=2py,過點(diǎn)尸(0,P)直線∕cC=｛4,8｝,AB中點(diǎn)為,過A,

B兩點(diǎn)作拋物線的切線444c∕?=Qzdcy軸=N,拋物線準(zhǔn)線與。建交于M,下列說

法正確的是()

A.軸B.O為PN中點(diǎn)

C.AQ21BQ2D.M為PQ,近。2四等分點(diǎn)

12.已知奇函數(shù)f(x),x∈R,且/(x)=∕(πτ),當(dāng)Xe。，同時(shí)，

試卷第2頁(yè)，共6頁(yè)

f,(χ}cosx+/(x)sinx>O,當(dāng)x→色時(shí)，K2→2,下列說法正確的是()

2Cosx

A.”力是周期為2π的函數(shù)

B.工H是最小正周期為2兀的函數(shù)

COSX

C.以立關(guān)于傳,o］中心對(duì)稱

COSX12J

D.直線y=丘與工若有3個(gè)交點(diǎn)，則&u

cos%13萬5萬」L5;T3兀)

三、填空題

13.1/一^+21中常數(shù)項(xiàng)是.(寫出數(shù)字)

14.若。C：(x-d)2+(y-Z>)2=b0￡>：(x-6)2+(j-8)2=4,M,N分別為。C,QD

上一動(dòng)點(diǎn)，IMNl最小值為4,則3α+4b取值范圍為

15.已知雙曲線J—/=1,F1,F2分別為雙曲線左右焦點(diǎn)，F(xiàn)2作斜率為-*的直線交

丫二^^于點(diǎn)人，連接AK交雙曲線于點(diǎn)B,若AB=BFI，則雙曲線的離心率

a

16.己知函數(shù)/(x)=lnx+區(qū)一CoSX,Vx1,x2∈(0,+∞),x1≠X2,使得'(*)'(9)>3,

x}~x2

k的取值范圍為.

四、解答題

17.已知。為ZkABC外心，S為AABC面積，r為。O半徑，且滿足

Uiruuu/、3??/?

CB?AO+4r2(2-cos2A-cos2=-^-S

⑴求NA大??；

(2)若。為BC上近C三等分點(diǎn)(即Cn=gbC),且AO=血，求S最大值.

18.張老師在2022年市統(tǒng)測(cè)后統(tǒng)計(jì)了1班和3班的數(shù)學(xué)成績(jī)?nèi)缦聢D所示

數(shù)學(xué)成績(jī)各班分布情況

犬2=n(ad-bcf______

(?+b)(b+d)(c+d)(a+c)

n=a+b+c+d>

2

P(κ≥k0)0.0500.0250.0100.0050.001

ZO3.8415.0246.6357.87910.828

(1)根據(jù)卡方獨(dú)立進(jìn)行檢驗(yàn)，說明是否有99.9%的把握數(shù)學(xué)成績(jī)與班級(jí)有關(guān)；

(2)現(xiàn)在根據(jù)分層抽樣原理，從1班和3班中抽取IO人，再讓數(shù)學(xué)評(píng)價(jià)優(yōu)秀的同學(xué)輔導(dǎo)

一位數(shù)學(xué)評(píng)價(jià)一般的同學(xué)，每個(gè)人必有一人輔異，求在抽到甲輔導(dǎo)乙的情況下丙輔導(dǎo)丁

的概率.

(3)以頻率估計(jì)概率，若從全年級(jí)中隨機(jī)抽取3人，求至少抽到一人數(shù)學(xué)成績(jī)?yōu)閮?yōu)秀的概

率.

(4)以頻率估計(jì)概率，若從三班中隨機(jī)抽取8人,求抽到X人數(shù)學(xué)成績(jī)?yōu)閮?yōu)秀的分布列(列

出通式即可)及期望E(X),并說明X取何值時(shí)概率最大.

JT

19.在中，ZBAC=-,A、B、C、。四點(diǎn)共球，R(已知)為球半徑，。為球心，

O'為一ABC外接圓圓心，r(未知)為G)O,半徑.

⑴求(%rco)a和此時(shí)。到面ABC距離/7;

(2)在(匕γo>)皿的條件下，面(可以無限延伸)上是否存在一點(diǎn)K,使得KCL平

面OAB?若存在,求出K點(diǎn)距00'距離4和K到面48C距離人,若不存在請(qǐng)給出理由.

20.在高中的數(shù)學(xué)課上，張老師教會(huì)了我們用如下方法求解數(shù)列的前〃項(xiàng)和：形如

試卷第4頁(yè)，共6頁(yè)

(〃；

4=2+1)()的數(shù)列，我們可以錯(cuò)位相減的方法對(duì)其進(jìn)行求和；形如

的數(shù)列，我們可以使用裂項(xiàng)相消的方法對(duì)其進(jìn)行求和.李華同學(xué)在

(2n+l)(2n+l+l)

思考錯(cuò)位相減和裂項(xiàng)相消后的本質(zhì)后對(duì)其進(jìn)行如下思考：

錯(cuò)位相減:設(shè)%=V(#1),

2,

=q+/+…+4=4(ι+g+???+q"=a](<7+<7???+√)

,,l,-,lπ

(q-?)Sn=al(q+???+/-1-------√^)=^ι[(<7+???+√)(l÷???÷√^)]=4(^-l)

綜上：當(dāng)中間項(xiàng)可以相消時(shí)，可將求解S”的問題用錯(cuò)位相減化簡(jiǎn)

=_或恒__

為公比為1的等比數(shù)列；

①當(dāng)儲(chǔ)=L時(shí)，b〃=L---!—

nnn+1

②當(dāng)為公比為1的等比數(shù)列時(shí)，勺=(z∣+ι)+L氏=工-工;

[nJnn/7+1

故可為簡(jiǎn)便計(jì)算省去②的討論，Slt=y3

綜上：可將求解S“的問題用裂項(xiàng)相消轉(zhuǎn)化為求解心的問題

你看了他的思考后雖覺得這是“廢話文學(xué)”，但是你立刻腦子里靈光一閃，回到座位上開

始寫下了這三個(gè)問題：

(1)用錯(cuò)位相減的方法“溫故”張老師課堂上舉的例子，求解數(shù)列｛4,｝前n項(xiàng)和S,；

(2)用裂項(xiàng)相消的方法“知新”張老師課堂上舉的例子，求解數(shù)列｛4｝前〃項(xiàng)和S,；

⑶融會(huì)貫通，求證：&=(/+2,+3)(，前〃項(xiàng)和7.滿S,,+(<18.

請(qǐng)基于李華同學(xué)的思考做出解答，并寫出裂項(xiàng)具體過程.

21.在平面直角坐標(biāo)系中，6,K分別為(-1,0),(1,0),Θ∕ζι(x-1)2+∕=16,E為。

人上一點(diǎn)，C為線段E工上一點(diǎn)，OC過6和E.

(1)求C點(diǎn)軌跡方程，并判斷軌跡形狀：

⑵過耳,行兩直線44交C分別于A、B和M、N,P,。分別為AB和MN中點(diǎn)，求P、

。軌跡方程，并判斷軌跡形狀；

⑶在(2)的條件下，若PQ〃x軸，∕∣c4=3,求。點(diǎn)軌跡方程，并判斷軌跡形狀.

22.已知函數(shù)=Xeg-H+lng.

(1)求證：∕W≥θ;

⑵若WXe(O,+8),都f(x)*+l,求人滿足的取值范圍.

試卷第6頁(yè)，共6頁(yè)

參考答案：

1.B

【分析】先求出集合M,N,然后再逐個(gè)分析判斷即可.

(X-I)(X-4"0

4f,jU-l)(x-4)log√x-])>0

【詳解】由■i0g3(χ-i)得1,

x-l≠l

log3(x-1)≠0

解得x>4或ICX<2,

所以M={x∣x>4或l<x<2},

因?yàn)闂lN=僅V>4},

所以N={y∣y2≤4}={H-24y≤2},

對(duì)于A,因?yàn)镸N=(1,2),所以2eMcN,所以A錯(cuò)誤,

對(duì)于B,因?yàn)镸={x∣x>4或l<x<2},N={y∣-2≤y≤2},

所以MN=[-2,2](4,-8),所以B正確，

對(duì)于C,因?yàn)镹={y∣-2≤y≤2},所以C錯(cuò)誤，

對(duì)于D,因?yàn)镸={x∣x>4或l<x<2},所以QM=(-∞,1][2,4],

因?yàn)镹={止2≤y≤2},所以&M)CN=[-2,1]U{2},所以D錯(cuò)誤，

故選：B

2.A

【分析】設(shè)Z=I+歷，利用復(fù)數(shù)相等求出α,b,即可求解.

【詳解】設(shè)z=α+bi,(。洋∈R,i為虛數(shù)單位).

因?yàn)閦—i=l—|z—l∣i,

__________a=?〃=1

所以α+(6-l)=I-J(々一if+/i,所以???-~j?~~,解得：工_1.

~1-1

所以z=l+K，Z=I-7i,

22

所以|z-5∣=Iil=I

故選：A

3.B

答案第1頁(yè)，共23頁(yè)

【分析】連接A。延長(zhǎng)交BC于E點(diǎn)，則E點(diǎn)為BC的中點(diǎn)，連接4λOD,利用向量平面

基本定理表示Z)O可得答案.

【詳解】連接A。延長(zhǎng)交BC于E點(diǎn)，則E點(diǎn)為BC的中點(diǎn)，連接A。、OD,

UUiruinuuonunuιr9UUD3UIrUIn71/Ui≡ιuun

所以O(shè)o=DA+AO=08+BA+-AE==CB-A8+-x-(AB+AC

3432'

3/UI?Uinn?Uun1,UUnUUIn\IUIM5UUln

=-?AB-AC?-AB+-?AB+AC?--AB--AC,

4、>3\>1212

故選：B.

【分析】設(shè)圓臺(tái)的上、下底面圓的半徑分別為r,R,母線長(zhǎng)為/,高為,由題意可知R-r=5,

/=13,則∕ι=12,利用圓臺(tái)的體積公式求出體積表達(dá)式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到答

案.

【詳解】設(shè)圓臺(tái)的上、下底面圓的半徑分別為r，R,母線長(zhǎng)為/,高為力

由題意可知R-r=5,/=13,則用=J可-(K-Z=12

則圓臺(tái)的體積為V=；兀MR2+r2+Rr)=g71xl2x[(5+ry+r2+(5+r)r]=4M3r2+15r+25)

=12τt(r+g)+25π

當(dāng)r>0時(shí)，V單調(diào)遞增，故V不存在最小值.

故選：D.

5.C

【分析】把6位老師按照4,1,1或3,2,1或2,2,2人數(shù)分為三組；每種分組再分同學(xué)

?安排的幾位老師輔導(dǎo)解答.

【詳解】把6位老師按照4,1,1或3,2,1或2,2,2人數(shù)分為三組；

答案第2頁(yè)，共23頁(yè)

C>G?0

①把6為老師平均分為3組的不同的安排方法數(shù)有=15

在把這三組老師安排給三位不同學(xué)生輔導(dǎo)的不同安排方案數(shù)為：A；=6,

根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理可得共有不同安排方案為:S=15x6=90

IC?^^?A"30

如果把甲老師安排去輔導(dǎo)同學(xué)1的方法數(shù)為:

所以把6位老師平均安排給三位學(xué)生輔導(dǎo)且甲老師不安排去輔導(dǎo)同學(xué)1的方法數(shù)為

90-30=60

②把6位老師按照4,1,1分為3組給三位學(xué)生輔導(dǎo)的方法數(shù)為：

若1同學(xué)只安排了一位輔導(dǎo)老師則C；GC：.A；=5()

若1同學(xué)安排了四位輔導(dǎo)老師則C；A；=1()

所以把6位老師按照4,1,1分為3組給三位學(xué)生輔導(dǎo)，

甲老師不安排去輔導(dǎo)同學(xué)1的方法數(shù)為60

③把6位老師按照3,2,1分為3組給三位學(xué)生輔導(dǎo)的方法數(shù)為；

若1同學(xué)只安排了一位輔導(dǎo)老師則C!CC?A;=K)O

若1同學(xué)只安排了兩位輔導(dǎo)老師則C；C=80

若1同學(xué)只安排了三位輔導(dǎo)老師則C；C；C-A；=6()

所以把6位老師按照3,2,1分為3組給三位學(xué)生輔導(dǎo)，

甲老師不安排去輔導(dǎo)同學(xué)1的方法數(shù)為60+80+100=240

綜上把6位老師安排給三位學(xué)生輔導(dǎo)，甲老師不安排去輔導(dǎo)同學(xué)1的方法數(shù)為

240+60+60=360

故選：C

6.A

【分析】根據(jù)平移變換得函數(shù)g(尤)=sin"j0+[,3>O),由g(x)在y,π上有三個(gè)

1319

極大值點(diǎn),結(jié)合正弦函數(shù)圖象可得再求。x+πg(shù)的范圍，結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性，

22O

由此可判斷答案.

答案第3頁(yè)，共23頁(yè)

【詳解】解：有題意可得g(x)=j［x-gJ=sin(<υx-W(y+S)((y>O),

,「π.JTr7ΓIJT2兀TC.-/\,.TC.,___.._.

由x∈-,π1,?tlωx--ω+-∈-,—69+-,由于g(x)在-,π上有二個(gè)極大l值點(diǎn),

3\3O√OJoLJ

t.rκ,9π2ππ13兀λλzf,1319

所以≤3+/<i,解得≤3<,

τ2r3τr62rτ2r2τr

4π2π兀r4乃乃2771、

當(dāng)Xe69X÷-∈I----------69+—,——0+——

57,57'6576576

N4TT712萬兀、7171,,-T-T/z.

而r［一-。+二,=。+:】<=r［一彳,彳)，故A正確,

57657622

4π2π兀r4;T42萬π、

當(dāng)XeS+—∈-------G+-,——ω+-?

39,396396396

-r-r47rTC2ττTC、r63τT514、,?_-?--1-7vz

而〔一+TrG+^∑］u［--，故B不正確,

39o39o/oVo

3π5ππ.3ππ5ππ、

當(dāng)x∈69X+—∈——69+—,——69+——,

T3,^136136136

而考0+?后0+勺U者,*),故C不正確,

13ol?o3/o

5π7ππ「5兀πl(wèi)π兀、

當(dāng)x∈5+—∈——69+—,——ω+-?,

19,19'6196196

Hr54n7471、214^?1?πMrT十*

而［gO+Z'E。+?1UrW亍)x，故D不正確,

故選：A.

7.D

【分析】變形α,b,構(gòu)造函數(shù)/(x)=G-X+Inx比較α,b的大小，構(gòu)造函數(shù)g(x)=x-Inx

X

比較Ae的大小，利用極值點(diǎn)偏移的方法判斷1.01,C的大小作答.

0.99

【詳解】依題意，a=-—,?=e-0.0l-ln0.99=e-1+0.99-ln0.99,

0.99

人、e?e?(X—1)1(e?—?)(?-1)

令/(X)=——x+lnx,/(x)=.-1÷-=--------7------，

XXXX

當(dāng)OVXVl時(shí)，e'>l>x>O,BPΓ(x)<O,函數(shù)/3在((M)上單調(diào)遞減,

0.99

/(0.99)>∕(l)=e-l,即￡——0.99+ln0.99>e-l,因此α>0,

0.99

令g(x)=x-lnx,g，(X)=I-L當(dāng)OCXCl時(shí)，g'(x)<O,當(dāng)χ>l時(shí)，g'(x)>O,

X

函數(shù)g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，g(0.99)>g(l)=l,而b=e-l+g(0D9)>e>1.01,

函數(shù)g(x)在(l,y)上單調(diào)遞增，顯然g(e)=e-1,gd)=L+1,

ee

則方程g(x)=k,ke(l」+l］有兩個(gè)不等實(shí)根玉,三，0<χ,<l<χ2,有g(shù)(x∣)=g(X2)=k,

Ina=C-InCoO.99-Ino.99=C-Incog(0.99)=g(c),而CRo.99,貝IJ有c>l,

答案第4頁(yè)，共23頁(yè)

令〃(X)=g(x)-g(2-x),O<x<l,6'(x)=g，(x)+g,(2-X)=］」+］_J-=_2(：D、-<0，

x2-xx(2-x)

即函數(shù)〃(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，當(dāng)Xe(0,1)時(shí),Λ(x)>Λ(l)=O,即g(x)>g(2-X),

因此g(x∣)>g(2-x∣),即有g(shù)(X2)=g(x∣)>g(2-x∣),而％2>1,2-x∣>1,g(x)在(l,+∞)上單

調(diào)遞增，

于是得當(dāng)>2-占，B［JXI+Λ2>2,取XI=O.99,x2=c,于是得c>2-0.99=1.01,

又8(。)=8(0.99)<8(2)<8億)，g(x)在(I,”)上單調(diào)遞增，從而L01<c<e,

e

所以α>∕>c>L01,D正確.

故選：D

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：某些數(shù)或式大小關(guān)系問題，看似與函數(shù)的單調(diào)性無關(guān)，細(xì)心挖掘問題的

內(nèi)在聯(lián)系，抓住其本質(zhì)，構(gòu)造函數(shù)，分析并運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性解題，它能起到化難為易、化

繁為簡(jiǎn)的作用.

8.C

【分析】因?yàn)榍蟮氖浅浞植槐匾獥l件，而非充要條件，所以采用特殊值法，只要滿足

”l)≤g(l),則有F(X)="X)—g(x)存在零點(diǎn)，求出左≥J時(shí)左的取值范圍，即為一個(gè)

a

充分條件，再由選項(xiàng)依次判斷即可.

【詳解】當(dāng)a=0時(shí)，/(x)=e""的圖象恒在g(x)=lnx+切上方，

l+α

，若滿足F(I)≤g(l),即e"≤lnl+%,k≥-,

Ci

則/(X)與g(x)的圖象必有交點(diǎn)，即F(X)="x)-g(x)存在零點(diǎn).

令MX)=三(x>0),∕f(χ)=e"',-l),

有當(dāng)0<x<l時(shí)，h'(x)<O,MX)單調(diào)遞減;

當(dāng)x>l時(shí)，Λ,(x)>O,∕z(x)單調(diào)遞增.

/.Λ(x)≥Λ(l)=e2,

即當(dāng)-e?時(shí)，一定存在α=l∈(0,+∞),滿足”l)≤g⑴,即尸(X)="x)-g(x)存在零點(diǎn)，

因此上e［e?+8)是滿足題意火的取值范圍的一個(gè)充分條件.

由選項(xiàng)可得，只有［e22,e")是［e)+8)的子集，所以［e2?e")是％的取值范圍的一個(gè)充分不

答案第5頁(yè)，共23頁(yè)

必要條件.

故選：C.

9.BCD

【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量逐一解答即可.

【詳解】解：根據(jù)題意建立如圖所示的坐標(biāo)系：

因?yàn)檎襟w的邊長(zhǎng)為2,

所以A(0,0,0),A(0,0,1),B,(2,0,0),C,(2,2,0),D1(0,2,0),8(2,0,2),C(2,2,2),D(0,2,2),

4

￡(2,0,1),F(l,0,2),G(2,l,2),”(2,2,—),

3

UUUUUUUULLIU

對(duì)于A,因?yàn)锽G=(0,2,—2),FDi=(-1,2,-2),FG=(1,1,0),

—X+∑ry—2z=0

設(shè)平面DFG的法向量為〃=(X,y,z),則有

1x+y=0

2

V=-Z

則有：3,

y=τ

取〃=(-2,2,3),

?LM-LllIUULlU、

因?yàn)??BG=-2≠0,所以，UBG不成立,

所以3G〃平面RFG不成立，故錯(cuò)誤；

uuuUUtiUUir2

對(duì)于B,設(shè)P(O,%,z0),則GP=(—2,%—l,z0-2),GF=(-1,-1,0).GW=(0,1,--),

ULIIUUIlUlUl

又因?yàn)镚尸="G∕7+∕∕∕(/Ae∈R)，

答案第6頁(yè)，共23頁(yè)

—2=-U

24

所以%T=_〃+e，所以有ZO=_Q%+Q,

C2

zt>~^=~~φ

所以P點(diǎn)軌跡為如圖所示的線段M

在平面BCGB內(nèi)作出與MA平行的直線NG,

易知MDI與NG的距離等于平面ADDiAi與平面BCGBl的距離為2,

因?yàn)镹G與8〃不平行，

所以MA與8〃不平行，

所以點(diǎn)尸到的距離不是定值,

所以S,,W不是定值,

又因?yàn)閂P-BCH~VC-BPH，

I12I

BP-×?×2×-×2=-SVPIiH4,(h為C點(diǎn)到平面PBH的距離)，

4

所以〃一■不是定值，

YPHB

所以C點(diǎn)到平面PB”的距離與P點(diǎn)位置有關(guān)，故正確；

UUUUUUUUUCiLMi

對(duì)于C,因?yàn)锽A=(-2,2,-2),EG=(0,1,1)，BDIEG=2-2=。,

UUUUlUl

所以BRLEG,即有BRLEG,故正確；

答案第7頁(yè)，共23頁(yè)

244

對(duì)于D,由B可知P點(diǎn)軌跡為z0=-§%+］，令%=°，則Zo=§；

令Z11=2,則%=2,

所以P點(diǎn)軌跡的長(zhǎng)度為PT手=#?,故正確.

故選：BCD

10.BD

【分析】結(jié)合遞推式a：+4a“=a”,「2,取q=-2,求｛%｝的通項(xiàng)公式判斷選項(xiàng)A錯(cuò)誤，求

S“判斷B,由遞推式2一%=2她用，取々=0,判斷C,求數(shù)列出｝的通項(xiàng)公式判斷D.

【詳解】因?yàn)閐+4”,,=4,+∣-2,所以(a,,+2)2=4+∣+2,所以當(dāng)“22,”eN”時(shí)，α,,+2≥0,

若q=-2,則α,,=-2,"eN",IOg“(4+2)不存在，A錯(cuò)誤；

因?yàn)閝=-2時(shí)，an=-2,neK,所以α,,+2=0,所以S,,=。，又(7)"(勾+2)、=O,所以

可能S“=(—l)"(q+2fτ,B正確；

因?yàn)?一白川=2”也用，取々=0,則2=0,“eN*,此時(shí):不存在，C錯(cuò)誤；D正確；

故選：BD.

11.AD

【分析】設(shè)直線/的斜率為心不妨設(shè)p>θ,直線/的方程為y=H+P,A(Λ,σ,),B(Λ2,y2),

與拋物線方程聯(lián)立求出占+%,XIX2,y∣+%，得。I(Pk,必?+P)，令玉=2pk~y∣p2k2+2p2,

求出％,求出y.=2,可得直線《的方程、直線4的方程，由心αX怎°,=斗可判斷C；聯(lián)

PP

立直線4、直線4的方程可得ɑ(p")可判斷A；令X=O由y-M=t(Of)得P(o,p)可

判斷B；由尸(o,p)、M點(diǎn)的縱坐標(biāo)為-5、2(P匕—P)可判斷D.

【詳解】由題意直線/的斜率存在，設(shè)為k,不妨設(shè)p>θ,A(Λ?,γl),β(Λ2,y2),

則直線/的方程為y=kx+p,與拋物線方程聯(lián)立［',=Y+P,

IX=2Py

可得f-2PfcV-2/=0,?=4p2?2+8p2>0,

22

所以x∣+X2=2pA,xlx2=-2p,jl+j2=2pk+2p,所以Ql(P女4+p),

答案第8頁(yè)，共23頁(yè)

222222

不妨令Xl=2pk-pk+2p,x2=Ipk+y∣pk+2p，

221122

所以y∣=2必?+p_k?Jpk+2p,y2=IplC+p+k^pk+2p，

X,<x

由y=丁得zry=-，所以直線4的方程為y-y=

2pP

直線4的方程為y-%=

所以Lf=竽=于7一，故C錯(cuò)誤;

y-y=26%)

p解得X-pk

由，，可得

y=∣1^↑-y↑

X=pk

2222222

y=k^2pk-?∣pk÷2pj-{lpk+p-ky∣pk+2pj=-p

所以0(P",-P),

所以Q√2∣，X軸，故A正確;

令x=0所以由y-yl=,(0-x∣)得y=f=-2p公-0+Wp%+2p2,所以

N*-2pH-p+kjp*+2p2),而P(0,p),且

12222221

-2pk-p+k^pk+2p+p=-2pk+ky∣pk+2p=0=k=0，故B錯(cuò)誤；

因?yàn)镻(O,p),M點(diǎn)的縱坐標(biāo)為,Q式冰,-p),

所以0一,9=1，-y-(-p)=p故M為PQz近。2四等分點(diǎn)，故D正確.

【分析】根據(jù)奇函數(shù)f(χ),X∈R,且/(χ)=∕(兀-X),可確定函數(shù)/(X)的周期，即可判

答案第9頁(yè)，共23頁(yè)

斷A；設(shè)g(x)=怨確定函數(shù)g(x)的奇偶性與對(duì)稱性即可判斷函數(shù)B,C；根據(jù)

/'(x)cosx+/(X)SinX>0可判斷函數(shù)g(x)在Xe0,鼻上的單調(diào)性，結(jié)合對(duì)稱性與周期性即

可得函數(shù)g(x)的大致圖象，根據(jù)直線y=丘與工區(qū)若有3個(gè)交點(diǎn)，列不等式即可求女的取

COSX

值范圍，即可判斷D.

【詳解】解：因?yàn)?x)=∕(兀-X),所以/(x)的圖象關(guān)于X、對(duì)稱，又因?yàn)椤傲槠婧瘮?shù)，

所以/(x)=—/(-X)，則/(兀+x)=/(-X)=—/(x)，

貝∣J∕(2π+x)=-/(x+π)=∕(x),故/(x)是周期為2兀的函數(shù)，故A正確；

設(shè)g(x)=@,其定義域?yàn)椤腹?2EA+2hr］∕eZ,則

COsxI22J

g(x)+g(兀-x)=&+^^=@+^^=0,所以g(x)關(guān)于［g,θ］中心對(duì)稱，即

cos%cos(π-x)cos%-cosx`，?2)

運(yùn)關(guān)于(g,o］中心對(duì)稱，故C正確；

COSX12J

又g(T)='］(?)=,4?=-g⑺，所以g(χ)為上的奇函數(shù)，結(jié)合g(χ)+g(兀-X)=?？?/p>

得一g(-x)+g(兀-X)=°，即g(-x)=g(兀-X)

故必。是周期為兀的函數(shù)，故B錯(cuò)誤；

COSX

當(dāng).,昌，所以/(X)J”(Λ)C°SH.OSinX>o,故g(χ)在Xe卜目上單調(diào)遞增，由

_2)cos%LZ)

于g(x)關(guān)于怎,0)中心對(duì)稱，所以g(x)在xe1,兀上單調(diào)遞增，

且當(dāng)x→5時(shí)，償→2,又函數(shù)g(x)的周期為兀，則可得g(x)大致圖象如下：

答案第10頁(yè)，共23頁(yè)

k>0k<0

—

加±4

或

2JT2解得

若直線y=履與g(χ)=∕B若有3個(gè)交點(diǎn)，則,3π-<--->-<<-

2-2

COSX5π3π

π

5π2>2k<2

-2-

4,4Wr4444

-<k<--,故丘——故D錯(cuò)誤.

π3πVπ3π5π*3π

故選：AC.

13.559

【分析】將f-L看作一項(xiàng)，利用展開式的通項(xiàng)，找兩項(xiàng)中的常數(shù)項(xiàng)即可求解.

X

【詳解】，」+2)6的展開式的通項(xiàng)公式是心=^(/_2尸-2-2匕(一1)(:產(chǎn)-2心，

XX

『二;或廠：或F=：,

令12-2—3S=0,則2r+3s=12,故

[5=2[5=0[5=4

所以(f-4+2)6的展開式中常數(shù)項(xiàng)為：

X

23×C≡×(-l)2×C3+26×C^+20×Cθ×(-l)4×C*=480+64+15=559,

故答案為：559.

14.[15,85]

【分析】先根據(jù)IMVl的最小值求出Ieq=7,即(α-6)2+0-8)2=49,再使用柯西不等式求

出取值范圍.

【詳解】由于IMNl最小值為4,圓C的半徑為1,圓。的半徑為2,故兩圓圓心距離

ICq=4+1+2=7,

S∣J(a-6)2+(?-8)2=49,

由柯西不等式得：[(a-6)2+(?-8)2]?(32+42)≥[3(?-6)+4(6-8)]2,

當(dāng)且僅當(dāng)=等，即α=^,6=費(fèi)時(shí)，等號(hào)成立，

S[J(3a+4?-50)2≤25×49,解得：15<3a+4?≤85.

故答案為：[15,85]

15.√6

答案第11頁(yè)，共23頁(yè)

【分析】首先求出AK的方程，聯(lián)立兩直線方程，即可取出A點(diǎn)坐標(biāo)，由AB=AK=8月，

即可得到B為A、Fl的中點(diǎn)，得到B點(diǎn)坐標(biāo)，再代入雙曲線方程，即可求出￠2=6/,從而

求出雙曲線的離心率.

【詳解】解:依題意瑪(c,0),所以A心：y=-∣(x-c),

y=-^x-c)

由,，

b=b

y=τ

a

又AB=BFI，所以4為A、6的中點(diǎn),

即b4-a4=4c2a2,即92-a2)(?2+a2)=4c2a2,

^b2-a2=4a2,即戶=5儲(chǔ),^c2-a2=5a2,所以￠2=64,

則離心率e=f=遙.

a

故答案為：?[β

16.[4,+8)

【分析】不妨設(shè)大<々，把八"J2>3化為〃％)-3XVf(W)—3叫,構(gòu)造函數(shù)

X\~X2

g(x)=∕(x)-3x,利用g(x)的導(dǎo)數(shù)g'(%)≥0,求出Z的取值范圍.

【詳解】不妨設(shè)內(nèi),工2e(0,÷∞)d<%,

.../(%)-〃嘰3,

玉一A2

即〃與萬(毛)<3&-電)，〃玉)-3叫<∕(X2)-3X,,

構(gòu)造函數(shù)g(x)=∕(x)-3x,

.?.g(x)在(0，+8)是單調(diào)遞增函數(shù),

答案第12頁(yè)，共23頁(yè)

g，(X)=r(x)-3=J+%+sinx-3≥0左≥-J+sinx]+3,xe(0,+g)

當(dāng)x>O時(shí)，L>O,sinx∈[-l,l],所以'+sinx>-l,

XX

所以-1g+sinx)+3<4,

所以Z的取值范圍為[4,+功

故答案為：[4,+s)

17.(l)?

⑵地

4

UIrUUD11

【分析】⑴由向量的運(yùn)算整理可得CB乂。=/-產(chǎn)，結(jié)合正弦定理、余弦定理和面積

公式運(yùn)算求解;

(2)根據(jù)題意結(jié)合向量可得AO=gAB+∣AC,再結(jié)合數(shù)量積可得2=[02+|兒+[〃，利

用基本不等式可得歷≤3,再結(jié)合面積公式即可得結(jié)果.

【詳解】(1)取A8,AC的中點(diǎn)M,N,連接OM,ON,則OM，AB,ON_LAC,

可得：

UlrUUII/UinuuιπxUulnUIJnUinnUIraUUin∣um∣luun∣IuuullluUInl

CBAo=AB-ACAO=A8A0—AC?AO=ABAoCOSNOAM—ACAOcos/QAN

1∣uuφ1IUUDp

=5網(wǎng)-小α

UU-UInn/An

由C3?A0+4產(chǎn)(2-cos?A-COS2B)-=_^s,可得

-C2--h2+4r2(1-cos2A+l-cos2B)-—=^^-×-hcsinA,

22`7232

2222

則g(?2-?/?+(2rsinA)+(2rsinB)-‰=^-×hcsinA9即

-C2--h2+a1+h2--a2=^-×hcsinA,

2223

整理得/+c2-a2=^-×2hcsinA,

3

由余弦定理COSA=走SinA,可得tanA=G,

2bc3

VA∈(0,π),故4=]?

答案第13頁(yè)，共23頁(yè)

22/..?12—

(2)由題意可得：ΛD=AB+BD=AS÷-BC=AB+-AC-ΛB=-ΛB+-AC,

331733

LIUΠ

UUD、(?UUD2ULralV124ulbUInn4υu(píng)n?

則4。=-AB+-AC=-AB+-ABAC+-AC，

(33J999

可得：2=∣c2+∣?c+^?2,貝IJI8-2a=∕+4^≥4A,當(dāng)且僅當(dāng)/=4〃，即C=力時(shí)等號(hào)

成立，

即bc≤3,則S=LbeSinA≤-^-×3×-=?^^?.

2224

故S最大值為限

(4)分布列見解析，E(X)=2,x=2時(shí)，概率最大，理由見解析

【分析】(1)計(jì)算卡方，與10.828比較后得到結(jié)論；

(2)先根據(jù)分層抽樣求出1班和3班抽到的學(xué)生分布情況，再根據(jù)條件概率求出概率；

(3)計(jì)算出1班和3班的總?cè)藬?shù)，以及數(shù)學(xué)評(píng)價(jià)優(yōu)秀的學(xué)生總?cè)藬?shù)，求出相應(yīng)的頻率作為

全校數(shù)學(xué)評(píng)價(jià)優(yōu)秀的概率，求出隨機(jī)抽取3人，抽到0人數(shù)學(xué)評(píng)價(jià)優(yōu)秀的概率，再利用對(duì)立

事件求概率公式計(jì)算出答案：

(4)由題意得到X從而求出分布列，數(shù)學(xué)期望，并利用不等式組，求出x=2時(shí)，

概率最大.

【詳解】⑴^=100x(10x20-40x3p)l=50>10828；

40×60×50×503

故有99.9%的把握數(shù)學(xué)成績(jī)與班級(jí)有關(guān)；

(2)1班有40+20=60人，3班有10+30=40人，

答案第14頁(yè)，共23頁(yè)

故抽取K)人，從I班抽取人數(shù)為K)X扁=6,從3班抽取的人數(shù)為K)X扁=4,

由于1班數(shù)學(xué)評(píng)價(jià)優(yōu)秀和一般人數(shù)比為4:2,故抽取的6人中有4人數(shù)學(xué)評(píng)價(jià)優(yōu)秀，2人評(píng)

價(jià)一般，

而3班數(shù)學(xué)評(píng)價(jià)優(yōu)秀和一般的人數(shù)之比為1:3,故抽取的4人中有1人數(shù)學(xué)評(píng)價(jià)優(yōu)秀，3人

評(píng)價(jià)一般，

設(shè)抽到甲輔導(dǎo)乙為事件A,抽到丙輔導(dǎo)丁為事件