高考數(shù)學(xué)理北師大版一輪復(fù)習(xí)測評4-7正弦定理余弦定理的應(yīng)用舉例

核心素養(yǎng)測評二十六正弦定理、余弦定理的應(yīng)用舉例(25分鐘50分)一、選擇題(每小題5分,共35分)1.已知A,B兩地間的距離為10km,B,C兩地間的距離為20km,現(xiàn)測得∠ABC=120°,則A,C兩地間的距離為 ()A.10km B.10QUOTEkmC.10QUOTEkm D.10QUOTEkm【解析】選D.由余弦定理得,AC2=AB2+CB22AB·CB·cos120°=102+2022×10×20×QUOTE=700.所以AC=10QUOTE(km).2.甲船在島的正南方A處,AB=10千米,甲船以每小時4千米的速度向正北勻速航行,同時乙船自B出發(fā)以每小時6千米的速度向北偏東60°的方向勻速航行,當(dāng)甲、乙兩船相距最近時,它們所航行的時間是 ()A.QUOTE小時 B.QUOTE小時C.QUOTE小時 D.QUOTE小時【解析】選A.假設(shè)經(jīng)過x小時兩船相距最近,甲乙分別行至C,D,如圖所示:可知BC=104x,BD=6x,∠CBD=120°,由余弦定理可得,CD2=BC2+BD22BC·BD·cos∠CBD=(104x)2+36x2+2×(104x)×6x×QUOTE=28x220x+100,所以當(dāng)x=QUOTE時兩船相距最近.3.如圖所示,為測一建筑物的高度,在地面上選取A,B兩點(diǎn),從A,B兩點(diǎn)分別測得建筑物頂端的仰角為30°,45°,且A,B兩點(diǎn)間的距離為60m,則該建筑物的高度為 ()A.(30+30QUOTE)m B.(30+15QUOTE)mC.(15+30QUOTE)m D.(15+15QUOTE)m【解析】選A.在△PAB中,∠PAB=30°,∠APB=15°,AB=60m,sin15°=sin(45°30°)=sin45°cos30°cos45°sin30°=QUOTE.由正弦定理得PB=QUOTE=30(QUOTE+QUOTE)(m),所以建筑物的高度為PBsin45°=30(QUOTE+QUOTE)×QUOTE=(30+30QUOTE)m.4.已知A船在燈塔C的北偏東85°方向且A到C的距離為2km,B船在燈塔C的西偏北25°方向且B到C的距離為QUOTEkm,則A,B兩船的距離為 ()A.QUOTEkm B.QUOTEkmC.2QUOTEkm D.3QUOTEkm【解析】選A.畫出圖形如圖所示,由題意可得∠ACB=(90°25°)+85°=150°,又AC=2,BC=QUOTE.在△ABC中,由余弦定理可得AB2=AC2+BC22AC·BC·cos150°=13,所以AB=QUOTE,即A,B兩船的距離為QUOTEkm.5.一個大型噴水池的中央有一個強(qiáng)力噴水柱,為了測量噴水柱噴出的水柱的高度,某人在噴水柱正西方向的點(diǎn)A處測得水柱頂端的仰角為45°,從點(diǎn)A沿北偏東30°方向前進(jìn)100m到達(dá)點(diǎn)B,在B點(diǎn)測得水柱頂端的仰角為30°,則水柱的高度是 ()A.50m B.100mC.120m D.150m【解析】選A.設(shè)水柱高度是h,水柱底端為C,則在△ABC中,∠BAC=60°,AC=h,AB=100,BC=QUOTEh,根據(jù)余弦定理得,(QUOTEh)2=h2+10022·h·100·cos60°,即h2+50h5000=0,即(h50)(h+100)=0,解得h=50(負(fù)值舍去),故水柱的高度是50m.6.如圖,測量河對岸的塔高AB時可以選與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個測量點(diǎn)C與D,測得∠BCD=15°,∠BDC=30°,CD=30,并在點(diǎn)C測得塔頂A的仰角為60°,則塔高AB等于 ()A.5QUOTEB.15QUOTEC.5QUOTED.15QUOTE【解析】選D.在△BCD中,∠CBD=180°15°30°=135°.由正弦定理得QUOTE=QUOTE,所以BC=15QUOTE.在Rt△ABC中,AB=BCtan∠ACB=15QUOTE×QUOTE=15QUOTE.7.長為3.5m的木棒AB斜靠在石堤旁,木棒的一端A在離堤足C處1.4m的地面上,另一端B在離堤足C處的2.8m的石堤上,石堤的傾斜角為α,則坡度值tanα= 導(dǎo)學(xué)號()A.QUOTEB.QUOTEC.QUOTED.QUOTE【解析】選A.由已知,在△ABC中,AB=3.5m,AC=1.4m,BC=2.8m,且∠α+∠ACB=π.由余弦定理得AB2=AC2+BC22·AC·BC·cos∠ACB,即3.52=1.42+2.822×1.4×2.8×cos(πα),解得cosα=QUOTE,所以sinα=QUOTE,所以tanα=QUOTE=QUOTE.二、填空題(每小題5分,共15分)8.一艘海輪從A出發(fā),以每小時40海里的速度沿南偏東40°方向直線航行,30分鐘后到達(dá)B處,在C處有一座燈塔,海輪在A觀察燈塔,其方向是東偏南20°,在B處觀察燈塔,其方向是北偏東65°,則B,C兩點(diǎn)間的距離是________________海里.

【解析】如圖,由已知可得,∠BAC=30°,∠ABC=105°,AB=20,從而∠ACB=45°.在△ABC中,由正弦定理,得BC=QUOTE×sin30°=10QUOTE.答案:10QUOTE9.(2018·德州模擬)如圖,某炮兵陣地位于A點(diǎn),兩觀察所分別位于C,D兩點(diǎn).已知△ACD為正三角形,且DC=QUOTEkm,當(dāng)目標(biāo)出現(xiàn)在點(diǎn)B時,測得∠CDB=45°,∠BCD=75°,則炮兵陣地與目標(biāo)的距離是________________.(保留1位小數(shù))

【解析】∠CBD=180°∠BCD∠CDB=60°.在△BCD中,由正弦定理,得BD=QUOTE=QUOTE.在△ABD中,∠ADB=45°+60°=105°,由余弦定理,得AB2=AD2+BD22AD·BDcos105°=3+QUOTE+2×QUOTE×QUOTE×QUOTE=5+2QUOTE.所以AB=QUOTE≈2.9(km).所以炮兵陣地與目標(biāo)的距離約是2.9km.答案:2.9km10.海輪“和諧號”從A處以每小時21海里的速度出發(fā),海輪“奮斗號”在A處北偏東45°的方向,且與A相距10海里的C處,沿東偏南15°的方向以每小時9海里的速度行駛,則海輪“和諧號”與海輪“奮斗號”相遇所需的時間為________________小時. 導(dǎo)學(xué)號

【解析】設(shè)海輪“和諧號”與海輪“奮斗號”相遇所需的時間為x小時,如圖,在△ABC中,AC=10海里,AB=21x海里,BC=9x海里,∠ACB=120°.由余弦定理得(21x)2=100+(9x)22×10×9x×cos120°,整理,得36x29x10=0,解得x=QUOTE或x=QUOTE(舍).所以海輪“和諧號”與海輪“奮斗號”相遇所需的時間為QUOTE小時.答案:QUOTE(15分鐘35分)1.(5分)如圖,要測量底部不能到達(dá)的某鐵塔AB的高度,在塔的同一側(cè)選擇C,D兩觀測點(diǎn),且在C,D兩點(diǎn)測得塔頂?shù)难鼋欠謩e為45°,30°.在水平面上測得∠BCD=120°,C,D兩地相距600m,則鐵塔AB的高度是()A.120QUOTEm B.480mC.240QUOTEm D.600m【解析】選D.設(shè)AB=x,則BC=x,BD=QUOTEx,在△BCD中,由余弦定理知cos120°=QUOTE=QUOTE=QUOTE,解得x=600m,(x=300舍去).故鐵塔AB的高度為600m.2.(5分)如圖所示,在一個坡度一定的山坡AC的頂上有一高度為25m的建筑物CD,為了測量該山坡相對于水平地面的坡角θ,在山坡的A處測得∠DAC=15°,沿山坡前進(jìn)50m到達(dá)B處,又測得∠DBC=45°,根據(jù)以上數(shù)據(jù)可得cosθ=________________.

【解析】由∠DAC=15°,∠DBC=45°得∠BDA=30°,∠DBA=135°,∠BDC=90°(15°+θ)30°=45°θ,由內(nèi)角和定理可得∠DCB=180°(45°θ)45°=90°+θ,根據(jù)正弦定理可得QUOTE=QUOTE,即DB=100sin15°=100×sin(45°30°)=25QUOTE(QUOTE1),又QUOTE=QUOTE,即QUOTE=QUOTE,得到cosθ=QUOTE1.答案:QUOTE13.(5分)如圖,勘探隊(duì)員朝一座山行進(jìn),在前后A,B兩處觀察山頂C的仰角分別是30°和45°,兩個觀察點(diǎn)A,B之間的距離是100米,則此座山CD的高度為________________米.

【解析】設(shè)山高CD為x米,在Rt△BCD中,有BD=CD=x米,在Rt△ACD中,有AC=2x米,AD=QUOTEx米.而AB=ADBD=(QUOTE1)x=100.解得:x=50QUOTE+50.答案:(50QUOTE+50)4.(10分)已知島A南偏西38°方向,距島A3海里的B處有一艘緝私艇.島A處的一艘走私船正以10海里/時的速度向島嶼北偏西22°方向行駛,問緝私艇朝何方向以多大速度行駛,恰好用0.5小時能截住該走私船? 導(dǎo)學(xué)號【解析】如圖,設(shè)緝私艇在C處截住走私船,D為島A正南方向上一點(diǎn),緝私艇的速度為每小時x海里,則BC=0.5x海里,AC=5海里,由已知,∠BAC=180°38°22°=120°,由余弦定理得BC2=AB2+AC22AB·ACcos120°,所以BC2=49,BC=0.5x=7,解得x=14.又由正弦定理得sin∠ABC=QUOTE=QUOTE=QUOTE,所以∠ABC=38°,又∠BAD=38°,所以BC∥AD,所以緝私艇以每小時14海里的速度向正北方向行駛,恰好用0.5小時截住該走私船.5.(10分)已知在東西方向上有M,N兩座小山,山頂各有一個發(fā)射塔A,B,塔頂A,B的海拔高度分別為AM=100m和BN=200m,一測量車在小山M的正南方向的點(diǎn)P處測得發(fā)射塔頂A的仰角為30°,該測量車向北偏西60°方向行駛了100QUOTEm后到達(dá)點(diǎn)Q,在點(diǎn)Q處測得發(fā)射塔頂B處的仰角為θ,且∠BQA=θ,經(jīng)測量tanθ=2,求兩發(fā)射塔頂A,B之間的距離. 導(dǎo)學(xué)號【解析】在Rt△AMP中,∠APM=30°,AM=100m,所以PM=100QUOTEm.連接QM,在△PQM中,